3.3抛物线同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3抛物线同步练习题 一、单选题 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 二、多选题 7．已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心坐标为 B． C．抛物线的准线与圆相切 D．过抛物线焦点的直线与圆相交 8．过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 三、填空题 9．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 10．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 四、解答题 11．抛物线的对称轴为轴，顶点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点.求的方程. 12．已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 13．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 试卷第2页（共2页） 参考答案 1．A 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 2．C 【详解】由抛物线的定义知： . 3．B 【分析】根据焦半径公式直接代入求解即可. 【详解】由题，抛物线：的焦点为， 因为点到焦点的距离为6，设， 所以，解得， 所以点的横坐标为4. 4．D 【详解】圆的标准方程为， 则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为， 又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为， 则，解得，所以的标准方程为． 5．B 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 6．D 【分析】根据抛物线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 7．BCD 【详解】A选项，由，故圆心为，A错误； B选项，联立抛物线与圆消去得， 解得或，当时，，不合要求，舍去； 当时，，解得，即，则，B正确； C选项，抛物线的准线为，圆心到的距离为2，等于圆的半径， 故抛物线的准线与圆相切，C正确； D选项，抛物线焦点坐标为，此时直线过圆的圆心，则与圆一定相交，D正确. 8．ABD 【分析】本题考查抛物线的基本性质、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理计算相关量即可判断各选项. 【详解】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 9． 【分析】通过点确定抛物线方程，从而确定直线方程，二者联立即可求得点的横坐标，最后利用过焦点的弦长公式即可求解. 【详解】根据题意，点在抛物线上，则有，解得， 因此抛物线方程为，焦点，    如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为， 联立，解得和，由于，所以， 根据过焦点的弦长公式，. 10． 【分析】先建立平面直角坐标系，再得出点的坐标，列式计算求解. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为y轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图，设该抛物线的方程为（x，y的单位均为cm），点A纵坐标为h， 则， 于是， 所以，即得cm，即该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 11． 【分析】根据抛物线的焦点与系数的关系求解即可. 【详解】因为抛物线的对称轴为轴，所以的焦点在轴上， 又直线与轴的交点为，所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为：. 12．(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出的值，即可求解； （2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． （2）由（1）得的焦点为， 所以直线l的方程为，设，． 由，消得， 则，，， 所以． 13．(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 【分析】（1）设直线AB方程：，与抛物线的方程联立，根据韦达定理，由垂直的向量表示，可得关于的方程，求解可得的值，从而得到直线所过定点； （2）由（1）可得面积， 根据韦达定理，并结合二次函数的最值求法可得面积的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 答案第6页（共6页） 答案第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $