云南省昆明市第一中学普通高中2027届高三上学期复习诊断新卷(三)数学试题

普通高中2027届高三复习诊断新卷（三） 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D C A B B C 1． 【解析】由题意得，，又则，故选：A. 2． 【解析】因，则的虚部为，故选D． 3． 【解析】由题意可得，，，，故选 4． 【解析】已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：C. 5． 【解析】设非零向量，的夹角为， 对两边平方，得： 化简得，即. 因为为非零向量，故，又，所以，即与反向共线. 若“与共线”，则与同向或反向共线. 故“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A. 6． 【解析】因为关于轴对称，，所以的一个取值为，选B. 7． 【解析】过原点的一条直线与圆相切，所以直线的倾斜角为或，因为的横坐标为，所以纵坐标为±，所以，所以，选B. 8． 【解析】由，得，又是奇函数，所以，用取代，则，故的最小正周期为2．因为，所以，，当时，恒为正，无零点．又是奇函数，所以当时，也无零点，在一个周期上的零点分别为-1，0，1，根据周期规律，所以在上有11个零点，分别为0，1，2，3，4，5，-1，-2，-3，-4，-5，故选：C. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD AC ABD 9． 【解析】A．数据从小到大排列依次为，，，，，共5个， ，第80百分位数为，故A错误. B．由题意 ， ，故B正确. C．，根据平均数线性变换性质： ，故C正确. D．方差满足，已知 ，故D正确. 10． 【解析】设等差数列公差为，由，，解得， 因此通项公式为，前项和． 选项A：公差，所以是递减数列，A正确； 选项B：令，解得，即，，前6项均为正，第7项起为负，故在时取得最大值，B错误； 选项C：令，解得（为正整数），因此时的最大值为11，C正确； 选项D：前10项和为11+9+7+5+3+1+1+3+5+7=52，D错误． 故选AC 11． 【解析】对于A，作中点，连接，，因为，所以过，，的平面截正方体为平行四边形，可知A选项正确. 对于B，设，外接球球心在过且垂直于平面的直线上，则球的半径，B正确. 对于C，作中点，连接，，，可知平面，点在平面上运动，的轨迹长度为，C错. 对于D，以为坐标原点建系如图，由，化简得点在球面上运动，球心，半径，总长为两个半圆弧长，D正确. 三、填空题 12． 【答案】 【解析】由题设，，，又因为 则切线方程为：，即. 13． 【答案】240 【解析】先选出2名讲解员捆绑为1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，共有种. 14． 【答案】 【解析】因为直线的斜率为，所以，，又因为 ，所以，在△中，余弦定理，所以，在△中，余弦定理，所以，所以在△中,,所以. 四、解答题 15． 解：（1）零假设：成年人是否经常参加体育锻炼与年龄无关； ，，，， ，依据小概率的独立性检验，零假设不成立，即认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关. ......6分 （2） 设事件：抽到经常参加体育锻炼的成年人；：抽到不经常参加体育锻炼的成年人；事件此人愿意报名参加城市运动会群众项目. ，，， ......13分 16． （1）证明：连接，，因为，分别为，的中点，所以， 又因为为正方形，所以，故， 又平面，平面，故， 平面，平面，， 所以平面，平面，故. 同理， 平面，平面，， 所以平面. ……………………6分 （2）（i）连接,,， 因为,,分别为,,的中点， 所以，故， 所以为等边三角形， 又因为平面，所以， 所以为的重心. ……………………10分 （ii）取的中点为，连接， 要求与平面所成角的正弦值， 即求与平面所成角的正弦值，连接， 所以为与平面所成角， 不妨设，则，， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. ……………………15分 17． 解：（1）因为，所以，可得 由余弦定理可得，即. 由正弦定理得，即，. 因为 ，，，所以. ……7分 （2）得，,由正弦定理得， 即, ，又因为 所以，所以，当时， 取得最大值. ………15分 18． 解：（1）由题意，当垂直于轴时，． 由题意，得 解得所以椭圆的标准方程为． ………4分 （2）(ⅰ)证明：由题意，设直线的方程为， 则直线的方程为．设，． 由消去，整理得． ，则． 由题意，得， 所以，则． 将点坐标中的用代换，得弦的中点． 当，得，所以， 所以直线的方程为． ………10分 当时，直线的斜率， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过点． (ⅱ)由题意，得的面积 ． 设 ，则， ． 由对勾函数的性质，得函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值为，即面积的最大值为． 此时两直线和的斜率分别为和． ………17分 19． 解：解：（1）因为，，则 由得. 当时，令，解得，令，解得， 故在区间 上单调递增，在区间上单调递减. ..............4分 （2）（i）因为，所以， 所以不等式等价于， 设，由（1）知，在区间 上单调递增，在区间上单调递减； 故； 设，则， 令，解得，令，解得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 因为恒成立， 所以，即． 因为，所以的取值集合为. ..............10分 （ii）由（i）知1或2. 因为，设， 当时，； 当时，，单调递增，. 所以，当时，，所以. 所以只需讨论当时，恒成立的情况. 对任意的，由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即，即， 所以，构造函数， 其中，则，所以函数在上为增函数， 因为，则，所以， 由可得，所以，可得， 当时，，则，即函数在上单调递减， 当时，，则，即函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，也是最小值， 即， 故，所以实数的取值范围是. ..............17分 数学答案·第 4 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2027届高三复习诊断新卷（三） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则= A． B． C． D． 2．已知复数(为虚数单位)，则的虚部为 A． B． C． D． 3．已知为等比数列，若，则的公比 A． B． C． D． 4．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中是圆锥的顶点，，分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为，则该陀螺的体积是 A． B． C． D． 5．已知，为非零向量，则“”是“与共线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若点关于轴的对称点为，则的一个取值为 A． B． C． D． 7．过原点的一条直线与圆：相切，交曲线于点M，若M的横坐标为4，则p的值为 A．4 B．6 C．8 D．12 8．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为 A．9 B．10 C．11 D．12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一组数据从小到大依次为，，，，．这组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若则 A．，，，，的第80百分位数为 B．，，，，的极差为16 C．，，，，的平均数为11 D．，，，，的方差为32 10．记等差数列的前项和为，若，，则 A．是递减数列 B．当时，取得最大值 C．若，则的最大值为11 D．数列的前10项和为50 11．已知正方体的棱长为2，为棱的中点，为空间内一动点，则下列说法中正确的是 A．经过，，的平面将正方体分成体积之比为的两部分 B．四面体的外接球半径为 C．当点在正方体表面上运动时，若，则的轨迹长度为 D．空间中，若点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数在处的切线方程为      ． 13．将5名文旅讲解员分配到大理、丽江、香格里拉和西双版纳4个景区开展讲解工作，每名讲解员只分配到1个景区，每个景区至少分配1名讲解员，则不同的分配方案共有      种． 14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过与的右支相交于，两点，若在第一象限，且，则的值为      ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 随着全民健身理念持续普及，越来越多市民参加体育锻炼．某市体育局为调研本市成年人日常锻炼情况，随机抽取120名成年人开展问卷调查，统计他们每周体育锻炼的频次．规定：一周内锻炼不少于4次的认定为经常参加体育锻炼，不足4次的认定为不经常参加体育锻炼，按年龄分组整理调查数据，得到如下列联表： 年龄段 经常参加体育锻炼的人 不经常参加体育锻炼的人 不超过40岁 45 15 超过40岁 25 35 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关； （2）将频率视作概率，调研进一步发现，经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，不经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，现从这120名成年人中随机抽取一人，求此人愿意报名参加城市运动会群众项目的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．(15分) 如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点． （1）证明：平面； （2）若与平面的交点为， ①证明：为的重心； ②求与平面所成角的正弦值． 17．(15分) 在中，角，，所对的边分别为，，，是的面积，且满足． （1）证明：； （2）若，求的最大值． 18．(17分) 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，当垂直于轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合， ①求证：直线过定点； ②当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 19．(17分) 已知函数，，． （1）记，讨论函数的单调性； （2）若，， ①求的取值集合； ②若恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $可▣ AI批阅 普通高中2027届高三复习诊断新卷（三】 数学 答题卡 姓 名 正确填涂 准考证号 安 级 ■ 涂范例 错误填涂 【o 【o lo] 【o 01 ☑O 11 【11 1 IIIIIINIII 考场 号 )中 座位 号引 [ ts] [ ) t>] 1 o t3] j 14】 I41 f [5) 1 图 生失自已的姓名 考号镇号清是。并认真 Ie) 【o o 注准 定的位置君 m aj t t61 【81 t81 383 意 区城川题色根察笔书写。字体工要，笔进清慧。在回是可 【o1 【01 Io) 【9】 o t91 事顺序在各是口的答题区线内作答，超出若题区城书写的管 项 用皮将干》，填空，信若是区城修 贴条形码区 (正面朝上，切勿贴出虚线据外) 缺考标记【】借滑醋2碧品器登 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 10BD的D3刀DC的m50DCCD 7 0 08 (C]D 2刀BDCD)4DD的) 60BDCD四 80DD0 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 A080 LC)D)10)BDC田D 11A H CC]0D 三、填空题（每小题5分， 共15分)》 12 13. 14 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(13分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (2) 16.(15分) (1) D (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各愿目的答愿区域内作答，超出黑色拒形边框限定区域的答案无效 17.(15分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 快 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 请在各愿目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效 18.(17分) (2) (1) (2) 19.(17分) (1) 请在各题目的答愿区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答愿区城内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP