专题08 锐角三角函数解直角三角形应用（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题08 锐角三角函数解直角三角形应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、锐角三角函数概念辨析（正、余、切） 题型二、特殊角三角函数值求角度 题型三、特殊角三角函数混合运算 题型四、利用三角函数值确定锐角范围 题型五、常规直角三角形求解问题 题型六、构造直角三角形解斜三角形问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 锐角三角函数是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕三角函数定义、特殊角数值、边角关系、图形构造四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是三角函数仅适用于直角三角形，非直角三角形必须作垂线构造直角；二是锐角三角函数值随角度增大合规变化，角度范围必须在0°～90°之间。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、锐角三角函数概念辨析（正、余、切） 题型模版 1.特征：以直角三角形边角为背景，考查正弦、余弦、正切的基础定义，常出现对边、邻边、斜边混淆的易错点。题型多为选择填空，侧重基础概念理解，会结合图形变换、边长比例判断三角函数式的正误。 2.方法：解题先锁定目标锐角，精准区分对边、邻边与斜边，严格按照定义列式判断。牢记正弦对比斜、余弦邻比斜、正切对比邻的核心公式，杜绝边长对应错误，结合图形逐一核对概念。 【例1】在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 【例2】如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 【变式1-1】如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 【变式1-2】在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再结合正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型二、特殊角三角函数值求角度 题型模版 1.特征：题目给出含30°、45°、60°特殊角的三角函数等式或数值，要求反求锐角度数。主要考查特殊角函数值的记忆与逆向运用，容易混淆不同角度对应的函数数值，出现角度匹配错误。 2.方法：熟练背诵特殊角的正、余、切固定数值，将题干数值对应到标准函数值。逆向匹配对应锐角，求解后检验角度范围，确保所求角度为0°至90°之间的有效锐角。 【例3】在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求出、的度数，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【例4】在中，若（其中，为锐角），则______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质拆分等式得到两个三角函数值，结合锐角特殊三角函数值求出的度数，再通过三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，，且两者的和为0， ∴，， ∴，， ∵为锐角， ∴，， ∵三角形内角和为， ∴． 【变式2-1】锐角中，若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值与平方的非负性，结合锐角三角函数的特殊值求出、的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：，，， ，， ，， 是锐角三角形，即，， 在该范围内，满足的角为，满足的角为，即，， 三角形内角和为， ． 【变式2-2】在中，，，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先根据直角三角形边长关系得到的度数，再代入计算目标三角函数值． 【详解】解：如图所示，在中，，，， ∴， ， ∴． 【变式2-3】已知为锐角，且，则________度． 【答案】20 【分析】结合为锐角的取值范围，利用特殊角的余弦值确定的度数，进而求解的值． 【详解】解：∵为锐角 ∴ ∴ ∵，且 ∴ ∴． 题型三、特殊角三角函数混合运算 题型模版 1.特征：综合多个特殊角三角函数，结合绝对值、乘方、开方等运算，构成混合计算题。题型基础但易错，常出现函数值代错、运算顺序混乱、符号判断失误等问题，是基础必考题型。 2.方法：先将所有三角函数替换为对应特殊角数值，再按照实数四则运算顺序逐步计算。分步书写过程，规避口算失误，最后化简结果，保证数值最简、符号正确。 【例5】计算： 【答案】 【分析】先代入特殊角函数值，再利用 去根号（判断被开方数正负后脱去绝对值），最后对含根式的分母有理化并合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 【例6】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先通分化简原式，再计算a的值，代入化简结果得到最终结果． 【详解】解： ， ， 原式． 【变式3-1】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-2】计算： 【答案】 【详解】解：原式． 【变式3-3】先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】先通分计算括号内的减法，把除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式，再利用特殊角三角函数值算出，最后代入求值． 【详解】解： ； 当时， 原式． 题型四、利用三角函数值确定锐角范围 题型模版 1.特征：已知三角函数值的大小关系或取值区间，判断对应锐角的取值范围，依托三角函数增减性出题。正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小，学生极易混淆增减规律。 2.方法：明确锐角三角函数的增减性规律，将已知函数值与特殊角函数值对比，锁定角度区间。严格遵循函数单调性推导范围，最后验证角度始终在0°至90°的锐角范围内。 【例7】若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 【例8】若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 【变式4-1】已知为锐角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，，，且正弦函数在锐角范围内单调递增，由此可推导的取值范围。 【详解】∵ ，，且当为锐角时，随的增大而增大， ∴ 由 ，得； 由，得 ； 故 ， 故选：A． 【变式4-2】用科学计算器求的值，探究的值随锐角变化的规律．根据这个规律，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出个锐角的正弦值，得出的值随锐角的增大而增大，继而由可得答案． 【详解】解：∵、、、、、、、， ∴的值随锐角的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用计算器计算三角函数值，解题的关键是通过计算得出的值随锐角的增大而增大． 【变式4-3】若，则的度数在哪个范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在，随着的增大而增大，，， ， ， 故选：B． 题型五、常规直角三角形求解问题 题型模版 1.特征：题干给出直角三角形的部分边长、锐角度数，依托直角三角形固有性质，求解未知边长或锐角度数。核心考查边角互化能力，需结合勾股定理与三角函数公式综合解题。 2.方法：根据已知条件选择合适的三角函数公式，实现边角转化，无对应函数关系时结合勾股定理辅助求解。计算完成后检验边长为正数、角度为有效锐角，符合直角三角形基本性质。 【例9】如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【答案】 /0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据同角的余角相等得到，最后根据锐角三角函数的定义求出的值． 【详解】解：∵ 是直角三角形，，， ∴ 由勾股定理得 ∵ 是斜边 上的高， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． 【例10】如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 【答案】 【分析】设，则，，可得，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵在中，，分别为斜边上的高和中线， ∴，， ∵， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式5-1】如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形、正方形的性质可得，再根据勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ，四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 【变式5-2】如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理及得到，结合得到关于的一元二次方程，根据存在可知，进而求出的取值范围，得到的最小值再代入关于的一元二次方程求出的值，根据计算即可． 【详解】解：在和中，由勾股定理得：，， ∵， ∴，即， ∴， 整理得， ∵， ∴， 整理得， 将其看作关于的一元二次方程， 可知， 整理得， ∵， ∴， 即的最小值是， ∴， 整理得， 即， 解得：， ∴． 【变式5-3】如图，点，在矩形内，．若，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵ ∴在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 题型六、构造直角三角形解斜三角形问题 题型模版 1.特征：题干为非直角的斜三角形，无直接可用的三角函数关系，无法直接求解边角，需要通过辅助线转化图形。是本章重难点题型，侧重图形转化与构造思维的考查。 2.方法：过三角形顶点作高线，将斜三角形分割为两个标准直角三角形，搭建边角计算载体。利用公共高建立等量关系，结合三角函数求解未知量，最终整合结果作答。 【例11】在中，，，，则的长度为_________． 【答案】或 【分析】过点作，交所在直线于点，根据设出和的长度，用勾股定理求出的长度，分两种情况计算的长度即可． 【详解】解：过点作，交所在直线于点， ①当点D在线段上时，如图所示： ， 设，， 在中，由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 同理可得：，， ∴； 综上，的长度为12或6． 【例12】如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； （2）解：已知是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 【变式6-1】如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解． 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）， 在 中，， ∴ 设 ，（）， 由勾股定理，， ∴ ，， ∴ ． 【变式6-2】如下图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】（1）求交点B的坐标，需联立两条直线的解析式组成方程组求解． （2）求的值，需先求出点A的坐标，过点作x轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长，最后根据正弦函数的定义（对边比斜边）计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点B是直线与直线的交点， 联立两直线解析式得方程组：， 将代入，得： 将代入，得， 所以，点的坐标为． （2）如图，过点作轴于点， 则，． 由，得，则， ， ， ． 【变式6-3】如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由题意可得，利用正切的定义可得；再利用勾股定理列方程求得，最后利用正切的定义求的长即可； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，即，再利用勾股定理列方程求得，则，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去），即， ∵， ∴，即，解得：． （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示，是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意； B、，故该选项是错误的，不符合题意； C、，故该选项是正确的，符合题意； D、，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：C 2．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 【答案】/度 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到两个式子分别等于0，求出和的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，最后利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，， 即 ，， ∵ ，均为锐角， ∴ ，， ∴ ． 3．在中，，，则 ______． 【答案】60° 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 4．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．若是锐角，，则取值范围为________． 【答案】 【分析】先根据是锐角得到的初步范围，再结合特殊角的正弦值得到，根据锐角正弦函数的增减性即可求出的取值范围． 【详解】解：是锐角， ， ，锐角的正弦值随角度的增大而增大，且， ， 综上可得 ． 6．已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作垂线构造直角三角形，证，利用求出长度，在中算出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 7．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，且，证明是等边三角形，根据三线合一得到，根据三角函数求出，，​​根据等面积法求出，证明是的中位线，得到，证明，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，且． ∵菱形邻边相等，， ∴是等边三角形， ∴． 在中，，， ∴，，​​ ∵， ∴， 即， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 8．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将每个特殊角的三角函数值代入原式，再按照实数的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法得到结果． （2）先把分子、分母中各个特殊角的三角函数值代入，再对分母进行化简，最后按照分式运算规则完成计算，必要时进行分母有理化． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可； （2） 代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可； （3）代入特殊角的三角函数值，计算后对分母有理化化简即可； （4）代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的性质化简后再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．若均为锐角，且满足，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∵、均为锐角， ∴，， ∴． 11．在中，角所对应的边分别是，已知，，． (1)求的值； (2)求和的面积． 【答案】(1) (2)，的面积为 【分析】（）过点作，交的延长线于点，由得，再解直角三角形求出，利用勾股定理求出，即可求解； （）根据正弦的定义及三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ， 在中，，， ∴， ∴， 即； （2）解：在中，， ∴， ∵，，， ∴． 12．如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：是上的高， ， ，． 在和中， ，， 又， ， ． (2)8 (3) 【分析】（1）利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等． （2）利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合（1）的结论，根据列方程求出参数，再计算． （3）设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴可设，， ∵， ． ，又， ． ∵， ， ， ． （3）解：设，，， ∵， ∴， ． ， 则， ， ∴， ∴， 解得， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数解直角三角形应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、锐角三角函数概念辨析（正、余、切） 题型二、特殊角三角函数值求角度 题型三、特殊角三角函数混合运算 题型四、利用三角函数值确定锐角范围 题型五、常规直角三角形求解问题 题型六、构造直角三角形解斜三角形问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 锐角三角函数是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕三角函数定义、特殊角数值、边角关系、图形构造四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是三角函数仅适用于直角三角形，非直角三角形必须作垂线构造直角；二是锐角三角函数值随角度增大合规变化，角度范围必须在0°～90°之间。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、锐角三角函数概念辨析（正、余、切） 题型模版 1.特征：以直角三角形边角为背景，考查正弦、余弦、正切的基础定义，常出现对边、邻边、斜边混淆的易错点。题型多为选择填空，侧重基础概念理解，会结合图形变换、边长比例判断三角函数式的正误。 2.方法：解题先锁定目标锐角，精准区分对边、邻边与斜边，严格按照定义列式判断。牢记正弦对比斜、余弦邻比斜、正切对比邻的核心公式，杜绝边长对应错误，结合图形逐一核对概念。 【例1】在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【例2】如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-2】在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二、特殊角三角函数值求角度 题型模版 1.特征：题目给出含30°、45°、60°特殊角的三角函数等式或数值，要求反求锐角度数。主要考查特殊角函数值的记忆与逆向运用，容易混淆不同角度对应的函数数值，出现角度匹配错误。 2.方法：熟练背诵特殊角的正、余、切固定数值，将题干数值对应到标准函数值。逆向匹配对应锐角，求解后检验角度范围，确保所求角度为0°至90°之间的有效锐角。 【例3】在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例4】在中，若（其中，为锐角），则______． 【变式2-1】锐角中，若，则_________． 【变式2-2】在中，，，，则的值为__________． 【变式2-3】已知为锐角，且，则________度． 题型三、特殊角三角函数混合运算 题型模版 1.特征：综合多个特殊角三角函数，结合绝对值、乘方、开方等运算，构成混合计算题。题型基础但易错，常出现函数值代错、运算顺序混乱、符号判断失误等问题，是基础必考题型。 2.方法：先将所有三角函数替换为对应特殊角数值，再按照实数四则运算顺序逐步计算。分步书写过程，规避口算失误，最后化简结果，保证数值最简、符号正确。 【例5】计算： 【例6】先化简，再求值：，其中． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算： 【变式3-3】先化简，再求代数式的值，其中． 题型四、利用三角函数值确定锐角范围 题型模版 1.特征：已知三角函数值的大小关系或取值区间，判断对应锐角的取值范围，依托三角函数增减性出题。正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小，学生极易混淆增减规律。 2.方法：明确锐角三角函数的增减性规律，将已知函数值与特殊角函数值对比，锁定角度区间。严格遵循函数单调性推导范围，最后验证角度始终在0°至90°的锐角范围内。 【例7】若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【例8】若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知为锐角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】用科学计算器求的值，探究的值随锐角变化的规律．根据这个规律，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】若，则的度数在哪个范围（   ） A． B． C． D． 题型五、常规直角三角形求解问题 题型模版 1.特征：题干给出直角三角形的部分边长、锐角度数，依托直角三角形固有性质，求解未知边长或锐角度数。核心考查边角互化能力，需结合勾股定理与三角函数公式综合解题。 2.方法：根据已知条件选择合适的三角函数公式，实现边角转化，无对应函数关系时结合勾股定理辅助求解。计算完成后检验边长为正数、角度为有效锐角，符合直角三角形基本性质。 【例9】如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【例10】如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 【变式5-1】如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 【变式5-3】如图，点，在矩形内，．若，则的长为____________． 题型六、构造直角三角形解斜三角形问题 题型模版 1.特征：题干为非直角的斜三角形，无直接可用的三角函数关系，无法直接求解边角，需要通过辅助线转化图形。是本章重难点题型，侧重图形转化与构造思维的考查。 2.方法：过三角形顶点作高线，将斜三角形分割为两个标准直角三角形，搭建边角计算载体。利用公共高建立等量关系，结合三角函数求解未知量，最终整合结果作答。 【例11】在中，，，，则的长度为_________． 【例12】如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【变式6-1】如图，在中，，，，求BC的长． 【变式6-2】如下图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的值． 【变式6-3】如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 3．在中，，，则 ______． 4．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 5．若是锐角，，则取值范围为________． 6．已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 8．求下列各式的值： (1)； (2)． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 10．若均为锐角，且满足，求的值． 11．在中，角所对应的边分别是，已知，，． (1)求的值； (2)求和的面积． 12．如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $