专题05 相似三角形中的手拉手模型（专项训练）数学新教材人教版九年级下册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形中的手拉手模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的手拉手模型（重） 题型2菱形中的手拉手模型（难） 题型3矩形中的手拉手模型（难） 题型4正方形中的手拉手模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形中的手拉手模型 1.(25-26九年级上全国期末)如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8,点D,E分别是 边BC,AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为Q. ① ② (备用图) (①当a=0和a=180时，求D的值. AE (②)试判断当0°≤a<360时，BD的大小有无变化，请仅就图②的情况给出证明. (3)当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，求线段BD的长。 2.(26-27九年级上·福建莆田阶段检测)R1△ABC绕点B逆时针旋转得到Rt△EBD,连接EADC,已 知BC=6,AC=8,∠CBD=∠ABE=a(0<a<90） 1/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 AE ()如图1，直接写出CD的值： (②)如图2，取AB的中点F,连接CF并延长，在旋转过程中，点D在CF的延长线上时，延长ED交AC 于点G,求AG的长： (3)如图3，在旋转过程中，连接AD,当AD⊥AE时，求线段AD的长. 3.(26-27九年级上山东济南阶段检测)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置， 固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和 ADE中，AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90° M B 图1 图2 图3 (1)【初步感知】 BD 如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究CE的值。 (2)【深入探究】 如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，求DM的长. (3)【拓展延伸】 在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三 角形CDE的面积；若不能，请说明理由 ◆题型2菱形中的手拉手模型 4.(25-26九年级下河南信阳·阶段检测)如图(1)，点M在菱形ABCD的对角线AC上，MN∥BC交 2114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD于点N,MG∥CD交BC于点G,∠ABC=120°， D 图(1) 图(2) 备用图 (I)O连接GN,aMNG的形状为 ②AM:BG的值为 (②)将四边形MNCG绕点C顺时针旋转(0°<旋转角<360°)，连接AM,BG,CM,如图(2)，在旋转过 程中，试探究AM与BG之间的数量关系是否发生变化，并说明理由： (3)连接GN,AM,CM.若AC=8,CM=2,则在四边形MNCG绕点C旋转的过程中，当GN∥AB时， 直接写出AM的长为 5.(2026辽宁沈阳·三模)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.将△BCD绕点B 按逆时针方向旋转得到△BCD',C,D两点旋转后的对应点分别为C,D',旋转角为a(0<a<I80). D D B A(C) B B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D落在对角线AC上时，连接DD',求证：△DBD'是等边三角形： (②)如图2，在旋转过程中，C"D'IBD时，CD交AD于点E,试判断四边形BDED的形状，并说明理由： (3)如图3，在旋转过程中，当BC'与AB重合时，连接CD',延长DB交CD'于点P,若AB=3,BD=2, ①求线段CD'的长： ②直接写出线段CP的长为， 6.(22-23九年级下山西太原期中)【问题情境】如图1，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BC=8,AB=4,点D,E分别是边BC,AC的中点，连接DE.如图2，将△EDC绕点C按 顺时针方向旋转，记旋转角为. 3114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE 【观察发现】如图2，当0°≤a<180时，BD 【方法迁移】如图3，矩形ABCD中，AB=6,AD=8.点E,F分别是AB,AD的中点.四边形AEGF为矩 形，连接CG.如图4，将矩形AEGF绕点A逆时针旋转.旋转角为α(0°≤a<180）,连接DF.请探究矩 形AEGF旋转过程中，DF与CG的数量关系： 【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形ABCD改为“平行四边形ABCD”且∠D=60°，矩形AEGF改为 DE “平行四边形ABGF”,其他条件不变，如图6，在平行四边形AEGF旋转过程中，直接写出CG E D 图1 图2 图3 图4 图5 图6 ◆题型3矩形中的手拉手模型 7.(2025河南南阳·二模)(1)在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形ABCD 正方形CEFG.将正方形CEFG绕点C旋转，连接BE,DG,则BE与DG的数量关系为一； (2)创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形ABCD和矩形 DEFG中，AD=2DE,AB=2DG,AD=DG,将矩形DEFG绕点D旋转，直线AECG交于点P, AE与CG有怎样的数量关系？请你给出证明 (3)善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,点E 是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=I:2,连接BGDG,BE，,则 BG+。BE的最小值是— 4114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B G G 图1 图2 图3 8.(2026山西长治三模)综合与探究 【问题情境】 活动课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.小星拿出两张全等的矩形纸片ABCD 和AEFG,重叠放置，矩形纸片ABCD固定不动，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转.已知AB=6, BC=8 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点E落在边AD上，点G落在线段BA的延长线上时，连接AC,AF,CF,试判断 △ACF的形状，并说明理由， 【思考探究】 (2)如图2，当点G落在边BC上时，连接DF交AG于点O,求证：O是DF的中点. 【拓展延伸】 (3)在矩形纸片AEFG旋转的过程中，当AD∥FG时，直线CG与直线AD,EF分别交于点P,),请 直接写出P№的长. 9.(2025山西朔州二模)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动. 在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG,其 中点E,F分别是点B,C的对应点 5114 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D G D G 图1 图2 备用图 ()如图1，连接CF,BE,猜想CF,BE的数量关系并说明理由， (2)如图2，隐去对角线，当点E恰好落在边CD上时，连接BF交AE于点O ①求证：OF=OB. ②若将矩形AEFG沿AB向右平移，使得G恰好落在AD上，则平移的距离为 (3)若点F落在直线AD上，请直接写出CG的长. ◆题型4正方形中的手拉手模型 10.(2026:江苏徐州一模)已知，正方形ABCD与正方形AEFG. (I)如图，连接DE和BG交于点M,则∠EMG=_°： B G CF (2)如图，连接CF和BG求BG的值： E G (3)如图，正方形AEFG绕点A旋转，在旋转的过程中，当点F落在射线DA的延长线上时，若AD=2, 6114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG=2V2,在射线DB上是否存在一点P使得∠APF最大，若存在，直接写出DP的长；若不存在，请说 明理由 E 11.(25-26九年级上四川眉山期末)综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探 究： 【初步探究】 G 图1 图2 图3 如图1，己知Rt△ABC,∠ABC=90°，将△CBA绕点C顺时针旋转90°得△CDE,连接BE交CD于点P, EP AB 交CA于点Q:求证：PBBC: 【类比探究】 如图2，己知正方形CBAD,将正方形CBAD绕点C顺时针旋转45°得正方形CGFE,连接BE交CD于点 EP P,求PB的值； 【深入探究】 如图3，已知矩形CBAD中，∠ACB=30°，将矩形CBAD绕点C顺时针旋转得矩形CGFE,点E在AC延 长线上，连接BF,试探究线段AB与BF之间的数量关系，并写出证明过程： 【拓展延伸】 布流入探究的条作下，将起子C8D绕点c雀续顺时针旋转，点E在线段AC上，B= 7,则AG的长 7114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26九年级上·山西临汾·期末)综合与探究 问题情境： 如图1，已知点E在正方形ABCD的边BC上，点G在边AB的延长线上.正方形BEFG与正方形ABCD有 公共点A.连接AE、DF B G B G 图1 图2 G E G E 图3 图4 问题解决：(I)如图2，连接BD、BF,则BD和BF的位置关系是·DF和AE的数量关系是 操作探究： (2)如图3，将正方形BEFG绕点B按逆时针方向旋转(O°<a<90),试探究(1)中DF和AE的数量 关系是否仍然成立，并说明理由. (3)如图4，将正方形BEFG绕点B按逆时针方向旋转Q(0°<a<90),使点G、F、D恰好在同一条直 线上，若AB=4,BG=2V2,求AE的长. 综合攻坚·知能拔高 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1,(2026天津河北二模)如图，己知矩形ABCD,AB=6W5,AD=6,把矩形ABCD绕点A旋转得到 矩形AB'CD',点B,C,D的对应点分别是点B,C,D',当点D在线段AC上时，AB交CD于点E,连接 DE,线段DE的长为() D D B E A.√21 B.6 C.2W21 D.65 2.(25-26九年级上江苏苏州期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=8.将△ABC绕点A 按顺时针方向旋转，得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B',C',B'C'的延长线与边BC相交于点 D,连接BB,若CD=3,则线段BB'的长度为() B D 24 48 A. 5 R号 C.8 D. 3.(25-26九年级上江苏宿迁期末)如图，在正方形ABCD中，BC=2,点P是AB上一点，连接CP, 将CP绕点P按顺时针方向旋转90°得到P№，连接C巴，B0,则下列结论错误的是() B 9114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.当∠BCP=∠BCO时，AB=(N2+1BP B.当SCQ=SBPe时，BP=V5-1 C.当BO取最小值时，BP=二 D.当PB0=LCB0时，0)O 二、填空题 4.(25-26九年级上·浙江温州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B旋转，使 点C的对应点C'恰好落在△ABC的中线CD上，此时CC'=DC,若DE=1,则BC=一 A 5.(2025湖北襄阳模拟预测)如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PC=3PA,连接BP,将BP绕 点B顺时旋转90°得线段BQ,连接PO交BC于点E,若AB=2V2,则CE的长是 6.(2026河南三门峡二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5.将矩形ABCD绕点A旋转得到矩 形AEFG,点B,C,D的对应点分别为点E,F,G,连接BE.若直线EF恰好经过点D,则BE的长为- G E B 三、解答题 7.(2026广东深圳二模)【综合探究】 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这 个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为(0°<a<360) B B 图1 图2 备用图 备用图 AE (①)【初步感知】如图1，连接AE'CD:将三角形纸片BDE绕点B旋转，求CD的值： (②)【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长 线上时，延长ED交AC于点G,求CG的长： (3)【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的 直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度：若不能，请说明理由. 8.(25-26九年级上四川达州期末)(1)如图，正方形ABCD与等腰直角△AEF有公共顶点A, ∠EAF=90°，连接BE,DF,将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,则 BE DE B 图1 图2 图3 (2)如图2，矩形ABCD与RtAAEF有公共顶点A,∠EAF=90°，且AD=2AB,AF=2AE,连接BE,DF」 BE 将RtAAEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,请求出DF的值及B的度数，并结 合图2进行说明； (3)若平行四边形ABCD与△AEF有公共顶点A,且 ∠BAD=∠EAF=a(0°<a<180),AD=kMB,AF=ME(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直 线BE,DF相交所成的锐角的度数为B,则： 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE ①DF ②请直接写出a和B之间的关系式： 9.(2026辽宁锦州：三模)数学活动课上，同学们将一个矩形用对角线分成两个全等的三角形纸片，固定 一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知矩形ABCD中，AB=3, BC=4 B 图1 图2 图3 (I)如图1，纸片△ABC绕点A旋转，当点C的对应点F在射线CD上时，求证：△ADF≌aCBA, (2)如图2，在纸片ABC绕点A旋转过程中，当AE与矩形对角线AC重合时，EF与AD交于点G,连接 CG并延长交AF于点H,过点A作AM⊥CH,垂足为点M,求CM的长， (3)如图3，在纸片ABC绕点A旋转过程中，当点B的对应点E在矩形对角线BD上时，EF与AD交于点G 延长FE交AC于点H,求△AHG的面积. 10.(25-26九年级上：甘肃兰州期中)背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的 位置摆放（点E小D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： 图1 图2 图3 (I)如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为 位置关系为 一；（直接写出答案) AE AB 1 (2)如图3，把背景中的正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD,且AG=AD2,AE=2'AB=5: 将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG的值是定值，请求出这个定值.（直接写出 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答案) 11.(25-26九年级上江西南昌期末)定义：如图2，△ABC与△ADE有公共顶点A,且△ABC△ADE, 我们称这两个三角形互为“旋转相似图形” B G 图1 图2 图3 图4 (I)知识理解：①如图1，若△ABC,△ADE都是等边三角形，则△ABC △ADE的“旋转相似图 形”（填“是”或“不是”） 如图2，△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， ②若∠B=100°，∠E=30°，则∠DAE= BD ③若AB=4'AD=6,AE=15,则AC= 若连接BD'CE,则CE (2)知识运用： 如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于E,∠DAC=∠DBC, 求证：①△AOD∽△BOC: ②△ACD和△ABE互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，且△ABD与△AGE互为“旋转相似图形”，若 AC=10,AD=4V2,求DE和BD的长. 12.(2026山东济南二模)【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形ABCD和正方形CEFG如图1摆放到一起，连接BE、DG,然后把正 方形CEFG绕点C顺时针旋转。 B 图1 图2 图3 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)小明发现，无论如何旋转，线段BE和DG的数量关系是 直线BE和DG位置关系是 (2)【类比探究】 连接AF、AC,延长BE交AF所在直线于点P,小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段AF与线段 BE的比值及∠APB的度数也是固定的.如图2，当正方形CEFG旋转至正方形ABCD外侧且B、C、G 三点共线时， ①求线段AF与线段BE的比值及∠APB的度数； ②如图3，连接BD交AC于点O,交AF于点H,当BC=35,AH=5PF时，求EC的长 14/14的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形中的手拉手模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的手拉手模型（重） 题型2菱形中的手拉手模型（难） 题型3矩形中的手拉手模型（难） 题型4正方形中的手拉手模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1三角形中的手拉手模型 1. AE V5 【答案】(DBD 2 (2) 如图2， D 当 时， 的大小没有变化， AE 图2 0°≤a<360° BD .·∠ECD=∠ACB ∴.∠ECA=∠DCB. 又C4c5 DC BC 2 .△ECA∽△DCB」 AE EC 5 BD DC 2 96m的长为45政 5 1154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确 寻找相似三角形解决问题. (I)①利用三角形的中位线定理即可解决问题；②证明DE川AB,再利用平行线分线段成比例定理即可解 决问题. AE AC (2)证明A4 CEABCD,推出BDBC,可得结论. (3)利用勾股定理求出AD,再利用(2)中结论即可解决问题. 【详解】(1)解：①当a=0°时， Rt△ABC中，∠B=90°， .AC=VAB2+BC2=V(8÷2)2+82=4V5, :点D、E分别是边BC、AC的中点， .AE=45÷2=25,BD=8÷2=4, AE 255 BD=4=2 ②如图1， 图1 由①知DEI‖AB,则LEDC=∠B=90°， 当a=180°时，则B、CD在同一条直线上， ∠B=∠D=90°， .AB∥DE, AC、BC AE BD AE AC 45 5 BDBC82· (2)略 (3)解：①如图3， 2154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 图3 AC=4V5CD=4CD⊥AD ∴AD=VAC2-CD2=V(45)}-42=8, :AD=BC,AB=DC,∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=4V5. ②如图4，连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P, A B E D 图4 :AC=4V5CD=4CD⊥AD .AD=VAC2-CD2=V(452-42=8, :点D、E分别是边BC、AC的中点， DE=4B×8=2到=2 ∴.AE=AD-DE=8-2=6. 由(2)，可得 AE√5 BD 2 .BD= 6125 55 2 综上所述， 2V5 BD的长为45或 5’ 2. 【答案】() 7 2 3154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)16v13 13 【分析】(I)证明△BCD∽△BAE,再根据相似三角形的性质即可求解； (2)延长CD交AE于点H,连接BH交DE于M,可证△AFH≌△BFC,进而可知ACBH是矩形，根据 等腰三角形的性质可知AH=EH=BC=6,根据勾股定理构造方程可知MH的长，即可求解； (3)过点B作BO⊥AE于O,过点D作DP⊥BO于P,可知ADPO是矩形，进而可证ADAE∽aDPB,根 据相似三角形的性质以及勾股定理构造方程可求得AQ,根据相似三角形的性质即可求解。 【详解】(1)解：由旋转可知，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, .'AB=BC2+AC2=10=BE, ∠CBD=∠ABE=a0°<a<90） BC BD 又 AB BE' ∴△BCDr△BAE, AE BE 5 ·CDBD3 (2)解：延长CD交AE于点H,连接BH交DE于M, H 、D M G B 由(I)得△BCD△BAE. .∠BAE=∠BCD ,CF是中线，∠ACB=90°， .CF=BF=AF=5. ∴.LBCF=∠FBC, .∠FBC=∠BAE, 在△AFH和△BFC中， [∠FBC=∠BAE BF=AF ∠BFC=∠AFH 4154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△MFHI≌aBFC(ASA), ..CF=FH, ∴ACBH是平行四边形， :∠ACB=90°， ∴.ACBH是矩形， .∠AHB=90°，BH=AC=8, .AB=BE, ∴.AH=EH=BC=6, 设MH=x, .∠EHB=∠HAC=9O°，∠AEG=∠HEM, .△AEG∽△HEM. MH EH 1 AGAE2' .AG=2x, 在△EHM和△BDM中， '∠EMH=∠BMD ∠EHM=∠BDM=90° EH=BD=6 .△EHM≌aBDM(AAS). .BM=EM=8-x, 由勾股定理可知：EM2=EH+MH2, 则(8-x=62+x2, 7 解得：x= 4 7 4G=2x=2: (3)解：过点B作BO⊥AE于，过点D作DP⊥BO于P, B 5154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AQP=∠DP9=∠DAQ=90° .ADPO是矩形， .∠ADP=90°，AQ=PD」 设AQ=PD=b :AB=BE,BO⊥AE. .A0=E0=b, .'AE=26. .∠ADP=∠BDE=90°. ∴.∠ADE=∠BDP, .∠EAD=∠DPB=90°， ∴.△DAE∽ADPB, AE PB ·DEBD' 2b PB 则8=6， .PR=36 2 在Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2 解得：b=123 或b=-123 13 13 (舍去)， .△DAE△DPB, AD PD DE BD' 12√13 则0 6 AD=16/13 13 3. 【答案】()5 6154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、11 (210 8 ()直角三角形CDE的面积为4或16或12或3 【分析】(I)先证明△MDE≌△ABC(SAS),得到∠DAE=∠BAC,AC=AE=5,再证明ACAEABAD,得 AB AD BD 3 到AC=AECE5: (2)由斜边中线得到AM=BM=CM=}AC= 2 2,结合∠ABD=∠ACE,得到∠ACE=90°，连接CE, BD 3 过A作AN⊥CE于N,则四边形ABCN是矩形，AB=CN=3,CE=2CW=6,代入CE-5,解得 BD=18 ，最后根据DM=BD-BM计算即可： (3)根据C,D,E三点分别为直角顶点分情况讨论，画出图形计算即可 【详解】(1)解：·AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90° ·.△MDE≌aMBC(SAS), ∠DAE=∠BAC,AC=AE=VAB2+BC2=5, ·.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD, 0 ∴.△CAEP△BAD. AB AD BD 3 AC-AE-CE5: (2)解：，点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上， .4=BM=C4=2AC=、 ∴.∠MBC=∠MCB. 由(I)得△CAEP△BAD AB AD BD 3 AC-AE-CE5'LABD=LACE' .∠ABC=90°=∠ABD+∠MBC=∠ACE+∠MCB,即∠ACE=90°， 连接CE,过A作AN⊥CE于N,则四边形ABCN是矩形，AB=CN=3, 7154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图2 .AC=AE=5, .CE=2CN=6. BDBD 3 .CE65,解得BDsl8 5, ·DM=BD-BM=18_5-1 5210: BD 3 (3)解：在旋转过程中，AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°，AC=AE=5’CE5, 如图，当AD在线段AC上时，此时DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形，CD=AC-AD=5-3=2, B :.S.cw-jDE.CD-1x2x4-4: 如图，当AD在射线CA上时，此时DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形，CD=AC+AD=5+3=8, D Bh Sm-0E-.CD-=x8x4=16, 如图，当DE⊥EC时，此时△CDE是直角三角形， 8154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 过点A作A0⊥EC于点2，则∠DEC=∠ADE=∠AQE=90°， ∴四边形ADE吧是矩形， .AD=EO=3,DE=A0=4. :AE=AC=5,AQ⊥EC, .EC=2EO=6 .5.mDE-ECx4x6-12: 如图，当DC⊥EC时，此时△CDE是直角三角形，过点A作A0⊥EC于点，交DE于点P,设CE=2x, E :AE=AC=5,AQ⊥EC, :E0=0=2Bc=x, :DC⊥EC,AQ⊥EC. .Pg∥DC =P=1,_P= Co PD CE CD2 .PE=PD=DE=2:CD=2P02 ∠ADE=∠POE=90°，∠APD=∠EP9, .aAPD∽aEPQ. AD PD32 ·EgP四：即xP0, 2 解得P=x, 3 9154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0-2m- 在Rt△DCE中DC2+CE2=DE2, 传e- 整理得x2=36 3 1 .S.DE=DC.EC- 3 48 综上，直角三角形CDE的面积为4或16或12或3， ◆题型2菱形中的手拉手模型 【答案】(1)①等边三角形：②V3 M=5 (2)不发生变化，即 理由：由旋转性质，得∠ACM=∠BCG, 4C-2y5a.5,Cw-26-5, 由(1)②得8C2a CG 2b AC CM ·BCCG ∴.△ACM∽aBCG, AM-AC: ·BGBC (3)2W21或2W13 【分析】(1)①证明四边形MNCG是菱形，利用菱形的性质可得∠NMG=∠GCN=6O°，MN=MG,进 而利用等边三角形的判定可得△MNG是等边三角形： ②连接BD交AC于O,设MC与GN交于点S,设BO=a,GS=b,利用菱形的性质，结合直角三角形的 性质求得BC=2a,AC=23a,CG=2b,MC=2√3b,进而得到4M=2W5(a-b),BG=2(a-b),进 而可得答案： 10/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC CM (2)由旋转性质，得∠4CM=∠BCG,由(1)②可得BC=CG,故ACMABCG 理由相似三角形 的对应边成比例可得结论： (3)当四边形MNCG绕点C顺时针旋转120°时，∠DCN=120°，先证明B、C、V三点共线，再证明 NB满足题意，再根据已知求得BC=3,CG },利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定 理求得BG=2√7，由(2)中结论可求得AM=2V2i:当四边形MNCG绕点C顺时针旋转300°时，同理 可求解， 【详解】(I)解：①在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠ACB=∠ACD,ABI‖CD .∠BCD=180°-∠ABC=60°，则∠ACB=LACD=30°， .MN∥BC,MG∥CD, ∴.四边形MNCG是平行四边形，∠GMC=∠ACD=30°， ∴.∠GMC=∠MCG=30°， ..MG=GC, ∴四边形MNCG是菱形， ∴.∠NMG=∠GCN=60°，MW=MG, .△MNG是等边三角形； ②连接BD交AC于O,设MC与GN交于点S, D B GS 图(1) 在菱形ABCD中，AC⊥BD'∠ACB=30, 0A=0C=4C 2 设B0=a,则BC=2a,CO=√BC2-BO2=V3a, .AC=23a: 设GS=b 由①知四边形MNCG是菱形， 同理，可得CG=2b,MC=23b 11/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AM=AC-CM=21a-23b=23(a-b), BG=BC-CG=2a-2b=2(a-b), 4M25a-b=5,即M:BG :.BG 2(a-b) 值为 (2)略 (3)解：如图，当四边形MNCG绕点C顺时针旋转120°时，∠DCN=120°， D B CE :LBCD=60°， .∠BCD+∠DCN=180°， ∴.B、C、N三点共线， ,四边形MNCG是菱形， .CN=CG,∠GCN=60° ∴.△GCN是等边三角形，则∠CNG=60°=∠BCD, .CD∥GN,又AB∥CD, ∴.GN∥AB满足题意， 由(1)②知，BC=2a,AC=2V3a,CG=2b,MC=2V3b, .AC=8,CM=2, .2W3a=8,23b=2, BC=2a=8=8v3 8-9.w-0后25 过G作GE⊥CN于E,则∠CGE=90°-∠GCN=30° ∴C6=cG5.则GE=Cc-cB 23 3 ∴.Rt△BEG中，BE=BC+CE=3V3, ∴.BG=VBE2+GE2=V35+1P=2万， 12/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM :BG =5 AM=V3BG=2√21： 如图，当四边形MNCG绕点C顺时针旋转300°时，∠NCD=360°-300°=60°， D MG :∠BCD=60° .∠BCD=∠NCD=60°， .B、C、N三点共线， ,四边形MNCG是菱形， .CN=CG,∠GCN=60°」 ∴.△GC是等边三角形，则LCNG=60°=∠BCD CD∥G,又AB∥CD, ∴GN∥AB满足题意， 过G作GF⊥CN于F,则∠CGF=90°-∠GCN=30°， 同理可得CF= 3’GF=1' 六Rt△BFG中，BF=BC-CF=7 3 2 ..BG=BF2+GF2 75 +Ps 2v39 3 3 AM :BG =√3 .AM=3BG=213 综上，AM的值为221或2√3 5. 【答案】(I)证明：由旋转的性质得出BD=BD', ,四边形ABCD是菱形， .∠DCD'=∠BCD',CD=BC, 13/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又CD'=CD', ·.aCDD'≌aCBD'(SAS) ∴DD'=BD', ∴.BD=BD'=DD', ∴，△DBD'是等边三角形： (2)四边形BDED'是菱形，理由如下： 由旋转的性质可知：BD=BD',∠CDB=∠C'D'B, :四边形ABCD是菱形， .∠CDB=∠ADB. .∠C'D'B=∠ADB. C'D'BD ∴.∠CD'B+∠D'BD=180° ,∠ADB+∠D'BD=180°， ED∥D'B, CD'll BD ∴四边形DED'B是平行四边形， 又，BD=BD', ,四边形DED'B是菱形 3)0V209 ②3V209 3 13 【分析】(I)由旋转的性质得出BD=BD',由菱形的性质得出∠DCD'=∠BCD',CD=BC,证明 △CDD'≌aCBD'(SAS),由全等三角形的性质即可得出DD'=BD',进而可得出BD=BD'=DD' (2)由旋转的性质可知：BD=BD',∠CDB=∠C'D'B,由菱形的性质得出∠CDB=∠ADB,等量代换可 得出∠C"D'B=∠ADB,由平行线的性质得出∠CD'B+∠D'BD=18O°，等量代换可得出 ∠ADB+∠D'BD=180°，即可证明CD'I‖BD,最后由菱形的判定定理求解即可. (3)①连接DD交C"B于点H,由旋转的性质进一步得出AB垂直平分DD',即可得出∠AHD=90°， DD=2DH,由菱形的性质进一步得出AO=√AD2-DO2=2N2,∠CDD'=90°，由等面积法得出 DH=42 3 即可得出DD=8 3，最后由勾股定理即可得出答案。 14/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②延长AH交CD于点太证明PHK DDC,白相似三角形的性质可得出HK=. 2, DK-CK-1DC=209 2 ,再证明，PKBPCD由相似三角形的性质可得出pK· 进而可求出CP 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：①连接DD'交C"B于点H, D O A(C) H P 在菱形ABCD中CD=C'D」 由旋转的性质得出BD=BD',CD=CD', ..CD=CD' .AB垂直平分DD', .∠AHD=90°，DD'=2DH, ,四边形ABCD是菱形， 4D-CD-3 DO1 ACLBD:BICD .A0=VAD2-D02=2V2,∠CDD'=∠AHD=90°， DDB 即2W2×2=DH×3, DH=42 DD'=&2 3, 在 中，CD'=VDD2+DC2 8√2 +32=V209 RtADD'C 3 3 ②延长AH交CD'于点K, 15/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A(C) D' HK∥DC,且D'H:DD=I:2, .△D'HK∽aD'DC, HK D'K 1 ∴.D'H_HK-DK_1,即32092， D'D DC D'C 2 3 HK 3.x-K-c.2 2 6 2 .BH =NBD2-DH2 4 4v2)2 3 3 325 :BK-HK-BH-2-3- BK∥DC, .△PKBPCD KB PK KB PK CDPC,即CDPK+CK, 5 = PK 3 PK+V209, 6 解得：PK=5V209 78, :CP=CK+PK=209+5V2093W209 6 78 13 6. 【答案】观察发现： 2:方法迁移： DF 4 CG5:拓展延伸： 4V13 13 【分析】观察发现：由勾股定理求出AC=4V5,根据三角形中位线定理求出DE=2,CD=4,CE=2V5,再证 明△BCD~△ACE可得结论： 16/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法迁移：由勾股定理求出AG=5,AC=10,再证明△ACG~△ADF可得结论； 拓展延伸：先求出AG=V3,AC=2V3,再证明△ACG-△ADF可得结论. 【详解】观察发现：如图1，：D,E分别是BC,AB的中点， ∴.DE是△ABC的中位线， D6∥4服.DE=4B-x4=2D-号C=x8=4 2 2 由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=V42+82=45, Bc-4c=25, 如图2，由旋转得∠ECD=∠ACB, ·.∠ECD+∠ACD=∠ACB+∠ACD,即LBCD=∠ACE, BC_AC=2. 又：cDCE ∴.△BCD~△ACE ·5=CE=255 BD DC 4 2' 5 故答案为 DF 4 方法迁移： CG 5 理由如下： 连接AG、AC,如图， :AB=6,AD=8,点E,F分别是AB,AD的中点， AF 2×8=4AB= 2×6=3, 在矩形AEGF中∠AEG=90,EG=AF=4, 在Rt△AEG中，由勾股定理得AG=V32+42=5, 17/54 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可求得AC=10, .∠FAG=∠CAD」 ∴∠FAG+∠GAD=∠CAD叶∠GAD, ∴.∠FAD=∠CAG. AF AG 1 又：AD=AC2: ∴.△ACG-aADF DF AF 4 ·CG4G5: 拓展延伸：连接AG,过点A作AH⊥EG于点H,如图5， D 图5 :AB=6,AD=8,点E,F分别是AB,AD的中点，四边形ABCD,EGFA分别是平行四边形， ∴.EG∥BC,AE=3,AF=EG=4, ∴.∠AEG=∠B, ∴∠EAH=30°， m-4- ∴.AH=VAE2-EH2 3V5 = 2 .GH=EG-EH=4-3_5 2 21 ∴.AG=VAH2+GH 同理可得，AC=2W3; 如图6，连接AG,AC, 18154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图6 由旋转得， ∠GAF=∠CAD, ∴.∠DAF=∠CAG, :% 2=2, .△ACG~ADF, DF AD 8 413 ·cG4C2W1313 4V13 故答案为： 13· ◆题型3矩形中的手拉手模型 1. 【答案】(1)DG=BE: (2)CG=2AE,理由如下： 在矩形ABCD和矩形DEFG中， ∠GDE=∠ADC=90°. ∴.∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG. ∴.LGDC=∠ADE 又：AD=2DE,AB=2DG,AD=DG, DG_DC=2, DE AD .△CDG∽△ADE, CG_DG=2 ·AEDE .CG=2AE. (3)210 19154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)证明△DCG≌aBCE(SAS),即可得到DG=BE; (2)证明△CDGPAADE,即可得到CG=2AE; (3)证明*DCGABCE,得DG-2BE,作BEN⊥BC于N,GM1BC交BC的延长线于M,然后证明 AFCACGM角名--2.所以CM=1得点G的银动流是直线MG:作点D关T有线G 的对称点G',连接BG交MG于G,此时BG+GD的值最小，最小值为BG,然后根据勾股定理即可解决 问题 【详解】解：(1)：正方形ABCD, .∠BCD=90°，CD=CB. ,四边形CEFG是正方形， .∠ECG=90°，CG=CE, ∴.∠ECG=∠BCD=90°， ∴.∠BCE=∠DCG, 在aBCE和△DCG中， BC=DC ∠BCE=∠DCG CE=CG .aDCG≌aBCE(SAS), .'DG=BE, 故答案为：DG=BE: (2)略 (3):四边形ECGF、四边形ABCD都是矩形， ∴.CD=AB=2,AD=BC=4,∠ECG=∠BCD=90°， .∠DCG=∠BCE. .CD:CB=2:4=1:2,CG:CE=1:2, .CD:CB=CG:CE, .∠DCG=∠BCE, ∴.ADCGABCE, DG CG 1 ·∠BEC=∠DGC'BECE2' 20/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG-1BE 作EN⊥BC于N,GM⊥BC交BC的延长线于M如图3， 图3 .∠ENC=∠CMG=∠ECG=90°， ∴.∠ECN+∠GCM=LECN+∠CEN=90°， .∠GCM=∠CEN, .△ECN∽△CGM, EC-EN -2. ·CGCM .EN=AB=2, CM=1, ∴.点G的运动轨迹是直线MG, 作点D关于直线MG的对称点G,连接BG交MG于G,此时BG+GD的值最小，最小值为BG, ..DG=BE .BG+BE=BG+DG 2 1 :.BG+与BE的最小值就是(BG+DG)的最小值， :BG=V22+6=2W10, 1 BG+)BE的最小值为2、10： 2 故答案为：210 8. 【答案】(1)等腰直角三角形 理由：由题意知，AB=GF,BC=AG,∠B=∠G=90°， ,△ABC≌AFGA(SAS), 21/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=AF,∠ACB=∠FAG ∴.∠GAF+∠BAC=∠ACB+∠BAC=90°， .∠FAC=90°， :∴△FAC是等腰直角三角形. (2)证明：由题意可得，AG=AD,FG=CD=AB, 如图1，过点D作DM⊥AG于点M,连接DG, D 图1 .∴.∠ADG=∠AGD AD BC. .∠ADG=∠DGC, ∴，∠AGD=∠DGC 又∠C=90°，DM⊥AG」 .DC=DM, ..FG=DM 在△FOG和△DOM中， ∠FGO=∠DMO=909 ∠GOF=∠MOD FG=DM ∴aFOG≌aDOM(AAS), ∴.OF=OD ∴O是DF的中点. 3)565成1917 14 或2 【分析】(1)证明△ABC≌aFGA(SMS),则AC=AF,∠ACB=∠FAG,证明∠FAC=90,即可得到结 论 (2)由题意可得，AG=AD,FG=CD=AB,如图1，过点D作DM⊥AG于点M,连接DG,证 22/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明△FOG≌aDOM(AAS),即可得到OF=OD: (3)分点G在BA的延长线上和点G在AB的延长线上两种情况进行解答即可， 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：①当点G在BA的延长线上时，如图3， D B C:AD‖BC ∴.△GAP∽△GBC GA AP 8 AP GBBC,即148， 解得A=32 7 3210 .PE=AE-AP=6- 77· FG∥AD, ∴.AGFO∽aPEQ GF FO EP EO' 68+E2 即10E0, 解得Q=5 2 在Rt△PEQ中，由勾股定理得 PO=EP2+EO 9 565 ②当点G在AB的延长线上时，如图，同①可得△PDC∽aPAG, 23/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ,即 PD CD PD 6 G 9 PA AG PD+88 解得PD=24. ADIIFG,AD‖BC, .GFI‖BC, .∠QGF=∠GCB .∠QFG=∠GBC=90° ∴.△QFG∽aGBC GF FO6 FO CB BG 即88-6' 解得0- BP=BA+AD+DP=6+8+24=38,EQ=EF+FQ=8+3-19 22 香Ra0中闪股定理得P0-P+0-8+9)- 5v651917 综上所述，P四的长为14或 2 9. 【答案】(1) CF 5 BE4,理由如下： :矩形ABCD中，∠ABC=90°，AC是对角线，AB=8,AD=6, ..BC=AD=6 .AC=VAB2+BC2=V82+62=10, 由旋转的性质可得，AB=AE=8,AC=AF=10,∠CAF=∠BAE, AC AF5 AB AE 4' ∴.△CAF△BAE, 24/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF AC 5 BE AB 4 (2) ①证明：如图所示，过点B作BM⊥AE于点M,连接BE, M A 由旋转的性质可得，AB=AE=8, ∴.∠ABE=∠AEB, :AB∥CD .∠ABE=∠CEB, ∴.∠AEB=∠CEB 又∠C=90°，BM⊥AE, .BC=BM. 由旋转可知，EF=BC, :EF =BM, .∠FEA=∠BM0=90°，∠EOF=∠MOB. ∴.AEOF≌AMOB(AAS), :.OF=OB: @8 g)16i0t4265 5或5 AC AF 5 【分析】(1)由旋转的性质可得，AB=AE=8,AC=AF=10'∠CAF=∠BAE,可得ABAE4’ CF AC 5 进而证明CAF6BAE:即可得出BE=AB4: (2)①过点B作BM⊥AE于点M,连接BE,由旋转的性质可得，AB=AE=8,可得∠ABE=∠AEB, 25/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 进而得∠AEB=∠CEB,得BC=BM,由旋转可知EF=BC,因此EF=BM,进而证明 △EOF≌△MOB(AAS),即可得出结论： ②过点G作GH⊥AD于点H,根据题意，若将矩形AEFG沿AB向右平移，使得G恰好落在AD上，则平 AG AB 68 移的距离为GH的长度，先证明△GAH∽△BAM,得GHBM,由①得，BM=BC=6,即GH6: 求出GH即可； (3)分两种情况进行讨论，第一种情况，过点G作GH⊥AD于点H,过点G作GK⊥BC于点K,易得 四边形HKCD是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出CG的长；第二种情况，过点G作GH⊥AD交 DA的延长线于点H,过点G作GM⊥BC交CB的延长线于点M,易得四边形ABMH是矩形，根据等面 积法和勾股定理即可求出CG的长， 【详解】(1)略 (2)①略 ②如图所示，过点G作GH⊥AD于点H, B 根据题意，若将矩形AEFG沿AB向右平移，使得G恰好落在AD上，则平移的距离为GH的长度， 由旋转的性质可得，AG=AD=6,∠EAG=∠DAB, .∠EAG-∠DAE=∠DAB-∠DAE, ∴.∠GAH=∠BAM 又：GH⊥AD,BM⊥AE, ∴∠GHA=∠BMA=90°， .△GAH∽△BAM, AG AB GH BM' 由①得，BM=BC=6, 68 GH 6 26/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .GH=9 (3)分两种情况进行讨论， 第一种情况，如图所示，过点G作GH⊥AD于点H,过点G作GK⊥BC于点K, H ,矩形 2二二 A BGH⊥ADGK⊥BC ABCD ∴四边形HKCD是矩形， .5GGF-AF.GMxGM 1 2 GH=24 5 AH=√AG2-GH= .HK=AB=8' AHl -BK=18 ..GK= +84 24 CK=6-1812 55, .CG=GK2+CK2 4V265 5: 第二种情况，如图所示，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H,过点G作GM⊥BC交CB的延长线 于点M, 27/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ,矩形 E .GH⊥ADGM⊥BC ABCD ∴四边形ABMH是矩形， Sm-号4Gf-54r.6m,即时x6x8=x6+8x6n, 2 GH=24 HM=AB=8 AHl BM=18 GM=AB-GH=8-24_16 CM=BC+BM=6+ 8=48 5-5, 55, .CG=GM2+CM2 1610 5 4√26516W10 综上所述， cG的长为5°或6 ◆题型4正方形中的手拉手模型 10. 【答案】(1)90 (②)V2 (3)存在，DP=2V3 【分析】(I)利用正方形的性质得到边相等、角相等，通过SAS证明△DAE≌△BAG,得到对应角相等， 28/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再结合对顶角与三角形内角和，推导出∠EMG=90°： (2)连接ACAF,根据正方形对角线与边长的关系，得到ACAF与AB、AG的比例关系，同时推出 ∠CAF=∠BAG,从而证明△CAF∽aBAG(相似比为V2),进而得出CF与BG的比值为V2: (3)连接EG,AF交于点H,作过A,P,F的⊙0，证明∠APF=∠AOH,在Rt△AOH中，当AO越小 ∠AOH越大，又OA=OP,即OP越小时，∠AOH越大，接着证明当OP⊥DB时，OP最小，此时圆O 与射线DB相切于点P,∠APF达到最大，延长PO交⊙O于点Q,连接AQ,证明△DAP∽△DPF,利用三 角形相似求得答案。 【详解】(1)解：设AE、BG交于点N, B :正方形ABCD与正方形AEFG, ∴.AB=AD,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAD+∠BAE=∠EAG+∠BAE. .∠DAE=∠BAG .△DAE≌aBAG(SAS), .∠AED=∠AGB, ∠AGB+∠AWG=180°-90°=90°，∠BNE=∠AWG, ∴.∠AED+∠BNE=90°， .∠EMG=180°-（∠AED+∠BNE)=180°-90°=90°： (2)解：连接AC、AF, ,正方形ABCD与正方形AEFG, 29/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=V2AB,AF=V2AG,∠BAC=∠FAG=45°， AC AF=, ·∠CAF=∠BAG,且AB=AG .△CAF∽aBAG,相似比为V2, CF :.BG =2 (3)解：存在，DP=2V3,理由如下： 连接EG,AF交于点H, ·正方形AEFG的边长AG=2√2， .AE=EF=2√2，∠AEF=90°，EG⊥AF,AH=HF, 4F=VAE2+EF2=22+22)=4, .EG⊥AF,AH=HF ∴.EG所在的直线垂直平分AF, 作AF的垂直平分线直线EG,作直线AP的垂直平分线交EG于点O,连接OA,OF,OP, ∴.OA=OF=OP, .A,F,P都在⊙0上，如图所示： D D H G ..OH =OH,OA=OF,AH=FH, aOAH≌△OFH, .∠AOH=∠FOH .∠AOH+∠FOH=∠AOF, :∠A0H=)∠A0r, 30/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LAPF=∠AOF .∠APF=∠AOH, .当∠AOH达到最大值时，∠APF最大， 在△1On中，∠0=90AHF-2, .∠AOH随AO的减小而越大， 又：OA=OP ∴，即当OP取最小值时，∠AOH最大， 过点O作OU⊥DB于U,如图所示： B D H .OU≤OP. ∴当P与U重合时，即OP⊥DB时，OP最小， 此时圆O与射线DB相切于点P,OP最小，此时∠APF达到最大， 如图所示，∠OPD=90°，延长PO交⊙0于点Q,连接AQ: B PQ是⊙0的直径， .∠PAQ=90° 又∠0PD=90°， 31/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DPA+∠APg=∠APg+∠PgA=90 .∠DPA=∠PgA .∠PQA=∠PFA ∴.∠DPA=∠PFA, .∠PDA=∠PDF, ∴△DAPSADPE, DA DP DP-DF ·DA=2,AF=4 DF=DF+AF=2+4=6, 2 DP .DP6, :.DP=23; 故存在点P,DP=2√5 11. 【答案】 初步探究：证明：，△CBA绕点C顺时针旋转90°得△CDE, ∴.ACBA≌△CDE,∠BCD=90° ∴，AB=DE,∠CDE=∠ABC=90° .∠CDE=BCD=90°， .DE∥BC .△EPDABPC, EP DE ·PBBC 又DE=AB, EPAB PBBCi EP2 类比探究：PB2 深入探究：BF=V13AB 拓展延伸：1 32/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】初步探究：由旋转性质，△CBA≌aCDE,故AB=DE,∠CDE=∠ABC=90°，由角的关系得到 EPDE DE∥BC,再由EPDABPC,得到PB-BC,线段代换即可. 类比探究：设正方形边长为a,过E作EM⊥CD于M,由旋转角∠ECB=45°，得到∠ECM=45°， △CEM是等腰直角三角形，因此EM=CM= 2a,再有EPMABPC,由相似三角形对应边成比例： √2 EP_EM=2 a 2 PB BC 2 深入探究：连接CF,DF,用SAS证△ACD≌aFCD,得到AD=DF,∠CDF=90°；设AB=x,由30°直 角三角形性质：AC=2AB=2x,BC=V3x;矩形中AD=BC=V3x,由全等得AF=2AD=23x,在 BF=13 Rt△BAF中BF=√AB2+AF2=V3x,故AB 拓展延伸：由0直角三角形性质求出AC=2AB=)，BC=VAC2-AB2=V21 2,连接AG 由旋转得 △ACG为直角三角形，利用勾股定理求出AG即可. 【详解】初步探究：略 类比探究： 解：设正方形边长为a,则CB=CD=a,旋转45°后CE=CB=a,∠ECD=45° 如图，过E作EM⊥CD于M, D B C ∠ECD=45°， BM=Mc=2 . ·EMI‖BC .△EPM∽aBPC, 岭 PB BC a 2 33/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 深入探究： 解：如图，连接CF,连接DF, ,矩形CBAD绕点C顺时针旋转得到矩形CGFE, :.CA=CF,∠ACF=∠BCG,∠BCD=∠GCE=90° 点E在AC的延长线上， ∴.∠ACG=180°-∠GCE=180°-90°=90°， .∠BCG=∠ACB+∠ACG=30°+90°=120° ∴.旋转角为120° ∴.∠ACF=120° .∠BCD=90°」 ∴.∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-30°=60°， :.∠DCF=∠ACF-∠ACD=120°-60°=60°， 即∠ACD=∠DCF AC=FC 在 和 中： ∠ACD=∠FCD △ACD AFCD CD=CD .△ACD≌aFCD(SAS) .AD=DF,∠CDF=∠CAD=90° ∠ADC+∠FDC=180°，即点A,D,F在同一直线上， .D为AF的中点. 设AB=x,在R△ABC中，∠ACB=30°， .'AC=2AB=2x, :.AD=BC=VAC2-AB2=(2x)-x=x, ∴.AF=2AD=2N5x」 在RtoBAF中，BF=VAB+AF2=Vx2+(2W3x)=V3x, 34/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF =13AB 拓展延伸： 解：如图，连接AG」 D G 在RaBC中，B= 7,∠ACB=30 AC=24B=2 7, BC=VAC2-AB= 7 ,矩形CBAD绕点C顺时针旋转得到矩形CGFE,点E在线段AC上， ·∠CEF=∠CDA=90o, BC-CG=21 7 .EF ICG. .∠ACG=90°， ∴.AG=VAC2+CG2 故答案为：1， 12. 【答案】(I)BD⊥BF,DF=V2AE: (2)DF和AE的数量关系仍然成立，理由如下： 连接BD,BF 由（山知∠ABD=∠BBF=45,DB-BF=V2. AB BE ∴.∠ABD-∠EBD=∠EBF-∠EBD. 即∠ABE=∠DBF, 35/54 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ADBF∽△ABE, DF_DB= AE AB .DF=√2AE: B (3)25-2 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，构造辅助线证三角形相似是解 题的关键 (1)根据正方形对角线平分内角得出∠DBF=9O°，进而得出BD,BF的关系；证△ABE∽aDBF从而得出 DF,AE的数量关系： (2)②连接BD.BF,证ADERSABE:由花B5即可求解 DF DB (3)连接BD,BF,根据勾股定理求出DG,再根据DF=DG-FG求出DF,最后根据DF=V2AE求得 AE即可. 【详解】解：(1)在正方形ABCD,BEFG中，∠DBC=45°，∠EBF=45°， ∴.∠DBF=∠DBE+∠EBF=90°， BD⊥BF, 在RtAABD中，∠DAB=90°，AB=AD DB=2, DB=AD2+AB=2AB 4AB 在RtaBEF中，∠BEF=90,BE=EF, BF=2 、BF=√BE2+EF=V2BE'即B DB BF ABBE· .∠DBF=∠ABE=90°， ∴，△DBF∽△ABE 36/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF_DB= AE AB :DF =2AE, 故答案为：BD⊥BF,DF=V2AE: (2)略 (3)连接BD,BF, 在Rt△ABD中，AB=4, .DB=24B=42, 在Rt△DBG中，∠G=90°，BG=22, :.DG=JDB-BG-(4)-(22-2/6 在正方形BEFG中，FG=BG=2V2, .∴DF=DG-FG=2V6-22, 由(2)知，DF=V2AE, √2AE=26-2√2， .AE=25-2 D E B 综合攻坚知能拔高 37/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.C 2.D 3.C 二、填空题 1 532 4 6.3109f0 5或5 三、解答题 7. AE 5 【答案】()CD3 ac号 (3)能， AD的长是163 13 或4N3 【详解】(1)解 :'∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, .'AB=BE=10 由旋转得：∠CBD=∠ABE, BC_BD AB BE .△BCD∽△BAE, AE BE 10 5 ∴CD-BD631 (2)如图2，延长CD交AE于H,连接BH交DE于M, H N B 图2 38/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知：△BCD∽△BAE, .∠BAE=∠BCD. :CF是中线，∠ACB=90°， ..CF=AF=BF=5, .∠BCF=∠FBC, ∴∠FBC=∠BAE, .∠AFH=∠BFC, ∴.△AFH≌aBFC(ASA), .CF=FH, 四边形ACBH是平行四边形， .∠ACB=90° ∴.口ACBH是矩形， .∠AHB=90°，BH=AC=8, AB=BE, .AH=EH=BC=6, 设MH=x, ,∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM, ∴.△AEG∽△HEM, :MH_EH 1 AG AE 2' .AG=2x. :EH=BD=6,∠EMH=∠BMD,∠EHM=∠BDM=90°， .△EHM≌aBDM(AAS), .BM=EM=8-x, 由勾股定理得：EM2=EH+MH2,即(8-x=62+x2, 南翻名 :4G=2×42: 77 .CG=AC-AG=8-7_9 22 39/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)分两种情况：①如图3，∠EAD=90°，过点B作B0⊥AE于O,过点D作DP1B0于P, 图3 .∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90° ∴四边形ADPO是矩形， ∴.∠ADP=90°，AQ=PD 设AQ=PD=b AB=BE,BQ⊥AE, ..AO=EO=b. .'.AE=26 .∠ADP=∠BDE=90°， ,∠ADE=∠BDP, .∠EAD=∠DPB=90°， ,△DAE∽△DPB, :AE、PB 26 PB DE=BD,即8=6， RtA BPD中，BP2+PD2=BD2, 12 6+ =62, 解得：6=123 13 （负值舍）， .△DAE∽△DPB, 12v13 PD即AD=13-’ ED BD' 40/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=16v13 13: ②如图4，∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于Q, 图4 ∴.∠BQE=∠AED=∠BDE=90° .四边形BDEO是矩形， .EQ=BD=6」 AB=BE,BQ⊥AE .AE=2EQ=12, 由勾股定理得：AD=VAE2+DE2=V122+82=4√13： 16v13 综上，4D的长是3 或43 8. BE 1 【答案】1)1,90：(2)0DF=2B=90°； 1 (3)①元；②a+B=180或a=B 【详解】解：(I)如图，延长DF分别交BE于点G,交AB于点M, B 在正方形ABCD和等腰直角三角形AEF中，AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90° .∠FAD=∠EAB, 41/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△FAD≌aEAB(SAS)」 .∠ADF=∠ABE,DF=BE, BE :DE =1 :∠ADF+∠AMD=90,∠AMD=∠BMG, ∠ABE+∠BMG=90°， ∴.∠EGF=90°， :B=90°： (2)如图，延长DF交BE于点H, E B .AD=2AB,AF=2AE, AD AF ·.ABAE 2 .∠BAD=∠EAF=90°， ∴，∠FAD=∠EAB .△FAD△EAB, ∠AFD=∠AEB DF=2 BE :∠AFD+∠AFH=180°， ∴.∠AEH+∠AFH=180° .∠EAF=90」 ∴.∠EHF=180°-90°=90°， ∴DF⊥BE, 8月=w (3)①如图，延长DF交EB于点H, 42154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H .AD=kAB,AF =kAE, AD AF ·ABAE =k .∠BAD=∠EAF=&, .∠FAD=∠EAB, ,△FADEAB, DF_AF=k, 小BE=AE BE 1 ∴.DFk: ②a+B=180°或u=B, 由△FAD△EAB得∠AFD=∠AEB, :∠AFD+∠AFH=180°， ∴.∠AEB+∠AFH=180° :四边形AEHF的内角和为360°， ∴.∠EAF+∠EHF=180° 若ax为锐角，即∠EAF为锐角，如图，则∠EHF为钝角， HB C∠EAF+∠EHF=180°，∠DHB+∠EHF=180° ∴.∠EAF=∠DHB,即a=B; 若为钝角，如图， 43/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B H 则a+B=180° 故a+B=180°或a=B」 9. 【答案】(I)证明：如图1，四边形ABCD是矩形， ∴.BC=AD,∠B=∠ADC=90°， .∠ADF=180°-∠ADC=90°， .∠B=∠ADF=90°， 由△ABC旋转得，AC=AF, .RtAADF≌RtACBA(HL) 8W145 (2②cw的长为29 625 (3)。4HG的面积为208 【详解】(1)略： (2)解：如下图所示， 由旋转知，AE=AB=3,∠B=∠AEG=90°， A 图2 则∠D=∠AEG=90° .∠DAC=∠EAG. ∴△AEG∽△ADC :4G ADAC’ 44/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 AG ”45, AG=15 4 ·GD=AD-AG= 4” 在R△CDG中，CG=GD2+CD-4 4 AM⊥CH, ∴.∠AMG=∠D=90°， .∠AGM=∠CGD, ∴.△AGM∽aCGD AG、GM CG GD' 15 .4 GM V1451, 44 GM=3145 116, CM=CG+GM =8145 29 8V145 :CM的长为29 (3)解：如下图所示，连接FD,延长FH交BC于点N, 3 2 /Ic D 四边形 是矩形， E B NI C 图3 ABCD 1 ·AC=BD,OA= 1C。)B—5○。 45/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA, 由△ABC旋转得，AB=AE=3,∠OAB=∠EAF, .∠OBA=∠AEB,∠OBA=∠EAF, ∴.∠EAF=∠AEB, .AF I BD .∠1=∠2， ∠BAD=90°， ∴∠1+∠DBA=90°， :∠AEF=90°， ∴∠3+∠EAF=90°， '∠DBA=∠EAF, ∠1=∠3， AD=BC.BC=EF, :AD=EF, .AF=AF, △ADF≌△FEA(HL), ∴.∠ADF=∠AEF=90°，DF=AE=3, :∠ADC=90°， .∠ADC+∠ADF=180°， 点C、D、F共线， ∠1=∠2，∠1=∠3， ∴∠2=∠3. ..GA=GF, 设GA=GF=x,则GE=EF-GF=4-x, 在Rt△AEG中，AE2+GE2=AG, 3+-=,空 .AG=GF=25 , 46/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :GD=AD-AG=4-25-7 889 ∠ADF=∠FCN=90°，∠GFD=∠NFC, ∴△GFDANFC, 1 .GD-FD,即8=3， NC FC NC 6 :.NC=4 7 过点H作HⅢ⊥NC,HK⊥AD, AD‖BC. ∠HCN=∠HAD :∠AHG=∠CHN, ∴△AHG∽ACHN, .CN HI AG HK' 7 极即业4 P HK 25 HI+HK=3. 25孤+R=3, 1 HK=25 13 5m号4G服-52营- 2813208 625 :AAHG的面积为208· 10. 【答案】(I)BE=DG,BE⊥DG: (2) BE 1 解：DG=2,BE⊥DG,理由如下： 如图3，设BE与DG交于Q,BE与AG交于点P, 47/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 :4g=B1 AG AD 2'AE=2'AB=5' ∴.AG=4,AD=10 ,四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， .∠EAG=∠BAD=90° ∴.∠EAB=∠GAD AE AB 1 AG-AD2' .△EAB∽△GAD .BEAB1 ∴DGAD2·LBEA=LAGD' .∠APE=∠GPQ .∠EAP=∠GQP=90° .BE⊥DG: (3)DE2+BG=145. 【详解】(1)解：如图2，延长DG交BE于M,交AB于N, 图2 :四边形ABCD、四边形EFGA为正方形， AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠GAE=90°， ∴∠BAE=∠DAG .△DAG≌△BAE(SAS). .BE=DG,∠ADG=∠ABE, 48/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AND=∠BNM, .∠BMN=∠NAD=90°， .BE⊥DG, 故答案是：BE=DG,BE⊥DG: (2)略 (3)解：如图3，连接GE,BD, E 刀 PAA 图3 由(2)知，AG=4,AB=5,AD=10, .EG=AE2+AG2=22+42=20,BD2=AD2+AB2=102+52=125, 由(2)知∠G0P=90° :.∠GQP=∠EQD=∠BQD=∠BQG=90° .DE2+BG2=DQ+QE2+QG+QB2=EG+BD2=20+125=145 11. 【答案100是：②0：@10：号 (2) ①证明：：∠DAC=∠DBC,∠AOD=∠BOC, .△AODn△BOC: ②证明：，△AOD∽aBOC, AO DO B0C0: AO BO D0C0' .∠DOC=∠AOB, .△A0BADOC, .∠DCA=∠EBA, :∠ADC=90°，AE⊥BD, 49/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADC=∠AEB=90°， ∴，△ABE∽△ACD. :△ABC与△ACD有公共顶点A, ∴△ACD和△ABE互为“旋转相似图形”； (3)DE=4,BD=3V2 【详解】(I)解：①，△ABC,△ADE都是等边三角形， .CA=BA,EA=DA,∠CAB=∠EAD=60°， ∴.△ABC∽aADE, ,△ABC与△ADE有公共顶点A, ∴△ABC是△ADE的“旋转相似图形”： ②，△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， .△ABCP△ADE, ∴.∠D=∠B=100°. .∠DAE=180-∠D-∠E=50°： ③，△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， .△ABC△ADE, AB AC ADAE· :AB=4,AD=6,AE=15, .4_AC 615’ .AC=10: 连接BD,CE,如图： D 、B 图2 .△ABCn△ADE. AB AC ∴ADAE,∠BAC=∠DAE' 50154 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AD 6 2 ·∠BAC-∠BAE=∠DAE-LBAE'ACAE155' .∠BAD=∠CAE ∴.△ABD~△ACE, BD AD 2 CEAE5 (2)①略 ②略 (3)解：：△ABC为等腰直角三角形，AC=10, ∠ABC=90·∠BHC=45·4B=BC=94C=52, 2 点G为AC的中点， c-40=3. ,△ABD与△AGE互为“旋转相似图形”， .△ABDP△AGE, Q4D-AG5=v2,∠E4G=ZDAB'∠4DB=∠4EG :AD=4V2, .AE=4, .∠EAG+∠BAE=45°， .∠DAB+∠BAE=45, .∠DAE=45°， 如图，作EM⊥DA于点M, D B G 图4 .△AEM为等腰直角三角形， AM-EM-2 2 51/54 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DM AD-AM=22, ∴.DM=AM,即EM垂直平分AD ∴.DE=AE=VEM2+AM2=4,∠EAD=∠EDA=45°， ∴.∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， .∠AEG=180°-∠AED=90°， .∠ADB=∠AEG=90°， :BD=AB2-AD=32. 12. 【答案】(I)BE=DG,BE⊥DG (2①V2,45°：②V5 【详解】(I)解：·四边形ABCD、CEFG是正方形， ∴BC=CD.CE=CG,∠BCD=∠ECG=90° ∴.∠BCD+∠DCE=∠GCD+∠DCE, 即∠BCE=∠DCG, 在△BCE和△DCG中： BC=CD ∠BCE=∠DCG, CE=CG .△BCE≌aDCG(SAS). .BE =DG. 延长BE交CD于M,交DG于N, 由△BCE≌aDCG得∠CBE=∠CDG, ∠BMC=∠DMN,∠CBE+∠BMC=90°， ∠CDG+∠DMN=90°. ∴.∠DNM=90°. 即BE⊥DG 52/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B 图1 (2)解：①连接CF, :四边形ABCD、CEFG是正方形， ∴.AC=V2BC,CF=V2CE,∠ACB=∠FCE=45°， ∴∠ACB+∠ACE=∠FCE+∠ACE. 即LBCE=∠ACF, AC_CF-反， 且BCCE :AACF∽△BCE, ,AE_AC=N2,∠CAF=∠CBE, BE BC 设BE交AC于O, :∠BQC=∠AQP.∠CBE+∠BQC=135° ∠CAF+∠A0P=135°， .∠APB=45° D G 图2 ②连接CF,如图3所示， :BC=3N5,正方形ABCD, AC=BD-BC-310,04A-0B-OC=OD-310 由①得△ACFABCE,A =2,即AF=2BE' BE 53154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOH=∠ACF=90°，∠HAO=∠CAF, ∴△AOH∽△ACF, 又AC=2A0 .AF=2AH =10PF,AP=9PF, ∠ABH=∠APB=45°，∠BAP=∠BAH. ∴.△APBn△ABH, .AB2 AP.AH =9PF.5PF =45PF2, .AB=3V5PF, 又AB=35, .PF=1, AF=10 在R△4CF中，CF=AF2-AC-102-(B1o=i0, .CE-CF=5 D B 图3 54154可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形中的手拉手模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的手拉手模型（重） 题型2菱形中的手拉手模型（难） 题型3矩形中的手拉手模型（难） 题型4正方形中的手拉手模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形中的手拉手模型 1.(25-26九年级上全国期末)如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8,点D,E分别是 边BC,AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a, ① ② (备用图) AB (①当a=0和a=180时，求D的值. AE (②)试判断当0°≤4<360时，D的大小有无变化，请仅就图②的情况给出证明. (3)当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，求线段BD的长. 【答案】(1) AE 5 BD 2 (2) 如图2， 1175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当 时， 的大小没有变化， C AE 图2 0°≤a<360° BD ∠ECD=∠ACB, ∴.∠ECA=∠DCB」 又：C-Ac5 DC-BC2' ∴.△ECA∽△DCB, AE_EC BD DC 2 、125 ③BD的长为4V5或5， 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确 寻找相似三角形解决问题. (1)①利用三角形的中位线定理即可解决问题；②证明DE‖AB,再利用平行线分线段成比例定理即可解 决问题。 AE AC (2)证明。4 CEABCD,推出BD=BC,可得结论， (3)利用勾股定理求出AD,再利用(2)中结论即可解决问题. 【详解】(1)解：①当a=0°时， Rt△ABC中，∠B=90°， AC=VAB2+BC2=V8÷2)2+82=45, :点D、E分别是边BC、AC的中点， .AE=4V5÷2=2N5,BD=8÷2=4, AE 255 BD4-2· ②如图1， 2175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ------D 图1 -E 由①知DEI‖AB,则∠EDC=∠B=90°， 当a=180°时，则B、C、D在同一条直线上， :∠B=∠D=90°， .AB∥DE, AC BC AE BD' AE-AC=45-5 BD BC 8 2 (2)略 (3)解：①如图3， D 8h 图3 AC=4N5CD=4CD⊥AD .AD=VAC2-CD2=V(45)}-42=8, AD=BC,AB=DC,∠B=90°， .四边形ABCD是矩形， :.BD=AC=45. ②如图4，连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P, y D 图4 :AC=4W5CD=4CD⊥AD 3175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=VAC2-CD2=V(4V5)2-42=8, :点D、E分别是边BC、AC的中点， DE-4B=×8÷2)-2. 21 .AE=AD-DE=8-2=6, AE5 由(2)，可得 BD-2· BD=6-125 55 2 综上所述， 12V5 BD的长为45或S, 2.(26-27九年级上福建莆田阶段检测)Rt△ABC绕点B逆时针旋转得到Rt△EBD,连接EA,DC,己 知BC=6,AC=8,∠CBD=∠ABE=a0°<a<90） B 图1 图2 图3 AE (I)如图1，直接写出CD的值： (②)如图2，取AB的中点F,连接CF并延长，在旋转过程中，点D在CF的延长线上时，延长ED交AC 于点G,求AG的长： (3)如图3，在旋转过程中，连接AD,当AD⊥AE时，求线段AD的长. 【答案10号 7 ②2 ③16v13 13 【分析】(I)证明△BCD∽aBAE,再根据相似三角形的性质即可求解： (2)延长CD交AE于点H,连接BH交DE于M,可证△AFH≌△BFC,进而可知ACBH是矩形，根据 等腰三角形的性质可知AH=EH=BC=6,根据勾股定理构造方程可知MH的长，即可求解； 4175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)过点B作BO⊥AE于O,过点D作DP⊥BO于P,可知ADPO是矩形，进而可证△DAE∽aDPB,根 据相似三角形的性质以及勾股定理构造方程可求得AQ,根据相似三角形的性质即可求解， 【详解】(1)解：由旋转可知，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, .AB=BC2+AC2 =10=BE, ·.:∠CBD=∠ABE=a0°<a<90) BC BD 又 AB BE .△BCDABAE, AE BE 5 CD BD 3 (2)解：延长CD交AE于点H,连接BH交DE于M, H 、D M G B 由(I)得△BCDP△BAE. ∴.∠BAE=∠BCD ,CF是中线，∠ACB=90°， ..CF=BF=AF=5, ∴.∠BCF=∠FBC, ∴.∠FBC=∠BAE, 在△AFH和△BFC中， ∠FBC=∠BAE BE=AF ∠BFC=∠AFH .△AFH≌aBFC(ASA). ..CF=FH, 、.ACBH是平行四边形， ∠ACB=90°， 、ACBH是矩形， 5175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AHB=90°，BH=AC=8, AB=BE, .AH=EH =BC=6. 设MH=x, .'∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM, ∴.△AEG∽△HEM, MH EH 1 AGAE2' .'.AG=2x, 在△EHM和△BDM中， ∠EMH=∠BMD ∠EHM=∠BDM=90°， EH=BD=6 .△EHM≌aBDM(AAS), .BM=EM=8-x, 由勾股定理可知：EM2=EH+MH2, 则(8-x)2=62+x2, 7 解得：x=4 10-23. (3)解：过点B作BO1AE于O,过点D作DP⊥BO于P, ○ P .∠AQP=∠DP2=∠DAQ=90°， .ADPO是矩形， .∠ADP=90°，AQ=PD. 设AQ=PD=b :AB=BE,BQ⊥AE 6175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Ag=EQ=b」 .'AE=2b. :∠ADP=∠BDE=90°， ∠ADE=∠BDP, .'∠EAD=∠DPB=90° .△DAEADPB, AE PB ·DEBD' 2b PB 则8=6 .PB=3 2 在Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2, 3b=6, 解得：b=12v3 13 或b=-1213 (舍去)， 13 ,△DAE∽ADPB. AD PD ·DEBD' 1213 则AD=13-· 8 6 AD=163 13 3.(26-27九年级上山东济南阶段检测)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置， 固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和 ADE中，AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90° 7175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 (1)【初步感知】 BD 如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究CE的值. (2)【深入探究】 如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，求DM的长. (3)【拓展延伸】 在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三 角形CDE的面积：若不能，请说明理由， 3 【答案】（四 11 (②10 .48 3)直角三角形CDE的面积为4或16或12或13 【分析】(I)先证明△MDE≌△MBC(SAS),得到∠DAE=∠BAC,AC=AB=5,再证明△CAEPABAD,得 AB AD BD 3 到AC=AECE5 (②由斜边中线得到4M=BM=CM-4C-3.5合∠ABD-∠ACE:得到∠ACE-90连接CE BD 3 过A作AN⊥CE于N,则四边形ABCN是矩形，AB=CN=3,CE=2CN=6,代入CE=5,解得 BD=18 ,最后根据DM=BD-BM计算即可： (3)根据C,D,E三点分别为直角顶点分情况讨论，画出图形计算即可 【详解】(1)解：，AB=AD=3,BC=DE=4∠ABC=∠ADE=90° ∴.aMDE≌aABC(SAS). 8175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAE=∠BAC,AC=AE=VAB2+BC2=5, :.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD, 把 .△CAED△BAD, ABAD BD3 ·AC=AECE5 (2)解：：点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上， AM=BM=CM=号AC=多 2 ·.∠MBC=∠MCB 由(I)得△CAE△BAD. .AR=AD_BD 3 AC AE CE5'∠ABD=∠ACE ：.∠ABC=90°=∠ABD+∠MBC=∠ACE+∠MCB,即∠ACE=90°， 连接CE,过A作AN⊥CE于N,则四边形ABCN是矩形，AB=CN=3, E F 图2 AC=AE=5, .CE=2CW=6. BDBD 3 ·CE6 ,解得BD=18 ·DM=BD-BM=I85-u 5210 BD 3 (3)解：在旋转过程中，AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°，AC=AE=5’CE5' 如图，当AD在线段AC上时，此时DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形，CD=AC-AD=5-3=2, 9175 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D .S.CDE= DE.CD=2x2x4=4: 如图，当AD在射线CA上时，此时DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形，CD=AC+AD=5+3=8, D Bh :.S.--DE.CD=ix8x4=16, 如图，当DE⊥EC时，此时△CDE是直角三角形， B 过点A作A0⊥EC于点2，则∠DEC=∠ADE=∠AQE=90° ∴四边形ADE吧是矩形， .AD=E0=3,DE=A0=4, AE=AC=5,AQ⊥EC, .'.EC=2E0=6 ÷Se=)DE-EC=)x4x6=12, 2 如图，当DC⊥EC时，此时△CDE是直角三角形，过点A作A01EC于点卫，交DE于点P,设CE=2x, D 10/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AE=AC=5,AQ⊥EC, :E0=C0=)EC=x, ,DC⊥EC,Ag⊥EC. Pe∥DC, EO EP ∴C0PD 1,E型-P≌1 ，CECD2 .PEDDE-2.CD=2P ∠ADE=∠PE=90°，∠APD=∠EP9, .aAPD∽aEPg. AD PD 3 2 ∴E0Pg,即xPg, 解得P=3x, .CD=2P0=3x 4 在Rt△DCE中DC2+CE2=DE2, Gw-e 整理得x2=36 13 .SACDE DC.EC-1.4x 2 31313； 8 综上，直角三角形CDE的面积为4或16或12或13 ◆题型2菱形中的手拉手模型 4.(25-26九年级下·河南信阳阶段检测)如图(1)，点M在菱形ABCD的对角线AC上，MN∥BC交 CD于点N,MG∥CD交BC于点G,∠ABC=120°， 11/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) 备用图 (I)①连接GN,aMNG的形状为 ②AM:BG的值为 (2)将四边形MNCG绕点C顺时针旋转(0<旋转角<360)，连接AM,BG,CM,如图(2)，在旋转过 程中，试探究AM与BG之间的数量关系是否发生变化，并说明理由： (3)连接GN,AM,CM.若AC=8,CM=2,则在四边形MNCG绕点C旋转的过程中，当GN∥AB时， 直接写出AM的长为 【答案】(1)①等边三角形：②V3 AM (②)不发生变化，即BG 理由：由旋转性质，得∠ACM=∠BCG, 4C-2a-5.CM-2B6-5. 由1②得BC-2a CG 2b AC CM BC CG ∴△ACM∽aBCG, 能5， 3)2V21或213 【分析】(1)①证明四边形MNCG是菱形，利用菱形的性质可得∠NMG=∠GCN=60°，MW=MG,进 而利用等边三角形的判定可得△MNG是等边三角形： ②连接BD交AC于O,设MC与GN交于点S,设BO=a,GS=b,利用菱形的性质，结合直角三角形的 性质求得BC=2a,AC=2√3a,CG=2b,MC=2√3b,进而得到AM=2W5(a-b),BG=2(a-b),进 而可得答案： AC CM (2)由旋转性质，得∠4CM=∠BCG,由(1)②可得BC=CG,故。4 CMABCG,理由相似三角形 的对应边成比例可得结论； 12/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当四边形MNCG绕点C顺时针旋转120°时，∠DCN=120°，先证明B、C、N三点共线，再证明 WMAB满足题意，再根据己知求得BC=3，CGs3 3 ,利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定 理求得BG=2V7,由(2)中结论可求得AM=221;当四边形MNCG绕点C顺时针旋转300°时，同理 可求解。 【详解】(1)解：①在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠ACB=∠ACD,AB‖CD, ·.∠BCD=180°-∠ABC=60°，则∠ACB=∠ACD=30°， MN∥BC,MG∥CD, ∴四边形MNCG是平行四边形，∠GMC=∠ACD=30°， ∴.∠GMC=∠MCG=30°， ..MG=GC, ∴四边形MNCG是菱形， ∴.∠NMG=∠GCN=60°，MN=MG, ∴.△MNG是等边三角形： ②连接BD交AC于O,设MC与GN交于点S, B 图(1) 在菱形ABCD中，AC1BD∠ACB=30°， 0M=0c=号4c, 设B0=a,则BC=2a,CO=VBC2-B02=√3a, 、AC=2V3a; 设GS=b, 由①知四边形MNCG是菱形， 同理，可得CG=2b,MC=2V3b, ..AM AC-CM=2V3a-23b=23(a-b), BG=BC-CG=2a-2b=2(a-b) 13/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM25(a-D）-5.即 :BG 2(a-b) M:BG 的值为 (2)略 (3)解：如图，当四边形MNCG绕点C顺时针旋转120°时，∠DCN=120°， D G M ,∠BCD=60° .∠BCD+∠DCN=180°， ∴B、C、N三点共线， :四边形MNCG是菱形， :.CN=CG,∠GCN=60°， ∴.△GCN是等边三角形，则∠CNG=60°=∠BCD, .CD∥GN,又AB∥CD, ∴.GN∥AB满足题意， 由(1)②知，BC=2a,AC=23a,CG=2b,MC=2W3b, AC=8,CM=2, .2W3a=8,2V3b=2, BC=2a=8=8v5 万=3，CG=2b=2=2V3 过G作GE⊥CN于E,则∠CGE=90°-∠GCN=30°， cE=cG-5,则GE=CG-CE 231 3 .Rt△BEG中，BE=BC+CE=3V3, BG=VBE2+GE2=35+1P=27. AM :BG =3 .AM=3BG=2v21; 如图，当四边形MNCG绕点C顺时针旋转300°时，∠WCD=360°-300°=60° 14/75 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D N B MG :∠BCD=60°， ∴.∠BCD=∠NCD=60°， B、C、N三点共线， ,四边形MNCG是菱形， ∴.CN=CG,∠GCN=60° ∴△GCN是等边三角形，则∠CNG=60°=∠BCD ∴.CD∥GN,又AB∥CD, .GN∥AB满足题意， 过G作GF⊥CN于F,则∠CGF=90°-∠GCN=30°， 同理可得C你- 3，GF=1' 六RIABFG中，BF=BC-CF.7 3， 2 .BG=V√BF2+GF2 7N3 239 3 3 AM =3 BG .AM =3BG=2v13 综上，AM的值为2√21或23 5.(2026辽宁沈阳·三模)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.将△BCD绕点B 按逆时针方向旋转得到△BCD,C,D两点旋转后的对应点分别为C',D',旋转角为a(0<a<I80). 15/75 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A(C) B D 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D'落在对角线AC上时，连接DD',求证：△DBD'是等边三角形： (2②)如图2，在旋转过程中，CDI‖BD时，CD交AD于点E,试判断四边形BDED的形状，并说明理由： (3)如图3，在旋转过程中，当BC'与AB重合时，连接CD',延长DB交CD'于点P,若AB=3,BD=2, ①求线段CD'的长： ②直接写出线段CP的长为 【答案】(I)证明：由旋转的性质得出BD=BD', ,四边形ABCD是菱形， ∠DCD'=LBCD',CD=BC, 又CD'=CD', .aCDD'≌aCBD'(SMS), .'DD'=BD', .BD BD'=DD', ·△DBD'是等边三角形： (②)四边形BDED'是菱形，理由如下： 由旋转的性质可知：BD=BD',∠CDB=∠C"D'B :四边形ABCD是菱形， ∴.∠CDB=∠ADB. .∠C'D'B=∠ADB .C'D'll BD .∠C'D'B+∠D'BD=180°， .∠ADB+∠D'BD=180°， ∴.ED∥D'B, C'D'll BD 16175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴，四边形DED'B是平行四边形， 又，BD=BD', 四边形DEDB是菱形. 3)0V209 ②3V209 3 13 【分析】(I)由旋转的性质得出BD=BD',由菱形的性质得出∠DCD'=∠BCD',CD=BC,证明 △CDD'≌aCBD(SAS),由全等三角形的性质即可得出DD'=BD',进而可得出BD=BD'=DD', (2)由旋转的性质可知：BD=BD',∠CDB=∠C"D'B,由菱形的性质得出∠CDB=∠ADB,等量代换可 得出∠CD'B=∠ADB,由平行线的性质得出∠CD'B+∠D'BD=180°，等量代换可得出 ∠ADB+∠D'BD=18O°，即可证明CD'川BD,最后由菱形的判定定理求解即可： (3)①连接DD交C"B于点H,由旋转的性质进一步得出AB垂直平分DD',即可得出∠AHD=90°， DD=2DH,由菱形的性质进一步得出A0=VAD2-DO2=2V2,∠CDD'=90°，由等面积法得出 DH=4 3 即可得出DD=8V2 3,最后由勾股定理即可得出答案 ②延长H交CD于点太正明ADHK∽aDDC,由相似三角形的性质可得出HK 2, DK=CK=IDC2 6,再证明 PKB∽APCD'由相似三角形的性质可得出pK'进而可求出CP 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：①连接DD'交CB于点H, D A(C H B D' 在菱形ABCD中CD=C'D 由旋转的性质得出BD=BD,CD=C"D', ∴.CD=CD' .AB垂直平分DD', 17/75 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AHD=90°，DD'=2DH, :四边形ABCD是菱形， 4D-CD-3 DO 4CLBD ABICD ∴.A0=√AD2-DO2=2√2，∠CDD'=∠AHD=90°， BD-DH.AB, 即2√2×2=DH×3, DH=42 DD=82 3, 在 中，CD=VDD2+DC= 82)2 RUADD'C 3 32=V209 3 ②延长AH交CD'于点K, D O A(C) HB叭 K P D :HK∥DC,且DH:DD=l1:2, .△D'HK∽aD'DC, HK D'K 1 ∴.D'H=H_DK_1,即3V2092, D'D DC D'C 2 3 R=多DK-K-c= 6, .BH=BD2-DH2 ,4- 4v2)i 2 3 服=m-删=号名 18/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BK∥DC, .△PKB∽APCD KB PK KB PK ·CD=PC,即CD=PK+CK, 5 6 PK .3 PK+209, 6 解得：PK=5V209 78 :CP=CK+PK=V209,52093N209 6 78 13 6.(22-23九年级下山西太原期中)【问题情境】如图1，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BC=8,AB=4,点D,E分别是边BC,AC的中点，连接DE.如图2，将△EDC绕点C按 顺时针方向旋转，记旋转角为C. AE 【观察发现】如图2，当0°≤a<180时，BD 【方法迁移】如图3，矩形ABCD中，AB=6,AD=8.点E,F分别是AB,AD的中点.四边形AEGF为矩 形，连接CG.如图4，将矩形ABGF绕点A逆时针旋转.旋转角为α(0°≤α<180)，连接DF.请探究矩 形AEGF旋转过程中，DF与CG的数量关系： 【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形ABCD改为“平行四边形ABCD”且∠D=60°，矩形AEGF改为 DF “平行四边形AEGF”,其他条件不变，如图6，在平行四边形ABGF旋转过程中，直接写出CG 19175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图1 图2 图3 图4 图5 图6 【答案】观察发现： 2:方法迁移： DF 4 CG5:拓展延伸： 4W13 13 【分析】观察发现：由勾股定理求出AC=4W5,根据三角形中位线定理求出DE=2,CD=4,CE=2V5,再证 明△BCD~△ACE可得结论： 方法迁移：由勾股定理求出AG=5,AC=10,再证明△ACG~aADF可得结论： 拓展延伸：先求出AG=V3,AC=2V13,再证明△ACG~△ADF可得结论. 【详解】观察发现：如图1，：D,E分别是BC,AB的中点， .DE是△ABC的中位线， DE/AB.DE-AB-x4=2,CD=BC=x8=4 2 由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=V42+82=4V5, EC=)4C=25 如图2，由旋转得∠ECD=∠ACB, :∠ECD+∠ACD=∠ACB+∠ACD,即∠BCD=∠ACE, BC AC 又：CpCE =2 .△BCD~△ACE AECE2√55 BD DC 4 2' 5 故答案为2 20/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF 4 方法迁移： CG5 理由如下： 连接AG、AC,如图， 】 B :AB=6AD=8,点E,F分别是AB,AD的中点， :4AF=)x8=4,AE=)x6=3. 2 在矩形AEGF中∠AEG=90°，EG=AF=4, 在RtAAEG中，由勾股定理得AG=V32+42=5, 同理可求得AC=10, ∠FAG=∠CAD, ∴.∠FAG+∠GAD=∠CAD+∠GAD. ∴.∠FAD=∠CAG AF AG 1 又：ADAC2' ∴.△ACG~△ADF, DF AF 4 ·cG4G5 拓展延伸：连接AG,过点A作AH⊥EG于点H,如图5， 图5 :AB=6,AD=8,点E,F分别是AB,AD的中点，四边形ABCD,EGFA分别是平行四边形， .'EG//BC,AE=3,AF=EG=4, .∠AEG=∠B, 21/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EAH=30°， 之m-c=》 ∴.AH=VAE2-EH2 33 2 ·GH=EG-EH=4-3_5 2-21 .AG=AH2+GH2 同理可得，AC=2W3: 如图6，连接AG,AC, B 图6 由旋转得，∠GAF=∠CAD, ∴.∠DAF=∠CAG, %02 ∴.△ACG~ADF, DF AD 8 413 CGAC21=13, 4v13 故答案为： 13 ◆题型3矩形中的手拉手模型 7.(2025河南南阳·二模)(1)在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形ABCD, 正方形CEFG.将正方形CEFG绕点C旋转，连接BE,DG,则BE与DG的数量关系为一： (2)创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形ABCD和矩形 DEFG中，AD=2DE,AB=2DG,AD=DG,将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE,CG交于点P, 22/75 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE与CG有怎样的数量关系？请你给出证明 (3)善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,点E 是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接BG,DG,BE,则 BG+号E的最小位是 B G E G 图1 图2 图3 【答案】(1)DG=BE: (2)CG=2AE,理由如下： 在矩形ABCD和矩形DEFG中， ∠GDE=∠ADC=90°， ∴.∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG. ∴.∠GDC=∠ADE 又：AD=2DE,AB=2DG,AD=DG, DG_DC=2 六DE=AD .△CDG∽AADE. CG_DG=2 ·AEDE CG=2AE (3)2W10 【分析】(1)证明△DCG≌aBCE(SAS),即可得到DG=BE: (2)证明△CDGOAADE,即可得到CG=2AE: (3)证明&DCGBCE,得DG=2BE,作BN⊥BC于N,GM⊥BC交BC的延长线于M,然后证明 AC0GM:布瓷贸-2：所以GM小得点Q的E到做造是直线MG作点D关于直旋G 的对称点G,连接BG交MG于G,此时BG+GD的值最小，最小值为BG,然后根据勾股定理即可解决 问题. 23/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(I):正方形ABCD, .∠BCD=90°，CD=CB :四边形CEFG是正方形， .∠ECG=90°，CG=CE, ∠ECG=∠BCD=90°， ∴∠BCE=∠DCG. 在△BCE和△DCG中， BC=DC ∠BCE=∠DCG CE=CG .aDCG≌aBCE(SAS). .DG=BE, 故答案为：DG=BE: (2)略 (3):四边形ECGF、四边形ABCD都是矩形， .CD=AB=2,AD=BC=4,∠ECG=∠BCD=90°， .LDCG=∠BCE. CD:CB=2:4=1:2,CG:CE=1:2, ..CD:CB=CG:CE. ,∠DCG=∠BCE, .△DCGABCE. DG CG 1 ∠BEC=LDGC' BECE2· DG-BE 作EN⊥BC于N,GM⊥BC交BC的延长线于M,如图3， G M 图3 :∠ENC=∠CMG=∠ECG=90° 24/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ECN+∠GCM=∠ECN+∠CEN=90°. ∴.∠GCM=∠CEN, ∴.△ECN∽△CGM, EC_EN=2, ∴CGCM ..EN =AB=2, .CM=1, ∴.点G的运动轨迹是直线MG, 作点D关于直线MG的对称点G',连接BG交MG于G,此时BG+GD的值最小，最小值为BG, DG-IBE .BG+BE=BG+DG 2 ·.BG+2BE的最小值就是(BG+DG)的最小值， :BG'=V22+62=2V10 :BG+号BE的最小值为2而 故答案为：2V10 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角 形的判定与性质，轴对称一最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键 8.(2026山西长治·三模)综合与探究 【问题情境】 活动课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.小星拿出两张全等的矩形纸片ABCD 和AEFG,重叠放置，矩形纸片ABCD固定不动，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转.已知AB=6, BC=8 图1 图2 备用图 25/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，当点E落在边AD上，点G落在线段BA的延长线上时，连接AC,AF,CF,试判断 △ACF的形状，并说明理由. 【思考探究】 (2)如图2，当点G落在边BC上时，连接DF交AG于点O,求证：O是DF的中点. 【拓展延伸】 (3)在矩形纸片AEFG旋转的过程中，当AD∥FG时，直线CG与直线AD,EF分别交于点P,卫，请 直接写出PO的长， 【答案】(I)等腰直角三角形 理由：由题意知，AB=GF,BC=AG,∠B=∠G=90°， ∴.△ABC≌AFGA(SAS), ∴AC=AF,∠ACB=∠FAG, ∴.∠GAF+∠BAC=∠ACB+∠BAC=90°， ∴.∠FAC=90°， △FAC是等腰直角三角形. (2)证明：由题意可得，AG=AD,FG=CD=AB, 如图1，过点D作DM⊥AG于点M,连接DG, 刀 图1 :.∠ADG=∠AGD ADI BC .∠ADG=∠DGC, .∠AGD=∠DGC. 又：∠C=90°，DM⊥AG, ∴.DC=DM, ∴.FG=DM 在△FOG和△DOM中， 26/75 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠FGO=∠DM0=90° ∠GOF=∠MOD FG=DM :△FOG≌aDOM(AAS), ∴.OF=OD ∴.O是DF的中点 支 【分析】(1)证明△ABC≌△FGA(SMS),则AC=AF,∠ACB=∠FAG,证明∠FAC=90,即可得到结 论： (2)由题意可得，AG=AD,FG=CD=AB,如图1，过点D作DM⊥AG于点M,连接DG,证 明△FOG2aDOM(MAS),即可得到OF=OD: (3)分点G在BA的延长线上和点G在AB的延长线上两种情况进行解答即可 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：①当点G在BA的延长线上时，如图3， D B C.AD BC AGAPAGBC GA AP 8AP GBBC,即148， 解得AP32 7 PE=AE-AP=6-32_10 77· :FG∥AD, ∴.△GFQ∽aPEQ 27/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GF FO EPEQ· 68+EQ 即10E0, 5 解得EQ= 2 在Rt△PE中，由勾股定理得 PO=EP2+EO2 9- 65 14 ②当点G在AB的延长线上时，如图，同①可得△PDC∽aPAG, A D P B 即 F PD 6 G .PD_CD PA-AG PD+88 解得PD=24 .ADII FG,AD II BC, ..GF lI BC, ∴.∠QGF=∠GCB .∠QFG=∠GBC=90° ∴.△DFGAGBC, GF FO 6F9 CB=BG,即g8-6, 架物0 EP=EA+AD+DP=6+8+24=38,E0=EF+FQ=8+3-19 2 2 中，自勾股定理得P阳=a+D-38+?)》 1917 Rt△PE 5v651917 综上所述，P0的长为14或 2· 9.(2025山西朔州二模)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动. 28/75 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8，,AD=6,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG,其 中点E,F分别是点B,C的对应点， G E 图1 图2 备用图 ()如图1，连接CF,BE,猜想CF,BE的数量关系并说明理由. (2)如图2，隐去对角线，当点E恰好落在边CD上时，连接BF交AE于点O ①求证：OF=OB ②若将矩形AEFG沿AB向右平移，使得G恰好落在AD上，则平移的距离为 (3)若点F落在直线AD上，请直接写出CG的长 【答案】(I) CF 5 BE4,理由如下： 矩形ABCD中，∠ABC=90°，AC是对角线，AB=8,AD=6, ∴.BC=AD=6, .AC=VAB2+BC2=V82+62=10, 由旋转的性质可得，AB=AE=8,AC=AF=10,∠CAF=∠BAE, AC AF 5 AB AE4 ∴.△CAF∽△BAE. CF AC 5 BE AB 4 (2) ①证明：如图所示，过点B作BM⊥AE于点M,连接BE, 29/75 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 由旋转的性质可得，AB=AE=8, .∠ABE=∠AEB, AB∥CD, ∴.∠ABE=∠CEB ∴.∠AEB=∠CEB, 又：∠C=90°，BM⊥AE, ∴.BC=BM, 由旋转可知，EF=BC, .EF=BM, :∠FEA=∠BM0=90°，∠EOF=∠MOB, ∴.aEOF≌aMOB(AAS), :.OF=OB: ®号 B)16i04W265 5或5 AC AF 5 【分析】(1)由旋转的性质可得，AB=4E=8AC=AF=10:∠CAF=∠BAE,可得ABAE4’ CF AC 5 进而证明ACAF∽ABAE,即可得出BEAB=4: (2)①过点B作BM⊥AE于点M,连接BE,由旋转的性质可得，AB=AE=8,可得∠ABE=∠AEB, 进而得∠AEB=∠CEB,得BC=BM,由旋转可知EF=BC,因此EF=BM,进而证明 △EOF≌△MOB(AAS),即可得出结论： ②过点G作GH⊥AD于点H,根据题意，若将矩形AEFG沿AB向右平移，使得G恰好落在AD上，则平 30/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG AB 68 移的距离为GH的长度，先证明AGAH∽△BAM,得G册BN,由①得，BM=BC=6,即GHG, 求出GH即可： (3)分两种情况进行讨论，第一种情况，过点G作GH⊥AD于点H,过点G作GK⊥BC于点K,易得 四边形HKCD是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出CG的长；第二种情况，过点G作GH⊥AD交 DA的延长线于点H,过点G作GM⊥BC交CB的延长线于点M,易得四边形ABMH是矩形，根据等面 积法和勾股定理即可求出CG的长 【详解】(1)略 (2)①略 ②如图所示，过点G作GH⊥AD于点H, M 根据题意，若将矩形AEFG沿AB向右平移，使得G恰好落在AD上，则平移的距离为GH的长度， 由旋转的性质可得，AG=AD=6,∠EAG=∠DAB, ∴.∠EAG-∠DAE=∠DAB-∠DAE. ∴.∠GAH=∠BAM. 又：GH⊥AD,BM⊥AE, ∴.∠GHA=∠BMA=90°， ∴△GAH∽△BAM, AG AB ‘GHBM' 由①得，BM=BC=6, 68 …GH6 .GH=2 9 (3)分两种情况进行讨论， 第一种情况，如图所示，过点G作GH⊥AD于点H,过点G作GK⊥BC于点K, 31/75 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F D E ，矩形 K A BGH⊥ADGK⊥BC ABCD ∴四边形HKCD是矩形， 1 ∴.SA4GF= 4G6号4r-61,即时x6x8-G+8x6h, Gh=24 , .HK=AB=8' AH=BK=18 24 ∴.GK= 5, CK=6-1812 55 2 ∴.CG=VGK2+CK2 4V265 5: 第二种情况，如图所示，过点G作GH LAD交DA的延长线于点H,过点G作GM⊥BC交CB的延长线 于点M, A ,矩形 H M 11111111 :GH⊥AD GM⊥BC ABCD ∴.四边形ABMH是矩形， 32/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a4G-G球=4F.GH,即时x6x8=x6+gx6， 2 24 ∴.GH= 5, =va-6-6-到- .HM=AB=8' AH=BM=18 GM=AB=GH=82号=号.CM=6C+M=6+348】 55 .CG=GMP+CM 1610 5 综上所述， CG的长为4V265 16√10 5 或 5 ◆题型4正方形中的手拉手模型 10.(2026江苏徐州：一模)己知，正方形ABCD与正方形AEFG. (I)如图，连接DE和BG交于点M,则∠EMG=°； D CF (②)如图，连接CF和BG,求BG的值： 33/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图，正方形AEFG绕点A旋转，在旋转的过程中，当点F落在射线DA的延长线上时，若AD=2, AG=2W2,在射线DB上是否存在一点P使得∠APF最大，若存在，直接写出DP的长；若不存在，请说 明理由， 【答案】(1)90 (2)V2 (3)存在，DP=2V3 【分析】(I)利用正方形的性质得到边相等、角相等，通过SAS证明△DAE≌△BAG,得到对应角相等， 再结合对顶角与三角形内角和，推导出∠EMG=90°： (2)连接AC、AF,根据正方形对角线与边长的关系，得到ACAF与AB、AG的比例关系，同时推出 ∠CAF=∠BAG,从而证明△CAF∽aBAG(相似比为V2),进而得出CF与BG的比值为V2: (3)连接EG,AF交于点H,作过A,P,F的⊙O,证明∠APF=∠AOH,在Rt△AOH中，当AO越小 ∠AOH越大，又OA=OP,即OP越小时，∠AOH越大，接着证明当OP⊥DB时，OP最小，此时圆O 与射线DB相切于点P,∠APF达到最大，延长PO交⊙O于点O,连接AQ,证明△DAP∽aDPF,利用三 角形相似求得答案。 【详解】(I)解：设AEBG交于点N, B G ,正方形ABCD与正方形AEFG, ∴.AB=AD,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°， .∠BAD+∠BAE=∠EAG+∠BAE, .∠DAE=∠BAG 34/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷.△DAE≌aBAG(SAS), .∠AED=∠AGB, ,∠AGB+∠ANG=180°-90°=90°，∠BNE=∠AWG, 、∠AED+∠BNE=90°， 、.∠EMG=180°-（∠AED+∠BNE)=180°-90°=90°， (2)解：连接AC、AF, B G ,正方形ABCD与正方形AEFG, .AC=V2AB,AF=V2AG,∠BAC=∠FAG=45°， AC-AF ∠CAF=∠BAG,且AB=AG ∴.ACAFABAG,相似比为V2, CF ·BGV2, (3)解：存在，DP=2V3,理由如下： 连接EG,AF交于点H, :正方形AEFG的边长AG=2V2, .AE=EF=2V2,∠AEF=90°，EG⊥AF,AH=HF, ：M=VAE+EF=22+22=4, :EG⊥AF,AH=HF .EG所在的直线垂直平分AF, 作AF的垂直平分线直线EG，作直线AP的垂直平分线交EG于点O,连接OA,OF,OP, ∴.OA=OF=OP, ·.A,F,P都在⊙0上，如图所示： 35/75 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ..OH =OH,OA=OF,AH=FH, :.△OAH≌aOFH, ∴∠AOH=∠FOH, :∠AOH+∠FOH=∠AOF, :∠AOH=∠AOF. 2 64r-<40r .∠APF=∠AOH, .当∠AOH达到最大值时，∠APF最大， 在RtAM0H中，∠AH0=90,AH=)AF=2, :.∠AOH随AO的减小而越大， 又：OA=OP, ∴即当OP取最小值时，∠AOH最大， 过点O作OU⊥DB于U,如图所示： G ,OU≤OP 36/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当P与U重合时，即OP⊥DB时，OP最小， 此时圆O与射线DB相切于点P,OP最小，此时∠APF达到最大， 如图所示，∠OPD=90°，延长PO交⊙0于点，连接Ag: C ,P2是⊙0的直径， :∠PAQ=90° 又∠OPD=90° ∴.∠DPA+∠AP9=∠AP0+∠PQA=90°， .∠DPA=∠PQA」 :∠POA=∠PFA ∴.∠DPA=∠PFA, ,∠PDA=∠PDF, ∴.△DAPADPF, DA DP .DP DE DA=2,AF=4 .DF=DF+AF=2+4=6 2 DP .DP6 DP=23: 故存在点P,DP=2√3 11.(25-26九年级上四川眉山期末)综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探 究： 【初步探究】 37175 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 如图1，己知RtAABC,∠ABC=90°，将△CBA绕点C顺时针旋转90°得△CDE,连接BE交CD于点P, EP AB 交CA于点Q·求证：PBBC 【类比探究】 如图2，已知正方形CBAD,将正方形CBAD绕点C顺时针旋转45°得正方形CGFE,连接BE交CD于点 EP p,求PB的值： 【深入探究】 如图3，已知矩形CBAD中，∠ACB=30°，将矩形CBAD绕点C顺时针旋转得矩形CGFE,点E在AC延 长线上，连接BF,试探究线段AB与BF之间的数量关系，并写出证明过程： 【拓展延伸】 在深入探究的条件下，将矩形CB4D绕点C继实顺时什旋转，点B在线段4C上，AB-Y7 7,则AG的长 为 【答案】 初步探究：证明：，△CBA绕点C顺时针旋转90°得△CDE, .△CBA≌△CDE,∠BCD=90° AB=DE,∠CDE=∠ABC=90° ,∠CDE=∠BCD=90°， .DE∥BC ∴.aEPD∽aBPC, EP DE ·PBBC 又，DE=AB, EP AB PB BC 38/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类比探究： EP2 PB 2 深入探究：BF=V13AB 拓展延伸：1 【分析】初步探究：由旋转性质，△CBA≌△CDE,故AB=DE,∠CDE=∠ABC=90°，由角的关系得到 EP DE DE∥BC,再由EPDABPC,得到PB=BC,线段代换即可， 类比探究：设正方形边长为a,过E作EM⊥CD于M,由旋转角∠ECB=45°，得到∠ECM=45°， △CEM是等腰直角三角形，因此EM=CM= a,再有。EPM∽ABPC,由相似三角形对应边成比例： 2 v2 EP EM =2 a PB BC a 2 深入探究：连接CF,DF,用SAS证△ACD2aFCD,得到AD=DF,∠CDF=90°，设AB=x,由30°直 角三角形性质：AC=2AB=2x,BC=3x:矩形中AD=BC=V3x,由全等得AF=2AD=2N3x,在 BF=V13 Rt△BAF中BF=√AB2+AF2=I3x,故AB 拓展延伸：由o0直角三角形性质求出AC=2AB=,，BC=VAC2-AB2-V21 2,连接4G由旋转得 △ACG为直角三角形，利用勾股定理求出AG即可， 【详解】初步探究：略 类比探究： 解：设正方形边长为a,则CB=CD=a,旋转45°后CE=CB=a,∠ECD=45° 如图，过E作EM⊥CD于M, D ,∠ECD=45° .EM-MC= 2. 39/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EM I BC 、.△EPMABPC, √2 ∴.EPEM 2 a 2 PB BC a 深入探究： 解：如图，连接CF,连接DF, D E ,矩形CBAD绕点C顺时针旋转得到矩形CGFE, ∴.CA=CF,∠ACF=∠BCG,∠BCD=∠GCE=90° ,点E在AC的延长线上， ∴.∠ACG=180°-∠GCE=180°-90°=90°， :∠BCG=∠ACB+∠ACG=30°+90°=120°， ∴旋转角为120°」 .∠ACF=120° ∠BCD=90° ∴.∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-30°=60°， ∴∠DCF=∠ACF-∠ACD=120°-60°=60°， 即∠ACD=∠DCF AC=FC 8 和 中： ∠ACD=∠FCD △ACD△FCD CD=CD ·.△ACD2aFCD(SAS), .AD=DF,∠CDF=∠CAD=90° ∴∠ADC+∠FDC=180°，即点A,D,F在同一直线上， ∴.D为AF的中点. 设AB=x,在RL△ABC中，∠ACB=30°， 40175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=2AB=2x. .AD=BC=AC2-AB2=(2x)2-x2=3x. .AF=2AD=2v3x 在RtABAF中，BF=VAB2+AF2=Vx2+(23x2=V13x, .BF=13AB 拓展延伸： 解：如图，连接AG D 在Ra1Bc,4B-∠ACa=30 C=2AB=2 7 ÷BC=VAC2-AB= 7 ,矩形CBAD绕点C顺时针旋转得到矩形CGFE,点E在线段AC上， ÷∠CEF=∠CDA=90, BC-CG=21 7 EFIICG .∠ACG=90°， ∴.AG=VAC2+CG 故答案为：1. 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的边角关系、勾股定理、全等三角 形的判定(SAS)等知识，利用旋转性质转化线段与角度、构造全等三角形集中条件是解题的关键 12.(25-26九年级上山西临汾期末)综合与探究 41/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题情境： 如图1，己知点E在正方形ABCD的边BC上，点G在边AB的延长线上.正方形BEFG与正方形ABCD有 公共点A.连接AE、DF, D E B B G 图1 图2 D E G E B B 图3 图4 问题解决：(I)如图2，连接BD、BF,则BD和BF的位置关系是一·DF和AE的数量关系是 操作探究： (2)如图3，将正方形BEFG绕点B按逆时针方向旋转a(O°<a<90),试探究(1)中DF和AE的数量 关系是否仍然成立，并说明理由 (3)如图4，将正方形BEFG绕点B按逆时针方向旋转a(0°<α<90)，使点G、F、D恰好在同一条直 线上，若AB=4,BG=2V2,求AE的长. 【答案】(1)BD⊥BF,DF=V2AE: (2)DF和AE的数量关系仍然成立，理由如下： 连接BD,BF, 由1)知∠ABD=∠BBF=45,DB-BF=2, AB BE :∠ABD-∠EBD=∠EBF-∠EBD, 即∠ABE=∠DBF, ,.△DBF∽△ABE, DF_DB- AE AB 42175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF =2AE: D E (3)23-2 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，构造辅助线证三角形相似是解 题的关键。 (1)根据正方形对角线平分内角得出∠DBF=90°，进而得出BD,BF的关系：证△ABEADBF从而得出 DF,AE的数量关系： DF_DB=√2即可求解 (2)连接BD,BF,证DBF6ABE,由AE=AB (3)连接BD,BF,根据勾股定理求出DG,再根据DF=DG-FG求出DF,最后根据DF=√2AE求得 AE即可. 【详解】解：(1)在正方形ABCD,BEFG中，∠DBC=45°，∠EBF=45°， ∴.∠DBF=∠DBE+∠EBF=90°， BD⊥BF, 在RtAABD中，∠DAB=90°，AB=AD DB=2, :DB=√AD+AB=V2AB,即A 在RtaBEF中，∠BEF=9O,BE=EF, BE=2, :BF=√BE2+EF2=V2BE,即BE DB BE AB BE' ∠DBF=∠ABE=90°， ∴.△DBFAABE, DF_DB=2 AE AB .DF=√2AE, 43175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： BD⊥BF,DF=V2AE: (2)略 (3)连接BD,BF, 在Rt△ABD中，AB=4, .DB=24B=4V2, 在Rt△DBG中，∠G=90°，BG=2√2. DG=VDB2-BG=V42-(22=26 在正方形BEFG中，FG=BG=2√2， ∴DF=DG-FG=2V6-2√2， 由(2)知，DF=V2AE, ∴V2AE=2W6-2V2, ∴AE=2√3-2 D F B 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(2026天津河北：二模)如图，己知矩形ABCD,AB=6W5，,AD=6,把矩形ABCD绕点A旋转得到 矩形AB'CD,点B,C,D的对应点分别是点B,C,D',当点D在线段AC上时，AB交CD于点E,连接 44/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE,线段DE的长为() D D B 的 A.√21 B.6 C.221 D.65 【答案】C AD'AE 【分析】在矩形ABCD中，根据勾股定理得到AC,结合旋转的性质可证aDAB∽%BAC,得到AB=AC, 解出AE,再由勾股定理计算DE即可. 【详解】解：在矩形ABCD中，BC=AD=6,∠B=90°，∠BAD=90°， .AC=AB2+BC2 =12, 由旋转可知AD'=AD=6,∠AD'E=∠ADC=90°，， 又∠DAE=∠BAC. ∴AD'AE△BAC, AD'AE 6AE BAC,即652，解得4=45 .DE=VAD+AE-V6+(43=V84=2W21 2.(25-26九年级上江苏苏州期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=8.将△ABC绕点A 按顺时针方向旋转，得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B',C',B'C'的延长线与边BC相交于点 D,连接BB',若CD=3,则线段BB的长度为() 45175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 32 48 A.5 B.5 C.8 D.5 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接AD,CC' 证明△4CD2△4CD,得D1CC:由Sa影c=2Saem=2××ACxCD=)ADxCC'求出CC=24 2 5 证明△CAC'∽△BAB',运用相似三角形的性质可得结论. 【详解】解：连接AD,CC, B' 的延长线与边 相交于点D, B .B'C BC ∠BCA=∠AC'D=90°，AC=AC,AD=AD, .RtAAC'D≌Rt△ACD(HL), ∴.CD=CD AD⊥CC, :S边5C=2SAm=2x×ACxCD=)ADxCC. CC=24 4C=4C1 ABAB2'∠CAC'=∠BAB', ..ACAC'BAB'. AC AB CC BB' 48 六24BB, 解得BB=48 , 故选：D 46175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上江苏宿迁期末)如图，在正方形ABCD中，BC=2,点P是AB上一点，连接CP, 将CP绕点P按顺时针方向旋转90°得到P№，连接CQ,B吧，则下列结论错误的是() D A.当∠BCP=∠BCQ时，AB=(N2+I)BP B.当SBce=SBre时，BP=V5-1 C,当BO取最小值时，BP=名 3 D.当∠PB0=∠CB0时，S.ac=2B0 2 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的性质，旋转的性质，以及三角形的面 积公式，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，对每个选项逐一判断即可. 【详解】解：：△PCO是等腰直角三角形， ∴∠PC0=45° :∠BCP=∠BCQ、 ∴CB平分∠PCQ, ·∠PCB=2x45°=22.59 在CB上取一点G,使PB=GB,连接PG, G B ,四边形ABCD为正方形， 47175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=90° ·.∠BGP=∠GCP+∠GPC,LBPG=LBGP=45°， .∠GPC=45°-22.5°=22.5°， ∴.∠GPC=∠GCP, ∴PG=CG, 设BP=BG=x,则PG=CG=V2x, 在正方形ABCD中，BC=AB=2, 54i2a25-2 .BP=2V2-2, 化简得AB=(V2+BP,故A正确，不符合题意。 延长PB,过O作延长线垂线MQ, B M .C.BM S.nco=S,are, ∴Bp-M0=BC-BM, 即BPM0=BCBM, :△PCO是等腰直角三角形， .CP=P0,∠CPg=90, ∴.∠2+∠3=90°， ,∠1+∠2=90°， ∠1=∠3， 在△CBP和△PM0中， 48175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=∠3 ∠CBP=∠PMQ CP=PO ·.aCBP≌aPMQ(AAS). :.MO=BP,PM=BC=2, 、BP,BP=2-(PM-BP),BP2=2-(2-BP),BP2=4-2BP, .BP2+2BP+1=5,(BP+1)}2=5, 即BP=V5-1,故B正确，不符合题意. :∠ABC=90°，∠PBQ=∠CBQ :∠P80=∠C80=360,90°=135. 2 .∠BP0+∠BQP=45°， ∠BQP+∠BQC=45° ·∠BP0=LBQC, ·∠PBQ=∠CBQ, ·.BPOABOC, BO BP ·BCBO' :.BO2 BC.BP, :Sa=)BC-BP=)B0,故D正确，不符合盟意. 由B选项可知MQ=BP,PM=BC=2, ..BO2=OM2+BM2=BP2+(2-BP)', 整理得：BQ=-2(BP-1)2+2, ∴当BO取最小值时，BP=1,故C错误，符合题意. 故选：C 二、填空题 4.(25-26九年级上浙江温州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B旋转，使 点C的对应点C'恰好落在△ABC的中线CD上，此时CC'=DC',若DE=1,则BC= 49/75 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52 【答案】 2 【分析】本题考查了三角形中线的性质、直角三角形的性质、三角形相似的判定和性质、旋转的性质，解 决本题的关键是利用旋转的性质找到边之间的关系。 根据题意得出可知CD=)CD,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=!4B,根据旋转的 2 DE CD 1 性质可证∠BCD=∠BCC,确定CD∥AB,再由相似三角形的判定和性质得出BE=ABF4,确定 BD=CD=4+1=5,继续利用相似三角形的判定和性质求解即可. 【详解】解：点C的对应点C恰好落在△ABC的中线CD上，CC'=DC', ∴CD= 2CD.BD=AD 又在Rt△ABC中，∠ACB=90°， :AD=BD=CD. :.CD=1AB 4 :CD-14B, 4 由旋转可知：∠A=∠A,AB=AB,∠CBA=∠CBA', 又：CD=BD ∴∠DCB=∠DBC, .∠CBA=∠C'BA'=∠BCD, 由旋转可知：CB=CB, .∠BCD=∠BCC, .∠CCB=∠CBA', .CD∥AB, .∠DCE=∠A', 50175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又∠C'ED=∠A'EB. .ADC'EABA'E, DE CD 1 BEA'B4· .BE=4, ∴.BD=CD=4+1=5, .CC'=DC'=2.5, ,∠CCB=∠CBA', .∠CCB=∠CCB=∠CBA, .△CBC'∽aCDB, CB CD CC CB' 5 .CB=CC.CD-5 25 2 .CB=5 2 故答案为： 5v2 2 5.(2025湖北襄阳模拟预测)如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PC=3PA,连接BP,将BP绕 点B顺时旋转90°得线段BQ,连接PO交BC于点E,若AB=2V2,则CE的长是 B 32 【答案】4 【分析】由正方形的性质得AB=CB=2V2,∠ABC=90°，则AC=V2AB=4,由点P在AC上， PC=3PA,求得PA=l,PC=3,由旋转得PB=QB,∠PB0=90°，则∠BPO=∠Q=45°，所以 ∠CPE+∠APB=135°，由∠PCE=∠BAP=45°，证明∠ABP+∠APB=135°，推导出LCPE=∠ABP,可证 明ACPE∽AABP' 则piB,求得CE=P4.PC CE PC AB一，于是得到问题的答案。 【详解】解：四边形ABCD是正方形，AB=2√2， 51/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=CB=2N2,∠ABC=90°， .AC=VAB2+CB2=√2AB=V2×2N2=4, ~点P在AC上，PC=3PA, .PA+3PA=4, ∴.PA=1,PC=3 :将BP绕点B顺时针旋转90°得线段BO,PO交BC于点E, ∴PB=QB,∠PBQ=90°， ∴.∠BPQ=∠Q=45°， .∠CPE+∠APB=180°-∠BPQ=135°。， ∠PCE=∠BAP=45° ∠ABP+∠APB=180°-∠BAP=135°， ∴∠CPE+∠APB=∠ABP+∠APB, ∴.∠CPE=∠ABP, .ACPE∽△ABP, CE PC PA AB' ..CE= A.PC_1x332 AB 22 4 W2 故答案为：4 6.(2026河南三门峡二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5.将矩形ABCD绕点A旋转得到矩 形AEFG,点B,C,D的对应点分别为点E,F,G,连接BE.若直线EF恰好经过点D,则BE的长为 G D 310.9V10 【答案】5或 5 52/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分折】首先连接DG,正明。1B6~A4DG,进面得出BE-DG,接下来只要求出DG即可解决问愿： 结合图形和已知条件，对于直线EF恰好经过点D,分线段EF经过点D和线段FE的延长线经过点D两种 情况求解即可 【详解】如图1，连接DG,由旋转的性质，得∠BAE=∠DAG,AB=AE,AD=AG D E ABAE 图1 AD AG △ABE∽△ADG, BE AB 3 DG AD 5 ÷BE=DG 5 分以下两种情况： ①如图2，当线段EF经过点D时， G D 图2 在Rt△AED中，∠AED=90°，AE=3,AD=5,由勾股定理，得DE=VAD2-AE2=V52-3=4, .DF=5-4=1, .DG=GF2+DF2=V32+P=10, .BE-3DG=310 5 ②如图3，当线段FE的延长线经过点D时， 53175 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 图3 同理可得DE=4, ∴DF=5+4=9, :.DG=VGF2+DF2=V32+92=3√10 BE-DG- 910 V10910 综上可知， BE的长为 5 或 5 三、解答题 7.(2026广东深圳二模)【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这 个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.己知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为a(0°<a<360). D B B B 图1 图2 备用图 备用图 AE (①【初步感知】如图1，连接AE?CD:将三角形纸片BDE绕点B旋转，求CD的值： (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长 线上时，延长ED交AC于点G,求CG的长： (3)【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的 直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由， 54/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE 5 【答案】)CD3 aco-号 ,1613 (3)能， AD的长是13或4V3 【分析】(I)证明△BCD∽aBAE即可解答： (2)如图2，通过延长CF交AE于点H,连接BH,得到四边形AHBC为矩形，设MH=x,先根据相 似得AG=2x,再证明三角形全等得EM=BM=8-x,由勾股定理列方程即可解答： (3)分两种情况：如图3和图4，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答. 【详解】(1)解：∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, .AB=BE=10, 由旋转得：∠CBD=∠ABE, ·BC、BD AB BE ∴△BCDn△BAE, AE BE 10 5 ÷CDBD63: (2)如图2，延长CD交AE于H,连接BH交DE于M, H N B 图2 由(I)知：△BCDABAE, ∴∠BAE=∠BCD」 ,CF是中线，∠ACB=90°， .'CF=AF=BF=5, ∴.LBCF=∠FBC, .∠FBC=∠BAE, :∠AFH=∠BFC, 55/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AFH≌aBFC(ASA). ..CF=FH. ∴四边形ACBH是平行四边形， ∠ACB=90°， .ACBH是矩形， ∴、∠AHB=90°，BH=AC=8, .AB=BE, ∴.AH=EH=BC=6, 设MH=x, ,∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM, .△AEG∽△HEM, MH EH 1 AGAE2· ..AG=2x, :EH=BD=6,∠EMH=∠BMD,∠EHM=∠BDM=90°， :△EHM≌aBDM(AAS), :BM=EM=8-x, 由勾股定理得：EM?=EH2+MH2,即(8-x)=62+x2, 解得x=4: 4G=2x77 42 ∴.CG=AC-AG=8- 79 22 (3)分两种情况：①如图3，∠EAD=90°，过点B作BO L AE于O,过点D作DP⊥BO于P, 56175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 图3 ∴∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90° ∴四边形ADPO是矩形， ∴∠ADP=90°，AQ=PD」 设AQ=PD=b ,AB=BE,BQ⊥AE, ..AO=EO=b ∴.AE=2b ∠ADP=∠BDE=90°， ∴.∠ADE=∠BDP, ,∠EAD=∠DPB=90°， △DAE△DPB, AE PB 2b PB DE=BD,即8=6， .PB= Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2, 2 1213 解得：b= 13 (负值舍)， △DAEP△DPB, 12V13 D-Pp即4D=3 ED BD' ·AD=l6V3 13: 57/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图4，∠AED=90°，过点B作B0⊥AE于Q, 图4 ∴，∠BQE=∠AED=∠BDE=90° 四边形BDEO是矩形， ∴.EQ=BD=6 AB=BE,BQ⊥AE, .AE=2EQ=12. 由勾股定理得：AD=VAE2+DE2=V122+82=4V3: 16v13 综上，AD的长是3或43 8.(25-26九年级上四川达州期末)(1)如图，正方形ABCD与等腰直角△AEF有公共顶点A, ∠EAF=90°，连接BE,DF,将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,则 BE DE ；B= 图1 图2 图3 (2)如图2，矩形ABCD与RtAEF有公共顶点A,∠EAF=90°，且AD=2AB,AF=2AE,连接BE,DF, BE 将RtAAEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,请求出DF的值及B的度数，并结 合图2进行说明； (3)若平行四边形ABCD与△AEF有公共顶点A,且 ∠BAD=∠EAF=a(0°<a<180),AD=kMB,AF=k4E(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直 58/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线BE,DF相交所成的锐角的度数为B,则： BE ①DF ②请直接写出a和B之间的关系式： BE 1 【答案】1)1,90：(2)DF=2B=90: (3).①：②a+B=180°或a=B 【分析】(1)延长DF分别交BE于点G,交AB于点M,先根据正方形和等腰直角三角形的性质证明 BE △FAD≌AEAB' 再根据全等三角形的性质得∠ADF=∠ABE,DF=BE,即可得出DF =1,然后说明 ∠EGF=90°，则此题可解： (2)延长DF交BE于点H,根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”得△FAD∽aEAB,再根 据相似三角形的性质得∠AFD=∠AEB, DF BE =2,然后根据四边形的内角和等于3600得出∠EHF=90°，则 此题可解： (3)①延长DF交EB于点H,根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”得△FAD∽aEAB,可 BE 1 得DFk: ②先根据相似三角形的对应角相等得∠4EB+∠AFH=180°，再根据四边形的内角和定理得 ∠EAF+∠EHF=180°，然后分两种情况讨论得出答案即可. 【详解】解：(I)如图，延长DF分别交BE于点G,交AB于点M, B 在正方形ABCD和等腰直角三角形AEF中，AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90°」 .∠FAD=∠EAB, .△FAD≌△EAB(SAS) ·.∠ADF=∠ABE,DF=BE. BE :.DF =1 59/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADF+LAMD=90°，LAMD=∠BMG, ·∠ABE+∠BMG=90°， ∴.∠EGF=90°， :B=90°： (2)如图，延长DF交BE于点H, E H B C AD =2AB,AF=2AE. 2 .ABAE ∠BAD=∠EAF=90°， ∴.∠FAD=∠EAB, .△FADD△EAB, ∠AFD=LAEB, DF =2 BE ,∠AFD+∠AFH=180°， ∴.∠AEH+∠AFH=180° ∠EAF=90°， ∴.∠EHF=180°-90°=90°， DF⊥BE, 8限-8w (3)①如图，延长DF交EB于点H, F B H AD=kAB,AF kAE. 60175 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AF ·ABAE =k ∠BAD=∠EAF=C&, ∴.∠FAD=∠EAB, ∴.△FAD△EAB, DF AF ·BEAE k, BE 1 ∴DFk: ②a+B=180°或a=B, 由△FADP△EAB得∠AFD=∠AEB, :∠AFD+∠AFH=180°， ∴.∠AEB+∠AFH=180° :四边形AEHF的内角和为360°， ∴.∠EAF+∠EHF=180°， 若x为锐角，即∠EAF为锐角，如图，则∠EHF为钝角， D HB C∠EAF+∠EHF=180°，∠DHB+∠EHF=180° ∴.∠EAF=∠DHB,即a=B: 若C为钝角，如图， B H 则a+B=180° 故a+B=180°或a=B 9.(2026辽宁锦州·三模)数学活动课上，同学们将一个矩形用对角线分成两个全等的三角形纸片，固定 一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知矩形ABCD中，AB=3, BC=4. 61175 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (I)如图1，纸片△ABC绕点A旋转，当点C的对应点F在射线CD上时，求证：△ADF≌△CBA. (2)如图2，在纸片ABC绕点A旋转过程中，当AE与矩形对角线AC重合时，EF与AD交于点G,连接 CG并延长交AF于点H,过点A作AM⊥CH,垂足为点M,求CM的长 (3)如图3，在纸片ABC绕点A旋转过程中，当点B的对应点E在矩形对角线BD上时，EF与AD交于点G, 延长FE交AC于点H,求△AHG的面积， 【答案】(I)证明：如图1，四边形ABCD是矩形， .BC=AD,∠B=∠ADC=90°， ∠ADF=180°-∠ADC=90°， ∠B=∠ADF=90°， 由△ABC旋转得，AC=AF, RtAADF≌RtACBA(HL) 8V145 ②cM的长为29 625 (3)。AHG的面积为208 【分析】(1)根据矩形的性质和旋转的性质可知∠B=∠ADF=90°，AC=AF,利用HL即可证明 RtAADF≌RtACBA: (②证明。4EG∽AADC,根据相似三角形的性质可以求出GD 4,利用勾股定理即可求出CG=④5 4 证明。4GM∽ACGD'利用相似三角形的性质求出GM=3丙 16,利用CM=CG+GM即可求出结果： (3)连接FD,延长FH交BC于点N,根据矩形的性质和旋转的性质可得∠EAF=∠AEB,根据内错角 相等，两直线平行，可证AF‖BD,根据平行线的性质可知∠I=∠2，根据等角的余角相等可证∠1=∠3， 可证△ADF≌△FEA,根据全等三角形的性质可证点C、D、F共线，设GA=GF=x,则 62/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GE=EF-GF=4-x 利用勾股定理列方程求出GD=8,证明AGFD∽ANFC, 利用相似三角形的性质求 出AG=GF= 25 75 ,证明AHGACHN, 利用相似三角形的性质求出瓜=39，利用三角形的面积公式求 出△AHG的面积. 【详解】(1)略： (2)解：如下图所示， 由旋转知，AE=AB=3,∠B=∠AEG=90°， 图2 则∠D=∠AEG=90°. ∠DAC=∠EAG, ∴△AEG△ADC, AEAG AD AC' 3 AG 45, AG=15 4 GD=AD-AG= 4 在R△CDG中，CG=VGD+CD= 4 :AM⊥CH, ∴.∠AMG=∠D=90° '∠AGM=∠CGD, ∴.△AGMACGD, AG GM CGGD· 63175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 4 GM V1451, 4 ∴.GM= 3W145 116, .CM=CG+GM=8145 29， :CM的长为 V145 29: (3)解：如下图所示，连接FD,延长FH交BC于点N, 2 四边形 是矩形， B NI 图3 ABCD C.OB-I 1 1 ..AC=BD OA=. ∴.OA=OB, .∠OAB=∠OBA, 由△ABC旋转得，AB=AE=3,∠OAB=∠EAF, .∠OBA=∠AEB,∠OBA=∠EAF, ∠EAF=∠AEB, ∴.AF I BD ∴.∠1=∠2， :∠BAD=90°， ∴.∠1+∠DBA=90°， ∠AEF=90°， .∠3+∠EAF=90° ∠DBA=∠EAF, ∴.∠1=∠3 64175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=BC.BC=EF, .AD=EF, ..AF AF, ∴△ADF≌△FEA(HL). ∠ADF=∠AEF=90°，DF=AE=3, ∠ADC=90° ∴∠ADC+∠ADF=180°， 点C、D、F共线， ∠1=∠2，∠1=∠3， ∠2=∠3， ..GA=GF, 设GA=GF=x,则GE=EF-GF=4-x, 在Rt△AEG中，AE2+GE2=AG, 32+(4-x=r,=25 8 4G=GF=25 8 :GD=AD-AG=4-25=7 88 :∠ADF=∠FCN=90°，∠GFD=∠NFC, .AGFDANFC, 7 GD=FD,即8=3， NC FC NC 6 :.NC=4 7 过点H作HⅢ⊥C,HK⊥AD, AD‖BC. .∠HCN=∠HAD .∠AHG=∠CHN, ∴△AHGACHN, CN HI AG HK' 65175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 4 HI 25=K,即皿14 8 H25 :I+HK=3, 4HK+H=3, 2 HK=25 13 Sw=)4G服=)×25×2-25 2813208 625 :A4HG的面积为208 10.(25-26九年级上·甘肃兰州期中)背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的 位置摆放（点B、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： A 图1 图2 图3 (1I)如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为一，位置关系为 (直接写出答案) AE AB 1 (②)如图3，把背景中的正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD:且AGAD2,AE=2'AB=5' 将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG的值是定值，请求出这个定值.（直接写出 答案) 【答案】I)BE=DG,BE⊥DG: (2) BE 1 解：DG2,BE⊥DG,理由如下： 如图3，设BE与DG交于Q,BE与AG交于点P, 66175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 :45=B1 AGAD2·AE=2'AB=5 AG=4,AD=10 ,:四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， .∠EAG=∠BAD=90°， .∠EAB=∠GAD, AE AB 1 AG-AD2' .△EAB△GAD, BE=AB1 ÷DG=AD2'∠BEA=∠AGD' ,∠APE=∠GPQ ∴∠EAP=∠G0P=90° ∴BE⊥DG: (3)DE2+BG=145 【分析】(I)延长DG交BE于M,交AB于N,由四边形ABCD、四边形EFGA为正方形，则AB=AD AE=AG,∠BAD=∠GAE=90°，然后证明△DAG≌aBAE(SAS),再通过性质即可求解： (2)设BE与DG交于Q,BE与AG交于点P,由四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，则 ∠EAG=∠BAD=9O°，所以∠EAB=∠GAD,证明△EAB∽△GAD,然后通过相似三角形性质即可求解； (3)连接GE,BD,由(2)知，AG=4,AB=5,AD=10,由勾股定理得 EG2=AE2+AG=22+42=20,BD2=AD2+AB2=102+52=125,然后通过 DE2+BG2=DQ2+QE2+QG+QB2=EG2+BD即可求解. 【详解】(I)解：如图2，延长DG交BE于M,交AB于N, 67175 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 :四边形ABCD、四边形EFGA为正方形， .AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠GAE=90°， .∠BAE=∠DAG :△DAG≌aBAE(SAS), ∴BE=DG,∠ADG=∠ABE, .∠AND=∠BNM, .∠BMN=∠NAD=90°， BE⊥DG, 故答案是：BE=DG,BE⊥DG: (2)略 (3)解：如图3，连接GE,BD, D 图3 由(2)知，AG=4,AB=5,AD=10 .EG2=AE2+AG2=22+42=20,BD2=AD2+AB2=102+52=125, 由(2)知∠G0P=90° :.∠GQP=∠EQD=∠BQD=∠BQG-90° .DE2+BG2=D0+QE2+QG2+QB2=EG2+BD2=20+125=145 11.(25-26九年级上江西南昌期末)定义：如图2，△ABC与△ADE有公共顶点A,且△ABC△ADE, 我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”· 68175 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B KE ⊙ 图1 图2 图3 图4 (I)知识理解：①如图1，若△ABC,△ADE都是等边三角形，则△ABC △ADE的“旋转相似图 形”（填“是”或“不是”） 如图2，△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， ②若∠B=100°，∠E=30°，则∠DAE= BD ③若AB=4'AD=6,4E=15,则AC= 若连接BD:CE,则CE (2)知识运用： 如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于E,∠DAC=LDBC, 求证：①△AODABOC: ②△ACD和△ABE互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，且△ABD与△AGE互为“旋转相似图形”，若 AC=10,AD=4V2,求DE和BD的长 【答案】1)0是；②50：③10：5 (2) ①证明：：∠DAC=∠DBC,∠AOD=∠BOC, ·△AODABOC: ②证明：△AODABOC, A0 DO ∴B0C0' AO BO D0C0' ∠DOC=∠AOB, .△AOBn△DOC, .∠DCA=∠EBA, 69175 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADC=90°，AE⊥BD, :∠ADC=∠AEB=90°， ∴.△ABE∽△ACD」 :△ABC与△ACD有公共顶点A, ∴.△ACD和△ABE互为“旋转相似图形”； (3)DE=4,BD=3V2 【分析】()①先证明△ABC∽△ADE,再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得出结果：②由“旋转 相似图形”的定义可得△ABC∽△ADE,再由相似三角形的性质可得∠D=∠B=100°，最后再由三角形内角 和定理计算即可得出结果，③由“旋转相似图形”的定义可得△ABC∽△ADE,再由相似三角形的性质计算 AB AC 得出AC=10:连接BD'CE:由相似三角形的性质可得AD=AE，∠BAC=∠DAE, 从而得出 AB AD 6 2 ACAE155,∠BAD=∠CAE,即可推出。ABD~AACE,再由相似三角形的性质即可得出结果： AO DO (2)①由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC,再结合题意即可得证：②由a40D∽aBOC,得出BOCO, AO BO 从而可得DOCO,再证明A4 OB&DOC,得出∠DCA=∠EBA:最后再证明△ABE∽△ACD,再结合 “旋转相似图形”的定义判断即可得证： 由电等膜直角三角形的性质可得48C=909?∠B4C:459,B=8C=号AC=52,结合腿点 4G=方4C=5,由“旋转相似图形”的定义可得。4BD△AGE:由相似三角形的性质可得 AD AB 52 AE AG 5 恩M厕AB为等腰直角三角形，求出MEM2B2V2,正明M直平分D由勾股是 理可得DE=AE=4,∠EAD=∠EDA=45°，求出∠ADB=∠AEG=90°，最后再由勾股定理计算即可得出 结果 【详解】(1)解：①：△ABC,△ADE都是等边三角形， ∴.CA=BA,EA=DA,∠CAB=∠EAD=60°， ∴.△ABC∽△ADE :△ABC与△ADE有公共顶点A, ∴.△ABC是△ADE的“旋转相似图形”： 70/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②：△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， △ABCAADE, ∴.∠D=∠B=100°， .∠DAE=180°-∠D-∠E=50°： ③△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， .△ABC△ADE, AB AC ·ADAE' ,AB=4,AD=6,AE=15, 4AC 615' .AC=10: 连接BD,CE,如图： D 图2 △ABC△ADE, 、ABAC ·ADAE,LBAC=∠DAE' AB AD 6 2 ·∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE·ACAE155· .∠BAD=∠CAE, ∴△ABD~aACE, BD AD 2 ·CEAE5: (2)①略 ②略 (3)解：：△ABC为等腰直角三角形，AC=10, ∠ABC=90e:∠B1C=45·AB=BC=2 2 C=52. :点G为AC的中点， 71175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o=dc=5 ,:△ABD与△AGE互为“旋转相似图形”， ∴.△ABD∽△AGE, ADAB-5N2=2.EAG=∠DA4B'∠4DB=∠AEG AE AG 5 AD=42, .AE=4, :∠EAG+∠BAE=45°， ∴∠DAB+∠BAE=45°， ∴.∠DAE=45°」 如图，作EM⊥DA于点M, D G 图4 ∴.△AEM为等腰直角三角形， .AM-EM-AE-2 :DM AD-AM=22, ∴.DM=AM,即EM垂直平分AD ∴.DE=AE=VEM2+AM2=4,∠EAD=∠EDA=45°， .∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， ∴.∠AEG=180°-∠AED=90°， ∠ADB=∠AEG=90° :BD=VAB2-AD=32 12.(2026山东济南二模)【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形ABCD和正方形CEFG如图1摆放到一起，连接BE、DG,然后把正 方形CEFG绕点C顺时针旋转， 72/75 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ○ 图1 图2 图3 (I)小明发现，无论如何旋转，线段BE和DG的数量关系是 直线BE和DG位置关系是 (2)【类比探究】 连接AF、AC,延长BE交AF所在直线于点P,小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段AF与线段 BE的比值及∠APB的度数也是固定的.如图2，当正方形CEFG旋转至正方形ABCD外侧且B、C、G 三点共线时. ①求线段AF与线段BE的比值及∠APB的度数： ②如图3，连接BD交AC于点O,交AF于点H,当BC=3N5,AH=5PF时，求EC的长. 【答案】(I)BE=DG,BE⊥DG (2)①V2,45°；②V5 【分析】(I)利用正方形性质得BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°，证△BCE≌aDCG,推出 线段相等；再利用角的代换证垂直： (2)①证△ACF∽△BCE,得到线段比值：利用相似三角形对应角及三角形内角和求角度： ②连接CF,先求正方形对角线，利用相似得AF=V2BE,用△AOH△ACF、△APB∽△ABH求PF、AF, 最后由勾股定理求CE 【详解】(I)解：四边形ABCD、CEFG是正方形， ∴.BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°， .∠BCD+∠DCE=∠GCD+∠DCE. 即∠BCE=∠DCG, 在△BCE和△DCG中： BC=CD ∠BCE=∠DCG, CE=CG :ABCE≌ADCG(SAS), .BE=DG. 延长BE交CD于M,交DG于N, 73175 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由△BCE≌aDCG得∠CBE=∠CDG, ∠BMC=∠DMN,∠CBE+∠BMC=9O°， ∴.∠CDG+∠DMN=90°， .∠DNM=90°， 即BE⊥DG A B 图1 (2)解：①连接CF, :四边形ABCD、CEFG是正方形， ∴.AC=V2BC,CF=V2CE,∠ACB=∠FCE=45°， ∴.∠ACB+∠ACE=∠FCE+∠ACE, 即LBCE=∠ACF, AC_CF= 且BCCE ,∴.△ACF∽△BCE, .AF=AC=N2,∠CAF=∠CBE, BE BC 设BE交AC于O, :∠BQC=∠AQP,∠CBE+∠BQC=135° .∠CAF+∠AQP=135° ∴∠APB=45° D 图2 ②连接CF,如图3所示， 74175 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=3V5,正方形ABCD, 4C=BD=V5BC=310,0A=0B=0C=0D=3i0 2 O得△ACFBCE,.F三2，即4F=2BE BE :∠AOH=∠ACF=90°，∠HAO=∠CAF, ∴△AOH△ACF, 又AC=2AO, .AF=2AH =10PF,AP=9PF. :∠ABH=∠APB=45°，∠BAP=∠BAH, ∴△APB△ABH, :.AB2 AP.AH =9PF.5PF=45PF2, :.AB=3V5PF, 又AB=35, ∴PF=1, .AF=10, 在RIAACF中，CF=VAF2-AC=Vl02-(Bio=i0, . D G 图3 75175