专题04 有理数的运算（含巧算、规律计算）18大题型84题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题04 有理数的运算（含巧算、规律计算）（18大题型84题） 基础·固本强基 题型1 有理数混合运算 题型2 有理数简便运算 题型3 拆项法 题型4 倒数法 题型5 绝对值方程 题型6 含乘方的有理数计算 题型7 裂项相消法 题型8 错位相减法 题型9 数字规律 题型10 等式规律 题型11 表格规律 题型12 图形规律 题型13 数阵规律 题型14 天干地支计算 题型15 二进制计算 题型16 新定义运算 提升·进阶突破 题型17 有理数的运算进阶练 拔高·压轴破难 题型18 有理数的运算压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数混合运算（共4小题） 【易错】运算顺序易混乱，先乘方再乘除后加减；符号最容易出错，去括号变号失误，同级运算从左往右不可跳步 1．（25-26七年级上·北京平谷·期末）计算： (1)； (2) 2．（25-26七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·北京房山·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 题型2 有理数简便运算（共4小题） 【易错】乱用运算律，分配律漏乘项；正负符号处理不当，凑整分组出错，拆分数字改变原式大小。 5．（24-25七年级上·福建厦门·阶段检测）简便运算 (1) (2) (3) (4) 6．（2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)． 7．（24-25七年级上·全国·期末）运用乘法运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（25-26七年级上·河北·单元复习）简便运算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 题型3 拆项法（共4小题） 【易错】拆分式子变形错误，忽略系数；拆分后正负号搞错，合并化简时抵消判断失误，计算漏项 9．（24-25七年级上·全国·单元复习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 10．（25-26七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 11．（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：． 12．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）数学课上，王老师向同学们展示了如下材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种解题方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 题型4 倒数法（共4小题） 【易错】误直接对原式取倒数；求出倒数结果后忘记还原，括号内各项取倒数时常漏符号，步骤缺失。 13．（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： ； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． 请比较刘聪和张明两位同学的解法，选择你喜欢的解法计算：． 14．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 解：方法1：原式； 方法2：原式的倒数， 所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的___________运算，再求括号外的___________运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”） (2)根据材料中的方法2计算：． 15．（26-27七年级上·广东江门·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：．该杂志上的解法有如下两种： 解：方法1：原式， 方法2：原式的倒数， 所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的_____运算，再求括号外的_____运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”） (2)小明在计算时，联想到材料的方法，给出了如下解法． 解：原式 ，显然小明的解法是错误的，错误的原因是____________________． (3)根据材料中的方法2计算：． 16．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 计算：． 解法一： 原式 ． 解法二： 原式 ． 解法三： 原式的倒数 ． 所以原式． 上述解法得到的结果不同，你认为解法________是错误的； 请你选择合适的解法计算：． 题型5 绝对值方程（共4小题） 【易错】去掉绝对值不分类讨论；漏掉负的情况，解完不检验，容易产生增根，忽略绝对值非负性。 17．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）同学们，我们都知道：表示7与3的差的绝对值，实际上也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示7与的差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请尝试着完成下面的问题： (1) ______； ______； ______； (2)写出使得成立的所有整数． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 19．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段检测）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：①当时，原方程可化为，解得． ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或 根据以上材料 (1)解绝对值方程； (2)解绝对值方程． 20．（24-25七年级上·全国·单元复习）阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，___________；当时，___________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程． 比如：方程， 当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：． 题型6 含乘方的有理数计算（共4小题） 21．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）计算：． 22．（25-26七年级上·北京石景山·期末）计算：． 23．（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)． 24．（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算： (1)； (2) 题型7 裂项相消法（共4小题） 【易错】裂项系数配错，直接套用公式不看原式；中间抵消找错项，首尾剩余部分判断不全，漏正负 25．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）在计算 时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项相消”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项相消”法解下面各题： (1)通过观察，计算 的值 ．（直接写出结果） (2)计算： (3)计算： 26．（24-25七年级上·河南郑州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 27．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 28．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)_______； (2)计算 题型8 错位相减法（共4小题） 【易错】乘公比后对齐项相减；相减时符号出错，项数判断不准，最后化简不彻底，常数项遗漏 29．（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 30．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 31．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 32．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 题型9 数字规律（共4小题） 【易错】只看局部数值，忽略奇偶分类；周期找错，通项表达式写错，代入验证环节省略 33．（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 34．（2022·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 35．（24-25六年级上·山东济宁·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 36．（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）按规律写数：，，，，，…，第个数为________． 题型10 等式规律（共4小题） 【易错】归纳规律以特殊代替一般；分不清变化量与不变量，写通项时序号代换出错，缺少检验 37．（26-27七年级上·全国·周测）观察下列等式：，，，，……．根据上面的规律，若，求a，b的值． 38．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；…… 请解答下列问题： (1)按以上规律写出第个等式：_____=_____； (2)求的值． 39．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察以下等式： ①， ② （   ）， ③ （   ）， … 探究： (1)观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； (2)请直接写出第n个等式： ； (3)计算：． 40．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）观察等式： ． 将以上三个等式两边分别相加得 ． (1)猜想并写出： ； (2)直接写出下式的计算结果： ； (3)探究并计算：（写出具体过程） ①计算的值； ②计算的值． 题型11 表格规律（共4小题） 【易错】行列对应关系看错；只观察单行数据，忽略行列共同变化，周期与序号匹配出现偏差 41．（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）金秋十月，小鹏家的苹果园喜获丰收，月日下午共采摘苹果筐，经过称重，这筐苹果的质量如下（单位：千克）：．在没带计算器的情况下，小鹏想帮父亲快速算出苹果的总质量． (1)小鹏通过观察发现，如果以千克为标准，把超出的质量记为正，不足的质量记为负，将得到的数字填入下表： 可以得到表格的各数之和是 ； (2)若每千克苹果的售价为元，则这筐苹果可以卖多少钱？ 42．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 43．（25-26七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，康康将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，其中a、b、c.分别代表其中的一个数. a 5 0 3 1 b c 4 (1)求a， b， c的值各为多少： (2)在第（1）间中，九个数的总和为多少？位于正方形表格最中间格子的数是多少？它们之间有怎样的数量关系？ (3)利用上面你发现的规律，将这九个数字分别填入如图的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数的和都相等， 44．（25-26七年级上·福建厦门·期中）“铺地锦”是我国明朝《算法统宗》里介绍的一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为18450． (1)如图（2）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，则______，？______； (2)在图（3）中按图（1）示例完成（1）的计算； (3)图（4）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，求出运算结果（用含的式子表示）． 题型12 图形规律（共4小题） 【易错】数图形个数重复或漏数；不能把图形转化数字，奇偶情况不分类，通项公式推导出错 45．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2024个图形中共有（   ）个○． A．6070 B．6071 C．6072 D．6073 46．（24-25七年级上·四川泸州·期末）二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 48．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”型图形，观察图形：    (1)图1010中小正方形的数量是________个；图2023的周长是________个单位长度； (2)若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，…，图中小正方形个数记作，则________个（用含的代数式表示）． 题型13 数阵规律（共4小题） 【易错】分不清每行首尾数字、每行个数；找错行列序号，正负交替规律遗漏，周期判断错误 49．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．    (1)框出数阵中的五个数中，最大的数字为20时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？ (2)试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由． 50．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数阵： (1)如图，十字框中的五个数的和是________，是中间数23的________． (2)十字框中的五个数之和能等于2025吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 52．（25-26七年级上·江西赣州·期中）下列数阵是由50个偶数按照5×10排成的，框内有四个数． （1）猜测：图中框内四个数之和与数字4有什么关系？ （2）在数阵中任意做一类似于（1）中的框，设左上角的数为x，那么其他3数怎样表示？ （3）任意移动这个框，是否都能得到（1）的结论？你能证明这个结论吗？ 题型14 天干地支计算（共4小题） 【易错】天干 10 个、地支 12 个周期记混；余数对应序号容易偏移，起始基准选错导致结果全错 53．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例； 天干为；地支为； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2049年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年 54．（25-26七年级上·河南新乡·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2024年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 成 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 55．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2050年为农历______年． 56．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 题型15 二进制计算（共4小题） 【易错】二进制进位规则混淆，逢二进一记错；二进制转十进制幂次搞错，加法进位容易漏记 57．（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： (1)把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． (2)请尝试将转换为五进制数． 58．（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是． 任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 59．（25-26七年级上·河南安阳·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2计数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50．将转换为十进制数，结果是（   ） A．19 B．21 C．24 D．57 60．（25-26七年级上·重庆江北·期末）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1．将十进制数18化为二进制数： ： 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数18化为三进制数： ．（注：其中） 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 题型16 新定义运算（共4小题） 【易错】套用旧运算法则，不严格按题干定义；运算顺序搞错，代入数值符号出错，不验证结果 61．（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若的值与m互为相反数，求m的值． 62．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）【新定义】规定，例：． (1)求的值； (2)求的值． 63．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)填空：________（填“”或“”或“”）； (3)若是最大的负整数，计算． 64．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知表示不大于x的最大整数，如：，．现定义：，例如：，则计算的结果为（    ） A．1.1 B．1.9 C．2.1 D．2.9 提升·进阶突破 题型17 有理数的运算进阶练（共10小题） 65．（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）计算： (1)； (2) 66．（26-27七年级上·北京通州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 67．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 68．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）已知，为有理数，定义一种新运算“”，满足，求： (1)； (2)这种新运算“”能否满足类似于乘法的交换律，如果能请说明理由，如果不能请举出反例． 69．（26-27七年级上·北京·阶段检测）已知，，，． (1) ． (2)请计算． 70．（24-25七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 71．（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)． 72．（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 73．（25-26七年级上·北京·阶段检测）观察下列各数，找出规律后填空： (1)，，，，，，……，第个数是_____． (2)，，，，…，第个数是_____． (3)，，，，，…，第个数是_____． 74．（24-25七年级上·甘肃陇南·阶段检测）观察下列各式： … (1)猜想______． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ①； ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是______． 拔高·压轴破难 题型18 有理数的运算压轴练（共10小题） 75．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中） (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 76．（24-25八年级上·山东临沂·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 77．（25-26七年级上·云南临沧·期中）类比有理数乘方的定义，我们规定：求若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，例如：，等，我们把记作，读作“2的括号3次方”；记作，读作“的括号4次方”． (1)求和的值； (2)结合有理数乘法和除法的关系可知： ；；． 请仿照上述算式的计算规律，将一个非零有理数“a的括号n次方”写成幂的形式，并计算的值． 78．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 79．（25-26七年级上·陕西延安·期中）观察算式： ； ； ； ； … (1)（______）； (2)利用你发现的规律计算：． 80．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值去掉．例如：； ；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①________；②________． (2)用简单的方法计算：． 81．（25-26七年级上·安徽池州·期中）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为______，第n个等式为______（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：； (3)拓展计算：． 82．（25-26七年级上·北京·期中）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中相邻的三个数m、n、p，总满足则称这个数列为理想数列． (1)若数列，…，是理想数列，则 ， ； (2)请写出一个由五个不同正整数组成的理想数列： ； (3)若数列…，m，n，p，q，…，是理想数列，且，求代数式的值． 83．（24-25七年级上·北京·阶段检测）对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则例如，．若，，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，，，（为正整数），则： (1)______； (2)求的值． 84．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的运算（含巧算、规律计算）（18大题型84题） 基础·固本强基 题型1 有理数混合运算 题型2 有理数简便运算 题型3 拆项法 题型4 倒数法 题型5 绝对值方程 题型6 含乘方的有理数计算 题型7 裂项相消法 题型8 错位相减法 题型9 数字规律 题型10 等式规律 题型11 表格规律 题型12 图形规律 题型13 数阵规律 题型14 天干地支计算 题型15 二进制计算 题型16 新定义运算 提升·进阶突破 题型17 有理数的运算进阶练 拔高·压轴破难 题型18 有理数的运算压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数混合运算（共4小题） 【易错】运算顺序易混乱，先乘方再乘除后加减；符号最容易出错，去括号变号失误，同级运算从左往右不可跳步 1．（25-26七年级上·北京平谷·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算、有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先把减法统一成加法，再计算加减法即可得； （2）先计算乘法与除法，再计算减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照从左到右的顺序，进行计算即可解答； （2）先算乘除，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·北京房山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)5 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握乘法运算律，是解题的关键． （1）根据有理数四则混合运算法则，进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减混合运算，有理数的四则混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值以及把减法化为加法，再根据加法法则计算，即可作答． （2）把减法化为加法，再根据加法法则计算，即可作答． （3）先化简绝对值以及把减法化为加法，再根据加法法则计算，即可作答． （4）先运算小括号，再运算中括号，最后运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型2 有理数简便运算（共4小题） 【易错】乱用运算律，分配律漏乘项；正负符号处理不当，凑整分组出错，拆分数字改变原式大小。 5．（24-25七年级上·福建厦门·阶段检测）简便运算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正确运用简便方法进行计算是解答本题的关键． （1）先根据减法法则进行变形，再运用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式运用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，再运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 6．（2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法，灵活运用乘法运算律是解题的关键． （）运用乘法结合律进行简算即可得到答案； （）运用乘法分配律计算乘法后，再进行加减运算即可版答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（24-25七年级上·全国·期末）运用乘法运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3500 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（25-26七年级上·河北·单元复习）简便运算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)2 (6) (7)15 【分析】本题考查有理数的运算： （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可； （5）利用乘法分配律进行计算即可； （6）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可； （7）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）原式 ； （4）解： ； （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． 题型3 拆项法（共4小题） 【易错】拆分式子变形错误，忽略系数；拆分后正负号搞错，合并化简时抵消判断失误，计算漏项 9．（24-25七年级上·全国·单元复习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) 解：可以如下计算： 原式， 故答案为： (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）略 （2）解： 11．（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）数学课上，王老师向同学们展示了如下材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种解题方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把带分数 拆成 ，将除法转化为乘法，用乘法分配律分开计算． （2）利用拆项法，把每个带分数拆成整数部分和分数部分，整数、分数分组分别求和，再合并结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型4 倒数法（共4小题） 【易错】误直接对原式取倒数；求出倒数结果后忘记还原，括号内各项取倒数时常漏符号，步骤缺失。 13．（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： ； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． 请比较刘聪和张明两位同学的解法，选择你喜欢的解法计算：． 【答案】 【详解】解：选择刘聪的解法计算： ； 选择张明的解法计算： 原式的倒数 ， 所以，原式． 14．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 解：方法1：原式； 方法2：原式的倒数， 所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的___________运算，再求括号外的___________运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”） (2)根据材料中的方法2计算：． 【答案】(1)减法；除法 (2)1 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）仿照材料中的方法2计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：原式的倒数 所以原式 15．（26-27七年级上·广东江门·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：．该杂志上的解法有如下两种： 解：方法1：原式， 方法2：原式的倒数， 所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的_____运算，再求括号外的_____运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”） (2)小明在计算时，联想到材料的方法，给出了如下解法． 解：原式 ，显然小明的解法是错误的，错误的原因是____________________． (3)根据材料中的方法2计算：． 【答案】(1)减法，除法 (2)除法不满足分配律； (3) 【详解】（1）解：材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算．（填“加法”“减法”“乘法”“除法”） （2）解：小明的解法是错误的，错误的原因是除法不满足分配律； （3）解：原式的倒数 所以原式． 16．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 计算：． 解法一： 原式 ． 解法二： 原式 ． 解法三： 原式的倒数 ． 所以原式． 上述解法得到的结果不同，你认为解法________是错误的； 请你选择合适的解法计算：． 【答案】一； 【分析】由于除法没有分配律，故解法一是错误的，仿照解法二把括号内的式子通分并计算，再把除法变成乘法计算即可． 【详解】解：由题意得，解法一是错误的，错误原因是除法没有分配律； 原式 ． 题型5 绝对值方程（共4小题） 【易错】去掉绝对值不分类讨论；漏掉负的情况，解完不检验，容易产生增根，忽略绝对值非负性。 17．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）同学们，我们都知道：表示7与3的差的绝对值，实际上也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示7与的差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请尝试着完成下面的问题： (1) ______； ______； ______； (2)写出使得成立的所有整数． 【答案】(1)3；5；4 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，有理数的加减运算，数轴上两点间的距离，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义和有理数的加减运算法则求解即可； （2）根据绝对值的几何意义和数轴上两点间的距离公式可得当时，才成立，据此可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离和到表示数的点的距离之和， ∵数轴上表示数2的点与表示数的点的距离为， ∴当时，才成立， ∴使得成立的所有整数为． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 19．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段检测）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：①当时，原方程可化为，解得． ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或 根据以上材料 (1)解绝对值方程； (2)解绝对值方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义； （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为三种情况：①当时，②当时，③当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）①当时， 原方程可化为：，解得： ②当时， 原方程可化为：，原方程无解， ③当时， 原方程可化为：，解得： 所以原方程的解为或． 20．（24-25七年级上·全国·单元复习）阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，___________；当时，___________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程． 比如：方程， 当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，掌握解此类方程的方法是解题的关键． （1）根据绝对值的定义即可得到结论； （2）根据绝对值的定义解方程即可得到结论． 【详解】（1）当时，；当时，； （2）原方程可化为， 当时，方程可化为，解得； 当，方程可化为，解得； 所以原方程的解为或． 题型6 含乘方的有理数计算（共4小题） 21．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，求一个数的绝对值，先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 22．（25-26七年级上·北京石景山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】解： ． 23．（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)11 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，乘方，再计算乘除，最后计算加法即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算有理数的乘方，再算乘法，然后计算加减法即可； （2）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型7 裂项相消法（共4小题） 【易错】裂项系数配错，直接套用公式不看原式；中间抵消找错项，首尾剩余部分判断不全，漏正负 25．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）在计算 时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项相消”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项相消”法解下面各题： (1)通过观察，计算 的值 ．（直接写出结果） (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： . 26．（24-25七年级上·河南郑州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】解： ． 27．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 28．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)_______； (2)计算 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给式子进行变形求解即可； （2）结合（1）中的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 故答案为： （2） ． 【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 题型8 错位相减法（共4小题） 【易错】乘公比后对齐项相减；相减时符号出错，项数判断不准，最后化简不彻底，常数项遗漏 29．（25-26七年级上·福建福州·期中）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 30．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． 31．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 32．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 题型9 数字规律（共4小题） 【易错】只看局部数值，忽略奇偶分类；周期找错，通项表达式写错，代入验证环节省略 33．（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 34．（2022·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 35．（24-25六年级上·山东济宁·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 【答案】 【分析】本题考查数字的规律探索，由题中可以看出，以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的，利用即可知的个位数字，即可得出结论．解题的关键是找到为底的幂的末位数字的循环规律． 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故答案为：． 36．（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）按规律写数：，，，，，…，第个数为________． 【答案】 【分析】把各数的符号和绝对值分开寻找规律，再代入序号计算结果即可． 【详解】解：观察给出的数列可知，奇数项为正，偶数项为负；第个数的绝对值为； ∴第个数可表示为； ∴将代入式子为． 题型10 等式规律（共4小题） 【易错】归纳规律以特殊代替一般；分不清变化量与不变量，写通项时序号代换出错，缺少检验 37．（26-27七年级上·全国·周测）观察下列等式：，，，，……．根据上面的规律，若，求a，b的值． 【答案】， 【详解】解：由题意得，第个式子为， 所以， 故，． 38．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；…… 请解答下列问题： (1)按以上规律写出第个等式：_____=_____； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是归纳推出等式规律． （1）根据上述等式，找出规律，根据规律，即可求出第五个等式； （2）根据（1）得到的等式规律，进而根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第个等式：； ∴第五个等式为：； ∴． 故答案为：，； （2）由（1）得，第个等式：， ∵， ， ， …… ， ∴ ． 39．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察以下等式： ①， ② （   ）， ③ （   ）， … 探究： (1)观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； (2)请直接写出第n个等式： ； (3)计算：． 【答案】(1)②，2；③，3； (2)； (3)． 【分析】（1）根据所给式子直接计算即可； （2）根据（1）所求总结出，即可求出． （3）根据题意，变形为以此类推即可求出； 本题主要考查了数字类的规律探索，总结出是解题的关键． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 故答案为：②，2；③，3； （2）由（1）可得规律为：（n为大于1的正整数）， 故答案为：； （3） ．．． ． 40．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）观察等式： ． 将以上三个等式两边分别相加得 ． (1)猜想并写出： ； (2)直接写出下式的计算结果： ； (3)探究并计算：（写出具体过程） ①计算的值； ②计算的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了规律型-数字变化类，探寻规律，掌握数字变化中的恒等变形裂项相消法是解决问题的关键． （1）由已知等式中的规律，即可得出结果； （2）根据规律把一项变成两项，两个互为相反的数和为0，最后所求加数的和等于首项、尾项的和，即可求出结果； （3）①每个分数提后，根据（2）的方法求出结果即可； ②把每个分数化为两个分数的和，然后合并即可． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：① ； ② ． 题型11 表格规律（共4小题） 【易错】行列对应关系看错；只观察单行数据，忽略行列共同变化，周期与序号匹配出现偏差 41．（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）金秋十月，小鹏家的苹果园喜获丰收，月日下午共采摘苹果筐，经过称重，这筐苹果的质量如下（单位：千克）：．在没带计算器的情况下，小鹏想帮父亲快速算出苹果的总质量． (1)小鹏通过观察发现，如果以千克为标准，把超出的质量记为正，不足的质量记为负，将得到的数字填入下表： 可以得到表格的各数之和是 ； (2)若每千克苹果的售价为元，则这筐苹果可以卖多少钱？ 【答案】(1)； (2)这筐苹果可以卖元． 【分析】（1）利用有理数的加法法则进行计算即可； （2）由（1）可计算这筐苹果的总质量，根据售价即可解答． 【详解】（1）解： （2）解：（元） 答：这筐苹果可以卖元． 42．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 43．（25-26七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，康康将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，其中a、b、c.分别代表其中的一个数. a 5 0 3 1 b c 4 (1)求a， b， c的值各为多少： (2)在第（1）间中，九个数的总和为多少？位于正方形表格最中间格子的数是多少？它们之间有怎样的数量关系？ (3)利用上面你发现的规律，将这九个数字分别填入如图的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数的和都相等， 【答案】(1) (2)九个数的总和为9，表格中间的数字为1，九个数的总和是表格中间的数字的9倍 (3) 九个数填表如下： 9 1 5 7 3 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，先求出中间一竖列的和为3，再分别以每一横行的和为3，依次求a,b,c的值； （2）每一竖列的和为3，九个数的总和为3×3，观察表格中间的数字为1，可从倍数上回答数量关系； （3）九方格题目先将数字按从小到大的顺序填入方格后，将对角数字交换位置，再顺时针旋转一格即可． 【详解】（1）解：∵中间竖列的三个数的和为， ∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴第一横行三个数的和为3． ∴． 同样的方法可得：．． 答：． （2）每列上的三个数之和相等， 中间竖列的三个数的和为3，且共有三个竖列， 九个数的总和为：3×3=9． 观察表格中间的数字为1， ∴九个数的总和为表格中间的数字的9倍． 答：在第（1）问中，九个数的总和为9，表格中间的数字为1，九个数的总和是表格中间的数字的9倍． （3）略 【点睛】考查了有理数的加法，注重考查学生的思维能力．九方格题目趣味性较强，从小到大排列，对角交换，旋转一格，为九宫格通法． 44．（25-26七年级上·福建厦门·期中）“铺地锦”是我国明朝《算法统宗》里介绍的一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为18450． (1)如图（2）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，则______，？______； (2)在图（3）中按图（1）示例完成（1）的计算； (3)图（4）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，求出运算结果（用含的式子表示）． 【答案】(1)2，4 (2) 解：根据（1）可得 ，如图所示， 计算结果为 2852 ； (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式表示数，理解题目中表格方法计算有理数的乘法，掌握有理数的混合运算法则，用代数式表示数的方法是解题的关键． （1）根据有理数的乘法可得，由此即可求解； （2）根据表格计算有理数乘法运算方法计算即可； （3）根据题意，，令，可得，根据表格计算有理数乘法运算即可求解． 【详解】（1）解：根据图示， ， ， ， ． （2）略 （3）解：设这个三位数是与两位数是， 根据题意，， 令， 如图所示， ， 故答案为：． 题型12 图形规律（共4小题） 【易错】数图形个数重复或漏数；不能把图形转化数字，奇偶情况不分类，通项公式推导出错 45．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2024个图形中共有（   ）个○． A．6070 B．6071 C．6072 D．6073 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化规律的问题，有理数的运算，列代数等知识点，由图形可知：第1个图形○的个数是，；第2个图形○的个数是，；第3个图形○的个数是，；第4个图形○的个数是，，…由此得出第n个图形○的个数是，然后将2024代入计算即可得解，把○成两部分进行考虑，并找出第n个图形○的个数的表达式是解题的关键． 【详解】解：观察发现，第1个图形○的个数是，， 第2个图形○的个数是，， 第3个图形○的个数是，， 第4个图形○的个数是，， … 以此类推，第n个图形○的个数是，， ∴第2024个图形○的个数是为， 故选：D． 46．（24-25七年级上·四川泸州·期末）二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的应用，图形的规律，因为其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．所以分别算出第一、二行的数，进行验证即可． 【详解】解：A、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； B、第一行：，第二行：，班级、学号均符合，故该选项符合题意； C、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； D、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； 故选：B． 47．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 48．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”型图形，观察图形：    (1)图1010中小正方形的数量是________个；图2023的周长是________个单位长度； (2)若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，…，图中小正方形个数记作，则________个（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别找到图中小正方形的数量、图的周长即可求解； （2）由（1）中的结论即可计算． 【详解】（1）解：图1中小正方形的数量是：（个） 图2中小正方形的数量是：（个） 图3中小正方形的数量是：（个） … 图中小正方形的数量是：个 故图1010中小正方形的数量是：（个） 图1的周长比边长为3的正方形的周长少1，即（个）单位长度 图2的周长比边长为4的正方形的周长少1，即（个）单位长度 图3的周长比边长为5的正方形的周长少1，即（个）单位长度 … 图的周长比边长为的正方形的周长少1，即个单位长度 故图2023的周长是(个)单位长度 故答案为：； （2）解：由（1）知： ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了图形规律题．观察图形确定一般规律是解题关键． 题型13 数阵规律（共4小题） 【易错】分不清每行首尾数字、每行个数；找错行列序号，正负交替规律遗漏，周期判断错误 49．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．    (1)框出数阵中的五个数中，最大的数字为20时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？ (2)试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1)不存在 (2)能；这五个数为32，，44，46，52 【分析】（1）根据数阵中数字规律进行解答即可； （2）设最小数为，则其余数为：，，，，根据题意列出方程计算即可； 【详解】（1）解：框出数阵中的五个数中，最大的数字为20时，则框出数阵中的五个数最小的数为：， ∵0不在偶数2，4，6，8，10，…排成的数阵中， ∴框出数阵中的五个数中，最大的数字不可能是20． （2）解：这五个数的和能为．原因如下： 设最小数为，则其余数为：，，，． 由题意得，， 解方程得：， 则其余4个数为，44，46，52， 所以这五个数为32，，44，46，52． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确列方程计算是解题的关键． 50．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法运算，读懂题意，根据“莱布尼兹调和三角形”的各个数字组成方法求出第六行数是 ；进而求出第七行数是 ；即可得到答案，理解“莱布尼兹调和三角形”的各个数字组成方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， 第六行第一个数是，第二个数是，第三个数数，第四个数是，第五个数是，第六个数是， 第六行数是 ； 第七行第一个数是，第二个数是，第三个数数，第四个数是，第五个数是，第六个数是，第七个数是； 第七行数是 ； 第7行第3个数字为， 故选：D． 51．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数阵： (1)如图，十字框中的五个数的和是________，是中间数23的________． (2)十字框中的五个数之和能等于2025吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)115，5 (2)能，389，403，405，407，421 【分析】此题考查有理数的加法计算，列代数式，解一元一次方程，正确理解图形中各数的关系是解题的关键． （1）将五个数相加即可得到答案； （2）分别用表示这五个数，列方程求解判断即可． 【详解】（1）解：， ， 十字框中的五个数的和是115，是中间数23的5倍， 故答案为：115；5； （2）解：可以，理由如下： 设中间的数为，若十字框中的五个数之和能等于2025，则有： ， ， ， 中间数字是405，正好位于第25行的第3个， ， 这五个数分别是389，403，405，407，421． 52．（25-26七年级上·江西赣州·期中）下列数阵是由50个偶数按照5×10排成的，框内有四个数． （1）猜测：图中框内四个数之和与数字4有什么关系？ （2）在数阵中任意做一类似于（1）中的框，设左上角的数为x，那么其他3数怎样表示？ （3）任意移动这个框，是否都能得到（1）的结论？你能证明这个结论吗？ 【答案】（1）图中框内四个数之和能被4整除； （2）x+2，x+12，x+14； （3）能， 证明：∵x+x+2+x+12+14+x=， 而利用乘法的分配律可得： 为正偶数， 为正奇数， 所以：任意移动这个框，框住的4个数的和能被4整除. 【分析】（1）直接猜想即可； （2）由左上角的一个数为x，再结合框住的4个数之间的关系可得答案； （3）求解这4个数的代数和，再利用乘法的分配律可得答案. 【详解】解：（1）猜测：图中框内四个数之和能被4整除， （2）∵左上角的一个数为x， ∴另外三个数可以为：x+2，x+12，x+14， （3）略 【点睛】本题考查的是整式的加减运算的应用，乘法分配律的应用，整除的特点，掌握以上知识是解题的关键. 题型14 天干地支计算（共4小题） 【易错】天干 10 个、地支 12 个周期记混；余数对应序号容易偏移，起始基准选错导致结果全错 53．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例； 天干为；地支为； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2049年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用． 根据题目给出的天干、地支计算方法，列出算式计算后对照表格判断即可． 【详解】解：计算天干：，对照天干表，第6位为己， 计算地支：，对照地支表，第6位为巳， ∴2049年应为己巳年． 故选：D． 54．（25-26七年级上·河南新乡·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2024年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 成 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：天干为：；地支为：， 所以2044年应为甲子年． 故选：D． 55．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2050年为农历______年． 【答案】庚午 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：天干为：，地支为：， ∴2050年为农历庚午年； 故答案为：庚午． 56．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 【答案】(1)壬戌，狗 (2)乙酉，D 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握天干地支纪年法的计算方法． （1）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （2）根据干支纪年法的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1922年为农历壬戌年，对应戌狗， 故答案为：壬戌，狗； （2）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1945年为农历乙酉年， 故答案为：乙酉； A、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1911年为农历辛亥年，正确，不符合题意； B、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1898年为农历戊戌年，正确，不符合题意； C、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1904年为农历甲辰年，而癸卯学制颁布的时候是1904.1.13是公历，但是古代是干支纪元，还属于光绪29年即癸卯年，故正确，不符合题意； D、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1645年为农历乙酉年，错误，符合题意； 故选：D． 题型15 二进制计算（共4小题） 【易错】二进制进位规则混淆，逢二进一记错；二进制转十进制幂次搞错，加法进位容易漏记 57．（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： (1)把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． (2)请尝试将转换为五进制数． 【答案】(1)11； (2) 【分析】（1）由题意，依据二进制转十进制的算法算出对应的十进制数，再用十进制转三进制的方法得出21对应的三进制数即可． （2）先将转为十进制，再按十进制转五进制的规则将其转换为五进制数即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； 十进制数21转换为三进制数，可得 （2）解：转换为十进制数，可得， 再将转换为五进制数，可得 ， 将转换为五进制数为． 58．（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是． 任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 【答案】（1）15；（2）①；②51或69 【分析】本题考查有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键，属于中档题． （1）根据三进制转换为十进制的方法计算即可； （2）①三进制四位数对应的十进制数为： ，因为和 都是 3 的倍数，6 也是 3 的倍数，所以 能被 3 整除，要使 N 能被 3 整除，d 必须能被 3 整除，进而可得出答案； ②先根据题意得出，由（1）知 ，得出，所以 a可以是1，2，b可以是0，1，2，满足 的情况有：当，时，此时三进制数为；当，时，此时三进制数为，分别求出即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：15； （2）①三进制四位数对应的十进制数为： 因为和 都是 3 的倍数，6 也是 3 的倍数， 所以 能被 3 整除． 要使 N 能被 3 整除，d 必须能被 3 整除． 又因为三进制数的数字只能是 0，1，2，所以 ； ②已知所有数位上的数字之和为 5，即 ， 由①知 ，代入得，即． 因为 a 是三进制四位数的首位，所以 a可以是1，2，b可以是0，1，2． 满足 的情况有： 当，时，此时三进制数为，对应的十进制数为： ； 当，时，此时三进制数为，对应的十进制数为： 所以，这个三进制数对应的十进制数为 51 或 69． 59．（25-26七年级上·河南安阳·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2计数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50．将转换为十进制数，结果是（   ） A．19 B．21 C．24 D．57 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解三进制转换为十进制的换算规则是解题关键，将三进制数转换为十进制数，需要每位数字乘以3的相应幂次（从右向左，幂次从0开始），然后求和即可． 【详解】解：∵三进制转十进制的规则为每位数字乘以3的对应幂次（从右到左幂次从0开始）再求和． ∴ ． 60．（25-26七年级上·重庆江北·期末）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1．将十进制数18化为二进制数： ： 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数18化为三进制数： ．（注：其中） 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，不同进制数之间的转换．将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为：， ∴二进制数对应的十进制数为13． 将十进制数13转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为1； ，余数为1； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：C． 题型16 新定义运算（共4小题） 【易错】套用旧运算法则，不严格按题干定义；运算顺序搞错，代入数值符号出错，不验证结果 61．（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若的值与m互为相反数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新运算规则直接运算即可； （2）先根据新运算规则得出的值，再根据相反数定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵的值与m互为相反数， ∴． 62．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）【新定义】规定，例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入新定义运算公式计算即可； （2）按照先括号内后括号外的顺序，分步代入新定义公式计算． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ， ． 63．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)填空：________（填“”或“”或“”）； (3)若是最大的负整数，计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义的运算规则，先计算乘法和绝对值，最后计算加法； （2）先根据定义的运算规则计算两个式子，再按照有理数的大小比较规则解答即可； （3）先根据题意得到m的值，再代入式子先按照定义的运算规则计算中括号内的式子，再计算括号外即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∵， ∴； （3）解：∵是最大的负整数， ∴， ∴原式 ． 64．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知表示不大于x的最大整数，如：，．现定义：，例如：，则计算的结果为（    ） A．1.1 B．1.9 C．2.1 D．2.9 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 提升·进阶突破 题型17 有理数的运算进阶练（共10小题） 65．（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 66．（26-27七年级上·北京通州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 67．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，再按有理数的四则混合运算法则计算即可； （3）先计算乘方和绝对值，再按有理数的四则混合运算法则计算即可； （4）先把括号里的数拆成，再利用乘法的分配律计算即可； （5）先计算乘方，再按有理数乘除的混合运算法则计算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 68．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）已知，为有理数，定义一种新运算“”，满足，求： (1)； (2)这种新运算“”能否满足类似于乘法的交换律，如果能请说明理由，如果不能请举出反例． 【答案】(1)． (2)不能满足交换律． 理由：，， 当 时，，即 ， 如 ，而 ，， ∴新运算“”不满足类似乘法的交换律． 【分析】本题考查新定义运算与有理数运算：解决新定义运算问题的关键是严格按照定义法则把“新运算”转化为常规的有理数运算；判断运算律是否成立时，可先推导一般结论，再举反例说明． （1）按定义把新运算转化为有理数运算． （2）分别表示 与 ，举反例判断． 【详解】（1）解：， ∴． （2）略． 69．（26-27七年级上·北京·阶段检测）已知，，，． (1) ． (2)请计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件中的思路去掉绝对值符号； （2）根据已知条件中的思路去掉绝对值符号再相加即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： . 70．（24-25七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数加减混合运算法则即可求解； （）根据有理数乘除混合运算法则即可求解； （）先算乘除法，再算加法即可； （）先化简绝对值，有理数乘方运算，乘法分配律计算，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 71．（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，然后根据有理数的加减法则计算即可； （2）先计算乘方和绝对值的运算，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 72．（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4)0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数乘法运算律，有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，含乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先写成省略加号的和，再计算； （2）先确定符号，同时将除法转化为乘法计算； （3）利用分配律计算； （4）先计算乘方与绝对值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 73．（25-26七年级上·北京·阶段检测）观察下列各数，找出规律后填空： (1)，，，，，，……，第个数是_____． (2)，，，，…，第个数是_____． (3)，，，，，…，第个数是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字规律题，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据给定数字的变化找出变化规律，第个数是，依此规律即可得出结论． （2）根据给定数字的变化找出变化规律，第个数是，依此规律即可得出结论． （3）根据给定数字的变化找出变化规律，第个数是，依此规律即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， 第五个数是， ∴第个数是， ∴第个数是． （2）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， ∴第个数是， ∴第个数是． （3）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， 第五个数是， ∴第个数是， ∴第个数是． 74．（24-25七年级上·甘肃陇南·阶段检测）观察下列各式： … (1)猜想______． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ①； ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ … ∴ 故答案为：； （2）解：① ；                                  ②由题意得， ． 拔高·压轴破难 题型18 有理数的运算压轴练（共10小题） 75．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中） (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 76．（24-25八年级上·山东临沂·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 77．（25-26七年级上·云南临沧·期中）类比有理数乘方的定义，我们规定：求若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，例如：，等，我们把记作，读作“2的括号3次方”；记作，读作“的括号4次方”． (1)求和的值； (2)结合有理数乘法和除法的关系可知： ；；． 请仿照上述算式的计算规律，将一个非零有理数“a的括号n次方”写成幂的形式，并计算的值． 【答案】(1)，2 (2)，2 【分析】本题考查了有理数的乘除法和乘方运算，幂的意义等知识，读懂题意，理解除方的运算法则是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可求解； （2）根据（2）的计算结果得出规律即可求解； （3）根据（2）的规律进行化简，再进行计算． 【详解】（1）解：，； （2）解：由题中的规律可得：； ． 78．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项法在有理数的混合运算中的应用，明确裂项法的形式是解题的关键． （1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可； （2）根据上述规律得原式，计算即可得出答案； （3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以，则可以用裂项法进行计算． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）解： ； （3）解： ． 79．（25-26七年级上·陕西延安·期中）观察算式： ； ； ； ； … (1)（______）； (2)利用你发现的规律计算：． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据式子的规律即可求解； （2）根据规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：原式 ． 80．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值去掉．例如：； ；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①________；②________． (2)用简单的方法计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：；； （2）解： ， ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． 81．（25-26七年级上·安徽池州·期中）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为______，第n个等式为______（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：； (3)拓展计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算中规律问题： （1）观察等式，得出规律，即可求解； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此可得解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此可求解； 理解题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 第n个等式为：， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 82．（25-26七年级上·北京·期中）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中相邻的三个数m、n、p，总满足则称这个数列为理想数列． (1)若数列，…，是理想数列，则 ， ； (2)请写出一个由五个不同正整数组成的理想数列： ； (3)若数列…，m，n，p，q，…，是理想数列，且，求代数式的值． 【答案】(1)19，371 (2)3，4，5，11，14（答案不唯一） (3)2 【分析】本题考查代数式求值，有理数的混合运算．掌握理想数列的定义，是解题的关键． （1）根据题意，得到，进行求解即可； （2）根据理想数列的定义作答即可； （3）根据题意，得到，结合，推出，将代数式化简后，整体代入求值即可． 【详解】（1）由题意，得：， ∴； 故答案为：19，371； （2）∵， ∴五个不同正整数组成的理想数列可以是：3，4，5，11，14； 故答案为：3，4，5，11，14（答案不唯一）； （3）由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 83．（24-25七年级上·北京·阶段检测）对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则例如，．若，，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，，，（为正整数），则： (1)______； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了数字规律类探究，代数式求值，有理数的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据规定，若为奇数，则；若为偶数，则，分别求出，，，即可得到答案； （2）根据规定，若为奇数，则；若为偶数，则，分别求出，，，，，，，，这一列数按照除外，按题三个数一循环，再根据此规律计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 故答案为：； （2）解：解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 这一列数按照除外，按题三个数一循环， ∵， ∴ ． 84．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【分析】（本题主要考查了铺地锦乘法算法、十进制与五进制的数的运算、进位规则等知识点，熟练掌握铺地锦的计算规则和不同进制下的进位方法是解题的关键． （1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到；再根据的值和满十进一规则，计算 （4）在五进制下，先计算得到，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：如图， 解得； （3）解：如图， ∴， ， ； （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $