2026-2027学年人教版九年级上册数学期中考试卷

2026-2027学年新人教版八年级上册数学期中考试卷 测试范围：25-28章 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题 1．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图像经过点 B．图像在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．已知点和关于原点对称，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象在同一坐标系中可能是（     ） A． B． C． D． 5．若，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．9 6．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线为（     ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O、A、C，，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13．如图，点在反比例函数的图象上，则矩形的面积是_______． 14．如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______． 15．若关于的一元二次方程有一个根为2027，则一元二次方程必有一个根为______． 16．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 三、解答题 17．解方程 (1)； (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； (2)作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 20．某商家正在热销一种商品，其成本为元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为元/件时，改变销售策略，此时售价每增加元需支付由此产生的额外费用元．该商品销售量（件）与售价（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且为整数）． (1)直接写出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 22．已知二次函数． (1)若二次函数图象的对称轴为直线，且函数有最小值，求b和c的值以及该函数的解析式； (2)若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 23．如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 24．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，则的长为___________（请直接写出答案）； (2)如图2，所在直线与分别交于点H、M，且．求线段的长度； (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年新人教版八年级上册数学期中考试卷 测试范围：25-28章 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题 1．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图像经过点 B．图像在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数为， ． ∴图象位于第二、四象限，选项B错误． 将代入解析式，得， ∴图象不经过点，选项A错误． 当时，随的增大而增大，选项C错误． 当时，随的增大而增大，选项D正确． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3．已知点和关于原点对称，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】点和点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解后，代入求值即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象在同一坐标系中可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线经过定点，即可排除B、C选项；再由一次函数与反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：，当时，，而 ∴， 故直线经过点，B、C均不符合题意； 由A、D可知，直线经过第一、二、三象限，故，那么此时反比例函数图象经过第一、三象限，故只有D符合题意． 5．若，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：， ∵ ，是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系得，. ∴ 原式． 6．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ，即，解得， 即且， 综上，的取值范围是． 7．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析每名同学的赠送数量，再分析全组的总赠送数量，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：全组有名同学，每名同学需向除自己外的其他成员赠送标本， 每人赠送件． 全组总赠送数为件． 由全组共互赠件，得． 8．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【详解】向上平移个单位得，再向右平移个单位得． 9．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个函数值的大小，可先求出两图象交点的横坐标，以交点为分界点，判断抛物线在直线上方还是下方；由抛物线开口向上，可知其解集在两根之间． 【详解】解：联立两函数： ， 移项得， 即， 解得或． 当时，；当时，． 故两图象交于点和． 根据函数图象，可得，则的取值范围是． 10．如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O、A、C，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，利用菱形的性质及直角三角形的性质即可求出点及点的坐标，再将点及点的坐标代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：作轴于点， 四边形为边长是2的菱形， ， 点A的坐标为， ， ， ， ， 又点在第二象限， 点C的坐标为， 把与代入，得， 解得， 的值为． 11．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象得出，再根据一次函数与二次函数的图象和性质对选项一一分析即可得出答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上，故选项正确，符合题意； B、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 12．如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点顺时针旋转得到，利用旋转的性质、勾股定理及其逆定理求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由题意得，，， 由旋转性质可知， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13．如图，点在反比例函数的图象上，则矩形的面积是_______． 【答案】2 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积． 14．如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，由旋转的性质得出，得出是等边三角形，旋转角，由勾股定理求出，再证明是等边三角形，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由旋转得， ∴是等边三角形，旋转角， 在 中，． 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴． 15．若关于的一元二次方程有一个根为2027，则一元二次方程必有一个根为______． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，通过换元将待求方程转化为与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求解待求方程的根． 【详解】解：将待求方程移项，得， 设，则上述方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为2027， ∴方程有一个根为，即， 解得． 16．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 【答案】②③ 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；当时，，即抛物线与轴交于点，由图像可知，，据此即可判断②；利用函数的最大值即可判断③；利用抛物线上点到对称轴的距离和函数值的大小即可判断④． 【详解】解：由二次函数的图像可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴， ∴，， 即，故①错误； 当时，，即抛物线与轴交于点， 由图像可知，， ∴ 解得，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数t，总成立， 即对任意实数t，总成立，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 当时，，此时，故④错误． 三、解答题 17．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：直接开方得， ∴或， 解得，； （2）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； (2)作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 【答案】(1)绕原点逆时针旋转得到的如图所示： (2)关于原点成中心对称的如图所示： 【分析】（1）根据旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为，写出点、、的对应点分别为点、、的坐标，再描点后顺次连接、和即可得到； （2）根据中心对称规律：点关于原点对称的点坐标为，写出点、、的应点分别为点、、的坐标，再描点后顺次连接、和，得到． 【详解】（1）绕原点逆时针旋转后，点、、的对应点、、的坐标分别为： 、、， 作图略． （2）关于原点成中心对称，点、、的对应点、、的坐标分别为： 、、， 作图略． 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，再代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 20．某商家正在热销一种商品，其成本为元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为元/件时，改变销售策略，此时售价每增加元需支付由此产生的额外费用元．该商品销售量（件）与售价（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且为整数）． (1)直接写出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)（为整数） (2)当售价为元时，商家所获利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据函数图象，可知销售量是关于售价的一次函数，通过待定系数法即可求解关于的函数解析式； （2）设商家获得的利润为元，根据利润等于售价减去成本，分段列出利润关于售价的解析式，得到是关于的二次函数，根据二次函数的图象和性质得到利润的最大值． 【详解】（1）解：∵，观察函数图象可知， 当时，销售量是关于售价的一次函数， 当时，销售量也是关于售价的一次函数， 当时，设第一段一次函数的解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴第一段一次函数的解析式为， 当时，设第二段一次函数的解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴第二段一次函数的解析式为， ∴与的函数解析式为： （为整数）； （2）解：设商家获得的利润为元， 根据题意可得：， 当时，根据题意可得：， 此时利润是关于售价的二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴当时，有最大值为元， 当时，根据题意可得：， 此时利润是关于售价的二次函数，对称轴为直线，， ∴当时，随的增大而增大， 当时，有最大值为元， ∴当售价为元时，商家所获利润最大，最大利润是元． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数关系式：；一次函数的关系式： (2)8 (3) 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ， 将代入得， ， 将代入得， 解得， ； （2）解：当时，解得， 即， ， ； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方时，， ∴不等式的解集为． 22．已知二次函数． (1)若二次函数图象的对称轴为直线，且函数有最小值，求b和c的值以及该函数的解析式； (2)若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 【答案】(1)，， (2)① 证明：由得， ∴判别式， ∵， ∴， ∴二次函数的图象和轴有两个交点． ②的值为2 【分析】（1）根据对称轴公式计算得出，根据函数的最小值为计算得出，从而得解； （2）①令得到一元二次方程，利用判别式来证明二次函数的图象和x轴有两个交点即可； ②根据和，将代入，得到关于的二次函数，求出对称轴和顶点坐标，根据二次函数的增减性进行计算求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为： 即， 解得， ∵函数有最小值，即顶点纵坐标为 3： ∴当时，， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：① 略； ②由于点在该二次函数图象上， 则， 由于，， 则，即， 所以， 当时，n的最小值是， 函数，开口向上，对称轴为， ∴第一种情况：当时，即， 当时，取最小值， 即， 整理得， 解得或（舍去）， 第二种情况：当，即时，当时，n随着m的增大而增大， 则当时，取最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去 综上所述，的值为． 23．如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)双曲线的解析式为， (3) 【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较， （2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求， （3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可， 【详解】（1）解：∵双曲线的一支图像在第一象限， ，且双曲线在时，随的增大而减小， 点，在双曲线上，且， ； （2）解：∵为的中点，的面积为3， ∴， 轴， ∴， ∴双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得； （3）解：由（2）得， 设直线的解析式为， 把代入得 ， ， 直线解析式为， 设，则， 在直线上， ， ， ， ， 当时，， ． 24．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，则的长为___________（请直接写出答案）； (2)如图2，所在直线与分别交于点H、M，且．求线段的长度； (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的面积的最大值为27． 【分析】（1）根据矩形的性质、旋转的性质以及平面直角坐标系可得，再在中利用勾股定理求解即可； （2）先证明可得，再证明可得，可得点E与点重合，点C，点E，点F三点共线，在中，勾股定理，可求的长，然后利用三角形中位线定理求解即可； （3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，如图，当轴于点M时，则，此时面积最大，连接，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形，点， ，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点E恰好落在边上， ， 在中，， ∴． （2）解：如图2，过点M作于N，过点C作于，连接， ∵，， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 又， ∴点E与点重合， ， ， ∴点C，点E，点F三点共线， ∵， ， ， 设 在中，， ，解得：， ， ， ，， ． （3）解：∵点P为边的中点， ∴， ，， ， ∴当边上的高最大时，面积最大， 如图，当轴于点M时，则，此时面积最大，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为27． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $