专题09 三角函数与相似三角形综合题型（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册
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内容正文：
专题09 三角函数与相似三角形综合题型
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、作垂线构造直角三角形解题
题型二、利用相似与三角函数求线段长
题型三、相似三角形对应边比例求解
题型四、相似与三角函数结合的面积计算
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
锐角三角函数与相似三角形综合题是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕构造直角三角形、相似判定、对应边成比例、面积转化四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是相似三角形必须找准对应顶点与对应边，二是运用三角函数时，相关角必须放在直角三角形内分析。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、作垂线构造直角三角形解题
题型模版
1.特征：题干图形不含现成直角三角形，无法直接使用三角函数，需要添加垂线辅助线。常结合相似三角形，将斜三角形拆分，难点在于选择合适顶点作高，容易出现边角对应错乱。
2.方法：观察图形，选取合适顶点向边作垂线，构造直角三角形。结合图形条件证明三角形相似，借助相似传递边角关系，再利用锐角三角函数进行计算，最后核对边角匹配关系。
【例1】如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 本题考查正弦函数的定义，勾股定理求直角三角形第三边，解题的关键是能构造直角三角形．过点作交的延长线于点，利用勾股定理求的长，再用正弦函数的定义解答．
【详解】解：如图过点作交的延长线于点，
则,,
∴,
∴．
【例2】平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，，则点B的坐标为_______________．
【答案】
【分析】过点B作于点E，利用锐角三角函数求出、的长，进而得到的长，即可得到点B的坐标．
【详解】解：如图，过点B作于点E，
∵平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴点的坐标为：．
【变式1-1】如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作辅助线构造全等三角形，将已知线段转化到含待求线段的直角三角形中，利用三角函数求解即可．
【详解】解：过点作于点，如图：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴.
在和中，，
，
∴，
∵，，
∴点在射线上，
∴，
在中，.
∴，
∴
∴ 按键顺序为．
【变式1-2】如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________．
【答案】
【分析】由作图步骤可知，垂直平分，过点作于，在中解直角三角形可得，进而可得的长，在中解直角三角形即可求解．
【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴，，
如图，过点作于，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【变式1-3】如图，在中，是边上的中线，和都是锐角，且，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点C作于点E，在中，根据和求出，再根据勾股定理得，在中，根据和得到，最后根据求出的长；
（2）根据中线定义得到线段的长，再根据求出线段的长，在中，根据勾股定理得，进而求出的值．
【详解】（1）解：过点C作于点E，
在中，，，
，
根据勾股定理得．
在中，
，
，
．
（2）是边上的中线，
，
，
在中，根据勾股定理得，
．
题型二、利用相似与三角函数求线段长
题型模版
1.特征：题干给出一组或多组相似三角形，附带角度、三角函数条件，求解线段长度。综合性较强，学生容易找错相似的对应边，混淆三角函数中对边、邻边的位置。
2.方法：先判定三角形相似，写出对应边的比例式；再在直角三角形中利用三角函数得到边长关系。联立比例式与三角函数等式求解线段，计算后检验边长结果为正数。
【例3】如图，中，，，，射线，点D在射线上运动，，垂足为点E，若与相似，则的长为______．
【答案】或1
【分析】根据题意若与相似，则或，当时，得出四边形是矩形，当时，则得出，进而解直角三角形，即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
若与相似，则或
当时，
∴
又则
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是矩形，
∴，
当时，则
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
中，，，，
∴
∴
在中，
综上所述，的长为：或1
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与解直角三角形，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
【例4】如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求线段的长．
【答案】(1)
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
（1）先证明，则，继而得到，再结合已知条件即可证明平行四边形；
（2）过点作于点，先解求出，再由求出，最后再根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：过点作于点，
∵在中，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【变式2-1】如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为_______
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可．
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
【变式2-2】如图，在平行四边形中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，，，求的长．
【答案】(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，然后得到，结合得到，即可证明；
（2）根据锐角三角函数得，运用勾股定理得，结合三角形的相似性质，代入数值可以求得的长．
【详解】（1）略
（2）解：∵，．
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式2-3】如图，在中，，，垂足分别为D、E，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)6
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、三角函数等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，从而得到，然后根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论；
（2）由、可得，再由相似三角形的对应边成比例可得，再结合即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵、，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型三、相似三角形对应边比例求解
题型模版
1.特征：题目给出图形中的角度、三角函数条件，不直接求边长，而是求线段比值。常利用等角转化，结合相似性质，容易混淆相似三角形的对应顶点，导致比例式写反。
2.方法：利用等角证明三角形相似，找准对应顶点，写出正确的对应边比例。借助锐角三角函数得到线段之间的数量关系，代入比例式化简求值，最后验证比例前后项对应无误。
【例5】如图，在中，，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，由旋转的性质易证是等边三角形，再利用直角三角形，分别得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
【例6】如图，在钝角中，为钝角，，为边上的高线，平分交于点E，且是与的比例中项．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证，得，再证，然后由直角三角形的性质得，则，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得，再由（1）可知，，然后由相似三角形的性质即可得出结论；
（3）由锐角三角函数定义得，设，则，，再由相似三角形的性质得，则，，，然后求出，则，再根据锐角三角函数定义即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵是与的比例中项，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵为边上的高线，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
（3）解：∵，，
∴设，则，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是与的比例中项，
∴，
∴，即，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，．
【变式3-1】某施工队要搭建一个直角三角形的钢架支架，其中，．为了加固支架，施工队从点引出一条角平分线平分，再从点向作垂线，垂足为，用于固定支撑，则的度数为________，在上述钢架结构中，的值为_________．
【答案】
【分析】对于第一空，先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，进一步求出的度数即可得到答案；对于第二空，延长交于点F，证明，得到，则，解直角三角形得到，证明，得到，据此可得答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3-2】如图，在中，，，点在边上，且，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证，则可得，由，可得；
（2）过D点作于E点．由得．设，则，，，，．
根据列式可得，再根据勾股定理可得，进而可求得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵中，，，
∴．
（2）解：如图，过D点作于E点，
由得，
，
设，则，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式3-3】如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
(1)当点D是边AC中点时，求的值；
(2)求证：；
(3)当时，求．
【答案】(1)；
(2)
证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，
∴△DEB∽△ADB，
∴，
∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，
∴△DFB∽△ACB，
∴，
∴即；
(3)5：3
【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，设，，由勾股定理得，由中点定义和三角形的等面积法求得DH，再根据勾股定理求得AH、BH，由求解即可；
（2）根据相似三角形的判定证明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（3）设，，则DF=4k，根据余切定义和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根据相似三角形的性质求得AB即可求解．
【详解】（1）解：过D作DH⊥AB于H，
在中，，，
设，，
∴，
∵D为AC的中点，
∴AD= AC= ，
∴，
∴，
在Rt△AHD中，，
∴BH=AB－AH= －= ，
在Rt△BHD中，；
（2）略．
（3）解：由可设，，则DF=4k，
∵，
∴cot∠BDE=cot∠A=，
∴，
∴，又∠F=90°，
∴，
，
∵△DEB∽△ADB，
∴即，
∴AB=8k，
∴AE=AB－EB=5k，
∴AE：EB=5k：3k=5：3．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
题型四、相似与三角函数结合的面积计算
题型模版
1.特征：结合相似三角形面积比等于相似比平方，搭配锐角三角函数，求解图形面积。易错点是直接将边长之比当作面积比，或是三角函数选取的直角三角形找错。
2.方法：先通过三角函数求出边长或相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行转化。也可求出底和高直接计算面积，完成后检验相似对应关系与直角三角形边角匹配。
【例7】魏晋时期，数学家刘徽利用如图①所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，如图②，其中四边形，四边形和四边形都是正方形，连结．若，则正方形与正方形的面积比为______．
【答案】16
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，过作于，证明得出，证明，得出．设，，则，，，结合，求出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过作于，
，
∵四边形，四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵，
∴,
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，，则，，，，
，
解得或（不合题意，舍去），
∴面积比为16．
【例8】如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处．已知折痕．且．
(1)求证：
(2)求阴影部分面积．
【答案】(1)
证明：折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，
，
，，
，
∴；
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的折叠、相似三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）矩形的特点是四个角均为直角，折叠的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中两锐角互余可得，进而可证明；
（2）根据，设，，求出，由折叠的性质得到，求出，利用相似三角形的性质得到，再利用勾股定理求出，求出，即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：，
设，，
，
．
，
即，
，
．
在中，由勾股定理，得，即，
，（不合题意，舍去），
∴，
∴阴影部分面积为．
【变式4-1】如图，设为正三角形，边长为，，，分别在，，边上，且．连，，两两相交得到，则的面积是_____．
【答案】
【分析】本题考查的是面积及等积变换，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，能根据题意得出，再由相似三角形的性质得出答案是解答此题的关键．先根据为正三角形，边长为，且得出，，再求出及的面积，由相似三角形的性质可求出的面积，进而可得出答案．
【详解】解：如图，
过点作于点，
∴，，
∴
在中，
为正三角形，边长为，
，，，
，
，，
，其相似比为，
，
，
∴，
故答案为：．
【变式4-2】如图，在正方形中，点E，F分别在边，上（不与端点重合），且，连接，过点A作于点G，连结，．若要求出与的面积的和，只需知道下列哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正方形边长为，，利用相似三角形性质或三角函数表示出点到和的距离，进而表示出和的面积，求和化简即可发现面积和仅与正方形边长有关.
【详解】解：设正方形的边长为，即，
设，则在中，由勾股定理得；
，
，
又∵，
，
，即，
，即，
过点作于，于，
在 中，，
在 中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
只需知道的长 即可，求出与的面积的和.
【变式4-3】将大小不同的两块透明等腰三角板和按如图所示摆放，使得它们的直角顶点重合，小三角板的一个顶点在大三角板的斜边上，与相交于点，连接．
(1)证明：；
(2)若，求△的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，先证明得到，再证明，即可证明；
（2）如图所示，过点C作于G，则，，求出；求出，解直角三角形得到，则，进而求出，由，得到，则．
【详解】（1）解：∵三角形和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作于G，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在中，，，，则中线的长为______．
【答案】/
【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点A作于点，
，
，
，
∵，
，
，
，
是中线，
，
．
2．如图，在中，，平分，交于点，，则___________．
【答案】
【分析】本题主要考查解直角三角形、相似三角形的判定及性质、一元二次方程等，过点作的垂线，交于点，设，，可求得，，结合，可得，变形之后解方程，可求得的长度．
【详解】解：如图所示，过点作的垂线，交于点．
设，．
∵，
∴．
∵平分，，
∴．
在中，
．
∵，，
∴．
∴，即
．
变形，得
．
解方程，得
，．
∴．
∴．
∴．
3．如图，等边的边在轴的负半轴上，双曲线过的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过点C作交于点，由等边三角形的性质和解直角三角形求出，把点坐标代入双曲线，即可求出值，进而求出双曲线的表达式．
【详解】解：过点C作交于点，
∵等边三角形的边长是，
∴，，
∵点C是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线过点，
∴，
解得：，
∴该双曲线的表达式为．
4．如图所示，在中，，，D，E，F分别是，，边上的点，且，，则___．
【答案】
【分析】根据等边对等角得到，根据，得到，即可证明，得到，，因此．过点B作于点H，通过解直角三角形求出，再由“三线合一”求出，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
过点B作于点H，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴．
5．如图，在中，，其中，，若点是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是_____．
【答案】
【分析】通过证明．可得，，可求的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：过点N作延长线于H，
在中， ， ，
是等腰直角三角形．
，．
．
是等腰直角三角形，
， ．
．
，
，
，
．
，．
，．
．
．
．
，
面积的最大值是．
6．如图，在等边中，，点是边上的一动点（不与点，重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点．在点运动的过程中，线段比的最小值为______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质可得是等边三角形，从而，，结合可证，利用相似三角形对应边成比例可得，当时最小，进而求出比值的最小值．
【详解】解：由旋转的性质可知，
是等边三角形
，
是等边三角形
，
又
为定值
当最小时，的值最小
根据垂线段最短可知，当时，最小
在中，，
的最小值为．
7．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边于点；②分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧在内交于点；③作射线交边于点．若，则_______．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，尺规基本作图作角平分线，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
证明解直角三角形求出，，即可由求解．
【详解】解：由作图可知，
，
，
，
，
，
，，
．
．
故答案为：．
8．如图，在四边形中，平分，，．
(1)求的值；
(2)如果，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)246
【分析】（1）先利用两角对应相等判断，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论；
（2）利用直角三角形的边角间关系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面积公式得结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
9．如图，在矩形中，E是上的一点，沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，
，
∵沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上，
，
，
；
(2)
【分析】本题考查矩形中的翻折问题，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理．
（1）由是矩形，得，根据沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上，得，从而，即得；
（2）由，可得，从而，，设，则，有，即可解得答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
的长是．
10．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
在中，，
，，
又，
，
；
(2)
【分析】（1）可通过证明，证得；
（2）根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）略
（2）∵
又，
∴，即，
，
，
设，，
在中，，
∴，
∵，
，
又，
，
∴.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，同时也用到了平行四边形的性质和等角的补角相等等知识点．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．已知E是外一点，D是所在平面内一点，且满足，．
(1)如图1，点D在外，求证：．
(2)如图2，点D在边上，与交于点F，若，，，，求的值．
【答案】(1)
证明：，，
，
，
．
，
，
．
(2)3
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）先证明，则，再证明，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，，得到，证明，进而即可得到答案．
【详解】（1）略
（2），，
，，
，
．
，，
，
．
12．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明：四边形为平行四边形
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）略
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
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专题09 三角函数与相似三角形综合题型
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、作垂线构造直角三角形解题
题型二、利用相似与三角函数求线段长
题型三、相似三角形对应边比例求解
题型四、相似与三角函数结合的面积计算
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
锐角三角函数与相似三角形综合题是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕构造直角三角形、相似判定、对应边成比例、面积转化四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是相似三角形必须找准对应顶点与对应边，二是运用三角函数时，相关角必须放在直角三角形内分析。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、作垂线构造直角三角形解题
题型模版
1.特征：题干图形不含现成直角三角形，无法直接使用三角函数，需要添加垂线辅助线。常结合相似三角形，将斜三角形拆分，难点在于选择合适顶点作高，容易出现边角对应错乱。
2.方法：观察图形，选取合适顶点向边作垂线，构造直角三角形。结合图形条件证明三角形相似，借助相似传递边角关系，再利用锐角三角函数进行计算，最后核对边角匹配关系。
【例1】如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，，则点B的坐标为_______________．
【变式1-1】如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________．
【变式1-3】如图，在中，是边上的中线，和都是锐角，且，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
题型二、利用相似与三角函数求线段长
题型模版
1.特征：题干给出一组或多组相似三角形，附带角度、三角函数条件，求解线段长度。综合性较强，学生容易找错相似的对应边，混淆三角函数中对边、邻边的位置。
2.方法：先判定三角形相似，写出对应边的比例式；再在直角三角形中利用三角函数得到边长关系。联立比例式与三角函数等式求解线段，计算后检验边长结果为正数。
【例3】如图，中，，，，射线，点D在射线上运动，，垂足为点E，若与相似，则的长为______．
【例4】如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求线段的长．
【变式2-1】如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为_______
【变式2-2】如图，在平行四边形中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，，，求的长．
【变式2-3】如图，在中，，，垂足分别为D、E，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
题型三、相似三角形对应边比例求解
题型模版
1.特征：题目给出图形中的角度、三角函数条件，不直接求边长，而是求线段比值。常利用等角转化，结合相似性质，容易混淆相似三角形的对应顶点，导致比例式写反。
2.方法：利用等角证明三角形相似，找准对应顶点，写出正确的对应边比例。借助锐角三角函数得到线段之间的数量关系，代入比例式化简求值，最后验证比例前后项对应无误。
【例5】如图，在中，，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例6】如图，在钝角中，为钝角，，为边上的高线，平分交于点E，且是与的比例中项．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)直接写出的值．
【变式3-1】某施工队要搭建一个直角三角形的钢架支架，其中，．为了加固支架，施工队从点引出一条角平分线平分，再从点向作垂线，垂足为，用于固定支撑，则的度数为________，在上述钢架结构中，的值为_________．
【变式3-2】如图，在中，，，点在边上，且，
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式3-3】如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
(1)当点D是边AC中点时，求的值；
(2)求证：；
(3)当时，求．
题型四、相似与三角函数结合的面积计算
题型模版
1.特征：结合相似三角形面积比等于相似比平方，搭配锐角三角函数，求解图形面积。易错点是直接将边长之比当作面积比，或是三角函数选取的直角三角形找错。
2.方法：先通过三角函数求出边长或相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行转化。也可求出底和高直接计算面积，完成后检验相似对应关系与直角三角形边角匹配。
【例7】魏晋时期，数学家刘徽利用如图①所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，如图②，其中四边形，四边形和四边形都是正方形，连结．若，则正方形与正方形的面积比为______．
【例8】如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处．已知折痕．且．
(1)求证：
(2)求阴影部分面积．
【变式4-1】如图，设为正三角形，边长为，，，分别在，，边上，且．连，，两两相交得到，则的面积是_____．
【变式4-2】如图，在正方形中，点E，F分别在边，上（不与端点重合），且，连接，过点A作于点G，连结，．若要求出与的面积的和，只需知道下列哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】将大小不同的两块透明等腰三角板和按如图所示摆放，使得它们的直角顶点重合，小三角板的一个顶点在大三角板的斜边上，与相交于点，连接．
(1)证明：；
(2)若，求△的面积．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在中，，，，则中线的长为______．
2．如图，在中，，平分，交于点，，则___________．
3．如图，等边的边在轴的负半轴上，双曲线过的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在中，，，D，E，F分别是，，边上的点，且，，则___．
5．如图，在中，，其中，，若点是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是_____．
6．如图，在等边中，，点是边上的一动点（不与点，重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点．在点运动的过程中，线段比的最小值为______．
7．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边于点；②分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧在内交于点；③作射线交边于点．若，则_______．
8．如图，在四边形中，平分，，．
(1)求的值；
(2)如果，求四边形的面积．
9．如图，在矩形中，E是上的一点，沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上．
(1)求证：；
10．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
11．已知E是外一点，D是所在平面内一点，且满足，．
(1)如图1，点D在外，求证：．
(2)如图2，点D在边上，与交于点F，若，，，，求的值．
12．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
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