专题02 数轴上的动点、规律及其应用问题17大题型60题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题02 数轴上的动点、规律及其应用（17大题型60题） 基础·固本强基 题型1 数轴上两点之间的距离 题型2 数轴上点的移动 题型3 关于数轴的说法正误问题 题型4 单动点运动问题 题型5 双动点运动问题 题型6 多动点运动问题 题型7 数轴上单点左右运动规律探究 题型8 数轴上三角形运动规律探究 题型9 数轴上正方形运动规律探究 题型10 数轴上圆形运动规律探究 题型11 数轴上的翻折问题 题型12 有关数轴的新定义问题 题型13 数轴中点有关问题 题型14 数轴上定值不变问题 题型15 数轴的应用问题 提升·进阶突破 题型16 数轴上的动点、规律及其应用进阶练 拔高·压轴破难 题型17 数轴上的动点、规律及其应用培优练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】找出数轴两点对应的数，用两点数值作差再取绝对值，求出两点距离，距离结果恒大于或等于 0。 【易错】不要直接用左数减右数，忘记加绝对值；距离是长度不为负，别混淆两点差与两点距离概念。 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 2．（25-26七年级上·北京平谷·期末）定义：已知点、是数轴上两点．点是数轴上一点（点不与点、重合），若点到点或点N的距离的最大值等于距离的最小值的倍，我们就称点是线段MN的关联点． (1)若点、表示的数分别为，2，若点表示的数为正整数，且为正整数，则点P表示的数为______． (2)若点表示的数为，点在点的右侧，，点表示的数是的3倍，点是线段的5关联点，求m的值． 【答案】(1)1或3或5 (2)m的值为或或或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键． （1）设点表示的正整数为，则，然后分类讨论求解即可； （2）先确定点表示的数为，点表示的数为，再分四种情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的正整数为，则， 当时，，此时， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴或； 当时，由于为正整数， ∴， 此时， 则，符合题意， 综上：P表示的数为1或3或5； 故答案为：1或3或5； （2）解：∵点表示的数为，点在点的右侧，， ∴点表示的数为， ∵点表示的数是的3倍， ∴点表示的数为， ∴共四种情况： 情况①，解得． 情况②，解得． 情况③，解得． 情况④，解得． ∴综上：m的值为或或或． 3．（25-26七年级上·北京·期末）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． 根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：刻度尺上和分别对应数轴上的3和0， 即刻度尺和数轴的单位长度相同， ∵刻度尺上对应数轴上的0， ∴刻度尺上对应数轴上的数为． 故选：B． 题型2 数轴上点的移动（共3小题） 【步骤】确定起点表示的数，右移加、左移减，依次代入移动距离列式，算出移动后点对应的有理数。 【易错】极易混淆移动方向，左加右减是常见错误；多步移动不能颠倒运算顺序。 4．（25-26七年级上·北京·期中）在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 【答案】9或 【分析】本题考查数轴上点的移动．根据题意分两种情况求解即可． 【详解】解：点M表示的数是4，向右移动5个单位长度，点N表示的数为； 向左移动5个单位长度，点N表示的数为． 故答案为：9或． 5．（24-25七年级上·新疆和田·期中）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，点B所对应的数是 ； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，则A、B两点间距离为 ； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【答案】(1)4 (2)16 (3)6秒或10秒 【分析】本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解题的关键是根据行程的问题的数量关系建立方程求解． （1）根据点的平移规律解答即可； （2）先求出运动的时间，再计算两点之间的距离即可； （3）设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，分两种情况：运动后的B点在A右边4个单位长度， 运动后的B点在A点左边4个单位长度，列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：， 故点B所对应的数为4； 故答案为：4． （2）解：（秒）， （个单位长度）． 故A，B两点间距离是16个单位长度； 故答案为：16； （3）解：运动后的B点在A点右边4个单位长度， 设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有 ， 解得； 运动后的B点在A点左边4个单位长度， 设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有 ， 解得． 故经过6秒或10秒，A，B两点相距4个单位长度． 6．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，求点Q到原点O的距离； (2)当秒时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当秒时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当秒时，点Q到原点O的距离为6． （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当秒时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当秒时，点Q到原点O的距离为2． （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴，则运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点Q向右运动且还没经过点A时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点Q向右运动，且经过点A后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴． 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 题型3 关于数轴的说法正误问题（共3小题） 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（    ） A．原点位置可以是数轴上任意一点 B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向 C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取 D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm 【答案】D 【分析】数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向；依据上述知识，对给出的选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向， 故选项D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查数轴，掌握数轴的相关知识是解题的关键． 8．（25-26七年级上·北京顺义·期末）在数轴上从左到右有三点，其中，如图所示．设点所对应数的和是，则下列说法错误的是（　　） A．若以点为原点，则的值是4 B．若以点为原点，则的值是1 C．若以点为原点，则的值是 D．若以的中点为原点，则的值是 【答案】C 【分析】利用数轴的意义将各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．若以为原点，则对应的数为，则，故选项A正确，不符合题意； B．若以为原点，则对应的数为，则，故选项正确，不符合题意； C．若以为原点，则对应的数为，则，故选项C错误，符合题意； D． 若以的中点为原点，由于，，故对应的数为，因为，所以的对应数为，则，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解有理数的意义，确定点所表示的数是正确解答的关键． 9．（25-26七年级上·河南南阳·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数 C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小 【答案】C 【分析】由数轴可得点A表示的数小于点B表示的数小于0，据此判断即可． 【详解】由数轴可得，点A表示的数小于点B表示的数小于0， 故点A、点B表示的数都是负数，都小于0，故选项A、B、D正确； 点A在点B的左边，即点A表示的数比点B表示的数小，故选项C错误． 故选：C 【点睛】本题考查有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数． 题型4 单动点运动问题（共3小题） 10．（25-26七年级上·北京通州·期中）点，，为数轴上的三点，如果点到的距离是点到的距离的2倍，那么我们就称点是的特征点． (1)如图1，点和点中是的特征点的是_____；且的特征点的是_____； (2)如图2，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5，为数轴上一点，若点是的特征点，点表示的数为_____； (3)、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为40，现有一个动点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的特征点？直接写出的值_____． 【答案】(1)C，D (2)3或 (3)10秒或15秒或20秒 【分析】（1）根据数轴确定点表示的数，计算两点间的距离，后根据定义判定是否满足条件，解答即可； （2）设点F表示的数记作，根据题意，得，， 根据点是的特征点，，建立等式解答即可； （3）设点E表示的数记作，t秒运动的距离为，则， 根据题意，得，，后分类解答即可． 本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，新定义计算，一元一次方程的应用，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点A表示的数是，点B表示的数为1，点C表示的数为0，点D表示的数为， 故，，，， 且，， 故点C符合定义，点D不符合定义， 故点和点中是的特征点的是点C， 故答案为：C； 由，，，， 且，， 故点C不符合定义，点D符合定义， 故的特征点的是D； 故答案为：D； （2）解：设点F表示的数记作，根据题意，得，， 根据点是的特征点，得， 故， 故或 解得或； 故点F表示的数为3或11， 故答案为：3或11； （3）解：设点E表示的数记作，t秒运动的距离为，则， 根据题意，得，， 点是的特征点时，， 故， 解得； 点是的特征点时，， 故， 解得； 点是的特征点时，， 故， 解得； 点是的特征点时，， 故， 解得； 综上所述，当运动10秒或15秒或20秒时，，，中恰有一个点为其余两点的特征点， 故答案为：10秒或15秒或20秒． 11．（25-26七年级上·北京·期中）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m．    （1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是________；若以B为原点，则________； （2）若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，则________． 【答案】 3 5 或17 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得点所表示的数；先根据数轴的性质可得点所表示的数，再计算有理数的加减法即可得的值； （2）分两种情况：①原点在点的左侧和②原点在点的右侧，再分别求出点所表示的数，然后计算有理数的加减法即可得的值． 【详解】解：（1）点到点的距离为3，点为原点，点在点的右侧， 数轴上点所表示的数是； 点到点的距离为3，点为原点，点在点的左侧， 数轴上点所表示的数是， 点到点的距离为8，点在点的右侧， ∴数轴上点所表示的数是， ， 故答案为：3；5． （2）①如图，当原点在点的左侧时，    点到原点的距离为4， 点所表示的数为4， 点到点的距离为3，点在点的左侧， ∴点所表示的数为， 点到点的距离为8，点在点的右侧， ∴数轴上点所表示的数为， ； ②如图，当原点在点的右侧时，    点到原点的距离为4， 点所表示的数为， 点到点的距离为3，点在点的左侧， ∴点所表示的数为， 点到点的距离为8，点在点的右侧， ∴数轴上点所表示的数为， ， 故答案为：或17． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律，解决本题的关键是掌握点的移动规律．通过点B的位置通过两次反方向移动得到点A的位置. 【详解】解：点B是点A两次移动后的位置， 故点B向正方向移动5个单位长度，再向负方向移动3个单位长度得到点A. 点B表示的数为，向正方向移动5个单位得; 再向负方向移动3个单位得： 故答案为：D． 题型5 双动点运动问题（共3小题） 13．（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足C为线段的中点． (1)若动点M、N分别同时从A、B点出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动的时间为t． 点M表示的数为______（用含有t的代数式表示） 点N追上点M时，______秒． (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．当时，求t的值． 【答案】(1)，9 (2)t的值为或． 【分析】本题主要考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的运用，分类讨论思想，熟练掌握利用数轴上动点表示两数之间的距离是解题关键． （1）由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，点N追上点M时，，据此求解即可； （2）根据分情况讨论，①当M、N未相遇，M表示的数是，N表示的数是，得到求解即可；②当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N表示的数是，得到求解，即可解题； 【详解】（1）解：由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， 点N追上点M时，，解得秒． 故答案为：，9； （2）解： A点对应的数是，B点对应的数是8， ，， C为线段的中点， ，， C点对应的数是4， 当M运动到点时，（秒），此时N表示的数是，此时， M停留秒后，此时N表示的数是，此时， ， 停留期间， 运动t秒时，， ①当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ， 解得； ②当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ， 解得， 综上所述，t的值为或． 14．（25-26七年级上·北京·期中）如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或 (3)的最小值为，此时 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的几何应用． （1）求出，，，进而代入计算即可； （2）求出，分两种情况作答即可； （3）由题意可知取得最大值时取得最大值，则P在线段外且位于线段上离线段较远的端点，根据取最小值，求出，进而求出此时的最大值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点和点表示的数分别为和2， ∴， ∵点表示的数为3， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设点表示的数为x， 当P在A左侧时，，解得：； 当P在B右侧时，，解得：； ∴点表示的数为或； （3）解：点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为， ∵恒定， ∴取得最大值时取得最大值， ∵， ∴此时P在线段外且位于线段上离线段较远的端点． ∵取最小值， ∴当， 即， 解得：， 此时的最大值， ∴最小值． 15．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点表示的有理数为－4，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的有理数是______，当点与点4重合时，的值是______； (2)①在点由点到点的运动过程中，表示的有理数是______（用含的代数式表示）； ②在点由点到点的运动过程中，点表示的有理数是______（用含的代数式表示）； (3)若点从点出发的同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当为何值时，点与点的距离是2个单位长度． 【答案】(1)2，4或6 (2)①；② (3)或8或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据点P表示的有理数，即可得出结论；由点P与点4重合，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值； （2）①由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数；②由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数； （3）分及两种情况，找出点P和点Q表示的数，结合，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）． 所以当时，点P表示的有理数为2． 在未到达点B前，当点P与点4重合时，时间为秒， 在到达点B后，当点P与点4重合时，时间为秒， 所以的值是4或6． 故答案为：2，4或6； （2）解：①点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动， ∴点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是， 故答案为：； ②点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是； 故答案为：； （3）解：当时，点P表示的有理数是，点Q表示的数是， ∴， 解得：或； 当时，点P表示的有理数是，点Q表示的数是， ∴， 解得：或（舍）． 答：当点P与点Q的距离是2个单位长度时，t的值是或8或． 题型6 多动点运动问题（共3小题） 16．（25-26七年级上·北京·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别是，32，动点从点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点从点出发以8单位/秒的速度向左运动，动点从原点出发以单位/秒的速度向左运动（），三个动点同时出发，设运动时间为．若在运动过程中出现，则称为的等距点． (1)动点对应的数为______，动点对应的数为______（用含的式子表示）． (2)若在运动过程中，先后两次为的等距点，且两次间隔的时间为5秒，求的值． (3)若在运动过程中，恰好只有一次为的等距点，请直接写出满足条件的的值或的取值范围． 【答案】(1)， (2)的值为或4 (3)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，数轴的相关知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）由题意可得动点对应的数为，求出当点与点重合时， ，再由题意得出另一次等距点的时间为秒时或秒时，再分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）设中点为点，则点对应的数为，即点从表示的点出发，以单位/秒的速度向左运动，由（2）可得，当时，点与点重合，此时，结合在运动过程中，恰好只有一次为的等距点，得出只有一个解，解方程即可得出的值；当时，此时总在左侧；即可得解． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别是，32，动点从点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点从点出发以8单位/秒的速度向左运动，设运动时间为， ∴动点对应的数为，动点对应的数为； （2）解：∵动点从原点出发以单位/秒的速度向左运动（），设运动时间为， ∴动点对应的数为， ∵在运动过程中出现，则称为的等距点 ∴当点与点重合时，， 解得：， ∵在运动过程中，先后两次为的等距点，且两次间隔的时间为5秒， ∴另一次等距点的时间为秒时或秒时， 当秒时，动点对应的数为，动点对应的数为，动点对应的数为，结合可得：，解得：； 当秒时，动点对应的数为，动点对应的数为，动点对应的数为，结合可得：，解得：； 综上所述，的值为或4； （3）解：设中点为点， ∵动点对应的数为，动点对应的数为， ∴点对应的数为，即点从表示的点出发，以单位/秒的速度向左运动， 由（2）可得，当时，点与点重合，此时， ∵在运动过程中，恰好只有一次为的等距点， ∴只有一个解， ∴， 解得：； 当时，此时总在左侧； ∴只有与重合，，符合题意； 综上所述，或． 17．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）在数轴上设有两个固定点、，分别对应的数为与．动点、、同时在数轴上运动，速度保持不变，点的速度为每秒个单位长度；点的速度为每秒个单位长度；点的速度为每秒个单位长度． (1)点、分别从点、同时出发，且都向正方向运动． ①设运动秒后，点、所在的数分别为______、______（用含的代数式表示）； ②当点、之间的距离恰好为个单位长度时，直接写出此时的值（只写数值）． (2)点、、同时开始运动，运动方式如下： 点从点出发，向正方向运动；点从点出发，向负方向运动；点从原点（数轴上点）出发，先向负方向运动，第一次与点重合后立即向正方向运动，第二次与点重合后立即向负方向运动，随后再与点、交替重合，……，直至点、、三点同时重合时停止运动． 在整个过程中，三点的速度保持不变，点、的运动方向始终不变． ①当运动停止时，点所在的数为______（只写数值）； ②在整个运动过程中，点所走的总路程为______个单位长度（只写数值）． 【答案】(1)①，②或 (2)①②10 【分析】本题考查数轴上动点问题，代数式表示式，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）①结合题意利用代数式表示即可；②根据X，Y两点相距4个单位长度，分情况建立等式求解，即可解题； （2）①根据题意表示出点X与点Y表示的数，结合当点X，Z，Y重合时，运动停止，建立方程求解，即可解题；②根据路程=时间×速度求解，即可解题． 【详解】（1）解：①∵数轴上有两个点C，D，它们表示的数分别是，7．点、分别从点、同时出发，且都向正方向运动，点的速度为每秒个单位长度；点的速度为每秒个单位长度． ∴运动t秒后，点X表示的数为，点Y表示的数为， 故答案为：，． ②∵X，Y两点相距4个单位长度， ∴或， 解得或； （2）解：①∵当点X，Z，Y重合时，运动停止．且点X表示的数为，点Y表示的数为， ∴， 解得；， ∴， ∴点X所在的数为； 故答案为：； ②∵点Z的速度是每秒6个单位长度， ∴在整个过程中，点Z运动的路程为个单位长度． 故答案为：10． 18．（25-26七年级上·北京·期末）如图，甲、乙两台清洁机器人分别固定在数轴型仓库的号（路灯甲初始位置）和12号（路灯乙初始位置），路灯编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“路灯间距”为单位（1个单位对应1个路灯间距），系统每次下达1条清洁指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： 指令名称 甲机器人移动规则 乙机器人移动规则 协同清洁指令 向正方向移动3个单位 向负方向移动3个单位 甲优先清洁指令 向正方向移动3个单位 向正方向移动2个单位 乙优先清洁指令 向负方向移动3个单位 向负方向移动2个单位 (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同清洁指令”后，甲、乙两台机器人之间的路灯间距为______个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行条清洁指令． ①若，且两台机器人只执行“优先清洁指令”，设“甲优先清洁指令”执行次数为．甲最终停留的路灯编号为________（用含的代数式表示）； ②若“协同清洁指令”次数与“优先清洁类指令”总次数的比为．设“甲优先清洁指令”执行次数为，乙最终停留的路灯编号为_____________（用含、的代数式表示）； ③在②的条件下，若此时甲、乙的位置间距为3个路灯单位，写出所有符合条件的值及对应的各类指令执行次数． 【答案】(1) (2)①；②；③值为8或4；“协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为0，“乙优先清洁指令”执行次数为；“协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为2，“乙优先清洁指令”执行次数为 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴动点问题，列代数式等知识，解题的关键是正确读懂题意． （1）根据“协同清洁指令”的移动方式列式求解即可； （2）①首先得到“乙优先清洁指令”执行次数为，然后列式求解即可； ②首先表示出“协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数都为，“乙优先清洁指令”执行次数为，然后表示出甲最终停留的路灯编号和乙最终停留的路灯编号； ③根据甲、乙的位置间距为3个路灯单位列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“协同清洁指令”可知，甲移动后的编号为：，乙移动后的编号为：， 甲、乙两台机器人之间的路灯间距为：， 故答案为：； （2）解：①设“甲优先清洁指令”执行次数为， “乙优先清洁指令”执行次数为， 甲最终停留的路灯编号为， 故答案为：； ②“协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数的比为， “协同清洁指令”次数与“优先清洁指令”总次数都为， 设“甲优先清洁指令”执行次数为，则“乙优先清洁指令”执行次数为， 甲最终停留的路灯编号为； 乙最终停留的路灯编号为； 故答案为：； ③此时甲、乙的位置间距为3个路灯单位， ， 整理得，， 和都是正整数，且， ， 当时，整理得，， ，（舍）或，， “协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为0，“乙优先清洁指令”执行次数为； 当时，整理得，， ，， “协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为2，“乙优先清洁指令”执行次数为； 综上所述，所有符合条件的值为8或4； “协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为0，“乙优先清洁指令”执行次数为； “协同清洁指令”次数为，“甲优先清洁指令”执行次数为2，“乙优先清洁指令”执行次数为． 题型7 数轴上单点左右运动规律探究（共3小题） 19．（25-26七年级上·天津·期中）如图，圆的周长为个单位长度，在圆周的四等分点处标上字母、、、，先将点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点与圆周上字母（    ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆滚动过程中的对应规律，由题意可知圆向左滚动一周的长度为个单位长度，进而由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵圆的周长为个单位长度， ∴圆向左滚动一周的长度为个单位长度， ∵， ∴数轴上的所对应的点与圆周上字母所对应的点重合， 故选：． 20．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运动时间，设运动时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可． 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 21．（26-27七年级上·江苏南通·期中）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 题型8 数轴上三角形运动规律探究（共3小题） 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 23．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）数轴上有A，B，C三个点，其中点A，B表示的数分别是，10，点C位于A，B之间，以为边向上作等边三角形，将此三角形绕着顶点向右翻滚（无滑动）两次．若点A的对应点落在射线上，并且，则C点表示的数是_____． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离，列出方程，注意进行分类讨论． 【详解】解：设点C表示的数为x，则， ∵点A的对应点落在射线上，并且， ∴点表示的数为或， 当点在线段上时，点表示的数为5，则， 解得：； 当点在线段延长线上时，点表示的数为15，则， 解得：； 综上分析可知，点C表示的数为或1． 故答案为：或1． 24．（26-27七年级上·河南南阳·期中）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)B (3)①三；② 【分析】（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2026表示的点与点B重合； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 题型9 数轴上正方形运动规律探究（共3小题） 25．（26-27七年级上·辽宁大连·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0，1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转．翻转1次，点所对应的数为2，若翻转2026次，数轴上数2026所对应的点是_______． 【答案】 【分析】正方形在数轴上翻转，每4次为一个循环周期，数轴上的整数与正方形顶点的对应关系随之循环，计算2026除以4的余数即可确定对应顶点. 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为1，初始位置点对应0，点对应1. 翻转1次，点对应2； 翻转2次，点对应3； 翻转3次，点对应4； 翻转4次，点对应5， 每4次翻转为一个循环周期，数轴上的数对应的顶点由除以4的余数决定， ， 数2026对应的点与数2对应的点相同， 数2对应的点是， 数2026对应的点是. 26．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 27．（25-26七年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，在数轴上有两个边长相同的正方形．已知正方形的顶点，分别对应，．正方形的顶点，分别对应，．现正方形以每秒个单位的速度向右运动，正方形以每秒个单位的速度也向右运动． (1)秒后，点对应的数是______，点对应的数是______． (2)设运动时间为（秒），正方形从刚好追上正方形到完全超过需要多少时间？求出的值（刚好追上指边与边重合）． (3)求当正方形和正方形相距个单位长度时，求此时点表示的数．（一个图形内的任意一点与另一个图形内的任意一点距离中的最小值叫做这两个图形间的距离） (4)如图，在运动过程中，两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，此时点对应的数是______（直接写出答案）． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了数轴与动点问题、一元一次方程的应用、线段长度的计算以及图形面积的计算等知识点． （1）正方形以每秒个单位的速度向右运动，正方形以每秒个单位的速度也向右运动，根据路程速度时间，即可表示出秒后点、点对应的数； （2）利用方程思想解决图形运动中的时间问题，根据“刚好追上”可知此时边与边重合，则有，根据“完全超过”可知此时边与边重合，则有，列方程求解运动时间即可解答； （3）设经过秒正方形和正方形相距个单位长度，分类讨论：当正方形在正方形的左边时，；当正方形在正方形的右边时，，列方程求解即可得出点表示的数； （4）两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，而两块空白部分面积相等，所以阴影部分与每一块空白面积相等，故此时重合部分边长为，当正方形在后时，点在点前个单位，则；当正方形在前时，点在点前个单位，，列方程求解即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：正方形以每秒个单位的速度向右运动，正方形以每秒个单位的速度也向右运动， 秒后，，， 秒后点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）刚好追上指边与边重合， ， 解得， 设经过秒后正方形完全超过正方形， ， 解得， ， 正方形从刚好追上正方形到完全超过需要秒； （3）设经过秒正方形和正方形相距个单位长度， 当正方形在正方形的左边时， ， 解得， 此时点表示的数为， 当正方形在正方形的右边时， ， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为或； （4）两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，而两块空白部分面积相等，所以阴影部分与每一块空白面积相等，故此时重合部分边长为，则重合部分右下角的点表示的数比重合部分左下角的点表示的数大， 当正方形在后时，点在点前个单位，则， 解得，此时表示的数为， 当正方形在前时，点在点前个单位，， 解得，此时表示的数为， 综上所述，点表示的数为或； 题型10 数轴上圆形运动规律探究（共3小题） 28．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 29．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒3π个单位．    (1)若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　　； (2)若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）： ①第几次滚动后，小圆离原点最远？ ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留） (3)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时大圆与数轴重合的点所表示的数．（结果保留） 【答案】(1) (2)①第4次滚动后，小圆离原点最远；②小圆运动的路程共有16，两圆与数轴重合的点之间的距离是 (3)或或或 【分析】（1）根据大圆的周长的滚动的方向即可求解； （2）①将每次滚动的时间带符号相加，绝对值最大的离原点最远；②将滚动的时间的绝对值相加，计算小圆运动的总路程，再计算出小圆最后落点的位置，即可求出距离； （3）大圆、小圆均有向左、向右运动的可能，因此共4种情况，根据两圆与数轴重合的点之间相距列等式，即可求解 【详解】（1）解：大圆的周长为， 向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：①第一次滚动后：， 第二次滚动后：， 第三次滚动后：， 第四次滚动后：， 第五次滚动后：， 第六次滚动后：， 即第四次滚动后，小圆离原点最远； ②， ， 即小圆运动的路程共有，两圆与数轴重合的点之间的距离是； （3）解：设时间为t秒，分四种情况讨论： 当两圆同时向右滚动， 由题意知，t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数为：，小圆与数轴重合的点所表示的数为：， 则， 解得， ，， 即大圆、小圆与数轴重合的点所表示的数分别为：，； 当两圆同时向左滚动， 由题意知，t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数为：，小圆与数轴重合的点所表示的数为：， 则， 解得， ，， 即大圆、小圆与数轴重合的点所表示的数分别为：，； 当大圆向左滚动，小圆向右滚动， 由题意知，t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数为：，小圆与数轴重合的点所表示的数为：， 则， 解得， ，， 即大圆、小圆与数轴重合的点所表示的数分别为：，； 当大圆向右滚动，小圆向左滚动， 由题意知，t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数为：，小圆与数轴重合的点所表示的数为：， 则， 解得， ，， 即大圆、小圆与数轴重合的点所表示的数分别为：，； 综上所述：大圆与数轴重合的点所表示的数为或或或． 【点睛】本题考查圆在数轴上的滚动问题，有理数加减运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，注意分类讨论思想的应用． 题型11 数轴上的翻折问题（共3小题） 【步骤】找到折点（对称中心），两点关于折点对称，则两点之和等于折点的 2 倍，据此列方程求解对应点。 【易错】容易误把折点当成两点差的一半；对称两点到折点距离相等，别混淆和差关系。 31．（25-26七年级上·全国·单元测试）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A．    B．    C．    D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是__________． (2)翻折变换 ①折叠纸条，若表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示__________的点重合； ②如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②1012 (2)①，② 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠与平移，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． （1）①以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案；②根据前边几次跳动得出规律计算可得； （2）①根据表示的点与表示3的点重合，可得出翻折的点在1处，根据此规律即可求出答案；②根据折痕处的点为对折后重合两端点的中点，由中点到两端点的距离相等可计算求解；③通过来推出对应的数，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程可得：， 故选：D． ②如果向左为“”，向右为“”， 机器人跳动过程可以用算式表示为：， 当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是； 故答案为：； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， 设表示2024的点与表示x的点重合，则， 解得：， ∴表示2024的点与表示重合； 故答案为：； ②根据题意可知点表示的数为， ∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点， ∴点C表示的数：． 32．（26-27七年级上·浙江绍兴·期中）长方形纸片上有一数轴，剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为1：1：3，则折痕处对应的点所表示的数可能是___________ 【答案】 或或 【分析】先根据题意求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，即可求出折痕处对应的数． 【详解】解：根据题意，可设这三条线段的长度分别为x，x，个单位长度，则， 解得：，则这三条线段的长度分别为2、2、6个单位长度， 分三种情况讨论： ①当三条线段从左到右长度依次为2，2，6时， 中间线段的左端点表示的数为，右端点表示的数为， 折痕处对应的数为； ②当三条线段从左到右长度依次为2，6，2时， 中间线段的左端点表示的数为，右端点表示的数为，折痕处对应的数为； ③当三条线段从左到右长度依次为6，2，2时， 中间线段的左端点表示的数为，右端点表示的数为， 折痕处对应的数为， 综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是1或3或5． 33．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______． (2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值． (3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先根据点A到原点距离求出点B表示的数，再利用点C是中点求点C表示的数； （2）先由平移算出m的值，再代入代数式，根据绝对值法则化简求值； （3）先分点在点B左侧或右侧两种情况算出点表示的数，再利用折叠后折点C是的中点求出点C． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为， ∴点A到原点O的距离为， ∵点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍， ∴点B到原点O的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴数轴上点B对应的数是； ∵点A表示的数为，数轴上点B对应的数是， ∴， ∵点C到点A、B的距离相等，， ∴点C对应的数是； （2）解：∵点A表示的数为，设点B表示的数为m，动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当点在点B左侧时，点表示的数为，， 由折叠可知，点C为中点，， ∴点C表示的数是； ②当点在点B右侧时，点表示的数为，， 由折叠可知，点C为中点，， ∴点C表示的数是； 综上，C表示的数是或． 题型12 有关数轴的新定义问题（共3小题） 34．（25-26七年级上·北京西城·期中）对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 【答案】(1) (2)0或3 (3) 【分析】本题主要考查两点间的距离，一元一次方程的应用，注意分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据“倍分点”的定义进行判断即可； （2）根据“倍分点”的定义进行解答； （3）根据“倍分点”的定义，分两种情况列出关于的一元一次方程，解得的值即可； 【详解】（1）解：由题意的：， ， ， ， 点是点到点的倍分点．点是点到点的倍分点， 故答案为：； （2）解：设3倍分点为，则， 若在左侧，则，不成立； 若在之间，则有， ， ， ， 点为0， 若在点右侧，则有， ， ， 所以点为3， 综上所述，点到点的3倍分点表示的数是0或3； （3）解：当2倍分点为点且点在点左侧时，取得最小值， 此时 解得：， 当2倍分点为点且点在点右侧时，取得最大值， 此时 解得， 综合两种情况，的取值范围是． 35．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10． (1)若，且点C在数轴上对应的数是7，则_______； (2)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值； (3)点P从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点A从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上的点Q满足，且，直接写出所有符合条件的t的值． 【答案】(1)4 (2)1或5 (3)6或12 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离、一元一次方程的应用、解绝对值方程等知识点，理解“整k距点”是解题的关键． （1）先直求出点C到点A和点B的距离，再根据“整k距点”的定义列式计算即可； （2）先根据点M和点N的运动表示出位置，再利用建立方程求求解即可． （3）根据点P和点A的运动表示出位置，结合点Q满足的条件建立方程，求解符合条件的t即可． 【详解】（1）解：∵点C对应的数是7，点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10， ∴． ∵， ∴，即，解得：． （2）解：由题意可得：点M的位置，点N的位置：，点A对应的数是． ． ∵， ∴，即，化简得：． ∴或．解得：或． （3）解：设点Q点对应的数为x， 由题意可得：点P的位置，点A的位置，点B对应的数是10． ∴． ∴． 点Q满足，即． ∴，解得或． 又∵， ∴． 当时，． ∴． 当时，，解得：（不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； 当时，解得：（不符合题意）． ∴或． 当时，． ∴，即，此绝对值方程无解． 综上，或． 36．（24-25七年级上·北京石景山·期末）定义：数轴上点表示的数分别为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，我们就称是点的关联点对．例如，如图，点表示的数分别为．此时，，．，则称是点的2关联点对；，则称是点的关联点对． (1)若表示的数分别为，是点的关联点对，则表示的数为______． (2)若点表示的数分别为． ①是线段上的一个动点，是点的关联点对，则的最大值为______，的最小值为______； ②若点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动，设点运动的时间为，若是点的关联点对，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①，；②的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题及解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解关联点对的定义． （1）先求出的长，根据“关联点对”的定义求出的长，即可得出点表示的数； （2）①根据“关联点对”的定义可得，得出当最大时，有最小值，当最小时，有最大值，即可得答案； ②分别用表示出、，根据“关联点对”的定义得出，分点在点左侧，点在点右侧、点在点右侧，点在点左侧、点在点和点之间三种情况求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵表示的数分别为， ∴， ∵是点的关联点对， ∴， ∴表示的数为或． 故答案为：或 （2）解：①∵点表示的数分别为， ∴， ∵是点的关联点对， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，有最小值，当最小时，有最大值， ∵是线段上的一个动点， ∴当点与点重合，即时，最大，有最小值， 当点与点重合，即时，最小，有最大值． 故答案为：， ②∵点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为，点运动到点的时间为， ∵是点的关联点对， ∴， ∴当点在点左侧，点在点右侧时， 解得：（舍去）， 当点在点右侧，点在点左侧时，， 解得：， 当点在点和点之间时，， 解得：． 综上所述：的值为或． 题型13 数轴中点有关问题（共3小题） 【步骤】若两点表示数为a,b，中点数值等于；借助中点到两点距离相等，列方程求解未知点 【易错】容易误用求中点；区分中点计算公式和两点距离公式，不要混用 37．（25-26七年级上·北京海淀·期末）我们将数轴上点P表示的数记为．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有，其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k倍映射点”．已知在数轴上，O为原点，点A，点B表示的数分别为，． (1)若点B是点A关于原点O的“k倍映射点”，则________；若点C是点A关于点B的“倍映射点”，则________； (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点D．当线段运动几秒时，点D是点A关于点O的“倍映射点”？ (3)若点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“5倍映射点”，记为，作点B关于点Q的“5倍映射点”，记为．当点Q运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当线段运动秒时，点D是点A关于点O的“倍映射点” (3)当点Q运动时，存在最小值，为 【分析】（1）根据“k倍映射点”的定义，计算即可得出结果； （2）设线段运动秒，，，其中点对应的数是，再结合“k倍映射点”的定义，列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）根据“k倍映射点”的定义可得，，表示出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点B是点A关于原点O的“k倍映射点”， ∴， 解得：； ∵点C是点A关于点B的“倍映射点”， ∴, 解得：； （2）解：设线段运动秒，，，其中点对应的数是， ∵点D是点A关于点O的“倍映射点”， ∴， ∴， 解得：， 故当线段运动秒时，点D是点A关于点O的“倍映射点”； （3）解：∵作点A关于点Q的“5倍映射点”，记为，作点B关于点Q的“5倍映射点”，记为． ∴，， ∴ ， ∵点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合）， ∴当点位于、两点之间时，的值最小为， 故当点Q运动时，存在最小值，为． 【点睛】本题考查了“k倍映射点”的定义，数轴，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握“k倍映射点”的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 38．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 39．（25-26七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3) ，理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3）略 题型14 数轴上定值不变问题（共3小题） 40．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，点A，B，C分别表示数，10，20，数轴上有一动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)点M表示的数是______（用含t的式子表示）； (2)当M，B两点之间相距5个单位长度时，求t的值； (3)若点D，E，F分别从点A，B，C的位置出发与点M在数轴上同时开始运动，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点E和点F分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，在这个运动过程中，已知存在常数n，使得为一个定值，则n的值为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，涉及到用代数式表示点的位置、根据距离列方程以及代数式的化简求值． （）根据数轴上动点的表示规则，用初始位置加上速度与运动时间的乘积，就能直接写出点在运动秒后表示的数； （）先依据两点间的距离公式列出关于的绝对值方程，再根据绝对值的几何意义分两种情况去掉绝对值符号，分别解方程后得到的值； （）首先写出三点运动秒后的数轴表示数，结合点的表达式求出的化简式(利用去掉绝对值)，再将其代入代数式并整理，根据“代数式为定值则含项的系数为0”这一关键条件，解方程求出常数的值． 【详解】（1）解：∵M从出发，沿数轴正方向运动，每秒走个单位， ∴则秒后移动的距离为， ∴点表示的数：， 故答案为：； （2）解：∵点表示，点表示， ∴两点距离为， 即， 分两种情况： 情况一：点在点左侧，即，得：； 情况二：点在点右侧，即，得：； 综上，的值为或； （3）解：∵点从出发，速度个单位/秒向负方向运动，∴秒后表示的数：； ∵点从出发，速度个单位/秒向正方向运动，∴秒后表示的数：； ∵点从出发，速度个单位/秒向正方向运动，∴秒后表示的数：； 点表示的数：； ∴ ； ； 分别将代入式子，得： ， ∵式子为定值，即与无关， ∴的系数必须为， ∴， ∴． 故答案为：； 41．（25-26七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 42．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点，点表示的数分别为，其中表示点和点之间的距离．若位置不确定时，则，若点在的右侧，即，则； ②点向右运动个单位长度后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度后，点表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． (1)表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______； (2)运动秒后，点表示的数为______；点表示的数为______；（用含的式子表示）；并求的距离． (3)当点在点左侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)存在常数，使的值为定值 【分析】本题考查了数轴的应用、整式加减的应用，理解题意，能用式子表示出点所表示的数是解题关键． （1）根据点在点的左侧，即可得的距离； （2）根据在数轴上点表示数，点表示数1，点、点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上同时向左运动，即可求解； （3）先根据时间和速度分别求出运动秒后，点、点和点所表示的数，从而可得、的值，再根据整式的加减法则进行化简，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示数，点表示数1， 运动之前，的距离为， 故答案为：； （2）解：在数轴上点表示数，点表示数1，点、点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上同时向左运动， 运动秒后，点所表示的数为，点所表示的数为， 故答案为：，； 的距离为； （3）解：在数轴上点表示数9，点以每秒4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动秒后，点所表示的数为， 当点在点左侧时，， ， 当时，即时，结果与无关，即的值为定值， 存在常数，使的值为定值． 题型15 数轴的应用问题（共3小题） 43．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【分析】（1）根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为，解答即可； （2）三局后甲对应的数为，乙对应的数为．第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且，解答即可． （3）根据乙赢了n次，则乙输了次，则10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数，由他最终停留的位置对应的数为m，故，根据n是正整数，利用绝对值解答即可． （4）甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或，解答即可． 本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算，绝对值的应用，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 44．（25-26七年级上·河北衡水·期末）学校、书店、公交站三点在同一直线上，已知学校和公交站相距2400米，以书店为原点，1米为1个单位长度画出数轴，如图所示，公交站在数轴上用数字900表示，一辆公交车匀速往返于学校和公交站之间（停车时间忽略不计），设公交车的速度为x米/分． (1)学校在数轴上用数字表示为____； (2)小红从学校出发去书店时，正好有一辆公交车从公交站出发开往学校，已知小红步行的速度是30米/分． ①若小红步行去书店，出发20分钟时，与这辆公交车首次相遇，求公交车的速度x； ②若小红在第二次与这辆公交车相遇时坐上车去书店，结果比步行少用10分钟到达书店，求公交车的速度x； ③若米/分，小红始终步行从学校到书店，在此次过程中与这辆公交车第二次相遇的位置用数字_____表示． 【答案】(1) (2)①公交车的速度为90米/分；②公交车的速度为97.5米/分；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）由两点间的距离可求得； （2）①由小红走的路程+公交车走的路程米，列出方程可求解； ②由公交车行走的路程，列出方程可求解； ③设公交车和小红第二次相遇时小红行驶的时间为t分钟，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵学校和公交站相距2400米，公交站在数轴上用数字900表示， ∴学校在数轴上用数字表示， 故答案为：． （2）解：①由题意可得：， 解得：， 即公交车的速度为90米/分； ②由题意可得：， 解得：， 即公交车的速度为97.5米/分； ③设公交车和小红第二次相遇时小红行驶的时间为t分钟， 根据题意可得：， 解得：， ∴（米）， ∴公交车和小红第二次相遇时到书店的距离为300米，位置用数字表示， 故答案为：． 45．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想，研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，若，则A，B两点之间的距离用表示，；点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【新知学习】若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是的和谐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是的和谐点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的和谐点，但点D是的和谐点． 【知识应用】如图2，E，F为数轴上两点，点E所表示的数为．点F所表示的数为1． (1)点M，N，H表示的数分别是，5．其中是和谐点的是 ． (2)的和谐点W所表示的数是 ． (3)在图3中，数轴上有一点G表示数，点E、点G和点F分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒（），当点E在点G左侧时，若存在常数m，使的值与t的取值无关，则m的值为 ． (4)如图3，现有一只电子蚂蚁P从点F开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点E时停止运动，当t为何值时，P，E和F中恰有一个点为其余两点的和谐点？ 【答案】(1)N和H (2)或 (3) (4)或或或 【分析】本题主要考查了数轴，两点之间的距离，动点问题，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）根据和谐点的定义即可解答； （2）设点W所表示的数为x，根据题意列方程求解即可； （3）表示出即可解答； （4）分情况讨论，①当点P为的和谐点时，②当点P为的和谐点时，③当点F为的和谐点时，④当点F为的和谐点时，⑤当点E为的和谐点时，⑥当点E为的和谐点时，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M到点E的距离是2，点M到点F的距离是6， ∴点M到点E的距离是点M到点F的距离的， ∴点M不是的和谐点； ∵点N到点E的距离是6，点N到点F的距离是2， ∴点N到点E的距离是点N到点F的距离的3倍， ∴点N是的和谐点； ∵点H到点E的距离是12，点H到点F的距离是4， ∴点H到点E的距离是点H到点F的距离的3倍， ∴点H是的和谐点， 故答案为：N和H； （2）解：设点W所表示的数为x， ∵点W是的和谐点， ∴点W到点F的距离是点M到点E的距离的3倍， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）解：∵点E在点G左侧， ∴， ∴， 由题意存在常数m，使的值与t的取值无关可得， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， 分六种情况讨论： ①当点P为的和谐点时，则， ∴， ∴； ②当点P为的和谐点时，则， ∴， ∴； ③当点F为的和谐点时，则， ∴， ∴； ④当点F为的和谐点时，则， ∴， ∴（不符合题意）； ⑤当点E为的和谐点时，则， ∴， ∴（不符合题意）； ⑥当点E为的和谐点时，则， ∴； ∴； ∴当或或或时，P，E和F中恰有一个点为其余两点的和谐点． 提升·进阶突破 题型16 数轴上的动点、规律及其应用进阶练（共10小题） 46．（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上的点M和线段，给出如下定义：P为线段上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M、线段的“近距”，记作；如果两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M、线段的“远距”，记作．特别地，若点M与点P重合，则两点间距离为0．（已知点A表示的数为，点B表示的数为3．若点C表示的数为5，则，）．已知点E表示的数为x，点F表示的数为．如果是的2倍，那么x的值是________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，理解题意，正确列式，掌握绝对值方程的计算是关键． 根据点E的位置分类讨论，分别计算和，并解方程． 【详解】解：点A表示的数为，点B表示的数为3，点E表示的数为x，点F表示的数为， ： 当时，； 当时，； 当时，； ， 由， 当时，， 由于，故， 列方程：， 解得，． 当时，，则．但，矛盾，无解． 当时，，由于，故，列方程：， 解得，． 综上，x的值为或． 47．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 【答案】(1)1 (2)的值为或； 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，理解“倍分点”的定义，根据题意分情况讨论并列出方程是解此题的关键． （1）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，设点表示的数是，得出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； （2）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，分两种情况讨论：①点在点左侧，②点在点右侧，分别列出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， 设点表示的数是， ∵点表示的数是，点表示的数是，点在线段上， ∴，， ∴， 解得： ∴点表示的数是． （2）∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， ∵点表示的数是，点表示的数是，， 点在点左侧时，点表示的数是， 此时，， ∴ 解得： 点在点右侧时，点表示的数是6， 此时，， 由题意得： 解得： 所以的值为或； 48．（25-26七年级上·北京大兴·期中）数轴上互不重合的三个点，，表示的数分别为，，，如果是的倍，那么就称点是点关于点的“倍关联点”．如图所示，点，点表示的数分别是，4． (1)点是点关于原点的“倍关联点”，则_____； (2)点是点关于点的“2倍关联点”，求点表示的数； (3)点，表示的数分别是，，点，不与点，重合，若点是点关于点的“倍关联点”，且，则点是点关于点的“_____倍关联点”（用含的代数式表示）． 【答案】(1)2 (2)或 (3) 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据“倍关联点”的定义得到，即可求解； （2）设表示的数为，根据题意得到，解方程即可； （3）由题意得，设点是点关于点的“倍关联点”则，将代入，则得到，联立①②即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 故答案为：2； （2）解：设表示的数为， 由题意得，， 解得或， ∴点表示的数为或； （3）解：∵点是点关于点的“倍关联点”， ∴， 设点是点关于点的“倍关联点” ∴ ∵， ∴将代入，则得到， ∵，， ∴， ∵点，不与点，重合， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（25-26七年级上·北京·期中）已知数轴上两点表示的数分别为0和6．点从点出发沿数轴向某个方向以每秒3个单位长度匀速运动，点从点出发沿数轴向某个方向以每秒1个单位长度匀速运动．点同时开始运动，运动方向可能相同，也可能不同．设运动时间为，请回答下列问题： (1)如果点都沿数轴正方向运动，当时，则 ； (2)若， 求的值； (3)在运动过程中，已知，则的值是 ． 【答案】(1) (2)的值为或或 (3)或或或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离、数轴上的动点问题等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示是解决问题的关键． （1）由题意，得到当时，表示的数为3、表示的数为7，再由数轴上两点之间距离表示方法求解即可得到答案； （2）由于运动方向不确定，分类讨论，列方程求解即可得到答案； （3）由于运动方向不确定，分类讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，表示的数为3、表示的数为7， ， 故答案为：； （2）解：由于运动方向不确定，分类讨论： 当点都沿数轴正方向运动，当时，表示的数为6、表示的数为8， ， ， 当时，，解得； 当点都沿数轴负方向运动，当时，表示的数为、表示的数为4， ， ， 当时，，解得； 当点都沿数轴相向运动，当时，表示的数为6、表示的数为4， ， ， 当时，，解得； 当点都沿数轴反向运动，当时，表示的数为、表示的数为8， ， ， 当时，，解得； 综上所述，的值为或或； （3）解：由于运动方向不确定，分类讨论： 当点都沿数轴正方向运动，表示的数为、表示的数为， ， ， 当时，，解得或； 当点都沿数轴负方向运动，表示的数为、表示的数为， ， ， 当时，，解得（负值，舍去）或（负值，舍去）； 当点都沿数轴相向运动，表示的数为、表示的数为， ， ， 当时，，解得或； 当点都沿数轴反向运动，表示的数为、表示的数为， ， ， 当时，，解得（负值，舍去）或（负值，舍去）； 综上所述，在运动过程中，若，当点都沿数轴正方向运动，或；当点都沿数轴相向运动，或； 故答案为：或或或． 50．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数1，点表示的数3，下列各数，0，5所对应的点分别，，，其中是点，的“联盟点”的是______； (2)点表示数，点表示的数20，在为数轴上一个动点． ①若点在点与点之间，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______． 【答案】(1)， (2)①0或10；②35或50或80 【分析】（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可； （2）①根据点所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； ②分三种情况进行解答，即点是点，点的“联盟点”，点是点、点的“联盟点”，点是点、点的“联盟点”进行计算即可． 【详解】（1）解：点所表示的数为1，点所表示的数是3， 当点所表示的数是时， ，， ∵，即， ∴是点、点的“联盟点”； 当点所表示的数是0时， ，， ∴不是表示点、点的“联盟点”， 当点所表示的数是5时， ，， ∵， ∴是表示点、点的“联盟点”， 综上分析可知：点，的“联盟点”的是，； （2）解：①设点在数轴上所表示的数为， 当点在点与点之间时， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上分析可知：点表示的数为0或10； ②若点在点的右侧， 当点是点，点的“联盟点”时，有，即， 解得， 当点是点、点的“联盟点”时，有或， 即或， 解得或； 当点是点、点的“联盟点”时，有，即， 解得：； 综上分析可知：点P表示的数为35或50或80． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解（2）的关键． 51．（24-25七年级上·北京东城·期中）如图，数轴上有A、B、C三个点分别表示数，，16，有两条动线段和 (点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左侧．点M在点N的左侧)，点P到点Q的距离，点M到点N的距离．线段以每秒1个单位长度的速度从点B开始一直向右匀速运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动(整个运动过程中，线段和保持长度不变)．设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． 【答案】(1)8； (2)或2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）利用时间＝路程÷速度，可求出点Q到达点C、点Q返回点A及点N到达点C所需时间，由线段，的运动方向、运动速度、运动时间及两线段的长，可得出当时，点M，Q表示的数； （2）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中可得出点M表示的数；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中可得出点M表示的数． 【详解】（1）解：（秒），（秒），（秒）． 根据题意得：当时， 点N表示的数为， 点Q表示的数为． ∵，且点M在点N的左侧， ∴当时，点N表示的数为． 故答案为：8；． （2）解：当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点M表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴； 当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点M表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 答：在整个运动过程中，当时，点M表示的数为或2． 52．（24-25七年级上·北京·期中）【问题情境】： 我们在教材中曾学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可以记作． 【独立思考】： （1）数轴上表示和3两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则x=______． 【实践探究】： （3）已知A、B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50．现有点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，那么几秒后，P、Q两点间的距离是10个单位长度？ 【答案】（1）4 （2）2或 （3）14或18 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， 对于（1），根据数轴上两点之间的距离公式求解；再根据两点之间的距离列出方程，求出解； 对于（2），先设时间为x秒，即可表示两点运动的路程，再根据两点之间的距离分两种情况列出方程，求出解. 【详解】解：（1）①由题意可知，数轴上表示和3的两点之间的距离是； 故答案为：4； （2）由题意，得， ∴或， 解得或； 故答案为：2或； （2）设x秒后，点P在数轴上运动的路程是，点Q运动的路程是， 分两种情况： 当两只蚂蚁相遇前在数轴上距离是10个单位长度时，， 解得； 当两只蚂蚁相遇后在数轴上距离是10个单位长度时，， 解得. 所以两只蚂蚁在数轴上距离是10个单位长度的时间是14或18秒. 53．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     【答案】(1)①0；；② (2)或0 (3)，2 【分析】本题考查了新定义，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）①根据共点联系点的定义求解即可； ②设点A、点B到点P的距离为m，根据共点联系点的定义表示出a，b，然后相加即可； （2）先根据题意表示出b，再根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可； （3）先判断M或与N距离最大和M或与N距离最小的位置，再表示出M或与N，然后根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时，由题意，得 ∴； 当时，由题意，得 ∴． 故答案为：①0；； ②设点A、点B到点P的距离为m， 由题意，得 ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，或， ∴或， 解得或． 故答案为：或0； （3）解：假设M在的左侧，由题意知，当M到大P之前时，与N距离最小；当M从6表示的点返回后，与N距离最大． 当到大P之前时，， 由题意，得 ， 解得； 当M从6表示的点返回后，， 由题意，得 ， 解得； 故答案为：，2． 54．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，数轴上点A，O，B分别表示数，0，5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，并在经过点O后以每秒2个单位长度的速度继续沿数轴负方向运动；当点P到达点O时，P，Q两点都停止运动．设点P运动的时间为t秒． (1)当时，_______；当点P与点Q重合时，_______； (2)当点Q在点P左侧，且时，______，点Q表示的数是_______； (3)当时，求t的值． 【答案】(1)3；6； (2)，； (3)4或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示P，Q表示的数． （1）当时，P运动到表示的点，Q运动到的点，可得；当时，Q表示的数为，P表示的数为，故，解得； （2）点Q在点P左侧，Q表示的数为，P表示的数为，即得，解得，从而求出点Q表示的数是； （3）当时，，，可得，解得；当时，，，故，解得或（舍去）． 【详解】（1）解：当时，P运动到表示的点，Q运动到的点， ∴； 当时，Q表示的数为，P表示的数为， ∴点P与点Q重合时，， 解得； 故答案为：3，6； （2）解：点Q在点P左侧，Q表示的数为，P表示的数为， ∵， ∴， 解得， 此时， ∴点Q表示的数是； 故答案为：，； （3）解：当时，P表示的数为，Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，P表示的数为，Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，t的值为4或． 55．（24-25七年级上·北京·期末）对于数轴上的点进行如下操作：将点表示的数乘以，再加上，所得数对应的点为，则称点为点的“位移点”．例如，如图，若点表示的数为，，则数对应的点为点的“位移点”． (1)数轴上，点，，的“位移点”分别为，，． ① 若点表示的数为，且，则点表示的数为 ，点表示的数为 ； ②若点与点重合，求点表示的数； (2)数轴上，点表示的数为，原点与点的“位移点”分别为，．当线段与线段重叠部分的长度为时，直接写出的值． 【答案】(1)①，或②点表示的数为 (2)或 【分析】本题考查了新概念“位移点”、数轴、两点间的距离等知识；熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． （1）①根据“位移点”的特征可求得，再分两种情况求即可，②设点表示的数为，则为由点与点重合，列方程求解即可； （2）由点表示的数为，原点与点的“位移点”分别为，．得表示的数为，表示的数为，进而分，和三种情形求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，点，，的“位移点”分别为，， ∴表示的数为 由， 当在的右侧时，表示的数为，表示的数为， 当在的左侧时，表示的数为，表示的数为， 故答案为：，或； ②设点表示的数为，则为 ∵点与点重合， ∴ 解得； （2）解：∵点表示的数为，原点与点的“位移点”分别为，． ∴表示的数为，表示的数为， ∴， 当时， ∵线段与线段重叠部分的长度为 ∴，解得 当时，，此时线段与线段重叠部分的长度为，不符合题意； 当时， ∵线段与线段重叠部分的长度为． ∴， 综上，为或． 拔高·压轴破难 题型17 数轴上的动点、规律及其应用培优练（共5小题） 56．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 57．（25-26七年级上·北京昌平·期末）新定义：在数轴上，对于任意两点，若点满足，则称点是“对的2分距点”；若点满足，则称点是“对的2分距点”，并称线段的长度为两点的“双2分距离”． (1)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，则“对的分距点”表示的数为___________； (2)在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为，当两点的“双2分距离”的长度为5时，求出的值； (3)在数轴上，点表示的数为，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，当点，相遇时停止运动．设运动时间为秒，当两点的“双分距离”等于时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次方程组的应用： （1）设点表示的数为，分两种情况：当点位于线段上时，当点位于点右侧时； （2）设点表示的数为，点表示的数为，分四种情况讨论：当点，点位于线段上时，当点位于点右侧，点位于点左侧时，当点位于线段上，点位于点左侧时，当点位于线段上，点位于点右侧时； （3）根据题意可知，点表示的数为，点表示的数为，设点是“对的分距点”， 点表示的数为，设点是“对的分距点”， 点表示的数为，根据题意可知，点和点不能同时位于线段上，且,解得，所以分三种情况讨论：当点位于点右侧，点位于点左侧时，当点位于点右侧，点位于线段上时，当点位于线段上，点位于点左侧时． 【详解】（1）设点表示的数为. （Ⅰ）当点位于线段上时，可得 解得 （Ⅱ）当点位于点右侧时，可得 解得 综上所述，点表示的数为或． 故答案为：或 （2）设点表示的数为，点表示的数为． （Ⅰ）当点，点位于线段上时，可得 解得 根据题意可知，可得 解得 （Ⅱ）当点位于点右侧，点位于点左侧时，可得 解得 根据题意可知，可得 解得 （Ⅲ）当点位于线段上，点位于点左侧时，可得 解得 根据题意可知，可得 解得 （Ⅳ）当点位于线段上，点位于点右侧时，可得 解得 根据题意可知，可得 解得 综上所述，或或． （3）根据题意可知，点表示的数为，点表示的数为，设点是“对的分距点”， 点表示的数为，设点是“对的分距点”， 点表示的数为． 根据题意可知，点和点不能同时位于线段上，且 解得 （Ⅰ）当点位于点右侧，点位于点左侧时，可得 解得 根据题意可知，可得 解得 （Ⅱ）当点位于点右侧，点位于线段上时，可得 解得 根据题意可知，可得 解得 （Ⅲ）当点位于线段上，点位于点左侧时，可得 解得 根据题意可知，可得 解得 综上所述，或． 58．（25-26七年级上·北京·期末）传送门是科幻小说中常见的构想，通过传送门，可以从一个地方瞬间转移到另一个地方．如下图，在数轴的原点O和点A处分别有一扇传送门，其中点A表示的数为360．当一个点移动至其中一扇传送门时，它会被瞬间转移到另一扇传送门，之后继续移动．对于线段上的两点P，Q（点P，Q不与端点O，A重合），想让点P移动到点Q有两种方法：一种是不经过传送门直接移动到点Q；另一种是点P先移动到离它更近的传送门处，瞬间转移至另一扇传送门后，再移动到点Q．我们将这两种移动方法中移动距离的最小值称为的“传送距离”． 已知点B，C，D在数轴上对应的数分别为80，200，300． (1)的“传送距离”为______，的“传送距离”为______； (2)线段上任意两点（不与端点O，A重合）的“传送距离”的最大值为______； (3)点R是线段上任意一点（点R不与端点O，A重合），将，和的“传送距离”分别记为，，，则的最大值为______，取得最大值时点R所表示的数为______． 【答案】(1)120；140 (2)180 (3)320；20 【分析】（1）根据传送距离进行求解即可； （2）设线段上任意两点表示的数分别为x，y且，根据当时，线段上任意两点的“传送距离”最大，求出最大值即可； （3）设点R表示的数为r，分情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别求出的范围，然后得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴的“传送距离”为120； ∵，， 又∵， ∴的“传送距离”为140； （2）解：设线段上任意两点表示的数分别为x，y且，则两个点间的距离为， 通过传送门需要移动的距离为：， ∴两个点间的距离与通过传送门需要移动的距离之和为： ， ∴两个点间的距离与通过传送门需要移动的距离之和为定值， ∴当时，线段上任意两点的“传送距离”最大， ∵当时，， ∴线段上任意两点的“传送距离”的最大值为． （3）解：设点R表示的数为r， 当时，， ， ， ∴， ∵， ∴； 当时，， ， ， ∴， ∵， ∴； 当时，， ， ， ∴， ∵， ∴； 当时，， ， ， ∴， ∵， ∴； 当时，， ， ， ∴， ∵， ∴； 当时，， ， ， ∴， ∵， ∴； 当时，， ， ， ∴， ∵， ∴； 综上，的最大值为320，此时． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握新定义，数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． 59．（25-26七年级上·北京·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：______；______； (2)若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，、同时开始运动，求当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【答案】(1)3，8 (2)当经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和 【分析】本题主要考查一元一次方程，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）当取最小值时，，得到点表示的数为4，设经过的时间为秒，再分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，三点分别表示的数为、4、7， ，， 故答案为：3，8； （2）解：当取最小值时，， 点表示的数为4，设经过的时间为秒， 当到达点时，秒，当返回到点时，秒； 当到达点时，秒，点返回到点时，秒； ①当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意知，解得或（舍）； ②当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得，解得（舍）； ③当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 解得或（舍）， 综上所述，当经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 60．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴上的动点、规律及其应用（17大题型60题） 基础·固本强基 题型1 数轴上两点之间的距离 题型2 数轴上点的移动 题型3 关于数轴的说法正误问题 题型4 单动点运动问题 题型5 双动点运动问题 题型6 多动点运动问题 题型7 数轴上单点左右运动规律探究 题型8 数轴上三角形运动规律探究 题型9 数轴上正方形运动规律探究 题型10 数轴上圆形运动规律探究 题型11 数轴上的翻折问题 题型12 有关数轴的新定义问题 题型13 数轴中点有关问题 题型14 数轴上定值不变问题 题型15 数轴的应用问题 提升·进阶突破 题型16 数轴上的动点、规律及其应用进阶练 拔高·压轴破难 题型17 数轴上的动点、规律及其应用培优练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】找出数轴两点对应的数，用两点数值作差再取绝对值，求出两点距离，距离结果恒大于或等于 0。 【易错】不要直接用左数减右数，忘记加绝对值；距离是长度不为负，别混淆两点差与两点距离概念。 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京平谷·期末）定义：已知点、是数轴上两点．点是数轴上一点（点不与点、重合），若点到点或点N的距离的最大值等于距离的最小值的倍，我们就称点是线段MN的关联点． (1)若点、表示的数分别为，2，若点表示的数为正整数，且为正整数，则点P表示的数为______． (2)若点表示的数为，点在点的右侧，，点表示的数是的3倍，点是线段的5关联点，求m的值． 3．（25-26七年级上·北京·期末）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 题型2 数轴上点的移动（共3小题） 【步骤】确定起点表示的数，右移加、左移减，依次代入移动距离列式，算出移动后点对应的有理数。 【易错】极易混淆移动方向，左加右减是常见错误；多步移动不能颠倒运算顺序。 4．（25-26七年级上·北京·期中）在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 5．（24-25七年级上·新疆和田·期中）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，点B所对应的数是 ； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，则A、B两点间距离为 ； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 6．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，求点Q到原点O的距离； (2)当秒时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 题型3 关于数轴的说法正误问题（共3小题） 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（    ） A．原点位置可以是数轴上任意一点 B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向 C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取 D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm 8．（25-26七年级上·北京顺义·期末）在数轴上从左到右有三点，其中，如图所示．设点所对应数的和是，则下列说法错误的是（　　） A．若以点为原点，则的值是4 B．若以点为原点，则的值是1 C．若以点为原点，则的值是 D．若以的中点为原点，则的值是 9．（25-26七年级上·河南南阳·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数 C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小 题型4 单动点运动问题（共3小题） 10．（25-26七年级上·北京通州·期中）点，，为数轴上的三点，如果点到的距离是点到的距离的2倍，那么我们就称点是的特征点． (1)如图1，点和点中是的特征点的是_____；且的特征点的是_____； (2)如图2，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5，为数轴上一点，若点是的特征点，点表示的数为_____； (3)、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为40，现有一个动点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的特征点？直接写出的值_____． 11．（25-26七年级上·北京·期中）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m．    （1）若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是________；若以B为原点，则________； （2）若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，则________． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（   ） A． B． C．5 D． 题型5 双动点运动问题（共3小题） 13．（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足C为线段的中点． (1)若动点M、N分别同时从A、B点出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动的时间为t． 点M表示的数为______（用含有t的代数式表示） 点N追上点M时，______秒． (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．当时，求t的值． 14．（25-26七年级上·北京·期中）如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 15．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点表示的有理数为－4，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的有理数是______，当点与点4重合时，的值是______； (2)①在点由点到点的运动过程中，表示的有理数是______（用含的代数式表示）； ②在点由点到点的运动过程中，点表示的有理数是______（用含的代数式表示）； (3)若点从点出发的同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当为何值时，点与点的距离是2个单位长度． 题型6 多动点运动问题（共3小题） 16．（25-26七年级上·北京·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别是，32，动点从点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点从点出发以8单位/秒的速度向左运动，动点从原点出发以单位/秒的速度向左运动（），三个动点同时出发，设运动时间为．若在运动过程中出现，则称为的等距点． (1)动点对应的数为______，动点对应的数为______（用含的式子表示）． (2)若在运动过程中，先后两次为的等距点，且两次间隔的时间为5秒，求的值． (3)若在运动过程中，恰好只有一次为的等距点，请直接写出满足条件的的值或的取值范围． 17．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）在数轴上设有两个固定点、，分别对应的数为与．动点、、同时在数轴上运动，速度保持不变，点的速度为每秒个单位长度；点的速度为每秒个单位长度；点的速度为每秒个单位长度． (1)点、分别从点、同时出发，且都向正方向运动． ①设运动秒后，点、所在的数分别为______、______（用含的代数式表示）； ②当点、之间的距离恰好为个单位长度时，直接写出此时的值（只写数值）． (2)点、、同时开始运动，运动方式如下： 点从点出发，向正方向运动；点从点出发，向负方向运动；点从原点（数轴上点）出发，先向负方向运动，第一次与点重合后立即向正方向运动，第二次与点重合后立即向负方向运动，随后再与点、交替重合，……，直至点、、三点同时重合时停止运动． 在整个过程中，三点的速度保持不变，点、的运动方向始终不变． ①当运动停止时，点所在的数为______（只写数值）； ②在整个运动过程中，点所走的总路程为______个单位长度（只写数值）． 18．（25-26七年级上·北京·期末）如图，甲、乙两台清洁机器人分别固定在数轴型仓库的号（路灯甲初始位置）和12号（路灯乙初始位置），路灯编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“路灯间距”为单位（1个单位对应1个路灯间距），系统每次下达1条清洁指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： 指令名称 甲机器人移动规则 乙机器人移动规则 协同清洁指令 向正方向移动3个单位 向负方向移动3个单位 甲优先清洁指令 向正方向移动3个单位 向正方向移动2个单位 乙优先清洁指令 向负方向移动3个单位 向负方向移动2个单位 (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同清洁指令”后，甲、乙两台机器人之间的路灯间距为______个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行条清洁指令． ①若，且两台机器人只执行“优先清洁指令”，设“甲优先清洁指令”执行次数为．甲最终停留的路灯编号为________（用含的代数式表示）； ②若“协同清洁指令”次数与“优先清洁类指令”总次数的比为．设“甲优先清洁指令”执行次数为，乙最终停留的路灯编号为_____________（用含、的代数式表示）； ③在②的条件下，若此时甲、乙的位置间距为3个路灯单位，写出所有符合条件的值及对应的各类指令执行次数． 题型7 数轴上单点左右运动规律探究（共3小题） 19．（25-26七年级上·天津·期中）如图，圆的周长为个单位长度，在圆周的四等分点处标上字母、、、，先将点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点与圆周上字母（    ）所对应的点重合． A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 21．（26-27七年级上·江苏南通·期中）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 题型8 数轴上三角形运动规律探究（共3小题） 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 23．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）数轴上有A，B，C三个点，其中点A，B表示的数分别是，10，点C位于A，B之间，以为边向上作等边三角形，将此三角形绕着顶点向右翻滚（无滑动）两次．若点A的对应点落在射线上，并且，则C点表示的数是_____． 24．（26-27七年级上·河南南阳·期中）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 题型9 数轴上正方形运动规律探究（共3小题） 25．（26-27七年级上·辽宁大连·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0，1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转．翻转1次，点所对应的数为2，若翻转2026次，数轴上数2026所对应的点是_______． 26．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 27．（25-26七年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，在数轴上有两个边长相同的正方形．已知正方形的顶点，分别对应，．正方形的顶点，分别对应，．现正方形以每秒个单位的速度向右运动，正方形以每秒个单位的速度也向右运动． (1)秒后，点对应的数是______，点对应的数是______． (2)设运动时间为（秒），正方形从刚好追上正方形到完全超过需要多少时间？求出的值（刚好追上指边与边重合）． (3)求当正方形和正方形相距个单位长度时，求此时点表示的数．（一个图形内的任意一点与另一个图形内的任意一点距离中的最小值叫做这两个图形间的距离） (4)如图，在运动过程中，两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，此时点对应的数是______（直接写出答案）． 题型10 数轴上圆形运动规律探究（共3小题） 28．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 29．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 30．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒3π个单位．    (1)若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　　； (2)若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）： ①第几次滚动后，小圆离原点最远？ ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留） (3)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时大圆与数轴重合的点所表示的数．（结果保留） 题型11 数轴上的翻折问题（共3小题） 【步骤】找到折点（对称中心），两点关于折点对称，则两点之和等于折点的 2 倍，据此列方程求解对应点。 【易错】容易误把折点当成两点差的一半；对称两点到折点距离相等，别混淆和差关系。 31．（25-26七年级上·全国·单元测试）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A．    B．    C．    D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是__________． (2)翻折变换 ①折叠纸条，若表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示__________的点重合； ②如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 32．（26-27七年级上·浙江绍兴·期中）长方形纸片上有一数轴，剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为1：1：3，则折痕处对应的点所表示的数可能是___________ 33．（26-27七年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______． (2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值． (3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？ 题型12 有关数轴的新定义问题（共3小题） 34．（25-26七年级上·北京西城·期中）对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 35．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10． (1)若，且点C在数轴上对应的数是7，则_______； (2)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值； (3)点P从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点A从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上的点Q满足，且，直接写出所有符合条件的t的值． 36．（24-25七年级上·北京石景山·期末）定义：数轴上点表示的数分别为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，我们就称是点的关联点对．例如，如图，点表示的数分别为．此时，，．，则称是点的2关联点对；，则称是点的关联点对． (1)若表示的数分别为，是点的关联点对，则表示的数为______． (2)若点表示的数分别为． ①是线段上的一个动点，是点的关联点对，则的最大值为______，的最小值为______； ②若点从点以每秒3个单位长度向右运动，同时点从点以每秒1个单位长度向左运动，设点运动的时间为，若是点的关联点对，请直接写出的值． 题型13 数轴中点有关问题（共3小题） 【步骤】若两点表示数为a,b，中点数值等于；借助中点到两点距离相等，列方程求解未知点 【易错】容易误用求中点；区分中点计算公式和两点距离公式，不要混用 37．（25-26七年级上·北京海淀·期末）我们将数轴上点P表示的数记为．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有，其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k倍映射点”．已知在数轴上，O为原点，点A，点B表示的数分别为，． (1)若点B是点A关于原点O的“k倍映射点”，则________；若点C是点A关于点B的“倍映射点”，则________； (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点D．当线段运动几秒时，点D是点A关于点O的“倍映射点”？ (3)若点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“5倍映射点”，记为，作点B关于点Q的“5倍映射点”，记为．当点Q运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 38．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 39．（25-26七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 题型14 数轴上定值不变问题（共3小题） 40．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，点A，B，C分别表示数，10，20，数轴上有一动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)点M表示的数是______（用含t的式子表示）； (2)当M，B两点之间相距5个单位长度时，求t的值； (3)若点D，E，F分别从点A，B，C的位置出发与点M在数轴上同时开始运动，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点E和点F分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，在这个运动过程中，已知存在常数n，使得为一个定值，则n的值为______． 41．（25-26七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 42．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点，点表示的数分别为，其中表示点和点之间的距离．若位置不确定时，则，若点在的右侧，即，则； ②点向右运动个单位长度后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度后，点表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． (1)表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______； (2)运动秒后，点表示的数为______；点表示的数为______；（用含的式子表示）；并求的距离． (3)当点在点左侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型15 数轴的应用问题（共3小题） 43．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 44．（25-26七年级上·河北衡水·期末）学校、书店、公交站三点在同一直线上，已知学校和公交站相距2400米，以书店为原点，1米为1个单位长度画出数轴，如图所示，公交站在数轴上用数字900表示，一辆公交车匀速往返于学校和公交站之间（停车时间忽略不计），设公交车的速度为x米/分． (1)学校在数轴上用数字表示为____； (2)小红从学校出发去书店时，正好有一辆公交车从公交站出发开往学校，已知小红步行的速度是30米/分． ①若小红步行去书店，出发20分钟时，与这辆公交车首次相遇，求公交车的速度x； ②若小红在第二次与这辆公交车相遇时坐上车去书店，结果比步行少用10分钟到达书店，求公交车的速度x； ③若米/分，小红始终步行从学校到书店，在此次过程中与这辆公交车第二次相遇的位置用数字_____表示． 45．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想，研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，若，则A，B两点之间的距离用表示，；点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【新知学习】若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是的和谐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是的和谐点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的和谐点，但点D是的和谐点． 【知识应用】如图2，E，F为数轴上两点，点E所表示的数为．点F所表示的数为1． (1)点M，N，H表示的数分别是，5．其中是和谐点的是 ． (2)的和谐点W所表示的数是 ． (3)在图3中，数轴上有一点G表示数，点E、点G和点F分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒（），当点E在点G左侧时，若存在常数m，使的值与t的取值无关，则m的值为 ． (4)如图3，现有一只电子蚂蚁P从点F开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点E时停止运动，当t为何值时，P，E和F中恰有一个点为其余两点的和谐点？ 提升·进阶突破 题型16 数轴上的动点、规律及其应用进阶练（共10小题） 46．（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上的点M和线段，给出如下定义：P为线段上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M、线段的“近距”，记作；如果两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M、线段的“远距”，记作．特别地，若点M与点P重合，则两点间距离为0．（已知点A表示的数为，点B表示的数为3．若点C表示的数为5，则，）．已知点E表示的数为x，点F表示的数为．如果是的2倍，那么x的值是________． 47．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 48．（25-26七年级上·北京大兴·期中）数轴上互不重合的三个点，，表示的数分别为，，，如果是的倍，那么就称点是点关于点的“倍关联点”．如图所示，点，点表示的数分别是，4． (1)点是点关于原点的“倍关联点”，则_____； (2)点是点关于点的“2倍关联点”，求点表示的数； (3)点，表示的数分别是，，点，不与点，重合，若点是点关于点的“倍关联点”，且，则点是点关于点的“_____倍关联点”（用含的代数式表示）． 49．（25-26七年级上·北京·期中）已知数轴上两点表示的数分别为0和6．点从点出发沿数轴向某个方向以每秒3个单位长度匀速运动，点从点出发沿数轴向某个方向以每秒1个单位长度匀速运动．点同时开始运动，运动方向可能相同，也可能不同．设运动时间为，请回答下列问题： (1)如果点都沿数轴正方向运动，当时，则 ； (2)若， 求的值； (3)在运动过程中，已知，则的值是 ． 50．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数1，点表示的数3，下列各数，0，5所对应的点分别，，，其中是点，的“联盟点”的是______； (2)点表示数，点表示的数20，在为数轴上一个动点． ①若点在点与点之间，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______． 51．（24-25七年级上·北京东城·期中）如图，数轴上有A、B、C三个点分别表示数，，16，有两条动线段和 (点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左侧．点M在点N的左侧)，点P到点Q的距离，点M到点N的距离．线段以每秒1个单位长度的速度从点B开始一直向右匀速运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动(整个运动过程中，线段和保持长度不变)．设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． 52．（24-25七年级上·北京·期中）【问题情境】： 我们在教材中曾学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可以记作． 【独立思考】： （1）数轴上表示和3两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则x=______． 【实践探究】： （3）已知A、B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50．现有点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，那么几秒后，P、Q两点间的距离是10个单位长度？ 53．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     54．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，数轴上点A，O，B分别表示数，0，5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，并在经过点O后以每秒2个单位长度的速度继续沿数轴负方向运动；当点P到达点O时，P，Q两点都停止运动．设点P运动的时间为t秒． (1)当时，_______；当点P与点Q重合时，_______； (2)当点Q在点P左侧，且时，______，点Q表示的数是_______； (3)当时，求t的值． 55．（24-25七年级上·北京·期末）对于数轴上的点进行如下操作：将点表示的数乘以，再加上，所得数对应的点为，则称点为点的“位移点”．例如，如图，若点表示的数为，，则数对应的点为点的“位移点”． (1)数轴上，点，，的“位移点”分别为，，． ① 若点表示的数为，且，则点表示的数为 ，点表示的数为 ； ②若点与点重合，求点表示的数； (2)数轴上，点表示的数为，原点与点的“位移点”分别为，．当线段与线段重叠部分的长度为时，直接写出的值． 拔高·压轴破难 题型17 数轴上的动点、规律及其应用培优练（共5小题） 56．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 57．（25-26七年级上·北京昌平·期末）新定义：在数轴上，对于任意两点，若点满足，则称点是“对的2分距点”；若点满足，则称点是“对的2分距点”，并称线段的长度为两点的“双2分距离”． (1)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，则“对的分距点”表示的数为___________； (2)在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为，当两点的“双2分距离”的长度为5时，求出的值； (3)在数轴上，点表示的数为，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，当点，相遇时停止运动．设运动时间为秒，当两点的“双分距离”等于时，直接写出的值． 58．（25-26七年级上·北京·期末）传送门是科幻小说中常见的构想，通过传送门，可以从一个地方瞬间转移到另一个地方．如下图，在数轴的原点O和点A处分别有一扇传送门，其中点A表示的数为360．当一个点移动至其中一扇传送门时，它会被瞬间转移到另一扇传送门，之后继续移动．对于线段上的两点P，Q（点P，Q不与端点O，A重合），想让点P移动到点Q有两种方法：一种是不经过传送门直接移动到点Q；另一种是点P先移动到离它更近的传送门处，瞬间转移至另一扇传送门后，再移动到点Q．我们将这两种移动方法中移动距离的最小值称为的“传送距离”． 已知点B，C，D在数轴上对应的数分别为80，200，300． (1)的“传送距离”为______，的“传送距离”为______； (2)线段上任意两点（不与端点O，A重合）的“传送距离”的最大值为______； (3)点R是线段上任意一点（点R不与端点O，A重合），将，和的“传送距离”分别记为，，，则的最大值为______，取得最大值时点R所表示的数为______． 59．（25-26七年级上·北京·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：______；______； (2)若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，、同时开始运动，求当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 60．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $