重难点专训02 圆锥曲线中的弦长与面积问题六大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“公式体系+通法步骤+分层训练”构建圆锥曲线弦长与面积问题突破路径，突出设而不求思想的系统性应用与知识逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法提炼|3核心方法|弦长公式三式（横/纵坐标式、参数式）、面积公式四式（原点/一般/焦点三角形、垂直四边形）、设而不求两步走（联立得韦达→代换求目标）|从公式推导到通法步骤，形成“工具-方法-应用”逻辑链| |题型通法|6类题型（36题）|弦长计算用公式、面积求法分底高/叉积、最值问题构函数、定值问题证常数、四边形面积分拆/对角线法、存在性问题定范围|覆盖椭圆/双曲线/抛物线，从基础计算到综合探究，难度梯度清晰| |分层过关|2部分（16题）|巩固题夯实公式应用，创新题融合切线/轨迹/存在性等综合考法|对接高考命题趋势，强化数学思维与模型观念|

重难点专训02 圆锥曲线中的弦长与面积问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 弦长计算 2 题型2 三角形面积的两类求法 3 题型3 面积的最值问题 4 题型4 定值问题 4 题型5 四边形面积 6 题型6 面积约束下的存在性与范围 8 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 12 解题方法及技巧提炼 一、弦长公式三式 设直线与圆锥曲线交于 、，联立后得二次方程，判别式 。 （横坐标式）：直线 ，联立消 得 ，则 （纵坐标式）：直线 ，联立消 得 ，则 （ 式）：直线 （ 为斜率的倒数），联立消 得 ，则 通法提示：直线过定点、过焦点或可能与 轴垂直时，一律优先设 ，一次规避”斜率不存在”的讨论。 二、面积公式四式 （原点三角形）： 中 、， 为原点，则 （一般三角形·底×高）：，其中 为第三点到直线 的距离（弦为底、距离为高，最常用）。 （焦点三角形）：椭圆 上一点 ，，则 双曲线 上一点 ，则 （垂直对角线四边形）：对角线互相垂直的四边形面积为 三、设而不求两步走 第一步：设直线（优先 ）→ 与曲线联立 → 写出二次方程与 ； 第二步：写出韦达定理 、（或 、）→ 把目标量（弦长、面积、数量积）改写为两根和、两根积的代数式 → 整体代换，全程不求出交点坐标。 题型通法及变式提升 题型1 弦长计算 设直线（斜率存在用 ，竖直情形单独讨论）→ 联立 → → 韦达 → 弦长公式。 1.直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 2.已知抛物线与一条过焦点的直线相交于两点，若弦的中点的纵坐标为，则__________. 3.直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________. 4.已知直线与椭圆相交于M，N两点，则MN的长为_________． 5.已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度为________. 6.已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_____________. 7.过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______． 8.斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为__________． 9.过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为______. 题型2 三角形面积的两类求法 方法一（底×高）：，适合弦长与点到直线距离都易得的场合； 方法二（坐标叉积）：顶点在原点用 ，纯代数运算、不需求距离。 10.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为______． 11．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 12．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 14．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 15．已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 题型3 面积的最值问题 设直线（ 优先）→ 联立 → 韦达 → 把面积写成 的单变量函数 → 换元后配方、基本不等式或求导。 16.已知点，过原点O的动直线交椭圆于点B、C，则面积的最大值为______． 17．已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时，______． 18.如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________. 19.已知抛物线，点在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为______. 题型4 定值问题 把几何条件（如 ）翻译为坐标等式 → 展开为两根和、两根积的对称式 → 代入韦达 → 得到 、 的关系 → 证明目标量为常数。 20.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（    ）个值为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（    ） A． B． C．4 D． 22.如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA、PB，斜率分别为、，若为定值，则__________ 23．已知抛物线，在轴正半轴上存在一点，使过的任意直线交抛物线于，都有为定值，则点的坐标为________． 24．已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 25．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 题型5 四边形面积 四边形按对角线分割为两个三角形：；对角线垂直时 。 26.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 27.设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______. 28.已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 29.过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________． 30．（24-25高三下·上海静安·期中）如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，． (1)求点的横坐标关于正整数n的表达式； (2)求证：点，，…，…在抛物线：上； (3)过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值． 31．（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； (3)若直线交于点，证明：在定直线上． 32.已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 题型6 面积约束下的存在性与范围 先求面积关于参数的范围（单调性）→ 面积定值落在值域内则存在、在值域外则不存在 → 反解参数得直线。 33.已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； (3)点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 34．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2026·上海·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限的点使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 36．（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 37.已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的右焦点为，平行于轴的直线交于、两点，长轴位于轴上的椭圆经过、、三点，其右焦点为．若的周长为10，则其面积为__________． 3．已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 4．已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点.若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为__________. 5．（26-27高三上·上海·阶段检测）已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 6．已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点， (1)求点 的轨迹及轨迹方程； (2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程. 7．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与轴交于点、，当时，求的值. 创新提升 8．（2025·上海·模拟预测）已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标； ②求面积的最小值. 9．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为 ，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线均过点. (1)求面积的最大值. (2)若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当直线的斜率满足时，证明:为定值； (3)是否存在点，满足均与相切，且?若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由. 10．如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 11．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，过点作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足. (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 12．已知拋物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作拋物线的切线，该切线与轴交于点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若点的坐标为，求 的面积； (3)证明：. 13．已知过点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为坐标原点，且. (1)求的值； (2)设点，记直线，的倾斜角分别为，，证明：； (3)，为过点的两条直线，且直线与轴的正半轴交于点，直线与轴的负半轴交于点，记点到直线，的距离分别为，，若，求面积的最小值. 14．已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 15．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 16．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． (1)若，求点A的坐标； (2)求的取值范围； (3)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 圆锥曲线中的弦长与面积问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 弦长计算 2 题型2 三角形面积的两类求法 6 题型3 面积的最值问题 10 题型4 定值问题 14 题型5 四边形面积 20 题型6 面积约束下的存在性与范围 28 重难专题分层过关练 37 巩固过关 37 创新提升 43 解题方法及技巧提炼 一、弦长公式三式 设直线与圆锥曲线交于 、，联立后得二次方程，判别式 。 （横坐标式）：直线 ，联立消 得 ，则 （纵坐标式）：直线 ，联立消 得 ，则 （ 式）：直线 （ 为斜率的倒数），联立消 得 ，则 通法提示：直线过定点、过焦点或可能与 轴垂直时，一律优先设 ，一次规避”斜率不存在”的讨论。 二、面积公式四式 （原点三角形）： 中 、， 为原点，则 （一般三角形·底×高）：，其中 为第三点到直线 的距离（弦为底、距离为高，最常用）。 （焦点三角形）：椭圆 上一点 ，，则 双曲线 上一点 ，则 （垂直对角线四边形）：对角线互相垂直的四边形面积为 三、设而不求两步走 第一步：设直线（优先 ）→ 与曲线联立 → 写出二次方程与 ； 第二步：写出韦达定理 、（或 、）→ 把目标量（弦长、面积、数量积）改写为两根和、两根积的代数式 → 整体代换，全程不求出交点坐标。 题型通法及变式提升 题型1 弦长计算 设直线（斜率存在用 ，竖直情形单独讨论）→ 联立 → → 韦达 → 弦长公式。 1.直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 【答案】0 【详解】联立直线与抛物线得， 由韦达定理有，． 弦长为 ， 解得．此时，故方程有解． 故． 2.已知抛物线与一条过焦点的直线相交于两点，若弦的中点的纵坐标为，则__________. 【答案】 【详解】由得，所以，根据题意得； 所以由抛物线过焦点的弦长公式可知： . 故答案为： 3.直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】联立方程组，整理得， 设直线与曲线的交点为， 可得，解得，且， 由弦长公式， 可得 ， 解得. 故答案为：. 4.已知直线与椭圆相交于M，N两点，则MN的长为_________． 【答案】 【详解】由消去，得，解得， 所以. 故答案为： 5.已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度为________. 【答案】30 【详解】设点的坐标为，点的坐标为． 因为是双曲线与直线的交点， 所以点的坐标满足，所以， 此时，由韦达定理可得， 因为 ， 所以， 故答案为：30. 6.已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_____________. 【答案】 【详解】椭圆的右焦点， 因为直线的倾斜角为且过点， 所以直线，设，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为： 7.过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______． 【答案】 【详解】 已知椭圆方程，则，因此，解得， 因此右焦点坐标为，已知直线过右焦点且倾斜角为，故直线斜率， 因此直线方程为， 设直线与椭圆交于，联立， 将代入椭圆方程并化简得，由韦达定理得， 代入弦长公式， 得. 8.斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为__________． 【答案】 【详解】设直线，直线与椭圆的交点为， 联立方程，消去y得， 则，解得， 可得， 由题意可得：， 解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 9.过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为______. 【答案】 【详解】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为， 所以， 所以， ，解得， 所以直线为斜率为， 故答案为：. 题型2 三角形面积的两类求法 方法一（底×高）：，适合弦长与点到直线距离都易得的场合； 方法二（坐标叉积）：顶点在原点用 ，纯代数运算、不需求距离。 10.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为______． 【答案】25 【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为，则由题意，是抛物线的通径，，所以. 从而P到直线l的距离也是5，所以的面积为. 故答案为：25 11．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 【答案】 【详解】由题意知，，所以， 如图，设，则， 所以，得； 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 故答案为： 12．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 【答案】 【详解】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 【答案】 【详解】设，由知在双曲线的右支上，可得，， 所以，，又由，知， 所以在中，由勾股定理可得， 解得或（舍去），又，则， 所以，， 所以的面积为. 故答案为：. 14．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 15．已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 【答案】或 【详解】，则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 题型3 面积的最值问题 设直线（ 优先）→ 联立 → 韦达 → 把面积写成 的单变量函数 → 换元后配方、基本不等式或求导。 16.已知点，过原点O的动直线交椭圆于点B、C，则面积的最大值为______． 【答案】 【详解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则，，解得， 故，，， 点到直线的距离，其中不等于， 所以， 令，则， 整理得关于的方程， 为使方程有实数解，判别式， 解得，则，此时， 当直线的斜率不存在时，， 故面积的最大值为. 17．已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时，______． 【答案】 【详解】由，得，需满足， 设，，则，， ． 又O到直线AB的距离， 则的面积， 当且仅当，即时，的面积取得最大值． 此时，． 故答案为： 18.如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________. 【答案】 【详解】连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，， 所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上， 如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，直线AB：，所以抛物线方程为：，即， 则，由上可设，则抛物线在Q点处切线斜率为， 所以抛物线在Q点处切线方程为， 则令，， 所以由题意，且 ， 所以， 故对恒成立， 所以时单调递减，又当时，， 故时，；时，， 所以时，单调递增；时，单调递减， 所以，则， 所以的面积的最小值为， 故答案为：. 19.已知抛物线，点在抛物线上且位于x轴两侧，若（O为坐标原点），则面积的最小值为______. 【答案】 【详解】解：由题意可得直线不与轴平行， 设直线的方程为：， 由，可得， 则有， 设 则有， 所以， 所以， 解得：(舍)，， 所以直线的方程为：， 所以， 所以， 所以当时，取最小值为：. 故答案为： 题型4 定值问题 把几何条件（如 ）翻译为坐标等式 → 展开为两根和、两根积的对称式 → 代入韦达 → 得到 、 的关系 → 证明目标量为常数。 20.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（    ）个值为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】设直线的方程为，即． 代入，得，则． 又． 若直线与x轴垂直，由，得． 可求得，则． 故均为定值． 故选：D 21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】设点，，， 由，得， 点在椭圆上， ，， 则代入，得， ， ， 将代入，得， 得 由，得， 则， 直线与直线斜率之积为，即，得， 则，即， 故动点的轨迹方程为，即， 即动点的轨迹方程为椭圆， 平面内存在两定点，使得为定值， 则为椭圆的两焦点， 则， 故选：A. 22.如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA、PB，斜率分别为、，若为定值，则__________ 【答案】 【详解】设点，则， 设过点的切线方程为，其中， 联立 ，得， 由得， 又因，所以， 化简得， 故， 又因为定值，所以，即. 故答案为：. 23．已知抛物线，在轴正半轴上存在一点，使过的任意直线交抛物线于，都有为定值，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】设． 设直线MN的解析式为， 联立得到：， 整理，得，则 设 则 即存在时，， 即存在，使得为定值 故答案为：． 24．已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由知，，，，则离心率，渐近线为； （2）由，的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ，得证. （3）由（2）知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为，则， 因为为劣弧，所以，则， 所以，即所对圆心角的大小为定值. 25．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【详解】(1)如图，作出符合题意的图形， 由题意得，．设． 联立化简得，而判别式． 解得，由焦半径公式得，． 若，则，则， 即，解得，与矛盾，故． （2）由题意得为顶点，若，得到 而，可得， 由韦达定理得，，则， 解得或，当时，，此时不符合题意，舍去， 当时，，满足所有条件，故． (3)对于一元四次方程， 设四个根为，则方程为， 则， 化简得， 可得，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则由弦长公式得， 解得，故，联立，解得或， 则，，令，则，即点在上． 对于点，有，即；对于点，有，即． 设，，将的外接圆方程可设为． 将，代入，可得， 化简得， 此四次方程的四个根恰为外接圆与的四个交点的参数，，，． 由韦达定理得，则．得到， 由题意得直线的斜率为， 代入，得． 此值与无关，故直线的斜率为定值． 题型5 四边形面积 四边形按对角线分割为两个三角形：；对角线垂直时 。 26.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，即， 由四边形的周长为12得，，即，所以， 所以椭圆，则， 设，，则， 所以四边形的面积为， 故选：A．    27.设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______. 【答案】1 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 28.已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 【答案】 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，则， 而，，由对称性得四边形是平行四边形， 其面积，解得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是，即，又，则，解得， 所以的虚轴长为. 29.过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________． 【答案】4 【详解】由题意知的圆心为，半径为2， 如图，，则，    而，当最小时，最小，则最小； 由于P在抛物线上，设， 则， 当时，取最小值8，即取到最小值， 则取最小值2，故的最小值为4， 故答案为：4 30．（24-25高三下·上海静安·期中）如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，． (1)求点的横坐标关于正整数n的表达式； (2)求证：点，，…，…在抛物线：上； (3)过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值． 【详解】（1）由， 可得； （2）设点的坐标为， 则，即， 所以， 所以点，，，在抛物线上； （3）抛物线的焦点为， 互相垂直的弦和显然都不垂直坐标轴， 设直线的方程为， 代入，得， 则有， 所以， 将上式中的用代换，得， 于是 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为18． 31．（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； (3)若直线交于点，证明：在定直线上． 【详解】（1）因为双曲线的离心率，故， 而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为， 而，故， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设， 由双曲线的对称性知，结合，即四边形为平行四边形， 且为平行四边形的对角线中点，故， 联立，故， 由于均在双曲线右支，故，故， 而 ， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上，四边形的面积的最小值为 （3）证明：左顶点，右顶点， 设过的直线方程 直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得，代入 计算：． 由（2）知， 注意到，代入得：， 因此，解得. 故交点的横坐标恒为，即在定直线上. 32.已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【详解】（1）解：椭圆：， 则， 则椭圆的离心率； （2）解：由题可知， 点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接， 由题可知直线的斜率存在，且，设， 联立，得，解得， 则， 点到直线的距离，点到直线的距离， ，当且仅当时取等， 故四边形面积的最大值为； （3）证明：，则， 易知，设，， 联立，， ， 则，又，所以， 则， 即， ， ， 故直线过定点． 题型6 面积约束下的存在性与范围 先求面积关于参数的范围（单调性）→ 面积定值落在值域内则存在、在值域外则不存在 → 反解参数得直线。 33.已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； (3)点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）已知左焦点坐标为，所以， 且， 因为椭圆经过点，所以， 所以， 所以椭圆方程为： （2）因为点在椭圆上， 设，因为 所以       因为，所以当时， 当时， 所以，; （3）点在直线上，设， 直线过点且与平行，， 所以直线方程为：，即， 令，所以直线的方程为：， 联立椭圆的方程：，消得：， 设，，所以由韦达定理有，， 所以 同理， 所以， 因为， 代入韦达定理及化简得： 所以， 又因为， 所以，所以存在常数使得. 34．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，所以， 由代入，可得，， 所以椭圆的通径长为，即， 由可得，解得， 所以， 所以椭圆的方程为. （2） 由（1）可知， 所以， 直线所在直线方程为，即 设， 设点到直线的距离为，则， 所以， 当时，有最大值. （3）因为，设直线方程为，代入椭圆方程可得， 设，则，所以中点的纵坐标， 所以，即， 所以所在直线方程为，令，可得，即， 假设在轴上存在一定点满足题意，则， 所以恒成立，则需，解得， 即轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 35．（2026·上海·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限的点使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 【详解】（1）由椭圆知：，所以， 所以椭圆的焦距为，离心率. （2）由（1）知：，因为，所以， 若存在点，使得的面积为， 设点到直线的距离，则，即， 因为，所以直线方程为：，即， 设过点平行于直线的直线方程为， 由点到直线的距离，即直线与间的距离为， 所以，解得：或， 当时，直线方程为， 联立得：，解得：或， 因为点位于第二象限点，所以，代入解得：，即， 当时，直线方程为， 联立得：， 由，所以方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点， 综上所述：存在满足条件的点，且. （3）由题意可设直线，， 联立化简得：， 由，即， 所以， 设线段中点为，则， 所以，即，又为中点，所以， 因为，所以，即， 所以， 因为直线与轴和轴均不平行，所以，所以， 所以，整理可得：， 因为，所以，解得：，又， 所以实数的取值范围为. 36．（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【详解】（1）双曲线的焦点，设点，则， ，因此， 而或，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以的取值范围是. （2）设直线的方程为，设， 由消去，得，， 解得，，， 因此 ， 所以是定值，该定值为0. （3）设直线的方程为，点， 由消去，得，， 解得，，直线的方程为， 令，得点的横坐标，同理得的横坐标， 则 ，而，， 由、面积相等，得，则， 解得，即，所以直线的方程为. 37.已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意得，解得， 则双曲线． （2）设，，，或， 则， 令（或）， 当，单调递减，所以在上， 当，单调递增，所以在上， 所以，所以的取值范围为. （3）存在． 双曲线的右焦点， 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，此时， 存在，，，结论也成立． 综上，存在，使． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立，消可得， 方程的判别式，故， 设，，不妨设， 由已知为方程的根， 所以，， 设点，在准线上的投影分别为，， 因为，所以， 故，所以， 即为方程的根， 故，， 所以，， 又， 由余弦定理，. 故选：B.    2．已知双曲线的右焦点为，平行于轴的直线交于、两点，长轴位于轴上的椭圆经过、、三点，其右焦点为．若的周长为10，则其面积为__________． 【答案】 【详解】由双曲线可得，设，则，有， 由该椭圆过点且长轴位于轴上，故该椭圆长轴长为， 由、两点关于轴对称，故与到椭圆左焦点距离相等， 故，因为的周长为10，所以， 则，有，解得， 故. 3．已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【详解】由题意可作图如下： 由，则，， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得，即， 由题意可得， 则，. 故答案为： 4．已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点.若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为__________. 【答案】 【详解】由题意，联立，则，显然， 所以，故， 所以，以为直径的圆的圆心横坐标为3，半径为4， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 5．（26-27高三上·上海·阶段检测）已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 【详解】（1）由题意直线的方程为， 由，消去y得， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以， 解得， 故实数的取值范围为. （2）设，， 则， 原点O到直线的距离， ， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以面积最大时，， 此时直线的方程为或. 6．已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点， (1)求点 的轨迹及轨迹方程； (2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程. 【详解】（1）设点 到 和 的距离分别为 和 ,根据题意： 两点 、 的距离为4,而 ,符合双曲线的定义,因此轨迹为双曲线， ,得 ； ,得 ； ， 双曲线的标准方程为:， （2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得. 展开整理得， ， 设，，由韦达定理（），. 根据弦长公式 先求 . 所以.   原点到直线的距离. 已知. 即. 化简得. 两边平方整理得，即. 得，因为，所以，. 也满足. 所以直线的方程为. 7．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与轴交于点、，当时，求的值. 【详解】（1）解：依题意可得，， 又，所以， 所以椭圆方程为. （2）解：依题意过点的直线为， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得. 创新提升 8．（2025·上海·模拟预测）已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标； ②求面积的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，直线的方程为. 设点、的横坐标为、. 由，消得 于是，故. （2）①设，于是有，抛物线的准线方程为， 设、，过的直线的方程可设为， 由题意，两直线均与圆相切，故，整理得， 设直线、的斜率为、， 于是， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 故点的横坐标为3. ②由①，， 点到的距离，故的面积， 不妨令，于是， 当且仅当，即时，的面积取到最小值，最小值为. 9．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为 ，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线均过点. (1)求面积的最大值. (2)若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当直线的斜率满足时，证明:为定值； (3)是否存在点，满足均与相切，且?若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由. 【详解】（1）对于椭圆 中， ，则，所以， 焦点，设点在上，所以， 因为的面积， 所以当时，面积取到最大值为1. （2）设直线，联立方程组， 整理得：， 其中 ， 设，所以， 所以， 同理，设，代入得：， 已知，所以，代入得：， 所以， 即为定值. （3）假设存在，若，则，此时直线不垂直， 因此直线的斜率存在，分别为，由，得. 若直线，即， 联立方程组，整理得：， 若与相切，则， 化简得：， 此方程的两根为，且， 所以，由，得：，即， 又因为在上，联立方程组， 解得或或或， 即存在点，满足题意. 10．如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【详解】（1）由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 11．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，过点作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足. (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【详解】（1）由题意得准线方程为，焦点坐标为， 则抛物线的焦点到准线的距离为. （2）由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. （3）由（2）可知， 设直线为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 12．已知拋物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作拋物线的切线，该切线与轴交于点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若点的坐标为，求 的面积； (3)证明：. 【详解】（1）因为拋物线， 所以， 故焦点坐标为，准线方程为. （2）如图，    设过，抛物线的切线方程为， 则，即， 联立，可得， 所以，解得， 所以切线方程为， 令，可得，即, 所以. （3）(3)证明:设，过该点切线方程为， 则，可得， 联立方程，可得， 由，即，解得， 因为，所以， 由抛物线的定义知，， 所以. 13．已知过点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为坐标原点，且. (1)求的值； (2)设点，记直线，的倾斜角分别为，，证明：； (3)，为过点的两条直线，且直线与轴的正半轴交于点，直线与轴的负半轴交于点，记点到直线，的距离分别为，，若，求面积的最小值. 【详解】（1）设直线的方程为， 由，得. 设，， 则，， 故，解得， (2)， 而 ， 所以， 因此，互补，即； （3）以为圆心，1为半径作圆, 由于，且,故直线与圆相切， 故记与圆的切点分别为,，连接， 由题意得 . 由切线长定理，知，，， 所以 又 ， 所以，解得 所以 ， 当且仅当，由于，即时，取等号. 故面积的最小值为8.    14．已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【详解】（1）由题设； (2)证明：设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； ； （3）由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 15．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由题意知 ，即 . 又因为离心率 ，所以 ，所以 . 故椭圆 的方程为 . (2)证明：设 。 因为 ，所以 . 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 代入 ，即 ， 整理得 。 代入韦达定理结果并化简得 。 原点 到直线的距离 所以原点 到直线 的距离为定值 . （3）存在定点 ，理由如下： 由（1）知 ，设直线 的方程为 ， 设 ，则 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 设 ，若 三点共线，则 ， 即 ，整理得 . 将 代入上式，化简得 . 代入韦达定理结果，得 . 化简得 ，解得 . 所以存在定点 ，使得 三点始终共线. 16．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． (1)若，求点A的坐标； (2)求的取值范围； (3)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 【详解】（1）由椭圆方程可知：，则， 设直线，， 可得，解得， 则，解得， 则，即，所以. （2）因为， 可得， 则， 因为，则， 可得， 所以的取值范围为. （3）设， 由题意可知：， 则，且， 因为点均在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 则，即，可知， 又因为，则， 可得面积 ， 设，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以面积的最大值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $