2027年高考数学一轮复习检测卷（上海卷02）

2027年高考一轮复习检测卷（上海专用） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，且，则______． 2．已知，则________． 3．已知，若，则的最小值是________， 4．已知等比数列满足，则__________. 5．已知事件与事件互斥，且，，则________． 6．的展开式中的系数为________． 7．已知随机变量的分布列如下，且： 0 1 则__________；__________. 8．已知空间向量且与互相平行，则实数的值______. 9．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 10．已知为偶函数，若，则负数______. 11．已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为______. 12．已知等差数列的公差，前项和为，若，且 ，则的取值范围为________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．事件和事件为独立随机事件，事件表示为事件和至少一个发生，则（   ） A． B． C． D． 14．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 16．已知表示复数z的共轭复数，为非零复数，“”是“存在非零实数t，使得”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 18．（14分）如图，四棱锥中，底面，，，，，是上一点，且，是中点． (1)求证：； (2)若二面角大小为，求棱锥的体积． 19．（14分）已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值． (2)，使得成立，求实数的取值范围． 20．（18分）在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 21．（18分）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（上海专用） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 或 2. 3. 2 4. 40 5. 6. 10 7. 8 .2 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C A C C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件， 显然满足题意共有7年，故， 故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为．……（4分） （2）经分析应选择散点图，因相关系数的取值范围是，所以可以排除区间， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二氧化硫密度也呈现减少的趋势，二者变化方向一致，属于正相关，因此， 综上，相关系数的取值区间为．……（9分） （3）由题意，设样本中心， ， 故，则， 所以. 故时，此时，差值绝对值为2.20， ，差值绝对值为， 因为， 故对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小．……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）在 中, , 由余弦定理得, ，即， 所以有 ，， 在 中，. 由正弦定理得， ,即 ，解得，又，， 所以有 , 于是有 . 连结，则三角形为正三角形, 所以 , 又, 所以, 又因 底面 平面,所以 ，是平面内两相交直线, 所以有 面, 又 平面, 所以 .……（7分） （2）由(1)知, 又 底面 平面， 所以 , 又是平面内两相交直线, 所以 平面， 平面，所以 ， 所以 即为二面角 的平面角, 因二面角 大为 , 所以 , 由 , 又 底面 平面， 所以 知 , 所以 , 图2 因 , 所以 , 又因为中点, 所以, 由 , 设 到平面的距离为, 则 , 解得 , 也就是到平面的距离为 ， 又 , 所以三棱锥 的体积 .……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）函数的导数为， 即有曲线在处的切线斜率为， 由切线与直线垂直，可得，解得；……（6分） （2）因为，使得成立， 即，使得成立， 由，则， 当，即时， 此时显然不满足， 当，即有，， 令，，则， 由于，所以， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，解得， 则实数的取值范围是．……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由离心率，得，又，得， 焦点到渐近线的距离为，解得，，， 所以双曲线方程为.……（5分） （2）（ⅰ）由消去得，设， 且，，， 因此的面积 ， 令，函数在上递减，当时，， 因此当时，取得最大值1， 所以面积的最小值为.……（11分） （ⅱ）假设在x轴上存在一点P，使得为定值，设， 则， ，要为定值，当且仅当，即， 所以在x轴上存在一点P，使得为定值，点的坐标为.……（18分） 21．（18分） 【详解】(1)函数和函数为T函数，理由：，， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数；……（5分） （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是；……（11分） （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是．……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（上海专用） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，且，则______． 【答案】或 【详解】由得，解得， 当时： 当时，均满足集合中元素的互异性，故． 2．已知，则________． 【答案】 【详解】由，得. 故答案为： 3．已知，若，则的最小值是________， 【答案】2 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 4．已知等比数列满足，则__________. 【答案】40 【详解】设等比数列的公比为， 由题意得，即，解得. 故（或） 故答案为：40 5．已知事件与事件互斥，且，，则________． 【答案】 【详解】因为随机事件与互斥，且，， 所以. 故答案：. 6．的展开式中的系数为________． 【答案】10 【详解】展开式的通项公式为， 令的次数，此时的次数为，符合要求. 故的系数为. 7．已知随机变量的分布列如下，且： 0 1 则__________；__________. 【答案】 【详解】由分布列的性质，可得，解得①， 因为，所以，即②， 联立①②解得，， 故答案为：. 8．已知空间向量且与互相平行，则实数的值______. 【答案】2 【详解】由条件可知， 因为与互相平行，所以， 解之得. 故答案为：2 9．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 10．已知为偶函数，若，则负数______. 【答案】 【详解】已知为偶函数，根据偶函数定义，， 则当时，，，而， 因此，当时，， 又，则，且，整理得， 设，，方程变为， 令函数， 因为函数在单调递增，函数在单调递增， 所以函数在单调递增，且， 所以方程有唯一解，即， 所以，即时，. 故答案为： 11．已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为______. 【答案】 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为：. 12．已知等差数列的公差，前项和为，若，且 ，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为为等差数列，且，，所以 ，解得，因为，所以，因为，所以，所以的最大值在处取得， ，所以若，则一元二次方程开口向上，无最大值，不符合题意，若，则一元二次函数的图像开口向下，最大值在对称轴处取得，，所以，解得. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．事件和事件为独立随机事件，事件表示为事件和至少一个发生，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，． 14．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，取，则，，此时，C错； 对于D选项，，D错. 故选：A. 15．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 16．已知表示复数z的共轭复数，为非零复数，“”是“存在非零实数t，使得”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】设， 则， 若，则， 若，则，即， 由于为非零复数，所以，当时，满足， 此时存在非零实数t，使成立，反之亦成立； 当时，满足，此时存在非零实数t，使成立，反之亦成立； 当时，满足，则，即， 所以，反之亦成立； 综上，“”是“存在非零实数t，使得”成立的充要条件. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 【详解】（1）由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件， 显然满足题意共有7年，故， 故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为．……（4分） （2）经分析应选择散点图，因相关系数的取值范围是，所以可以排除区间， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二氧化硫密度也呈现减少的趋势，二者变化方向一致，属于正相关，因此， 综上，相关系数的取值区间为．……（9分） （3）由题意，设样本中心， ， 故，则， 所以. 故时，此时，差值绝对值为2.20， ，差值绝对值为， 因为， 故对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小．……（14分） 18．（14分）如图，四棱锥中，底面，，，，，是上一点，且，是中点． (1)求证：； (2)若二面角大小为，求棱锥的体积． 【详解】（1）在 中, , 由余弦定理得, ，即， 所以有 ，， 在 中，. 由正弦定理得， ,即 ，解得，又，， 所以有 , 于是有 . 连结，则三角形为正三角形, 所以 , 又, 所以, 又因 底面 平面,所以 ，是平面内两相交直线, 所以有 面, 又 平面, 所以 .……（7分） （2）由(1)知, 又 底面 平面， 所以 , 又是平面内两相交直线, 所以 平面， 平面，所以 ， 所以 即为二面角 的平面角, 因二面角 大为 , 所以 , 由 , 又 底面 平面， 所以 知 , 所以 , 图2 因 , 所以 , 又因为中点, 所以, 由 , 设 到平面的距离为, 则 , 解得 , 也就是到平面的距离为 ， 又 , 所以三棱锥 的体积 .……（14分） 19．（14分）已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值． (2)，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）函数的导数为， 即有曲线在处的切线斜率为， 由切线与直线垂直，可得，解得；……（6分） （2）因为，使得成立， 即，使得成立， 由，则， 当，即时， 此时显然不满足， 当，即有，， 令，，则， 由于，所以， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，解得， 则实数的取值范围是．……（14分） 20．（18分）在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由离心率，得，又，得， 焦点到渐近线的距离为，解得，，， 所以双曲线方程为.……（5分） （2）（ⅰ）由消去得，设， 且，，， 因此的面积 ， 令，函数在上递减，当时，， 因此当时，取得最大值1， 所以面积的最小值为.……（11分） （ⅱ）假设在x轴上存在一点P，使得为定值，设， 则， ，要为定值，当且仅当，即， 所以在x轴上存在一点P，使得为定值，点的坐标为.……（18分） 21．（18分）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【详解】(1)函数和函数为T函数，理由：，， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数；……（5分） （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是；……（11分） （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是．……（18分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $