专题01 投影和视图中的几何计算问题（高效培优专项训练）数学新教沪教版五四制九年级上册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 投影与视图中的几何计算问题 题型归纳 题型一中心投影中的几何计算问题 题型二平行投影中的几何计算问题 题型三三视图中的几何计算问题 题型专练 题型一中心投影中的几何计算问题 1.如图，路灯距离地面7.5米若身高1.5米的小明在距离路灯的底部（点O)8米的A处，则小明的影子 AM的长为() B A.1.25米 B.2米 C.4米 D.6米 2.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即OB=8米），此时在地面留下 的影子为BN,小铭从点B处沿OA所在的直线行走I2m到点A时（即AB=12米），人影长度AM会比 BN() B N 10 A M A.变长3m B.变长4m C.变短3m D.变短4m 3.一块三角形板ABC,BC=12cm,AC=10cm,测得BC边的中心投影B,C长为24cm,则AC边的中 心投影AC的长为() 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B A.5cm B.15cm C.20cm D 25cm 4.如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形 图甲 图乙 (1)两幅图中的投影属于中心投影的是图 (用“甲”或“乙”填空)； (2)若阳光下小丽影子长为1.2m,大树影子长为7.2m,小丽身高1.6m,则大树高度是 m. 5.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC 路灯 P B (1)此光源下形成的投影属于一一一（填“平行投影”或“中心投影”）· (2)已知树AB的高为2m,树影BC为2.5m,树与路灯的水平距离BP为3m,OP1PC,AB⊥PC,点P, B,C在同一条水平线上，求路灯的高度OP。 6.如图，小明同学在晚上由路灯B走向路灯A,当他行到Q处时发现，他在路灯A下的影长为3米，且恰 好位于路灯B的正下方，接着他又走了6米到P处（即P№=6米），此时他在路灯B下的影子恰好位于路 灯A的正下方（已知小明身高1.6米，路灯B高8米）· B E 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)小明站在Q处在路灯A下的影子是线段 (2)计算小明站在P处在路灯B下的影长 7.如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是AB,CD (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）： (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段EF表示）： (3)若小李的身高为1.8m,他的影长AB为lm,他距路灯底部1.6m,求路灯的高度.（精确到0.1m) 婷婷 小李小高 8.学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度 的变化规律.如图，在同一时刻，身高为1.6m的小明(AB)的影子BC的长是3m,而小颖(EH)刚好在路 灯灯泡的正下方点H处，并测得BH=6m. B2 B B (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G. (2)求路灯灯泡的垂直高度GH 3)若小明沿线段BH向小颖(EH)走去，当小明走到BH的中点B处时，求其影子B,C的长；当小明继续 走剩下路程的到B,处时，求其影子B,C,的长；…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的n+1到B 处时，求其影子B,Cn的长（结果用含n的代数式表示）. 9.数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动.如图，他们将一块透明板水平放 置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P,并测得点光源O到板面的垂直距离OM为60cm, 点光源0到地面的垂直距离ON为96cm,木棒AB的长度为20cm.实践小组的相关探究如下： 图1 图2 3/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 实践探究一： 如图1，将木棒AB水平放置于板面上，AB在直线PM上.在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影 为CD.从点M出发，将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况. (1)请判断CD长度的变化情况为： A.逐渐变长 B.逐渐变短 C.不变 (2)请证明(1)的结论： 实践探究二： 如图2，将木棒AB垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD.从点M出发， 将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况. (3)请判断CD长度的变化情况为：一一-· A.逐渐变长 B.逐渐变短 C.不变 (4)当木棒AB平移至某处时，MA=20cm,请计算此时投影CD的长度， 10.某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见 张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ 20 20 40 40 主视图 左视图 201 俯视图 0.5 (1)此物体是_： 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积 为0.81πm'的圆.己知圆桌的高度为lm,圆桌面的半径为0.5m,求吊灯距地面的高度. 题型二平行投影中的几何计算问题 1.为了测量操场中旗杆的高度AB,小明设计了如图所示的测量方案，旗杆AB与标杆CD的水平距离BC 为6m,标杆CD的高为2m,旗杆AB和标杆CD在太阳光下的影子分别为BE、CE,且CE=3m,已知 AB⊥BE,CD⊥BE,点B、C、E在一条直线上，则旗杆的高度AB为() A.5m B.6m C.7m D.8m 2.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸， 立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为() A.500寸 B.450寸 C.100寸 D.50寸 3.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈： 别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的 影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺(1丈=10尺，1尺=10寸)，示意图如图所示。 则这根竹竿的长度为() 竹竿 杆 A.30尺 B.35尺 C.40尺 D.45尺 4.如图，在校园一面围墙AB前有一盏路灯CD.小明在阳光下借助竹竿MN测量路灯的高度，线段PN 表示竹竿在地面上的影子. 5/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请画出此刻路灯CD在阳光下的影子： (2)测得MN=lm,PW=1.5m,围墙与路灯之间的距离BD=3m,路灯的影子落在围墙上的高度为0.5m,求 路灯CD的高度.， 5.成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速.”用数学的眼光来看，这是应 用了比例知识中的正比例关系。某希望小学开展了“测量旗杆有多高”的实践活动.同学们进行了如下操 作：某天下午5时，测出旗杆的影子长度，在同一时间、同一地点，测得两棵树的高度和它们影子的长度 (如图)，求旗杆的高度. 4.5m 6m 20m 3m L 4m 6,车有圆形的遮阳，图，用烟的长度为洁西AC=4仰窗户欧 2π 2m,墙顶 3 A高窗顶E的距离AE=2m, B所在圆的半径为1m,弦AB与地面CD平行，晴天太阳光与地面所夹的 锐角为ac 北 →东 R G E F D 图1 图2 (1)求弦AB的长度， (2)如图1，当太阳位于遮阳棚东面，且=45°时， ①遮阳棚在阳光照射下的影子_完全遮住窗户（填“能”或“不能”）： ②如图2，将AB加长到点G,其中AB、G三点共圆，BG的长度为6m,判断此时遮阳棚能否完全遮 住窗户，并说明理由： 3)如图2，当太阳位于遮阳棚西面，设②中遮阳棚的影子外端点为N,当30°≤α<90°时，直接写出CN的 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取值范围。 7.【数学思考】如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=6m,某一时刻AB在阳光下的投影 BC=2m,DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息： D B777777777 77777777777777777777777 (1)太阳光下形成的投影属于_；（填“平行投影”或“中心投影”）： (2)在图中画出DE在阳光下的投影： (3)求立柱DE的长， 8.如图，地面上竖立着电线杆AB和标杆DE(均与地面垂直)，某一时刻电线杆AB在阳光下的影子为 线段BC」 D B C (1)尺规作图：作出同一时刻标杆DE在地面的影子； (2)已知标杆DE的高度为2m.实验小组测得电线杆AB、标杆DE的影长分别为2m和0.5m.电线杆AB 的高度为多少？ 9.中国文字博物馆，国家一级博物馆，是中国首座以文字为主题的博物馆.如图，在一个阳光明媚的上 午，陈老师组织学生测量馆徽CD的高度，为了测量方便，在后面斜放了一个背景板DM,DM与地面 DN的夹角为30°（∠MDN=30°），站立在水平地面上身高l.7米的小明AB在地面上的影长BP为1.2米， 此刻馆徽CD在背景板上的影长D0为5米，求馆徽CD的高度(V3取1.7，结果保留1位小数)· BP D 10.鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代 建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料.小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识 测量“鸿门寺塔”的高度AB,来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点C处竖立一根长为1.8米的标杆CD，此时，小花测得标杆 CD的影长CE=2米：然后，小风从点C沿CB方向走了11米，到达点F处，在F处恰好通过在点P处放 置的平面镜看到塔的项部点A,此时，小风的眼睛到地面的距离FG=1.5米，PF=1米.如图，己知 AB⊥BE,FG⊥BE,DC⊥BE,请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高AB, G D CE 题型三视图中的几何计算问题 1.如图是两个大小不等的正方体拼成的几何体，该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S, S2,S,则S,S,S的大小关系是() 正方向 A.S,=S2>S3 B.S>S2=S3 C.S>S2>S3 D.S=S2=S3 2.把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为()平方厘米. 正面 A.3 B.4 C.5 D.6 3.正六棱柱的主视图和左视图如图所示，则图中α的值为() 正六棱柱 主视图 左视图 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.2 D.2V3 4.三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm,EG=12cm,∠EFG=45°.则AB的长为 cm 5.某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是」 不 1 3 个 一4 主视图 俯视图 6.一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E, 请你求出这条线路的最短路径 0 6 B 主视图 左视图 ←-2 俯视图 7.己知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形， 2cm 2cm 主视图 左视图 俯视图 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请写出该几何体的名称： (2)根据图中数据，求该几何体的体积. 8.已知一个几何体的三视图如图所示，请说出它的形状，并根据已知的数据求出这个几何体的侧面积 (结果保留π) 6 9.如图是一个几何体的主视图与俯视图，根据图中数据（单位：mm),求该几何体的体积和表面积（π 取3.14) 20 20 40 25 30 30 主视图 俯视图 10.如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，己知h=4m,h=6m,r=3m,求此蒙古包的表面积 (含底圆) h2 10/10面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01投影与视图中的几何计算问题 参考答案 题型一中心投影中的几何计算问题 1.B 2.A 3.C 4. 【答案】(1)乙 (2)9.6m 5.【详解】(1)解：，此光源属于点光源， ∴.此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影： (2)解：AB⊥CP,PO⊥PC, ∴.∠ABC=∠OPC, 又：∠ACB=∠OCP, .△ABCOAOPC, :AB_BC 22.5 0pPC,即0p2.5+3, 解得OP=4.4(m), ∴.路灯的高度0P为4.4米 6.(1)解：根据他行到Q处时发现，他在路灯A下的影长为3米，且恰好位于路灯B的正下方，得：小 明站在O处在路灯A下的影子是线段QD； (2)解：根据题意可得：线段CP为小明站在P处在路灯B下的影长， .ACPEACDB. CP EP CD BD' .CD=CP+PO+OD=CP+6+3=CP+9,EP=1.6,BD=8, CP_1.6 即CP+98’ 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：CP= 4 9 故小明站在p处在路灯B下的影米为：4m, 7.【答案】(1) 点P即为所求： D H ABC D 婷婷 小李小高 (2) 如图，EF即为所求： H ABC D 婷婷 小李小高 (3)解：过点P作PH⊥BA,交BA的延长线于点H 由题意得：AB=lm,HA=1.6m,AG=1.8m .HB=HA+AB=1.6+1=2.6(m) GA⊥HB,PH⊥HB ∴.∠GAB=∠PHB=90° ∠GBA=∠PBH ∴.△BAG∽aBHP GA AB 1.81 PH=HB:即：PH2.6 ∴PH=4.68≈4.7(m) 答：路灯的高度约为4.7m 8.【答案】(1) 2/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接CA、HE并延长相交于点G,即为路灯灯泡的位置，如图所示： G A A C H B2 B (2)解：：AB⊥HC,GH⊥HC, ∴AB∥GH, :.△ABC∽△GHC, AB BC GHHC' .AB=1.6m,BC=3m,HB=6m, 1.63 GH6+3 .GH=4.8m (3)解：同理△ABG∽△GHC, AB BC .GH HC' 1.6_BC 六48BG+3,解得：BG 2, 1.6_B,C2 同理4.8B,C,+2,解得：B,C,=1, 1.6 B.Cn 4.8 B,C+ x6?解得：B.Cn= 3 n+1 n+1 9. 【答案】(1)C: (2)证明：，ABIICD .△OAB~△OCD， 又：OM⊥AB,ON⊥CD, AB OM “CDON' 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CD=ON ·AB AB、OM、ON不变， “CD长度不变， ∴将木棒AB沿PM方向平移，其投影CD长度不变： 【详解】(1)解：：ABIICD ∴aOAB~aOCD, 又：OM⊥AB,ON⊥CD, AB OM ·CDON' .CD= ON ·AB OM AB、OM、ON不变， ∴CD长度不变， ∴将木棒AB沿PM方向平移，其投影CD长度不变， 故选：C: (2)略 (3)解：OM⊥PM,AB⊥PM, .ABIOM ∴.△BAE-aOME、 AB AE AB AE OM=ME,即OM MA+AE AB .AF = ·MA OM-AB AE∥CD, .'.AOAE -AOCD 又，OM⊥AE,ON⊥CD. 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE OM ∴CDON' .CD=ON OM ·AE, ..CD=. ON AB ·MA OM OM-AB ,从点M出发，将木棒沿PM方向平移， ∴.MA长度逐渐变长， :AB、OM、ON不变， .CD长度逐渐变长， 故选：A; (4)解：，OM⊥PM,AB⊥PM, .AB∥OM ∴.△BAE~△OME, ABAE AB AE OM=ME,即OM=MA+AE, 20 AE 六6020+AE,解得：AE=10, AE∥CD, ∴AOAE~AOCD 又：OM⊥AE,ON⊥CD, AE OM ∴CDON 1060 ·CD96,解得：CD=16 ∴.投影CD的长度为l6cm. 10.(1)解：主视图和左视图是矩形，俯视图是圆， ∴此物体是圆柱. 故答案为：圆柱： (2)解；2×π× 20 +π×20×40=1000m 2 (3)解：如图， 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .5 B E 圆桌在地板上的投影是面积为0.81πm的圆 ∴πDE2=0.81π， .DE=0.9m(负值舍去). BC∥DE, .△ABCOAADE, AB BC ·ADDE, AD-10.5 4D0.9’ 9 解得AD=二m 4 题型二平行投影中的几何计算问题 1.B 2.B 3.C 4.(1)解：由题意作图如下： C M, JB D (2)解：如图，设直线CK交BD于点J MN KB 由题意，PNBJ' 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .10.5 1.5BJ' ∴.BJ=0.75m, .DJ=BD+BJ=3.75m. ..BK//CD. .△JBKAJDC, CD DJ BKBJ' CD_3.75 ·0.5075 .CD=2.5m 5.解：设旗杆的高度是m, 则x:20=3:4, 解得x=15 答：旗杆的高度是15m 6.【答案】(1)V3m (2)①不能： ②此时遮阳棚能完全遮住窗户，理由如下： 如图，连接OG,OB,延长GO交AC于M,设点G在阳光照射下的影子为点Q, A HB M-- G E F(O) D 图1 :BG的长度为6m,OG=OB=lm hπ×1_π ·1806' 解得：n=30°，即∠B0G=30°， :∠AOH=∠BOH=60°。 .∠H0G=∠OHB=90°. 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :LBAC=90°， 8四边通0是形，M=0H=01,cs6°pMEA出子5 2m, MG=0M+0G=( 2+0m, .a=45°，∠GMQ=90°， M0=MG=( +1)m, 2 +1=3+5 ·4e=AM+M0='+5 22 2 m. .AF=AE+EF= 3+V5 2 ∴此时遮阳棚能完全遮住窗户. 2+1<CN≤4V3+2 【详解】(1)解：如图，设AB所在圆的圆心为O连接OA,过点O作OH⊥AB于H, 北 →东 E 图1 2n ”AB的长度为3，AB所在圆的半径为1m nr×1_2π .180 3 解得：n=120° OH⊥AB, &A=明=4B,乙A0H= n=60°， ÷4H=0Asin60°= 2m, 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AB=2AH=3m. (2)解：①如图，设点B在阳光照射下的影子为点P, 北 →东 E P F D 图1 ,a=45°，∠BAP=90°， ∴△BAP是等腰直角三角形，AP=AB=V3, ,E=3 AE=3m m, :AF=AB+EF-3+5、5, 2 ,∴，遮阳棚在阳光照射下的影子不能完全遮住窗户， ②略 (3)解：当a=90°时，GN,⊥CD, ∴.CW=MG=(G +)m, 如图，当a=30°时，设与CD的夹角为30°的光线与O0相切于K,连接OK,延长OG交KN于T,过点 T作TR⊥CD于R, M B E ND 图2 .MT CD,∠CNK=30°， ∴∠OTK=∠CNK=30°，∠TRN,=∠MTR=90° ,KN与⊙O相切于K, 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0KN=90°， .0T=20K=2m, :∠MCN=∠GNR=∠N,RT=∠MTR=90° “四边形MCRT、GN,RT都是矩形， ∴GT=NR=OT-0G=lm, TR=MC-AC-AM=] m .RN=TR_7V3 m, tan30°2 CN=CN+NR+RN= )+1+1+73=(43+2)m 2 ·Cw的取值范围为 3 +1<CN≤4W3+2 2 7.【答案】(1)平行投影 (2) 如图，EF即为DE在阳光下的投影： E 7777777777777 77777777777777777777777 (3)DE=9m 【分析】(1)根据投影的定义进行判断即可： (2)连接AC,过D作DF∥AC即可完成作图： (3)证△ABC∽△DEF,根据对应线段成比例即可求解. 【详解】(1)解：太阳光下形成的投影属于平行投影： (2)解：连接AC,过D作DF∥AC交BC延长线于F (3)解：DF∥AC. ∴.∠ACB=∠DFE 又∠ABC=∠DEF=90°. ∴△ABC∽△DEF, AB DE BCEF· AB =6m,BC=2m,EF=3m 10114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6_DE 23 解得：DE=9m 8.(1)解：如图，线段EF即为所求： A B EF (2)解：根据题意得，DE=2m,BC=2m,EF=0.5m,AC∥NF, ∴.∠ACB=∠DFE, 又：∠ABC=∠DEF=90°， ∴.△ABC∽△DEF, AB BC DEEF' .4B=2 ·205 .AB=8(m) 答：电线杆AB的高度为8m 9.解：如图，过点作E⊥DC于点E, M 一N BPD 由题意可得△ABP∽aCEQ AB CE ·BPEQ' .EQ∥ND」 .∠1=∠2=30°， 又QD=5 sin30°=DE OD. os30°=E9 OD' 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE-月月 = 2· 1.7_CE 又：4B=CE,即125√5 BP EO 解得CE=85V3 24 (米)， :CD=CE+DE=5+85V3_60+85V 224 24 ≈8.5（米）， 答：馆徽CD的高度约为8.5米. 10.解：，AB⊥BE,DC⊥BE .∠B=∠DCE=90° 又AC∥DE, ∴.∠ACB=∠E .△ABCADCE, ABBC ∴DCCE' DC=1.8米，CE=2米， AB_BC 182’ 整理得AB=0.9BC①： 由平面镜反射原理得：∠APB=∠GPF, 又AB⊥BE,FG⊥BE」 .∠ABP=∠GFP=90°， .△ABPOAGFP, AB BP ∴GFFP' ,FG=1.5米，PF=1米， 又BP=BC-PC,PC=CF+PF=I1+1=I2(米)， .BP=BC-12, AB BC-12 .1.5 1 整理得：AB=1.5(BC-12)② 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立①②得0.9BC=1.5(BC-12). 解得BC=30 .AB=0.9×30=27(米)， 答：鸿门寺塔的高AB为27米. 题型三视图中的几何计算问题 1.A 2.c 3.A 4.4V2」 5.3 6.解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图， A D 底面直径为2， BC=2Tx2=元， .AB=CD=6. :cE=c0=3, 在RtABCE中，BE=VBC2+CE2=Vπ+9， 即这条线路的最短路径为Vπ2+9 7.(1)解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱. (2)解：如图，过点B作BD⊥AC于点D, D B ,△ABC是等边三角形，AC=2, 13114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=DC=TAC=1, 2 .BD=√AB2-AD2=√22-P=V5, :.S.=2 4CxBD=1x2x=3 “该几何体的体积为：V3×2=2V3(cm). 8.解：由图知此几何体为圆锥 由主视图可得底面圆的半径为3，高为4， .圆锥母线长为V32+42=5, ∴侧面积=π×3×5=15π. 9.解：该几何体的体积为3.14×(20÷2}'×20+25×30×40=36280(mm)）」 该几何体的表面积为3.14×20×20+2×(25×30+30×40+25×40)=7156(mm2)）. 10.解：h=4m,r=3m .1=V32+42=5(m). 圆锥的侧面积：π×3×5=15π(m2), 圆柱的侧面积：2π×3×6=36π(m2）, 圆柱的底面积：π×32=9π(m2)。 ∴此蒙古包的表面积：15m+36π+9π=60m(m2) 14/14 专题01 投影与视图中的几何计算问题 题型一 中心投影中的几何计算问题 题型二 平行投影中的几何计算问题 题型三 三视图中的几何计算问题 题型一 中心投影中的几何计算问题 1．如图，路灯距离地面7.5米若身高1.5米的小明在距离路灯的底部（点O）8米的A处，则小明的影子AM的长为（　　） A．1.25米 B．2米 C．4米 D．6米 【答案】B 【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长． 【详解】解：如图，根据题意，得△MBA∽△MCO， ∴ ∴即 解得AM＝2． 则小明的影子AM的长为2米． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 2．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题． 证明，，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，    ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 3．一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比． 【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． 4．如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形. (1)两幅图中的投影属于中心投影的是图________（用“甲”或“乙”填空）； (2)若阳光下小丽影子长为，大树影子长为，小丽身高，则大树高度是________． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】本题考查了平行投影与中心投影、同一时刻物高与影长比值相同， （1）物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影，据此即可判断和说明； （2）根据平行投影，物高与影长比相等，设树高为，利用比例相等列出式子进行求解即可． 【详解】（1）如图所示： 甲图是平行投影，乙图是中心投影； 故答案为：乙． （2）解：设树高为，依题意，， 解得：， 答：树的高度为．   故答案为：． 5．如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2) 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵此光源属于点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 解得， 路灯的高度为4.4米 6．如图，小明同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为3米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了6米到处（即米），此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知小明身高1.6米，路灯高8米）． (1)小明站在处在路灯下的影子是线段______； (2)计算小明站在处在路灯下的影长． 【答案】(1) (2)m 【分析】（1）根据他行到处时发现，他在路灯下的影长为3米，且恰好位于路灯的正下方即可得到答案； （2）根据题意可得线段为小明站在处在路灯下的影长，，即，从而可求得的长． 【详解】（1）解：根据他行到处时发现，他在路灯下的影长为3米，且恰好位于路灯的正下方，得：小明站在处在路灯下的影子是线段； （2）解：根据题意可得：线段为小明站在处在路灯下的影长， ， ， ，，， 即， 解得：， 故小明站在处在路灯下的影长为：m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，用到的知识点为：两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例． 7．如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 【答案】(1) 点即为所求； (2) 如图，即为所求； (3)路灯的高度约为 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点B和小李的头部并延长，连接点D和小高的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与婷婷的头部与地面交于E，则点E与婷婷脚部的连线线段即为所求； （3）过点P作交延长线于H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作，交的延长线于点 由题意得： ， ；即： 答：路灯的高度约为． 8．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时刻，身高为的小明的影子的长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置． (2)求路灯灯泡的垂直高度． (3)若小明沿线段向小颖走去，当小明走到的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，求其影子的长（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) 连接、并延长相交于点G，即为路灯灯泡的位置，如图所示： (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的性质对应边成比例解题； （1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出，连接、并延长相交于点G，即为路灯灯泡的位置； （2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中由它们对应成比例可以求出； （3）利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：同理， ∴， ∴，解得：， 同理，解得：， ∴，解得：． 9．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P，并测得点光源O到板面的垂直距离为，点光源O到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图1，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （1）请判断长度的变化情况为：______； A．逐渐变长        B．逐渐变短        C．不变 （2）请证明（1）的结论： 实践探究二： 如图2，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （3）请判断长度的变化情况为：______． A．逐渐变长        B．逐渐变短        C．不变 （4）当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】（1）C； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （3）A；（4） 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，正确将中心投影相关问题转化为相似三角形的问题是解题关键． （1）根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例得，由、、均为定值即可得出结论； （2）分析同（1）； （3）根据中心投影的特点可知，，利用相似三角形对应边成比例得，，当垂直放置的木棒沿方向平移时，长度变长，由、、均为定值即可得投影逐渐变长，投影长度也逐渐变长； （4）根据中心投影的特点可知，，利用相似三角形对应边成比例得，，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变， 故选：C； （2） 略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵从点M出发，将木棒沿方向平移， ∴长度逐渐变长， ∵、、不变， ∴长度逐渐变长， 故选：A； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，解得：， ∴投影的长度为． 10．某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ； (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 【答案】(1)圆柱 (2) (3) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，中心投影，相似三角形的判定与性质等知识． （1）根据三视图判断即可； （2）根据圆柱的表面积公式计算即可； （3）先根据投影面积求得半径的长，再依题意可以得到，然后由它们的对应边成比例即可求得结果． 【详解】（1）解：∵主视图和左视图是矩形，俯视图是圆， ∴此物体是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解； （3）解：如图， ∵圆桌在地板上的投影是面积为的圆 ∴， ∴（负值舍去）． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型二 平行投影中的几何计算问题 1．为了测量操场中旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案，旗杆与标杆的水平距离为，标杆的高为，旗杆和标杆在太阳光下的影子分别为、，且，已知，，点B、C、E在一条直线上，则旗杆的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，点B、C、E在一条直线上， ∴， ∴， ∴，即， 由题意得为，标杆的高为，， ∴， 解得， 故选：B． 2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（    ） A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸 【答案】B 【分析】本题主要考查了考查平行投影，根据同一地点，同一时刻物高与影长对应成比例，通过建立比例方程求解竹竿长度即可． 【详解】解：设竹竿长为x寸． ∵竹竿影长150寸，标杆高15寸，标杆影长5寸， ∴ ∴ ∴ 故竹竿长为450寸， 故选B． 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺，依题意， ， 解得， 故选：C． 4．如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意作图如下： (2) 【分析】（1）根据太阳光是平行光，连接，过作的平行线即可； （2）根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，得到，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”用数学的眼光来看，这是应用了比例知识中的正比例关系．某希望小学开展了“测量旗杆有多高”的实践活动．同学们进行了如下操作：某天下午5时，测出旗杆的影子长度，在同一时间、同一地点，测得两棵树的高度和它们影子的长度（如图），求旗杆的高度． 【答案】 【分析】根据同一时刻物体的高度与影长成正比解答即可． 【详解】解：设旗杆的高度是， 则， 解得． 答：旗杆的高度是． 6．生活中有圆弧形的遮阳棚，如图1，遮阳棚的长度为，墙高，窗户，墙顶离窗顶的距离，所在圆的半径为，弦与地面平行，晴天太阳光与地面所夹的锐角为． (1)求弦的长度， (2)如图1，当太阳位于遮阳棚东面，且时， ①遮阳棚在阳光照射下的影子_____完全遮住窗户（填“能”或“不能”）； ②如图2，将加长到点，其中、、三点共圆，的长度为m，判断此时遮阳棚能否完全遮住窗户，并说明理由； (3)如图2，当太阳位于遮阳棚西面，设②中遮阳棚的影子外端点为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①不能； ②此时遮阳棚能完全遮住窗户，理由如下： 如图，连接，，延长交于，设点在阳光照射下的影子为点， ∵的长度为m，， ∴， 解得：，即， ∵。 ∴， ∵， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴此时遮阳棚能完全遮住窗户． (3) 【分析】（1）利用弧长公式求出圆心角度数为，根据垂径定理，利用三角函数求出，即可得出答案； （2）①设点在阳光照射下的影子为点，根据，求出、的长，比较即可得出答案； ②连接，，延长交于，设点在阳光照射下的影子为点，利用弧长公式求出，得出四边形是矩形，，，进而求出的长，与比较即可得出答案； （3）分别求出及时，的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为连接，过点作于， ∵的长度为，所在圆的半径为， ∴， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：①如图，设点在阳光照射下的影子为点， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴遮阳棚在阳光照射下的影子不能完全遮住窗户． ②略 （3）解：当时，， ∴， 如图，当时，设与的夹角为的光线与相切于，连接，延长交于，过点作于， ∵，， ∴，， ∵与相切于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 7．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 【答案】(1)平行投影 (2) 如图，即为在阳光下的投影： (3) 【分析】（1）根据投影的定义进行判断即可； （2）连接，过D作即可完成作图； （3）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：太阳光下形成的投影属于平行投影； （2）解：连接，过D作交延长线于F （3）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得： 8．如图，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段． (1)尺规作图：作出同一时刻标杆在地面的影子； (2)已知标杆的高度为．实验小组测得电线杆、标杆的影长分别为和．电线杆的高度为多少？ 【答案】(1) 解：如图，线段即为所求； (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，平行投影，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，过点D作直线交于点M，在的上方作，直线交于点F，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：电线杆的高度为． 9．中国文字博物馆，国家一级博物馆，是中国首座以文字为主题的博物馆．如图，在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量馆徽的高度，为了测量方便，在后面斜放了一个背景板，与地面的夹角为（），站立在水平地面上身高米的小明在地面上的影长为米，此刻馆徽在背景板上的影长为米，求馆徽的高度（取，结果保留位小数）． 【答案】馆徽的高度约为米 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，过点作于点，由题意可得，所以，又，则，又，求得，，代入得，则米，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，， ∴，， 又∵，即， 解得（米）， ∴（米）， 答：馆徽的高度约为米． 10．鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 【答案】鸿门寺塔的高为27米 【分析】证明，得，整理得①；再证明，得，整理得：②，联立①②得，求出，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 整理得①； 由平面镜反射原理得：， 又， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， 又，（米）， ∴， ∴， 整理得：② 联立①②得， 解得， ∴（米）， 答：鸿门寺塔的高为27米． 题型三 视图中的几何计算问题 1．如图是两个大小不等的正方体拼成的几何体，该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小正方体一个面的面积为，大正方体一个面的面积为，且，再根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：设小正方体一个面的面积为，大正方体一个面的面积为，且， 主视图面积：从正方向看，可以同时看到小正方体1个面和大正方体1个面， ， 俯视图面积：从上往下看，可以同时看到小正方体1个顶面和大正方体1个顶面， ， ， 左视图面积：从左向右看，小正方体边长小于大正方体，左视图中只能看到大正方体的1个整面（小正方体完全落在大正方体的轮廓内，总看到的面积就是大正方体一个面的面积）， ， ， ． 2．把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟练掌握俯视图的定义是解题关键．先画出这个立体图形的俯视图，再计算面积即可得． 【详解】解：这个立体图形的俯视图如下： 则该立体图形俯视图的面积为（平方厘米）， 故选：C． 3．正六棱柱的主视图和左视图如图所示，则图中a的值为（     ） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解． 【详解】解：如图， 由主视图和左视图可得： ，，， 由正六边形性质可知， ，， ，， 连接，则有， 为等边三角形， ， ， ， ． 4．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 【答案】． 【分析】过点E作EQ⊥FG于点Q，根据三视图可知AB的长即为EQ的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出：EQ=AB． ∵∠EFG=45°， ∴EQ=FQ， ∵EF=8cm， ∴， ∴EQ=FQ=（cm）， 即AB的长 cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三棱柱的三视图，得到AB的长即为EQ的长是解题的关键． 5．某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是____． 【答案】3 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图和俯视图求出左视图长为3，宽为1，即可求解． 【详解】由图可知，该长方体长、宽、高为4、3、1， 故左视图长为3，宽为1， 故面积为 故答案为：3． 6．一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径． 【答案】 【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图， ∵底面直径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即这条线路的最短路径为． 【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 7．已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)正三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查的是几何体的知识 （1）由三视图判断几何体， （2）根据几何体的形状，求体积，即可． 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 8．已知一个几何体的三视图如图所示，请说出它的形状，并根据已知的数据求出这个几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】圆锥， 【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：由图知此几何体为圆锥． 由主视图可得底面圆的半径为3，高为4， 圆锥母线长为， 侧面积． 9．如图是一个几何体的主视图与俯视图，根据图中数据（单位：），求该几何体的体积和表面积（π取3.14）． 【答案】体积为；表面积为 【分析】由主视图与俯视图可知该几何体是一个圆柱叠放在一个长方体上面，因此体积是圆柱体与长方体体积的和，表面积是圆柱的侧面积与长方体的表面积的和． 【详解】解：该几何体的体积为． 该几何体的表面积为． 10．如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，已知，求此蒙古包的表面积（含底圆）． 【答案】 【分析】蒙古包的表面积由三部分组成：圆锥侧面积、圆柱侧面积、圆柱底面积，因为圆锥底面和圆柱上底面重合，所以这两个面不计入总表面积先求圆锥的母线长，已知圆锥的高和底面半径，用勾股定理即可计算母线长分别代入圆锥侧面积公式、圆柱侧面积公式、圆的面积公式计算各部分面积，再求和得到总表面积． 【详解】解：， ． 圆锥的侧面积：， 圆柱的侧面积：， 圆柱的底面积：． ∴此蒙古包的表面积：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $