专题11 投影与视图（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题11 投影与视图 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行投影与相似 题型二、中心投影与相似 题型三、判断几何体的三视图 题型四、画出几何体的三视图 题型五、已知三视图还原几何体 题型六、三视图的有关计算 题型七、三视图的最多、最少问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 投影与视图围绕平行投影、中心投影、三视图三大板块展开，解题守住两条底线原则：一是投影问题依托相似三角形对应边成比例列式，分清平行、中心投影区别；二是三视图遵循长对正、高平齐、宽相等，还原几何体和最值问题要对照三视图逐一验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行投影与相似 题型模版 1.特征：光线平行，物体影子同向，物高与影长成正比例，常搭配标杆、树、墙面影子等实景，结合相似三角形求高度、影长。 2.方法：找准两组对应相似直角三角形，列出比例式计算；注意区分地面影子和墙上影子，墙上影子不能直接当作影长，要先平移转化再列式。 【例1】某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【例2】革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【变式1-1】陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【变式1-2】如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【变式1-3】古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 题型二、中心投影与相似 题型模版 1.特征：光线从一点光源发出，影子延长线交于光源点，离光源远近影响影子长短，常见路灯、台灯、皮影背景，多求光源高度、人与灯距离。 2.方法：延长影子顶端连线确定光源位置，构造相似三角形列比例；中心投影物高和影长不成固定正比，不能直接套用平行投影比例公式。 【例3】手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．求出木杆在轴上的投影的长． 【变式2-1】一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【变式2-2】如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小红的身高是米，那么路灯A离地面的高度的长为多少米？ 【变式2-3】为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 题型三、判断几何体的三视图 题型模版 1.特征：给出实物或立体图，选出主视图、左视图、俯视图，选项易混淆轮廓线，看不见的棱容易错画成实线。 2.方法：按主视、左视、俯视三个方向逐一观察，牢记看得见棱画实线，看不见棱画虚线，对照长对正、高平齐、宽相等快速排除错误选项。 【例5】已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【例6】如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四、画出几何体的三视图 题型模版 1.特征：由简单组合体、堆叠小正方体等立体图形，要求规范画出三种视图，易错点是线条虚实、位置对齐、漏画正方形。 2.方法：先确定主视图，再依次画左视图、俯视图；严格遵守长对正、高平齐、宽相等，隐藏棱用虚线，布局整齐，大小比例协调。 【例7】补全下列几何体的三种视图． (1) (2) 【例8】一个几何体的主视图和左视图如图所示，你能想象出与之对应的几何体的形状吗？请画出这个几何体的草图，结合草图画出它的俯视图，并描述这个几何体的形状． 【变式4-1】画出下面立体图形的三视图． 【变式4-2】画出下列几何体的三种视图． (1) (2) 【变式4-3】如图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（三棱柱的底面是等腰三角形），下部是圆柱，画出它的三视图（按立体图尺寸）． 题型五、已知三视图还原几何体 题型模版 1.特征：给出主、左、俯三个视图，想象立体形状，多为小正方体堆叠模型，容易层数、行列位置判断出错。 2.方法：以俯视图为基底确定底层分布，结合主视图定每列层数，左视图确定每行层数；逐格标注方块数量，综合三个视图核对，避免多算、漏算方块。 【例9】一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【例10】如图，找出图中三视图所对应的物体（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（   ） A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱锥 D．三棱柱 题型六、三视图的有关计算 题型模版 1.特征：由三视图获取几何体尺寸，求表面积、体积、侧面积，常见棱柱、棱锥、组合体，容易重复或漏掉遮挡面。 2.方法：先还原几何体，从三视图提取长宽高；体积按对应公式计算；算表面积时注意贴合重合的面不计入，有挖空结构要相应增减对应面积。 【例11】正六棱柱的主视图和左视图如图所示，则图中a的值为（     ） A． B．4 C．2 D． 【例12】某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【变式6-1】如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 题型七、三视图的最多、最少问题 题型模版 1.特征：已知两个视图（常为主+俯、左+俯），求搭建几何体所需小正方体数量的最大值与最小值。 2.方法：俯视图定底层位置，主视图限定每一列最高层数；满足最高要求的位置取最大数，其余位置取1来求最少；所有位置取允许最大值得到最多块数。 【例13】一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 【例14】用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图所示．这样的几何体有多种情况，它最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-1】几个相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图及左视图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最少为________． 【变式7-2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块最少为_____个． 【变式7-3】如图是由相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么这个立体图形最多由_______________个小立方体组成，最少由_______________个小立方体组成． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图所示的是某几何体的主视图．若该几何体的左视图和主视图相同，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 3．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 4．如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 5．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 6．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，画出它的三视图．    7．两个几何体的三种视图如图所示，你能想象出它们的形状吗？请画出这两个几何体的草图． (1) (2) 8．添线补全下列三视图． (1) (2) 9．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 10．如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 11．中国文字博物馆，国家一级博物馆，是中国首座以文字为主题的博物馆．如图，在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量馆徽的高度，为了测量方便，在后面斜放了一个背景板，与地面的夹角为（），站立在水平地面上身高米的小明在地面上的影长为米，此刻馆徽在背景板上的影长为米，求馆徽的高度（取，结果保留位小数）． 12．如图，一天晚上，小明和小亮拿两根等长的标杆，垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子，恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡的位置； (2)小明和小亮测得如下数据：，，，两根标杆之间的距离为6，则灯泡距离地面的高度为_____． 13．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，根据下列条件填空： (1)当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，______视图不变；去掉③时，______视图不变；去掉④时，______视图不变； (2)若保持主视图和左视图不变，则原来几何体上最多还可以再搭______个小正方体． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 投影与视图 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行投影与相似 题型二、中心投影与相似 题型三、判断几何体的三视图 题型四、画出几何体的三视图 题型五、已知三视图还原几何体 题型六、三视图的有关计算 题型七、三视图的最多、最少问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 投影与视图围绕平行投影、中心投影、三视图三大板块展开，解题守住两条底线原则：一是投影问题依托相似三角形对应边成比例列式，分清平行、中心投影区别；二是三视图遵循长对正、高平齐、宽相等，还原几何体和最值问题要对照三视图逐一验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行投影与相似 题型模版 1.特征：光线平行，物体影子同向，物高与影长成正比例，常搭配标杆、树、墙面影子等实景，结合相似三角形求高度、影长。 2.方法：找准两组对应相似直角三角形，列出比例式计算；注意区分地面影子和墙上影子，墙上影子不能直接当作影长，要先平移转化再列式。 【例1】某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 【例2】革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【答案】 【分析】利用，结合垂直条件，证明和均为等腰直角三角形，得到；利用视线条件，证明，通过相似比求出的长度；由求出，进而得到的高度． 【详解】解：∵、、均与地面垂直， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴革命亭的高度为． 【变式1-1】陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为 【分析】设，可得和，证明，根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由题意知，，， ， ，即， 解得， ∴纪念碑的高度为． 【变式1-2】如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 【变式1-3】古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 【答案】米． 【分析】设米，根据等角对等边得到米，则米，证明，得到，求解即可． 【详解】解：设米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵同一时刻的阳光下， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即米． 题型二、中心投影与相似 题型模版 1.特征：光线从一点光源发出，影子延长线交于光源点，离光源远近影响影子长短，常见路灯、台灯、皮影背景，多求光源高度、人与灯距离。 2.方法：延长影子顶端连线确定光源位置，构造相似三角形列比例；中心投影物高和影长不成固定正比，不能直接套用平行投影比例公式。 【例3】手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图： 即， 又， ∴， ∴， 即， ∴光源与小明的距离应减小米． 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．求出木杆在轴上的投影的长． 【答案】木杆在轴上的投影的长为6 【分析】过点作轴，垂足为，交于点，证明，即可解答； 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，交于点． ，，， ，，．， ，， ， ， 即， ． 答：木杆在轴上的投影的长为6． 【变式2-1】一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 【变式2-2】如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小红的身高是米，那么路灯A离地面的高度的长为多少米？ 【答案】路灯A离地面的高度的长为米 【分析】由题意可证明，可得，解得，，则，由（米），代入可求． 【详解】解：如图： 由题意得，， ∴， ， ∴，， 解得，， ∴， ， （米）， （米）． 【变式2-3】为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 题型三、判断几何体的三视图 题型模版 1.特征：给出实物或立体图，选出主视图、左视图、俯视图，选项易混淆轮廓线，看不见的棱容易错画成实线。 2.方法：按主视、左视、俯视三个方向逐一观察，牢记看得见棱画实线，看不见棱画虚线，对照长对正、高平齐、宽相等快速排除错误选项。 【例5】已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”进行分析，由主视图和俯视图确定几何体的形状及内部结构的位置，进而推断左视图的形状． 【详解】解：∵主视图为矩形且内部有两条竖直虚线，俯视图为大圆内部有一个小圆， ∴该几何体为大圆柱，中间挖去了一个圆柱形的孔， ∵主视图中虚线左右对称，俯视图中内部小圆左右居中， ∴小圆柱孔在左右方向上位于大圆柱中心， ∵俯视图中内部小圆靠下（即靠近观察者，位于前方）， ∴根据“宽相等”及左视图的投影规律（左视图的右侧对应几何体的前方），左视图中表示小圆柱孔的虚线应靠右， ∴左视图应为 【例6】如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定左视图的观察方向为从几何体左侧向右看，明确左视图的列数对应俯视图的行数．提取俯视图每一行小正方体个数的最大值，左视图每列的小正方形数量等于对应行的最大值．根据得到的每列小正方形数量，匹配对应选项． 【详解】左视图的列数等于俯视图纵向（上下方向）的行数，本题俯视图从上到下共3行，因此左视图共有3列； 左视图从左到右对应几何体从后到前（即俯视图从上到下），每一列的高度等于对应行里小正方体个数的最大值： 俯视图第一行（几何体后排）最大数字是3，因此左视图第一列高度为3； 俯视图第二行（几何体中排）最大数字是3，因此左视图第二列高度为3； 俯视图第三行（几何体前排）最大数字是2，因此左视图第三列高度为2； 综上，左视图从左到右三列高度依次为3、3、2，对应选项B． 【变式3-1】如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵该几何体从上方看是一个被竖线分割的矩形； ∴分割的竖线是可见的棱，需画成实线； 结合选项特征，匹配的正确答案为选项C． 【变式3-2】一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 【变式3-3】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 题型四、画出几何体的三视图 题型模版 1.特征：由简单组合体、堆叠小正方体等立体图形，要求规范画出三种视图，易错点是线条虚实、位置对齐、漏画正方形。 2.方法：先确定主视图，再依次画左视图、俯视图；严格遵守长对正、高平齐、宽相等，隐藏棱用虚线，布局整齐，大小比例协调。 【例7】补全下列几何体的三种视图． (1) (2) 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：如图所示， 【分析】根据画物体的三视图的口诀进行求解即可，主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其它部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 【详解】（1）略 （2）略 【例8】一个几何体的主视图和左视图如图所示，你能想象出与之对应的几何体的形状吗？请画出这个几何体的草图，结合草图画出它的俯视图，并描述这个几何体的形状． 【答案】解：该几何体是一个正方体截去后得到的几何体． 【分析】根据几何体的三视图的意义，三视图的画法，求解即可． 【详解】解：略． 【变式4-1】画出下面立体图形的三视图． 【答案】画出的三视图如下: 【分析】本题考查实物体的三视图．观察实物图，按照三视图的要求画图即可． 【详解】略 【变式4-2】画出下列几何体的三种视图． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-3】如图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（三棱柱的底面是等腰三角形），下部是圆柱，画出它的三视图（按立体图尺寸）． 【答案】如图所示 【分析】分别从正面，左面，上面观察组合体得出平面图形即可． 【详解】略 题型五、已知三视图还原几何体 题型模版 1.特征：给出主、左、俯三个视图，想象立体形状，多为小正方体堆叠模型，容易层数、行列位置判断出错。 2.方法：以俯视图为基底确定底层分布，结合主视图定每列层数，左视图确定每行层数；逐格标注方块数量，综合三个视图核对，避免多算、漏算方块。 【例9】一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，结合各选项中的几何体可得答案． 【详解】解：由三视图可判断，这个几何体是 ． 故选项C符合题意 ． 【例10】如图，找出图中三视图所对应的物体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，掌握常见规则几何体的三视图是解题的关键． 根据三视图是从三个方向看到的图形， 判断出几何体的形状，即可求解． 【详解】解：根据三视图，可知该几何体下面是一个长方体，上面是一个圆柱，且圆柱的直径等于长方体的宽， 选项C中的物体符合要求． 故选：C． 【变式5-1】一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，这个几何体可能是： 【变式5-2】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下 则搭成这个几何体的小正方体的个数是（个）． 【变式5-3】下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（   ） A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】B 【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥． 【详解】解：此几何体为一个三棱锥． 题型六、三视图的有关计算 题型模版 1.特征：由三视图获取几何体尺寸，求表面积、体积、侧面积，常见棱柱、棱锥、组合体，容易重复或漏掉遮挡面。 2.方法：先还原几何体，从三视图提取长宽高；体积按对应公式计算；算表面积时注意贴合重合的面不计入，有挖空结构要相应增减对应面积。 【例11】正六棱柱的主视图和左视图如图所示，则图中a的值为（     ） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解． 【详解】解：如图， 由主视图和左视图可得： ，，， 由正六边形性质可知， ，， ，， 连接，则有， 为等边三角形， ， ， ， ． 【例12】某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【答案】 【分析】主视图以及左视图都是一个矩形，俯视图为一个圆形，则可得出该几何体是一个圆柱，再计算出面积即可． 【详解】解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径为，高h为， 则底面半径， ∵每个茶叶罐所需铁皮的面积即为该圆柱体的表面积， ∴ ， 故制作每个茶叶罐所需铁皮的面积为． 【变式6-1】如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从左向右看，看到的宽度是底面中顶点E到边的垂直距离，过点E作于点Q，则，在中，，得到，从而求出长． 【详解】解：过点E作于点Q，则是边上的高，且， 在中，，， ， 即． 【变式6-2】如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 【详解】解：依题意可求出该几何体的体积为． 【变式6-3】如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，再证明，进而利用勾股定理求出，即可求出四棱柱的表面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 等腰梯形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，，， ， ， 在中，， 四棱柱的高为， 此四棱柱的表面积为 题型七、三视图的最多、最少问题 题型模版 1.特征：已知两个视图（常为主+俯、左+俯），求搭建几何体所需小正方体数量的最大值与最小值。 2.方法：俯视图定底层位置，主视图限定每一列最高层数；满足最高要求的位置取最大数，其余位置取1来求最少；所有位置取允许最大值得到最多块数。 【例13】一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 【答案】 【分析】由俯视图确定底层小立方块的分布与数量，结合主视图确定几何体的层数及每列的最高层数，进而分析出最多和最少的小立方块数量． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底层有个小立方块，分为左、右两列，左列有个位置，右列有个位置， 由主视图可知，该几何体共有层，且左列、右列的最高层数均为层， 当上层每个位置都放置小立方块时，总数最多，此时上层有个， ； 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即左列、右列各至少放个时，总数最少，此时上层最少有个， ； ． 【例14】用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图所示．这样的几何体有多种情况，它最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：结合从左面看、从上面看的图，所得的几何体最少需要个小立方块，每个位置上最少有小立方块的数量，下图为其中的一种，此时； 每个位置上最多有小立方块的数量，如下图： ， ． 【变式7-1】几个相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图及左视图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数最少为________． 【答案】5 【详解】解：由俯视图知，最底层有4个小立方块；由左视图知，第二层最少有１个小立方块，搭成这个几何体的小立方块最少有个． 【变式7-2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块最少为_____个． 【答案】6 【分析】俯视图决定了底层小立方块的分布和数量，左视图决定了每一行的最高层数． 【详解】解：由题意，当小立方块最少时，如图： （画法不唯一，第一行有1个，第二行有1个，第三行只需要有一个位置有2个即可） 故搭成该几何体的小立方块最少为6个． 【变式7-3】如图是由相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么这个立体图形最多由_______________个小立方体组成，最少由_______________个小立方体组成． 【答案】 【分析】最多时让每个底面位置都放立方体，每个位置的高度取主视图对应列高度与左视图对应行高度中的较小值，使两个视图的各列高度要求都独立满足；最少时让同一立柱尽可能同时满足主视图和左视图对应列的高度要求，只在必须的位置放置立方体，其余位置空置。 【详解】①如图放置为最多的小立方体个数为13个， ， ②如图放置为最少的小立方体个数为5个， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图所示的是某几何体的主视图．若该几何体的左视图和主视图相同，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的三视图，解题关键在于掌握几何体的基本性质． 根据主视图的形状，分析每个俯视图对应的左视图是否与主视图相同，找出不符合的选项． 【详解】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体为圆柱，则俯视图为A； 若上边的几何体为正四棱柱，下边的几何体为圆柱，则俯视图为B； 若俯视图为C，则主视图中上面的矩形中间应有虚线，故该几何体俯视图不可能是C； 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱，下边的几何体为正四棱柱时，俯视图为D． 故选：C． 2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱底面，底面三角形为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 【详解】解析：解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，侧棱底面ABC，底面三角形为等腰三角形， 在中，可得． 该几何体的最长棱的长度为9． 故选：D． 3．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过主视图的列数与俯视图的列数相同，每列的高度等于俯视图中该列小正方形内数字的最大值，从而求解． 【详解】解：由俯视图可知主视图共有列，第一列数字为，最大值为；第二列数字为，，，最大值为；第三列数字为，，最大值为； ∴主视图从左到右的列数分别为，，， 故选项符合题意． 4．如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 【答案】240 【分析】根据所给的主视图及左视图，可得等腰梯形的两底是2和8，高为4，棱柱的侧棱为10，然后利用勾股定理求出等腰梯形的腰，再计算表面积即可． 【详解】解：由题意可知，等腰梯形的上底是2，下底是，高是4，棱柱的侧棱为10， 如图，设底面为等腰梯形，过点作于点，则， 由题意得，，， ∴在中，， ∴直四棱柱的表面积为． 5．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质，掌握中心投影的概念找出相似比是解题关键． 分别求出、、，再依据中心投影的概念，根据距离相等推出相似比为，利用相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， ，， 由题意，得，，， 由中心投影的性质，可知，相似比为， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，，故C、D选项错误， 故选：B． 6．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，画出它的三视图．    【答案】 三视图如图：    【分析】根据画物体三视图的要求“长对正、高平齐、宽相等”的规律，即可求解． 【详解】略 【点睛】此题考查实物体的三视图，解题的关键是注意在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 7．两个几何体的三种视图如图所示，你能想象出它们的形状吗？请画出这两个几何体的草图． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）略 （2）略 8．添线补全下列三视图． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 9．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【答案】(1)这个几何体是由8个小正方体组成； 从三个方向看的图形如下： (2) 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图、左视图、俯视图即可； （2）根据三视图的面数与被遮挡的面数进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加的小正方体的位置和数量在俯视图上标注如图所示， 所以最多可以添加个． 10．如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意作图如下： (2) 【分析】（1）根据太阳光是平行光，连接，过作的平行线即可； （2）根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，得到，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．中国文字博物馆，国家一级博物馆，是中国首座以文字为主题的博物馆．如图，在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量馆徽的高度，为了测量方便，在后面斜放了一个背景板，与地面的夹角为（），站立在水平地面上身高米的小明在地面上的影长为米，此刻馆徽在背景板上的影长为米，求馆徽的高度（取，结果保留位小数）． 【答案】馆徽的高度约为米 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，过点作于点，由题意可得，所以，又，则，又，求得，，代入得，则米，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，， ∴，， 又∵，即， 解得（米）， ∴（米）， 答：馆徽的高度约为米． 12．如图，一天晚上，小明和小亮拿两根等长的标杆，垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子，恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡的位置； (2)小明和小亮测得如下数据：，，，两根标杆之间的距离为6，则灯泡距离地面的高度为_____． 【答案】(1)点P即为所求． (2)6 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的应用、中心投影，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，并分别延长，相交于点P，则点P即为所求． （2）过点P作于点G，设交于点，根据题意可得，则有，根据相似三角形的性质得，即，解出即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：过点作于点， 设交于点， 两根标杆之间的距离为6， ， 由题意得，，，， ∴四边形为矩形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即灯泡距离地面的高度为， 故答案为：6． 13．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，根据下列条件填空： (1)当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，______视图不变；去掉③时，______视图不变；去掉④时，______视图不变； (2)若保持主视图和左视图不变，则原来几何体上最多还可以再搭______个小正方体． 【答案】(1)左，主，俯 (2)2 【分析】（1）根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，即可得出答案； （2）可在最左侧前端放一个，右侧最前端再放一个，即可得出答案． 【详解】（1）解：当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，左视图不变；去掉③时，主视图不变；去掉④时，俯视图不变． （2）解：若保持主视图和左视图不变，可在最左侧前端放一个，右侧最前端再放一个，则原来几何体最多还可以再搭2块小正方体． 1 / 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