精品解析：四川省成都市都江堰市私立玉垒中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷

2025-2026学年四川省成都市都江堰区玉垒中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、当时，不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、原方程整理可得，是一元三次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A. ﹣2a＜﹣2b B. am＜bm C. a﹣3＞b﹣3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质：（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，对各选项分析判断即可得解． 【详解】A．不等式a＞b的两边都乘−2可得−2a＜−2b，原变形正确，故本选项不符合题意； B．a＞b，当m＞0时，am＞bm，所以原结论不一定成立，故本选项符合题意； C．不等式a＞b的两边都减去3可得a−3＞b−3，原变形正确，故本选项不符合题意； D．不等式a＞b的两边都乘可得，两边都加上1可得，原变形正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质． 3. 若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理及外角和定理，可以转化为方程的问题来解决． 根据多边形的内角和定理及外角和定理列方程，求解即可． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： ，解得． 故选：D． 4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 5. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x2﹣8x+12=0， 解得x1=2，x2=6． ①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14． 故选B． 6. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可． 【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得： ． 故选D． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键． 7. 如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( ) A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定推出即可． 【详解】∵ 将 △ABC 延底边 BC 翻折得到 △DBC ， ∴AB=BD ， AC=CD ， ∵AB=AC ， ∴AB=BD=CD=AC ， ∴ 四边形 ABDC 是菱形； 故选A. 【点睛】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 8. 如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，求出∠DBE的度数是解题的关键． 连接，交于，由矩形的性质得，，，，则，得，再证，由等腰三角形的性质得，则，即可求解． 【详解】解：连接，交于，如图： 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 分式，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：． 11. 若一元二次方程的两根互为相反数，则k的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】由两根互为相反数得，由根与系数的关系得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根互为相反数， ∴， ∵， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 12. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________． 【答案】17 【解析】 【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可． 【详解】当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm， 在Rt△ABC中， 由勾股定理：x2=（8-x）2+22， 解得：x=， ∴4x=17， 即菱形的最大周长为17cm． 故答案是：17． 【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程． 13. 如图，分别以线段AB的两个端点A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，点C为直线MN上一点，连接CB，CA，以C为圆心，CB长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠BDC＝25°，则∠BAC的度数为 _____． 【答案】65°##65度 【解析】 【分析】由作图可知，求出，可得结论． 【详解】解：由作图可知， , , ， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 14. 已知a是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 故答案为：． 15. 已知关于x的方程有两个实数根，若满足，则k的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】计算根的判别式，由题意得关于的不等式，求解得出的取值范围；利用根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于的方程，求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根，． ， 解得． ，，， ， 即， ，， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，． 16. 如图，在中，分别以为边向外作正方形．若点在同一直线上，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易知，，，，则易得，，再利用完全平方公式得出的值，由即可得结果． 【详解】解：∵四边形，均为正方形，且、A、G三点共线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查矩形的性质与勾股定理的运用，结合平方差公式进行计算，解题关键是找出直角三角形两直角边的数量关系． 17. 如图，在中，，，，P为边上一动点（且点P不与点B，C重合），于E，于F，M为的中点．求的最小值______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，；根据，，判定四边形是矩形，得；当时，有最小值，故最小；根据三角形的面积公式，求出，即的值，从而可得答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 又∵， ∴四边形是矩形，而M为的中点， ∴，， ∵当时，有最小值， ∴最小， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题，垂线段最短，矩形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握垂线段最短，矩形的判定，三角形的面积公式． 18. 对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数n，变换次数m，当时，n的所有可能值有______个，其中最小值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 6 【解析】 【分析】采取倒推的方法，将可能的运算路线都找到即可． 【详解】解：由输出结果是1，倒推得到： 1→2→4→8→16→5→10→20→40， 1→2→4→8→16→5→10→3→6， 1→2→4→8→16→32→64→128→256， 1→2→4→8→16→32→64→21→42， ∴则n的可能值有4个，最小值为6， 故答案为：4，6． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算，倒推出运算过程是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，公式法解一元二次方程是解本题的关键． （1）运用公式法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若k为（1）中的最大整数，请求出此时方程的根． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可； （2）先确定时，则方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：根据根的判别式的意义得且△， 解得且， 所以的取值范围为且； 【小问2详解】 ∵且， ∴的最大整数值为4， 当时，方程化为， ， 或， 解得，． 21. 成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： （1）本次参加抽样调查的游客有__________人，根据题中信息补全条形统计图． （2）若某批次游客有6000人，请你估计选择D作为最佳旅游景点的有__________人． （3）A旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男2女4名游客回答对了问题．现从4名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 【答案】（1） 600，补全条形统计图如下： （2）2400 （3） 【解析】 【分析】（1）由D景点的人数除以所占百分比得出本次参加抽样调查的游客，即可解决问题； （2）由某批次游客的人数乘以D景点所占的百分比即可； （3）画树状图（或列表），共有12种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次参加抽样调查的游客有：（人）， 则B景点的人数为：（人）， ∴C景点的人数为：（人）， 故答案为：600， 【小问2详解】 估计选择D作为最佳旅游景点的有：（人）， 故答案为：2400； 【小问3详解】 画树状图：设A、B为男游客，C、D为女游客，则 列表： A B C D A B C D 总的情况有12种，满足条件共8种，P（一男一女）． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键． （1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为3． 23. 正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点逆时针旋转． （1）当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； （2）在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； （3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． 【答案】（1）， （2）30 （3）或 【解析】 【分析】（1）如图1中，证明，可得结论． （2）如图1中，连接，，，，，交于点．利用勾股定理求出，，由，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，推出点到的最大距离，由此可得结论． （3）分两种情形：如图中，当，，共线时，连接交于．如图中，当，，共线时，连接交于．利用勾股定理求出，可得结论． 【小问1详解】 解：结论：，． 理由：如图1中，设交于点，交于点． 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 如图1中，连接，，，，，交于点． 四边形，四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到的最大距离， 的面积的最大值为． 【小问3详解】 如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ． 如图中，当，，共线时，连接交于． 同法可得，可得， ， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 24. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨2元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 【答案】（1）月销售量为：千克，月销售利润为元 （2）80元 【解析】 【分析】根据“销售单价每涨2元，月销售量就减少20千克”，可知：月销售量销售单价由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润销售的数量来求出月销售利润； 销售成本不超过10000元，即进货不超过根据利润表达式求出当利润是8000元时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论． 本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数四则混合计算的实际应用，能正确表示出月销售量是解题的关键． 【小问1详解】 解：当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：千克， ∴月销售利润为：元； 【小问2详解】 解：设销售单价为x元， 由题意得， 解得，， ∵月销售成本不超过10000元， ∴月销售量不超过， 当时，进货，符合题意， 当时，进货，舍去． 答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点C、点B，点A在x轴的负半轴上，满足，直线l：经过点C，连接． （1）求直线的解析式及b的值； （2）在直线l上存在一点P，使得，求点P的坐标； （3）若点M是直线l上一动点，且点M在x轴的上方，点N是平面内任意一点，是否存在点M、N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为：； （2）或； （3）或或 【解析】 【分析】（1）由，令，分别求得的坐标，根据求得的坐标，进而待定系数法求解析式，将点代入直线的解析式直接求得的值； （2）过点作于点，过点作于点，设与交于点，根据（1）的结论求得的坐标，进而证明，勾股定理求得，证明是等腰直角三角形，可得，则，设出点的坐标，根据两点距离公式建立方程，即可求解； （3）先求得的长，根据菱形的性质，利用两点距离公式分三种情况建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵分别交轴，轴于点、点， 令，解得，则 令，解得，则 ∴， ∵， ∴， 即点， 设直线的解析式为， 解得： ∴直线的解析式为：； ∵直线：经过点， ∴ 解得 【小问2详解】 由（1）可得直线的解析式为， ∵，， ∴， 过点作于点，过点作于点，设与交于点， ， 解得， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， ， ∴， ∴， 解得：或， ∴当时，， 当时，， ∴或； 【小问3详解】 存在，以点为顶点的四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵点是直线上一动点，且点在轴的上方， 设，， ①当时，则， 解得：或（舍去）， 当， ∴， ②当时，则， 解得：或（舍去）， 当， ∴， ③当时，则， ∴,, ∴， ∴或或使以点为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，一次函数与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 26. 数学活动课上，老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”如图，在矩形中，，则矩形是“和谐矩形”是边上任意一点，连接，作的垂直平分线分别交于点与的交点为，连接和． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图，在“和谐矩形”中，若，且是边上一个动点，把沿折叠．点落在点处，若恰在矩形的对称轴上，则的长为______； （3）如图，记四边形的面积为，“和谐矩形”的面积为，且，若为常数，且，求的长．用含有的代数式表示． 【答案】（1） 解：四边形是菱形． 理由：如图1，∵矩形ABCD， ∴， ； 垂直平分， ， ≌， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形． （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质及全等三角形的性质先证明四边形BFEG是平行四边形，再由FG⊥BE证明四边形BFEG是菱形； （2）当点在经过AB、CD中点的对称轴上时，可证明是等边三角形；当点 在经过AD、BC中点的对称轴上时，可证明点E为AD边的中点，分别求出相应的AE的长即可； （3）由（1）可知四边形BFEG是菱形，设BF=EF=x，四边形ABCD是“和谐矩形”，且AB=a，则AD=2AB=2a，由勾股定理分别求出EF、AF、BE的长，再由面积等式列方程求出FG的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，连接， 由折叠得，垂直平分， ， 垂直平分， ， 四边形是矩形， 由（1）同理可得，四边形是菱形， ； ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，且， ， ； 如图，矩形的对称轴交于点，交于点，点在上， 垂直平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， 等于点到直线的距离， 点与点重合， ， 与重合，点与点重合， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【小问3详解】 如图，由（1）得，四边形是菱形， 设， 四边形是“和谐矩形”，且， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得，， 【点睛】此题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的特征、勾股定理、二次根式的化简、分类讨论数学思想的应用等知识与方法，此题综合性较强，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都市都江堰区玉垒中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A. ﹣2a＜﹣2b B. am＜bm C. a﹣3＞b﹣3 D. 3. 若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 6. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( ) A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 8. 如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 分解因式：______． 10. 分式，则_________． 11. 若一元二次方程的两根互为相反数，则k的值为_____． 12. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________． 13. 如图，分别以线段AB的两个端点A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，点C为直线MN上一点，连接CB，CA，以C为圆心，CB长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠BDC＝25°，则∠BAC的度数为 _____． 14. 已知a是方程的一个实数根，则的值为______． 15. 已知关于x的方程有两个实数根，若满足，则k的值为______________． 16. 如图，在中，分别以为边向外作正方形．若点在同一直线上，，则的面积为_______． 17. 如图，在中，，，，P为边上一动点（且点P不与点B，C重合），于E，于F，M为的中点．求的最小值______． 18. 对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数n，变换次数m，当时，n的所有可能值有______个，其中最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1）； （2） 20. 关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若k为（1）中的最大整数，请求出此时方程的根． 21. 成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： （1）本次参加抽样调查的游客有__________人，根据题中信息补全条形统计图． （2）若某批次游客有6000人，请你估计选择D作为最佳旅游景点的有__________人． （3）A旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男2女4名游客回答对了问题．现从4名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 22. 如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 23. 正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点逆时针旋转． （1）当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； （2）在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； （3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． 24. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨2元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点C、点B，点A在x轴的负半轴上，满足，直线l：经过点C，连接． （1）求直线的解析式及b的值； （2）在直线l上存在一点P，使得，求点P的坐标； （3）若点M是直线l上一动点，且点M在x轴的上方，点N是平面内任意一点，是否存在点M、N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 数学活动课上，老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”如图，在矩形中，，则矩形是“和谐矩形”是边上任意一点，连接，作的垂直平分线分别交于点与的交点为，连接和． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图，在“和谐矩形”中，若，且是边上一个动点，把沿折叠．点落在点处，若恰在矩形的对称轴上，则的长为______； （3）如图，记四边形的面积为，“和谐矩形”的面积为，且，若为常数，且，求的长．用含有的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $