20.4 解直角三角形（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 20.4解直角三角形 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 解直角三角形的相关计算 1.C 2.B3.C4.A5.B6.D 7.MN/NM PNINP PNINP MN/NM 8.13.8 9.12 1 10.20.5 11.3 颗型02 解非直角三角形 12.D 13.A14.D15.B16.B17.B 18.2V2 4 19.3 20.3W3+3或35-3 21.210 22.60°或120/120°或60° 颗型03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 23.B 24.D25.C 26.9 27.220 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.15-55 29.150W5 B组 能力进阶 1.D2.C3.B4.B5.A6.C7.D8.C9.C10.C11.D12.A13.C 14.C 15.3 16.1 17.4 18.4或6 19.9+3√3/3v3+9 20.35 C组 思维拔高 1.C2.C3.C4.D5.A6.A7.D8.C9.D10.D11.C 12.3-2√2/-2W2+3 13. 20.5 14.①②③④ 拓展 链接中考 1.B2.B3.D 212 分层作业 20.4解直角三角形 目 录 A组 巩固过关 题型01 解直角三角形的相关计算 题型02解非直角三角形 题型03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 解直角三角形的相关计算题型01 1．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 2．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·云南·中考真题）如图，计划在一块等边三角形的空地上种植花卉，以美化环境．若米，则这个等边三角形的面积为（    ）． A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 8．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在地面上离旗杆底部8米的A处测得旗杆顶端C的仰角为，那么旗杆的高度约为______米（，精确到米）． 9．（2026·山东济宁·一模）如图，菱形的边长为12，，则对角线的长为________． 10．如图，在正六边形中，连接，则的值为______． 11．如图，在中，，于点，，，则的值______． 解非直角三角形题型02 12．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 13．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 15．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 16．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 17．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为______． 19．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________． 20．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________． 21．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为_______． 22．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是_________． 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积题型03 23．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 24．（17-18九年级上·山东潍坊·期末）已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（     ） A． B．24 C． D． 25．（17-18九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，，则的面积为（ ） A．6 B．12 C．12 D．24 26．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 27．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 28．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD＝_____． 29．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号） 1．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 2．如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 3．某校园门口的通道闸机挡板打开时的截面图如上图所示，扇形和是闸机成轴对称的挡板，已知半径，打开时，闸机装好后，要求挡板打开时两点之间的距离满足：，则安装时两个闸机机身之间的安装距离应满足（     ） A． B． C． D． 4．如图，等边的边在轴的负半轴上，双曲线过的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 10．（2019·吉林长春·一模）如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 11．（19-20九年级上·四川成都·期末）如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 12．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 13．（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 15．如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，与相交于点D，则______. 16．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 17．如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 18．在中，若，，，则_________． 19．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为___________． 20．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 1．【几何综合】如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．【动点问题】如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 3．【代几综合】如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（     ） A． B． C． D． 4．【几何综合】如图，在正方形中，点在线段上，连接，过点作于点，交于点，连接并延长交于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．【折叠问题】如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 6．【实际情境】如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 7．【代几综合】如图，已知，第一象限内的点在反比例函数的图象上，第四象限内的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（     ） A． B．12 C． D．－12 8．【最值问题】（2026·河南驻马店·三模）如图，平面直角坐标系中，点点为轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当取最小值时，点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 9．【几何综合】中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．【实际情境】如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（ ）米．（，结果保留两位有效数字） A．11 B．8.5 C．7.2 D．10 11．【实际情境】如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，已知旗杆所在平台的高度为3.5米，则旗杆的高度为（）（结果精确到0.1，参考数据：，）． A．19.8米 B．19.7米 C．18.3米 D．16.2米 12．【几何综合】如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 13．【最值问题】如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 14．【几何综合】如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论：①；②取上一点，若，则；③当取最大值时，有最大值；④若为中点时，．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 1．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 2．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 20.4解直角三角形 目 录 A组 巩固过关 题型01 解直角三角形的相关计算 题型02解非直角三角形 题型03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 解直角三角形的相关计算题型01 1．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴，， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究； 先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选：C 4．（2024·云南·中考真题）如图，计划在一块等边三角形的空地上种植花卉，以美化环境．若米，则这个等边三角形的面积为（    ）． A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质， 解直角三角形，过点A作交与点D．利用等边三角形的性质以及解直角三角形可求出，最后根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：过点A作交与点D． ∵为等边三角形，且(米)， ∴(米)， ∴(平方米)， 故选；A． 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 7．如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 【答案】 / / / / 【分析】根据直角三角形定义确定直角顶点，区分斜边与直角边，结合锐角对边与邻边的概念进行识别． 【详解】解：由题意得的对边是，的邻边是 的对边是，的邻边是． 8．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在地面上离旗杆底部8米的A处测得旗杆顶端C的仰角为，那么旗杆的高度约为______米（，精确到米）． 【答案】 【分析】利用正切进行求解． 【详解】解：∵， ∴（米）． 9．（2026·山东济宁·一模）如图，菱形的边长为12，，则对角线的长为________． 【答案】12 【分析】连接，交于点O，根据菱形对角线性质可得与互相垂直且平分，在中,由，可得，． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直且平分， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，在正六边形中，连接，则的值为______． 【答案】 / 【分析】根据正六边形的性质，推出为含30度角的直角三角形，即可求解. 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 11．如图，在中，，于点，，，则的值______． 【答案】 【分析】由角度等量代换可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 解非直角三角形题型02 12．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 13．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 14．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 15．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 16．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可． 【详解】解：， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 17．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 18．（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 19．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________． 【答案】 【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵小正方形的边长为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 21．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 22．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是_________． 【答案】60°或120°/120°或60° 【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论． 【详解】解：当∠A是锐角时， 如图，过点B作BD⊥AC于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在中，sinA＝＝＝， ∴∠A＝60°． 当∠A是钝角时， 如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝， ∴∠BAD＝60°． ∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线． 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积题型03 23．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】B 【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解. 【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示： ∵∠ACD=135° ∴∠ACN=45° 在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45° ∴AN=CN=18 在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2， 设 ∴ 解得或（不符合题意，舍去） ∴AH=45 ∴HN=AH-AN=45-18=27 ∵四边形DGHN是矩形 ∴DG=HN=27 在Rt△DEG中， ∴ 故选：B. 【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题. 24．（17-18九年级上·山东潍坊·期末）已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（     ） A． B．24 C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，利用三角函数求出BC边上的高，再计算面积即可. 【详解】根据题意作△ABC如图所示，过A作AD⊥BC于D， ∵在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=6， ∴sin∠B=， ∴AD=， ∴S△ABC= 故选D. 【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值的应用，熟记特殊角度的三角函数值是关键. 25．（17-18九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，，则的面积为（ ） A．6 B．12 C．12 D．24 【答案】C 【分析】过A做的高，然后根据的三角函数值求出高，进而求出面积。 【详解】解：过A点作AE⊥BC，垂足为E， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积，． 故选C． 【点睛】本题考查了利用三角函数求线段长度，构造直角三角形，并掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 26．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查不规则图形面积的求法，熟练掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 设直角三角形中较短直角边为a，利用割补法分别求出，，进而可得答案． 【详解】解：设直角三角形中较短直角边为a，则较长的直角边为， ，， ， 故答案为：9． 27．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 28．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD＝_____． 【答案】 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案． 【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10， ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5． 故答案是：15﹣5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 29．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解. 【详解】如解图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴. ∵在中，，， ∴. ∵，， ∴（平方米）. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 1．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由勾股定理求出，根据直角三角形的性质和三角形中位线定理得到，则，由平行线的性质得到，则，求出，即可得到． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵为边的中点，为上一点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．某校园门口的通道闸机挡板打开时的截面图如上图所示，扇形和是闸机成轴对称的挡板，已知半径，打开时，闸机装好后，要求挡板打开时两点之间的距离满足：，则安装时两个闸机机身之间的安装距离应满足（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造直角三角形，运用三角函数计算出单侧挡板打开时的水平投影长度，然后结合轴对称图形的性质可得出两个挡板的总水平投影长度，最后结合的长度范围推导出安装距离的范围． 【详解】解：过点B作于点G，过点D作于点H． 在中，，，根据正弦的定义：． 由于扇形和成轴对称关系，因此同理可得． 两个挡板的总水平投影长度为：． 题目要求，而的长度等于“两个挡板的总水平投影”加上“的长度”． 当时，的最小值为总水平投影：； 当时，的最大值为总水平投影加10：． 因此，安装距离应满足：． 4．如图，等边的边在轴的负半轴上，双曲线过的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作交于点，由等边三角形的性质和解直角三角形求出，把点坐标代入双曲线，即可求出值，进而求出双曲线的表达式． 【详解】解：过点C作交于点， ∵等边三角形的边长是， ∴，， ∵点C是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线过点， ∴， 解得：， ∴该双曲线的表达式为． 5．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中利用正切函数求出，再在中利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴． 6．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ∴， ∴， ，故选项A错误， ，故选项B错误， ，故选项C正确， ，故选项D错误． 7．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，，，利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，， 同理，在中，由勾股定理可知，， 设， 则在中， 由勾股定理可知，； 同理，在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 即， ∵， ∴， ∴， 8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 10．（2019·吉林长春·一模）如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可. 【详解】 如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形， ∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 11．（19-20九年级上·四川成都·期末）如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 12．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 13．（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 14．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 15．如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，与相交于点D，则______. 【答案】 【分析】以点为原点建系，由格点确定坐标，求出直线的解析式，得到点的坐标，利用三角形面积公式求出边上的高，再用勾股定理求出，进而得到，由正切定义得． 【详解】解：如图，以点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，过点作，垂足为， 则，，， ， 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 16．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，且，证明是等边三角形，根据三线合一得到，根据三角函数求出，，​​根据等面积法求出，证明是的中位线，得到，证明，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，且． ∵菱形邻边相等，， ∴是等边三角形， ∴． 在中，，， ∴，，​​ ∵， ∴， 即， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 17．如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 【答案】 【分析】如图，解，求出，再根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴． 18．在中，若，，，则_________． 【答案】4或6 【分析】过A作于，在中，由已知条件设，根据勾股定理求出x的值，从而得出，在中，根据勾股定理得出，可得到的长度． 【详解】解：如图，过A作于， 在中，， 设， ， ，即， 解得， ． 在中，， ， 同理可求． 则的值为4或6． 19．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．【几何综合】如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】通过作辅助线（高线），利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线这一性质，构造出直角三角形，求出的长，进而得到的长；最后在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半来求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，，， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，点E是的中点， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．【动点问题】如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】对于①，由题干条件容易得出，相加即可；对于②，延长至点，使得，利用“半角”模型与正方形的性质容易证明与，则，，由三角形外角的性质可得；对于③，作于点，连接，，容易证明与，则，，同理，，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出即可；对于④，由③可得，，，则，推出，通过导角可得，解直角三角形可计算出． 【详解】解：对于①，正方形的周长是周长的倍， ，即， ， ，， ，故①正确； 对于②，如图，延长至点，使得， 由①可得， ， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， 又，， ， ，故②正确； 对于③，如图，作于点，连接，， 由②可得，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 同理，， ，， ， 在中，，故③正确； 对于④，由③可得，，， ， 在中，， ， ，，且， ， ，即， ， ， ，即， ，故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选：C． 3．【代几综合】如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角可得，过点作轴于，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点的坐标，再把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】如图，过点作轴于，连接， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得． 4．【几何综合】如图，在正方形中，点在线段上，连接，过点作于点，交于点，连接并延长交于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方形性质及垂直关系证得，结合已知条件推出，进而得，作垂线构造等腰直角三角形和全等三角形求解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 过点作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴. 5．【折叠问题】如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作交于，先用正切的定义求出正方形的边长，再用勾股定理求出的长，再利用两次平行线分线段成比例定理求得的长． 【详解】解：如图，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 将沿翻折得， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 解得：． 6．【实际情境】如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，得出四边形是矩形，可得，再解直角三角形，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图，由题意得，，，， ，， 过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即容器最高处距离地面的高度是． 7．【代几综合】如图，已知，第一象限内的点在反比例函数的图象上，第四象限内的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（     ） A． B．12 C． D．－12 【答案】D 【分析】作轴，轴，证，利用面积比等于相似比的平方及反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图 ． ， ． ． ， ． ． 在中，， ． ． 点在上， ． ． 点在上，且图像在第四象限， ． ． 8．【最值问题】（2026·河南驻马店·三模）如图，平面直角坐标系中，点点为轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当取最小值时，点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转判断出，，，推出，再过点作轴，作点关于轴的对称点，连接、、，推断出当三点共线时，即有最小值，即有最小值，然后根据对称求出点的坐标，根据解直角三角形求出点坐标，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 如图，过点作轴，作点关于轴的对称点，连接、、， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵点与点关于轴的对称，点， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴点， ∵设直线的解析式为：， 代入、， 即，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当时，， ∴点的坐标为． 9．【几何综合】中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，作于点，过点作于点，设，，先用三角函数的知识表示出和，进而表示出的面积和的长，在中利用勾股定理并整理得到；再利用角平分线的定义和三角函数的知识表示出和，进而表示出和的面积，利用整理得到，令，，联立方程解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 设，， ，，， ， 在中，，， ，， ，， 在中，， ， 整理得：，即； 平分， ， ，， ，， ， ， 整理得：； 令，，则， 解得：或（舍去）， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，利用等面积法和勾股定理建立方程是解题的关键．本题属于几何压轴题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生． 10．【实际情境】如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（ ）米．（，结果保留两位有效数字） A．11 B．8.5 C．7.2 D．10 【答案】D 【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到CA的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度． 【详解】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG． ∵i==，设BE=4x，则AE=3x，AB=5x． ∵AB=10.5，∴x=2.1，∴BE=8.4，AE=6.3． ∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+8.4=10，AH=AE+EH=6.3+0.7=7． 在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=10，tan30°==，∴CH≈17． 又∵CH=CA+7，即17=CA+7，∴CA=17﹣7=10（米）． 故选D． 【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 11．【实际情境】如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，已知旗杆所在平台的高度为3.5米，则旗杆的高度为（）（结果精确到0.1，参考数据：，）． A．19.8米 B．19.7米 C．18.3米 D．16.2米 【答案】C 【分析】作于点G，作的延长线于点H，根据勾股定理和坡度比求得CH和DH的长，然后根据两个正切值分别表示处AF，并求得AF的长，最终根据AF-BF即可求解AB的长． 【详解】作于点G，作的延长线于点H， 设CH=3x，则DH=4x，在中 解得x=0.7 ∴CH=2.1，DH=2.8 根据题意CG=FH=DH+DE+EF=2.8+15+EF=17.8+EF，FG=CH=2.1 ∵ ∴AG=0.7CG ∴ 又∵ ∴AF=2.1EF ∴ 解得EF=10.4 ∴ ∴AB=AF-BF=21.8-3.5=18.3（米） 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，关键是作出辅助线，用两种方法表示AF并求解AF． 12．【几何综合】如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 【答案】 / 【分析】尺规作图作出点P、Q、R、S．连接，设正方形的边长为1，，，运用正方形性质和折叠性质证明点Q在上，点R在上，点S在上，点P在上，８个小三角形全等，．根据，得，代入，，得到方程，解方程求出x的值，即可得到的长，即可计算的正切值． 【详解】以点A为圆心，以长为半径画弧交于另一点， 分别以这点和点H为圆心，以大于点H和这点之间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点， 从点A向两弧交点作射线， 在射线上取点P，使点P和点A到的距离相等． 以同样方法作出点Q、R、S． 连接，，设正方形的边长为1，，， ∵正方形中，， 令，则， ∵， ∴， 解得， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证图中四个直角三角形、、、互相全等， 由折叠知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， 同理点R在上，点S在上，点P在上， ∴小正方形与8个全等的小直角三角形密铺在大正方形内， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴． 13．【最值问题】如图，在中，，边上的高是8，当最小时，_____． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理及得到，结合得到关于的一元二次方程，根据存在可知，进而求出的取值范围，得到的最小值再代入关于的一元二次方程求出的值，根据计算即可． 【详解】解：在和中，由勾股定理得：，， ∵， ∴，即， ∴， 整理得， ∵， ∴， 整理得， 将其看作关于的一元二次方程， 可知， 整理得， ∵， ∴， 即的最小值是， ∴， 整理得， 即， 解得：， ∴． 14．【几何综合】如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论：①；②取上一点，若，则；③当取最大值时，有最大值；④若为中点时，．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】①由矩形的性质和角平分线的定义可求出，根据等边对等角得出，然后结合矩形的性质即可判断①；②过M作于N，证明，得出，结合已知可得出，分别在、中，根据正弦的定义可得出，则，导角可求出，证明，根据相似三角形的性质可求出，即可判断②；③证明，得出，则可求，即可判断③；④设，则、，根据勾股定理求出，由③中得出，则可表示出，，最后代入比较即可判断④． 【详解】解：①∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴，故①正确； ②如图，过M作于N， 则， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，在中，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵矩形和矩形， ∴， ∴，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴当取最大值时，有最大值，故③正确； ④∵为中点， ∴， 设，则，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②③④． 1．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 2．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，即求的长，求得∠BAC＝30°，进而解即可求解． 【详解】如图，    ∵底部是边长为120m的正方形， ∴BC＝×120＝60m， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴AB＝＝120m， ∴AC＝＝m． 答：这个金字塔原来有米高． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $