2026-2027学年新人教版九年级上册数学期中考试卷-培优卷

2026-2027学年新人教版九年级上册数学期中考试卷 测试范围：第25-28章 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 1．若是一元二次方程的一个根，则（     ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】C 【分析】利用方程根的定义求的值，整体代入计算． 【详解】解：是一元二次方程的根． ． ． ． 2．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，进行求解即可． 【详解】解：令，则， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得：． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：、选项中图形是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； 、选项中图形是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； 、选项中图形不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意； 、选项中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 4．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断的正负，确定反比例函数图象分布象限与增减性；再分象限比较函数值． 【详解】解：， ， ． 反比例函数图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． 点、横坐标为负，在第二象限，． ，且在第二象限内随增大而增大， ． 点横坐标为正，在第四象限， ． 综上：． 5．《九章算术》“勾股”章有一道题，今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．大意：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，求门的高和宽．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单位换算：6尺8寸尺，1丈尺．门高x尺，则宽为尺； 长方形对角线，使用勾股定理得：． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，则点的对应点的坐标是（     ） A． B．) C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转性质得出及，通过同角的余角相等证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，进而确定点坐标． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∵轴，， ∴， ， ∵线段绕点顺时针旋转得到 ， ∴， ， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴点的坐标． 7．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用方程解的定义，将看作整体，与原方程中的取值对应求解． 【详解】解：∵方程的解为，， ∴，， 令，解得， 令，解得， 即方程的解为，． 8．如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】①由图象得，，再结合对称轴即可判断；②图象与轴有两个交点，即可判断；③由图象得当时，，即可判断；④由对称轴为直线得，即可判断；⑤当时，图象既有部分在轴上方，也有部分在轴下方，即可判断． 【详解】解：①由图象得，， ， ， ， 故此项错误； ②由图象得，图象与轴有两个交点， ； 故此项正确； ③由图象得， 当时，； ； 故此项正确； ④对称轴为直线， ， ， 故此项错误； ⑤当时，图象既有部分在轴上方，也有部分在轴下方， 有，也有， 故此项错误； 故正确的个数有个． 9．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，则下列说法正确的是（   ） x … … y … 10 4 0 0 … A．抛物线开口向下 B．函数最小值是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解：由表格可知，和时，的值均为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，时，时，越靠近，值越小， ∴抛物线开口向上，A错误； ∵抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点在对称轴上， ∴顶点纵坐标小于，函数最小值不是，B错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小. ∵时，所有均满足， ∴当时，随的增大而减小，C正确； ∵当时，随的增大而减小， ∴当时，不是始终随的增大而增大，D错误． 10．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（     ） A．若点的坐标为，则点的坐标为 B．若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C．若，则 D．若，当时，函数总在处取得最大值，则 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出直线解析式为，然后联立，解出方程组从而可判断；直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点，则，所以，可证，然后通过勾股定理得，设，则，所以，然后求出的最大值即可求出的最大值，从而判断；设直线解析式为，联立，则有，然后通过一元二次方程根与系数的关系可判断；由，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，根据题意可得，则有，从而判断． 【详解】解：、∵直线的图象经过点， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴，故此选项错误； 、∵点的坐标为， ∴由上得直线解析式为， 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点， ∴， 由直线解析式为得，令，则；令，则，解得； ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的长有最大值，最大值为， ∴的最大值是，故此选项错误； 、∵， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 联立， ∴， ∵，两点的横坐标分别为， ∴，故此选项错误； 、由上得， ∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线， ∴函数总在处取得最大值，则， ∴，故此选项正确． 12．如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，结合正方形性质和勾股定理逐一判断四个结论，将绕点逆时针旋转得到，证明，进而判断①②，对于③，由得，将绕点逆时针旋转得到，连接，证明得到，进而根据勾股定理，即可判断④． 【详解】解：对于①，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，，，， ， ,即三点共线， 在和中， ，故①正确 对于②，，故②正确 对于③，由得，即平分同理可证平分，故③正确 对于④，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 在和中， 在中， ，故④正确 综上所述，正确的结论有4个． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 13．如图，点 是反比例函数 （）在第一象限内图象上的一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，矩形 的面积为 6，则 的值为______． 【答案】6 【分析】设，将点横坐标代入反比例函数解析式，用横、纵坐标表示矩形邻边，列式计算面积，约分求出；结合第一象限说明为正． 【详解】设，则，， 矩形的面积． 14．已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是_______． 【答案】9 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出参数、的值，再代入代数式运用有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为． ∴ 根据根与系数的关系，两根满足，． ∵ 已知，． ∴ ，，解得． ∴ ． 15．如图，在中，，，，动点从点开始，沿边向点运动，速度为，动点从点开始沿边向点运动，速度为．如果，两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．当__________时，的面积最大． 【答案】2 【分析】根据题意表示出、直接计算面积，得到二次函数表达式，根据二次函数性质求解即可． 【详解】解：∵两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止，，， ∴运动时间， ∴， 根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 该函数是开口向下的二次函数，对称轴为， ∵， ∴时，的面积最大． 16．如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转，得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，作直线，交直线于点，交直线于点，证明，所以，得点在直线上运动，故当时有最小值，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，作直线，交直线于点，交直线于点， ∵直线垂足为点， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动， 当时有最小值， 在中，，， ∴， ∴， 当最小时，在中，，，， 即的最小值为． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）确定一元二次方程的各项系数，再利用公式法求解即可； （2）先对二次三项式进行因式分解，将二次方程转化为两个一次方程求解即可． 【详解】（1）解： 在方程中，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：， ， 或 所以，． 18．已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为或. (2)存在，的值为. 【分析】（1）将代入方程求解，结合方程有实根的判别式条件验证结果； （2）利用根与系数的关系变形所求代数式，列方程求解，结合判别式筛选符合条件的值． 【详解】（1）解：∵方程的一个根为， ∴将代入，得，即， 解得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∵和均满足， ∴的值为或. （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴代入得， 整理得， 解得，. ∵方程有实数根， ∴， ∴不符合条件，舍去， ∴. 综上所述，存在实数使得成立． 19．掷实心球是中招体育考试的五选二项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，实心球行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)2026年沈阳中考女生实心球满分线为米（实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于米时得满分），请问这次投掷成绩能否达到满分？说明理由． 【答案】(1) (2)这次投掷成绩能达到满分． 理由如下： 解：在中，令， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ，实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于6.9米时得满分， 这次投掷成绩能达到满分． 【分析】（1）由已知条件可知图象的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）令小问（1）的抛物线的关系式中的，求出的正值，跟米比较大小即可． 【详解】（1）解：当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， ， ． （2）详解见答案． 20．已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，从而求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）先求出点C的坐标，然后根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：把代入， 得，则反比例函数解析式为， 把代入， 得，解得，则点坐标为， 把，代入得 解得 一次函数解析式为； （2）解：在中，令，则， ， ， ． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)画出△关于原点的中心对称图形，并写出的坐标； (2)画出△绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，点的坐标为； (2)如图，即为所求，点的坐标为 【分析】（）根据中心对称图形的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可； （）根据旋转的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)线段长度的最大值为4； (3)点的坐标为和． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，再设，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）求得直线的解析式，过点P作竖直线(垂直x轴)，交直线于点Q，利用割补法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为点， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由（1）知，， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴ ， ∵， ∴当时，线段的长度有最大值，最大值为4； （3）解：同（2）得直线的解析式为， 过点P作竖直线（垂直x轴），交直线于点Q， 设，则， 线段就是铅垂高，， 水平宽为， 由题意得， 解方程，得，； 解方程，整理得， ∵， ∴方程无实数解； ∴点的坐标为和． 23．如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【答案】(1) (2)解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得到三者间的关系； （2）延长到点使，连接，如图所示，同（1）求解即可； （3）将绕着点顺时针旋转到，如图所示，由旋转性质和正方形性质得到点三点共线，均在直线上，再由三角形全等的判定与性质得出，最后数形结合表示出的周长，代入相关线段长度计算即可． 【详解】（1）解：把绕点A逆时针旋转，得到，如图所示： ， ∵， ， ∴点在同一直线上， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）略 （3）解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，， 则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ． 24．在平面直角坐标系中，如果二次函数的图象经过一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，那么称这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函数的“伴生点”． (1)若时，求“伴生二次函数”的解析式． (2)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，，连接，，记直线，的解析式分别为，，若，且为负数，求的取值范围． (3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，． ①求证：对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②若“伴生二次函数”的图象与轴的另一个交点为，连接，，是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值和此时“伴生二次函数”的解析式． 【答案】(1)． (2) (3)①设，， 令，即， 由根与系数的关系知：，， 又由，即，知：，， ，，即，， “伴生二次函数”的解析式为， 变形得：， 该函数图象恒过定点， ，解得或， 此时或， ； 对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②的值为，此时“伴生二次函数”的解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， 代入，得， 解得， “伴生二次函数”的解析式为； （2）解：设，， 令，整理得：， 由根与系数的关系得：，， 且，即， ，即， ，， ， ， 当时，；当时，， ； （3）解：①略 ②令，则， 解得或， ， ，， ， 当时，， 即，解得或， ， ， 综上，的值为，此时“伴生二次函数”的解析式为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年新人教版九年级上册数学期中考试卷 测试范围：第25-28章 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题 1．若是一元二次方程的一个根，则（     ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 2．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．《九章算术》“勾股”章有一道题，今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．大意：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，求门的高和宽．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，则点的对应点的坐标是（     ） A． B．) C． D． 7．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，则下列说法正确的是（   ） x … … y … 10 4 0 0 … A．抛物线开口向下 B．函数最小值是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 10．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（     ） A．若点的坐标为，则点的坐标为 B．若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C．若，则 D．若，当时，函数总在处取得最大值，则 12．如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题 13．如图，点 是反比例函数 （）在第一象限内图象上的一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，矩形 的面积为 6，则 的值为______． 14．已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是_______． 15．如图，在中，，，，动点从点开始，沿边向点运动，速度为，动点从点开始沿边向点运动，速度为．如果，两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．当__________时，的面积最大． 16．如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转，得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为______． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2) 18．已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 19．掷实心球是中招体育考试的五选二项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，实心球行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)2026年沈阳中考女生实心球满分线为米（实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于米时得满分），请问这次投掷成绩能否达到满分？说明理由． 20．已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)画出△关于原点的中心对称图形，并写出的坐标； (2)画出△绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 22．已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 23．如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 24．在平面直角坐标系中，如果二次函数的图象经过一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，那么称这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函数的“伴生点”． (1)若时，求“伴生二次函数”的解析式． (2)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，，连接，，记直线，的解析式分别为，，若，且为负数，求的取值范围． (3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，． ①求证：对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②若“伴生二次函数”的图象与轴的另一个交点为，连接，，是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值和此时“伴生二次函数”的解析式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $