专题01 三角初步在一模中的常考题型（题型专练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题01 三角初步在一模中的常考题型 （题型突破·举一反三） 题型01 锐角三角函数 题型02 特殊角的三角函数 题型03 解直角三角形 题型04 解直角三角形的应用 题型05 与解直角三角形相关的几何综合题 ▌题型01 锐角三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的正弦记作sinA, 其值为 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的余弦记作cosA, 其值为 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的正切记作tanA, 其值为 【典例1】在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 【变式1-1】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5． ∴cosA＝． 故选C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边． 【变式1-2】如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，网格中求三角函数值，连接，交于点，易得，均为等边三角形，求出的长，再利用正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵菱形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：为等边三角形，，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，首先，判断“某一边”不能是斜边，因为会导致无解；然后考虑该边为直角边，利用勾股定理和条件建立方程，求解得到较短直角边与斜边的比值，即为较小锐角的正弦值． 【详解】解：设直角三角形三边分别为 、、，其中 为斜边，，为最小锐角． ①当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴原方程无解，即； ②当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，与矛盾，舍去． ∴较小锐角的正弦值为 ． 故答案为：． ▌题型02 特殊角的三角函数 1. 30°、45°、60°的三角函数值 30° 45° 60° sin cos tan 1 2. 锐角三角函数的增减性 （1）锐角的正弦值随之角度的增大而增大 （2）锐角的余弦值随之角度的增大而减小 （3）锐角的正切值随之角度的增大而增大 【典例2】如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 【变式2-1】计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的运算顺序和法则是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值化简，而后根据二次根式的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数混合运算，将特殊角的三角函数值代入计算，化简即可． 【详解】解： ． ▌题型03 解直角三角形 解直角三角形的常见类型： 已知条件 解题步骤 已知一边一角 A，a B=90°-A，b=，c= A，c B=90°-A，， 已知两边 a，b c=，由tanA=求A，B=90°-A a，c b=，由sinA=求A，B=90°-A 【典例3】在中，（是锐角），，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，过点C作于点D，根据正弦的定义求出的长，则可用勾股定理求出的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：4． 【变式3-1】将一副直角三角板如图放置，已知，，，，点在边上，点E，F在边上，如果，那么的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点C作于点H，解可得，解得到，解得到的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H， 在中，， ∴； 在中，， 在中，，； 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】已知中，，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作于点，分别解和，求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，， ∴； 在中，，， ∴， ∴； 故答案为： 【变式3-3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 【答案】或 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． ▌题型04 解直角三角形的应用 1. 仰角、俯角 仰角指的是在水平线上方的视线与水平线所成的夹角；俯角指的是在水平线下方的视线与水平线所成的夹角； 2. 方位角 方位角指的是正南或正北方向与目标方向所形成的小于90°的夹角； 3. 坡度、坡角 坡度（也叫坡比）指的是斜坡上升（或下降）的垂直距离与水平距离的比（一般表示为i=1:m的形式）； 坡角α指的是斜坡坡面与地面（水平线）的夹角。 坡度与坡角的关系： 【典例4】如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知为等腰直角三角形，设，则，，然后根据在中，，代入得到方程，解之即可． 【详解】解：设， 由题意可知，，，米，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得米， ∴教学楼AB的高度为米． 【变式4-1】如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点作于点，在和中，利用三角函数解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由题意，可知，（米）， 在中，可得， ∴（米）， 在中，可得， ∴（米）， ∴（米）， ∴此时货车A和汽车B相距米． 故答案为：． 【变式4-2】如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【答案】(1)7.6米 (2) 解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长米， 在中，， 由得，（米）， （米）， 由（1）得米，米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度． （1）记与交于点，根据等角的余角相等得，在中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算长，在中，根据锐角三角函数求出，由计算的长； （2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长米，在中，根据锐角三角函数计算的长，从而计算的长，进而比较和的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到． 【详解】（1）解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ，米， ， ， ， ， ， 在中，， 由得，（米）， 由得，（米）， 在中， ，（米）， 由得，（米）， （米）， 答：的长约为7.6米； （2）略 【变式4-3】如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． ▌题型05 几何综合题 1. 几何配套知识点（综合题高频） （1）直角三角形：勾股定理、斜边中线 = 斜边一半、30° 对直角边 = 斜边一半 （2）相似三角形（最常用）：等角→三角函数值相等。 （3）全等三角形：转移线段、转移角度 （4）平行线性质：内错角相等，用来转移角，把目标角挪到直角三角形 （5）等腰三角形、等边三角形：角相等、边相等 （6）四边形：矩形、正方形自带直角；菱形对角线互相垂直；梯形常作高 【典例5】如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， ①求的值： ②如果，求的正弦值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即； (2)①2；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义等知识，解题的关键是： （1）先证明，得出，，则，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）①证明，得出，证明，得出，根据（1）中，，得出，得出，即可求解； ②过A作于H，在和中，根据勾股定理可得出，则可求出，在和中，根据勾股定理可得出，则可求出，， 在中，根据正切的定义求出，然后结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴； ②过A作于H， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴，， 解得， ∴， ∵ ∴． 【变式5-1】如图，已知矩形中，点E是边上一动点，在右侧作，使得，其中点C、F分别与点E、C对应．已知，． (1)当点E与点B重合时，求四边形的面积； (2)点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为②的量的变化情况的理由： ①的大小；②的长度；③的值． 其中，变大的量是___________；变小的量是___________．（请在横线处填入编号） (3)当四边形的一条对角线平分另一条对角线时，求的长． 【答案】(1) (2)变大的是③，变小的是①② (3)或 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形面积公式，三线合一，三角形重心的性质，分类讨论，数形结合是解决问题的关键； （1）根据勾股定理得，由得，求出直角边，再按三角形面积公式计算即可； （2）作于H，根据移动过程中、、的变化情况判断即可； （3）分两种情况讨论，当平分时，，过点O作，，则，，得是等腰三角形，是的垂直平分线，，和关于对称，，得，，根据求解即可；当平分时，取中点P，连接交于Q，证，根据Q是中线的交点，求出，，设，则，，，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当点E与点B重合时，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得，， ∴四边形的面积为：． （2）解：作于H如图所示： ∵， ∵增大， ∴减小， ∵，点C、F分别与点E、C对应， ∴，， ∴减小； ∵， ∴．即，得， ∵增大， ∴减小； ∵， ∵减小， ∴增大； ∴增大， 综上：增大的是③，减小的是①②． （3）解：1、如图所示：当平分时，记与的交点为， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 过点O作，，则， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴和关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴； 2、如图所示：当平分时，， 取中点P，连接交于Q， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵Q是中线的交点， ∴，， 设，，， 解得，则，， ∵， ∴． 设，则，， ∴，， ∴，解得． ∵E在边上， ∴， ∴． ∴或． 【变式5-2】如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及余弦的定义． （1）根据已知条件及菱形的性质得出，，，证得，得出，，再证得，得出； （2）根据已知条件结合菱形的性质得出，，继而利用相似三角形的性质得出，，由得到，设，，列出关于a和b的表达式，从而得出的值； （3）连接交于点O，过点M作，根据题意设，利用相似三角形的性质得出相关图形的面积表达式，最终可列方程求得菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接交于点O， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，证明、，得到、，根据可知，设，则，求出，进而求出，，根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，则，证明，得到，求出，则，连接，设的面积是，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到的面积是，的面积是，根据四边形的面积是得到的面积是，列方程求出，则的面积是，作交延长线于G，根据三角形面积公式求出，根据正弦的定义得到，即； （3）根据折叠的性质得到，，，，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，根据等边对等角得到，即，则、，得到、，即，设，，则，可得，，，则，根据，得到，当点F在线段上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，根据完全平方公式得到，开平方即可；当点F在线段的延长线上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，开平方即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形的面积； （2）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 如图，连接， 设的面积是，则的面积是， ∴的面积是， ∵，， ∴的面积是， ∵四边形的面积是， ∴的面积是， 即， 解得：， ∴的面积是，的面积是， ∴的面积是， 作交延长线于G， 则， 解得：， ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即， 设，，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， 如图，当点F在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴ ， ∴ ， 即； 如图，当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴， ∴， 即． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角初步在一模中的常考题型 （题型突破·举一反三） 题型01 锐角三角函数 题型02 特殊角的三角函数 题型03 解直角三角形 题型04 解直角三角形的应用 题型05 与解直角三角形相关的几何综合题 ▌题型01 锐角三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的正弦记作sinA, 其值为 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的余弦记作cosA, 其值为 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 A 的正切记作tanA, 其值为 【典例1】在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是____________． 【变式1-3】如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________． ▌题型02 特殊角的三角函数 1. 30°、45°、60°的三角函数值 30° 45° 60° sin cos tan 1 2. 锐角三角函数的增减性 （1）锐角的正弦值随之角度的增大而增大 （2）锐角的余弦值随之角度的增大而减小 （3）锐角的正切值随之角度的增大而增大 【典例2】如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算：． 【变式2-2】计算： 【变式2-3】计算：． ▌题型03 解直角三角形 解直角三角形的常见类型： 已知条件 解题步骤 已知一边一角 A，a B=90°-A，b=，c= A，c B=90°-A，， 已知两边 a，b c=，由tanA=求A，B=90°-A a，c b=，由sinA=求A，B=90°-A 【典例3】在中，（是锐角），，那么的长为__________． 【变式3-1】将一副直角三角板如图放置，已知，，，，点在边上，点E，F在边上，如果，那么的长为__________． 【变式3-2】已知中，，，，那么的长为______． 【变式3-3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． ▌题型04 解直角三角形的应用 1. 仰角、俯角 仰角指的是在水平线上方的视线与水平线所成的夹角；俯角指的是在水平线下方的视线与水平线所成的夹角； 2. 方位角 方位角指的是正南或正北方向与目标方向所形成的小于90°的夹角； 3. 坡度、坡角 坡度（也叫坡比）指的是斜坡上升（或下降）的垂直距离与水平距离的比（一般表示为i=1:m的形式）； 坡角α指的是斜坡坡面与地面（水平线）的夹角。 坡度与坡角的关系： 【典例4】如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【变式4-1】如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 【变式4-2】如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【变式4-3】如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） ▌题型05 几何综合题 1. 几何配套知识点（综合题高频） （1）直角三角形：勾股定理、斜边中线 = 斜边一半、30° 对直角边 = 斜边一半 （2）相似三角形（最常用）：等角→三角函数值相等。 （3）全等三角形：转移线段、转移角度 （4）平行线性质：内错角相等，用来转移角，把目标角挪到直角三角形 （5）等腰三角形、等边三角形：角相等、边相等 （6）四边形：矩形、正方形自带直角；菱形对角线互相垂直；梯形常作高 【典例5】如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， ①求的值： ②如果，求的正弦值 【变式5-1】如图，已知矩形中，点E是边上一动点，在右侧作，使得，其中点C、F分别与点E、C对应．已知，． (1)当点E与点B重合时，求四边形的面积； (2)点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为②的量的变化情况的理由： ①的大小；②的长度；③的值． 其中，变大的量是___________；变小的量是___________．（请在横线处填入编号） (3)当四边形的一条对角线平分另一条对角线时，求的长． 【变式5-2】如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 【变式5-3】在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $