专题10 锐角三角函数实际应用综合题型（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题10 锐角三角函数实际应用综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、锐角三角函数——仰角俯角问题 题型二、锐角三角函数——方向角测距问题 题型三、锐角三角函数——坡度坡比应用问题 题型四、锐角三角函数——其余实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 锐角三角函数实际应用是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕仰角俯角、方向角、坡度坡比、实景建模四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是必须通过作垂线构造直角三角形转化实景图形，二是严格对应角度定义，杜绝方位角、坡比概念混淆，最终舍去不符合实际的解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、锐角三角函数——仰角俯角问题 题型模版 1.特征：属于高度测量类实际题型，以观测点高低视角为背景，给出仰角、俯角及水平距离、高度等条件，求解物体高度、观测距离。易错点是混淆仰角与俯角定义，看错水平线与视线夹角，导致建模出错。 2.方法：根据题意绘制观测示意图，过观测点或被测点作水平线、垂线构造直角三角形。利用仰角、俯角确定对应锐角，结合三角函数建立边角关系，列式计算，最后检验结果符合实际测量逻辑。 【例1】如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴ 在中，， ∴． 【例2】如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【分析】设，求出，，由列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即这座塔的高度为． 【变式1-1】如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】通过作水平线构造两个直角三角形，利用矩形性质得到；先用俯角 求出水平距离 ；再利用仰角 的等腰直角三角形特点得到；最后 求出建筑总高度． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形， ． 在中，，则． 在中，， ， ． 【变式1-2】舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 【变式1-3】学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点，，，，，，均在同一竖直平面内，求点距离地面的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】过E作交于H，由正切的定义得，，即可求解． 【详解】解：如图，过E作交于H， ∵， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， 即点E距离地面的高度米． 题型二、锐角三角函数——方向角测距问题 题型模版 1.特征：以航海、行走方位为背景，给出北偏东、南偏西等方向角，结合两点间距，求解未知距离或方位角度。难点是精准识别方位角，容易出现角度找错、图形建模不标准的问题。 2.方法：依据方位规则画出平面示意图，通过作垂线分割出标准直角三角形。准确提取题目中的方向角，转化为三角形内角度，运用锐角三角函数、勾股定理列式求解，验证方位与距离的合理性。 【例3】如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 【例4】某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离； (2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，分别在含的和中，求得和，得到的长，最终在中利用勾股定理求得的长度即为配送点到配送点的距离； （2）设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，根据快递员甲和快递员乙的速度之比为，得到路程之比为，即，设快递员甲离中转站的距离，则，，在中，利用勾股定理列方程求解，进而求得快递员甲离中转站的距离． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， AI 由题意得：，，，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 答：配送点到配送点的距离为． （2）解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，两快递员直线距离为， 快递员甲和快递员乙的速度之比为， 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为，即． 设快递员甲离中转站的距离，则， ， 在中，， ，化简得， 解得：，． 当时，符合题意，当时，，不合题意，舍去； 答：当两快递员直线距离为时，快递员甲离中转站的距离为． 【变式2-1】如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 【变式2-2】重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米． (2)会合时小王一共走了千米． 【分析】（1）作于，由方向角得，在Rt中利用特殊角三角函数值求出、；作交的延长线于，由得为等腰直角三角形，，由求出的长； （2）设两人会合于公路上的点、，由两人同时出发、同时会合，把速度比转化为路程比；在Rt中用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程并根据实际意义检验根． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向， ∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米）， （千米）． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北， ∴． 在Rt中，， ∴， ∴（千米）． ∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为， ∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴，即， 整理，得， 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【点睛】本题考查方向角、解直角三角形、矩形的判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及一元二次方程的应用；解题关键：一是抓住方向角与正东、正北方向互相垂直，把北偏东、北偏西转化为与，通过作垂线构造Rt、Rt与矩形，利用特殊角三角函数值和等腰直角三角形完成线段长度的转化；二是第（2）问抓住“两人同时出发、同时会合”，把速度比转化为路程比，设后在Rt中用勾股定理建立一元二次方程，解出后须检验根的实际意义，取． 【变式2-3】为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)的长度为 (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； （2）略 题型三、锐角三角函数——坡度坡比应用问题 题型模版 1.特征：依托山坡、堤坝、斜坡等工程场景，给出坡度、坡角、坡面长度等条件，求解斜坡高度、水平宽度。核心易错点是混淆坡度定义，误将坡角当作坡度直接代入计算。 2.方法：牢记坡度为竖直高度与水平宽度的比值，对应坡角的正切值。构建直角三角形，结合坡度条件转化边长关系，利用三角函数运算求解，严格区分坡度与坡角，避免概念混用。 【例5】某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡FE的坡度变为，则坝底加宽的宽度是______米． 【答案】12 【分析】过点作交于点，作于点G，则四边形为平行四边形，且，结合平行四边形的性质及正切函数求解即可； 【详解】过点作交于点，作于点G，则， ∵ ∴四边形为平行四边形， ，， 由题意得：，， 在中，， 在中，， ， ． 【例6】如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 【变式3-1】如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高，宽，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起点为，现设计斜坡的坡比，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，根据题意求出台阶的总高度与台阶的总水平宽度，利用坡比定义求出的长，最后根据计算． 【详解】解：过点作于点， 根据题意得：，， 斜坡的坡比， ， ， ． 【变式3-2】如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度为95米 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长 交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得， 即米， ∴（米）， 答： 摩天轮的高度为95米． 【变式3-3】如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 【答案】大坝高度为米，米 【分析】分别过两点作，垂足分别为，利用勾股定理和三角函数解答即可． 【详解】解：分别过两点作，垂足分别为，则的长就是大坝的高度． 迎水坡的坡度为， ， 设， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， （米），（米）， 大坝高度为米． 大坝横截面是梯形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， （米），（米）， 在直角三角形中，，， ， （米）， ∴（米）． 题型四、锐角三角函数——其余实际应用问题 题型模版 1.特征：涵盖折叠、采光、桥梁、阶梯等各类非常规三角函数实景题型，无固定图形模板，条件灵活多变。主要考查图形建模能力，学生易遗漏隐含直角条件，导致无法列式。 2.方法：通读题干提取有效边角条件，通过作辅助线构造直角三角形，转化实际场景为几何模型。结合锐角三角函数公式建立等量关系求解，最终舍去不符合实际情境的无效解。 【例7】如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为，检票前双翼展开呈扇形和扇形，若，，则A，B两点之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据通过闸机的物体的最大宽度为，即可得到A，B两点之间的距离． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则中，，， ， 同理可得， 又通过闸机的物体的最大宽度为， A，B两点之间的距离为. 【例8】如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 【变式4-1】科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为1.3. 【变式4-2】如图，左图是有盖垃圾桶的侧面示意图，为判断该垃圾桶放置在桌下是否合适，需要计算打开盖后垃圾桶的最大高度．已知完全打开盖后如右图，，则打开盖后该垃圾桶的最大高度为_________． 【答案】 【分析】根据矩形性质得出长及高，由旋转性质得长，过点作的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出到的距离，加上即为最大高度． 【详解】解：过点作，交直线于点， 四边形是矩形 ，， 由旋转性质可知 在中， 打开盖后该垃圾桶的最大高度为． 【变式4-3】如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】 【分析】作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，进而即可求解． 【详解】解：作于点，作，交的延长线于点，如图， 在中，米，， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，米，， ∴米， ∴米． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】米/ 【分析】过点作于点，证明四边形，四边形和四边形是矩形，则求出米，米，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，， ∵， ∴四边形，四边形和四边形是矩形， ∴米，米， ∴ ∴三点共线， 在中， ， ∴ 在中，∵，， ∴, 即，解得（米） ∵米 ∴（米） 即天下第一菹坛的高为米． 2．如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上，改善后的滑梯会加长多少米？（精确到） 【答案】改善后滑梯会加长． 【分析】根据坡度及勾股定理求出，进而计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴ 解得：（负值舍去）， 在中，， 解得：， ∴． 即改善后滑梯会加长． 3．国产大型客机于2023年5月28日迎来商业首飞，实现了中国人的大飞机之梦．如图，如果执行商业首飞任务的大飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞行高度，从飞机上看地面控制点B的俯角．求A处到控制点B的距离．（精确到） 【答案】 【分析】在中，根据，求出即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 在中，， ∴， 答：A处到控制点B的距离为． 4．如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向． (1)求的度数； (2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知角度求出和，在中，根据三角形内角和定理求出的度数即可． （2）根据轮船距离小岛最近时得到的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）解：如图①．由题意，得，，， ，， ． （2）当轮船行驶到距离小岛最近点时，此时，如图②． ． 由题意，得，， ， ． 5．中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【答案】(1) (2)B，C两地的直线距离约为千米 【分析】（1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，， ∴（千米）． 在中，， ∴（千米）， ∴B，C两地的直线距离约为千米． 6．如图，一段路基的横断面是梯形，高为，上底宽为，其坡面的坡角分别是和．求路基下底的宽．（精确到0.1m）    【答案】 【分析】作，再求出，同理可得，然后根据得出答案． 【详解】解：作，垂足为点E，F， 由题意，得， 在中，， ∴． 在中，同理可得， ∴． 答：路基下底的宽约为． 7．如图，某居民楼后有一座小山，其坡度：，山坡上点处有一凉亭，测得小山坡脚点与居民楼水平距离，与凉亭距离，某人在点处用自制的测角仪测得居民楼点的仰角为，求居民楼的高．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，根据三角函数得出，过点作，于点，根据三角函数得出，，，进而解答即可． 【详解】解：过点作于点，过点作，于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 依题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 答：居民楼的高为． 8．贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度．如图，小亮选取了一段两岸相互平行的河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东方向的北岸岸边有一棵大树B，接着小亮沿着河边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度，（结果保留整数．参考数据：， ，） 【答案】该河段贾鲁河的宽度约为28米 【分析】过点作于点，设米，解直角三角形求出米，，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示． 由题意，可知米． 设米． 在中， ∵， ∴米． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 答：该河段贾鲁河的宽度约为28米． 9．某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽为32.6米． 【分析】由锐角的正切定义求出和的长，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴（米）． ∵， ∴（米）． ∴（米）． 答：河宽为32.6米． 10．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M， 由题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， 故桌面到地面的距离约为． 11．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 【答案】(1)，36米 (2)米 (3)米 【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可； （2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答． （3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴； 在中，，米， ∴米． （2）解：如图：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， 米， ∵，， ∴， ∴米， ∴米． （3）解：∵四边形是矩形，米， ∴米， 在中，，米， ∴米． ∴米． 12．消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． (1)当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． (2)某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 【答案】(1) (2)解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图， 由（1）知：四边形是矩形， ∴，， 此时， 在中，， ∴（米）（米）， ∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案； （2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∴， 由题意知：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米； （2）略． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 锐角三角函数实际应用综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、锐角三角函数——仰角俯角问题 题型二、锐角三角函数——方向角测距问题 题型三、锐角三角函数——坡度坡比应用问题 题型四、锐角三角函数——其余实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 锐角三角函数实际应用是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕仰角俯角、方向角、坡度坡比、实景建模四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是必须通过作垂线构造直角三角形转化实景图形，二是严格对应角度定义，杜绝方位角、坡比概念混淆，最终舍去不符合实际的解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、锐角三角函数——仰角俯角问题 题型模版 1.特征：属于高度测量类实际题型，以观测点高低视角为背景，给出仰角、俯角及水平距离、高度等条件，求解物体高度、观测距离。易错点是混淆仰角与俯角定义，看错水平线与视线夹角，导致建模出错。 2.方法：根据题意绘制观测示意图，过观测点或被测点作水平线、垂线构造直角三角形。利用仰角、俯角确定对应锐角，结合三角函数建立边角关系，列式计算，最后检验结果符合实际测量逻辑。 【例1】如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【例2】如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【变式1-1】如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． 【变式1-2】舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【变式1-3】学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点，，，，，，均在同一竖直平面内，求点距离地面的高度．（参考数据：，，，，，） 题型二、锐角三角函数——方向角测距问题 题型模版 1.特征：以航海、行走方位为背景，给出北偏东、南偏西等方向角，结合两点间距，求解未知距离或方位角度。难点是精准识别方位角，容易出现角度找错、图形建模不标准的问题。 2.方法：依据方位规则画出平面示意图，通过作垂线分割出标准直角三角形。准确提取题目中的方向角，转化为三角形内角度，运用锐角三角函数、勾股定理列式求解，验证方位与距离的合理性。 【例3】如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【例4】某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离； (2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 【变式2-1】如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【变式2-2】重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【变式2-3】为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 题型三、锐角三角函数——坡度坡比应用问题 题型模版 1.特征：依托山坡、堤坝、斜坡等工程场景，给出坡度、坡角、坡面长度等条件，求解斜坡高度、水平宽度。核心易错点是混淆坡度定义，误将坡角当作坡度直接代入计算。 2.方法：牢记坡度为竖直高度与水平宽度的比值，对应坡角的正切值。构建直角三角形，结合坡度条件转化边长关系，利用三角函数运算求解，严格区分坡度与坡角，避免概念混用。 【例5】某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡FE的坡度变为，则坝底加宽的宽度是______米． 【例6】如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【变式3-1】如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高，宽，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起点为，现设计斜坡的坡比，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【变式3-3】如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 题型四、锐角三角函数——其余实际应用问题 题型模版 1.特征：涵盖折叠、采光、桥梁、阶梯等各类非常规三角函数实景题型，无固定图形模板，条件灵活多变。主要考查图形建模能力，学生易遗漏隐含直角条件，导致无法列式。 2.方法：通读题干提取有效边角条件，通过作辅助线构造直角三角形，转化实际场景为几何模型。结合锐角三角函数公式建立等量关系求解，最终舍去不符合实际情境的无效解。 【例7】如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为，检票前双翼展开呈扇形和扇形，若，，则A，B两点之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【例8】如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-1】科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【变式4-2】如图，左图是有盖垃圾桶的侧面示意图，为判断该垃圾桶放置在桌下是否合适，需要计算打开盖后垃圾桶的最大高度．已知完全打开盖后如右图，，则打开盖后该垃圾桶的最大高度为_________． 【变式4-3】如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 2．如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上，改善后的滑梯会加长多少米？（精确到） 3．国产大型客机于2023年5月28日迎来商业首飞，实现了中国人的大飞机之梦．如图，如果执行商业首飞任务的大飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞行高度，从飞机上看地面控制点B的俯角．求A处到控制点B的距离．（精确到） 4．如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向． (1)求的度数； (2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数． 5．中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 6．如图，一段路基的横断面是梯形，高为，上底宽为，其坡面的坡角分别是和．求路基下底的宽．（精确到0.1m）    7．如图，某居民楼后有一座小山，其坡度：，山坡上点处有一凉亭，测得小山坡脚点与居民楼水平距离，与凉亭距离，某人在点处用自制的测角仪测得居民楼点的仰角为，求居民楼的高．（结果保留根号） 8．贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度．如图，小亮选取了一段两岸相互平行的河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东方向的北岸岸边有一棵大树B，接着小亮沿着河边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度，（结果保留整数．参考数据：， ，） 9．某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 10．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 11．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 12．消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． (1)当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． (2)某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $