专题09 期中复习压轴十三大题型突破-2026-2027学年浙教版七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题
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内容正文：
专题09 期中复习压轴十三大题型突破
选择题
【题型 1】绝对值几何意义 + 多情况判断
【题型 2】实数估值、无理数整数部分 & 小数部分综合
【题型 3】代数式赋值、整体代换判断
【题型 4】新定义运算
【题型 5】规律递推（数字 / 符号循环）
填空题
【题型 6】绝对值最值、多解问题
【题型 7】实数 + 根式的双重非负性
【题型 8】代数式整体代入、构造求值
【题型 9】图形规律、点阵 / 火柴棒规律
【题型 10】进制转换、阅读类小压轴
解答题
【题型 11】数轴动点综合大题
【题型 12】新定义阅读题
【题型 13】代数式化简 + 整体代换应用
选择题
【题型 1】绝对值几何意义 + 多情况判断
1．已知，且，则的值为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．
2．若点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离表示为：，已知，，则的最大值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（ ）
A．2024 B．4048 C．20 D．0
4．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，则当x取任意有理数时，代数式的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（ ）
A． B． C． D．
【题型 2】实数估值、无理数整数部分 & 小数部分综合
6．任意实数，可以用表示不超过的最大整数，如，，已知，则下列n的值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．设的小数部分是，的整数部分是，则（ ）
A． B． C．8 D．
【题型 3】代数式赋值、整体代换判断
10．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则式子的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2或
11．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（ ）
A． B． C． D．2019
12．若代数式的值为1，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
13．当时，代数式的值为5，则当时，代数式的值为（ ）
A．4 B． C．11 D．10
14．已知，则代数式的值为（ ）．
A．2015 B．2020 C．2025 D．2035
15．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【题型 4】新定义运算
16．定义新运算“*”，规定，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．18
17．若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（ ）
A． B． C． D．
18．我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．1
【题型 5】规律递推（数字 / 符号循环）
19．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（ ）
①；
②；
③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；
④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．
A．4 B．3 C．2 D．1
20．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
21．在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
22．观察下列算式，用你所发现的规律得出的末位数字为（ ）
，，，，，，，，
A． B． C． D．
23．下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定a的值为（ ）
A．1584 B．3036 C．1728 D．3630
24．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律：
…
…
…
25
250
…
若，则（ ）
A．153 B．485 C． D．
25．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A． B． C． D．
26．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），…
利用以上规律计算结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．不能确定
27．如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图1需要11根小棒，图2需要18根小棒，图3需要25根小棒，按此规律摆下去，第8个图案需要小棒的根数为（ ）
A．67 B．53 C．52 D．60
填空题
【题型 6】绝对值最值、多解问题
28．当的值最小时，__________．
29．数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值为__________．
30．已知，且，那么多项式的值为___________．
31．已知，，且，求的值为___________．
【题型 7】实数 + 根式的双重非负性
32．如果与互为相反数，那么的平方根是________．
33．设、为实数，且，则的立方根是______．
34．已知实数满足：，则的平方根__________．
35．已知，则的值是___________．
【题型 8】代数式整体代入、构造求值
36．已知代数式，当时，代数式的值为，则当时，的值为__________．
37．已知，则的值为________．
38．若，则_____________．
39．当时，代数式的值为2023，则当，代数式的值为________．
40．若，则的值为______．
【题型 9】图形规律、点阵 / 火柴棒规律
41．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______．
42．观察下列算式：
；
；
；
……
根据上面的规律计算：_________．
43．“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案可以近似地看作一些小正方形．如图，将一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间小正方形的个数如下：第1个图形中有16个小正方形，第2个图形中有23个小正方形，第3个图形中有30个小正方形，……，依照此规律，第2025个图形中共有_______个小正方形．
44．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，……依次规律，第n幅图中★的个数为，则 的值为__________．
45．下列图形都是用同样大小的❤按一定规律组成的，则第（8）个图形中共有❤______个．
46．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定的值为______，的值为______，的值为______．
47．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第1个图案用了7个圆点，第2个图案用了10个圆点，第3个图案用了14个圆点，第4个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是_______个
【题型 10】进制转换、阅读类小压轴
48．计算机的发明与应用被称作20世纪第三次科技革命的重要标志之一，计算机能识别和处理由“0”“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．计数的进位方法是“逢二进一”，例如：二进制数100110记为，通过式子 可以转换为十进制数38．将十进制数89转换成二进制数是________．
49．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人．计算机和依赖计算机设备里都使用二进制，二进制数只使用数字0，1，计数的进位方法是“逢二进一”，如，二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数转换为十进制数是______．
50．二维码（如图①）在日常生活中应用越来越广泛，它巧妙利用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．某校利用二维码设立了一个学生身份识别系统，图②是某个学生的二维码简易编码，其中第一行代表的二进制数是1000，转换成十进制数为：，代表该生为8年级学生．第二行转换成班级序号，第三行、第四行分别转换成该生班内学号的十位数字与个位数字，则该生的班内学号为__________．
51．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813．若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则他的准考证号是________．
【答案】
52．阅读下列例题：
计算：．
解：设，①
那么．②
②①，得．所以原式．
仿照上面的例题计算：______．
53．阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．则之间满足的关系式为_____．
解答题
【题型 11】数轴动点综合大题
54．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．
(1)a = ，b= ，c= ；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合；
(3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①求t为何值时，点P到点B的距离是5；
②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值．
55．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100．
(1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数．
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？
56．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
(1)【知识呈现】
数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____．
(2)【定义】
一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示：
【初步理解】
①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____．
【深入探究】
②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【归纳总结】
③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度．
57．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是．
(1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______；
(2)如果，求出点P表示的数以及b的值；
(3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
58．【知识引导】求正方向向右的数轴上两个点之间的距离，具体方法是：右边点表示的数减去左边点表示的数，这个差就表示这两个点之间的距离．例如：若点M表示的数为2，点N表示的数为，则点M、N之间的距离为．
【实际应用】如图，在数轴上，从左到右的点A、O、B表示的数分别是、0、6．
(1)点A到原点O的距离是 ，A、B两点之间的距离是 ；
(2)有一动点P从点A出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点P的运动情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位），求第4次运动后点P表示的数？此时点P与点A的距离是多少？
第1次
第2次
第3次
第4次
(3)若数轴上存在点C，与点O、B都不重合，当C、O、B这三个点中，其中一个点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”．请直接写出符合“和谐三点”的点C表示的数．
59．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．
【问题解决】
（1）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离__________．
（2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么________．
（3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________．
【关联运用】
（4）点､､是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点､､开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
【题型 12】新定义阅读题
60．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．
例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20
（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？
（2）探索发现：
计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ．
由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）
（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．
61．【发现问题】
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．我们知道，超市里的收费是扫码枪是通过扫描商品上的条形码来收款的，如图①．售货员通过输入条形码上的数字也可以获取商品的信息．爱思考的小丽发现条形码上的数字存在某种运算关系．
【提出问题】
①超市商品条形码大多是13位数字组成，它们代表什么含义？
②这些数字之间存在怎样的运算关系？
【查阅资料】
课本第9页阅读部分曾对商品条形码进行了简单介绍，通过查找资料，明晰：商品条形码由国际商品编码协会分配的，我国商品条形码国家代码范围是690-699，其中690-693为常见使用范围，696-699尚未启用．通过商品条形码的前缀码可快速识别商品的编码组织归属，助力全球供应链中的商品追溯与管理．商品的条形码共有13位数字，前12位数字表示“国家代码、厂商代码和产品代码”相关信息，第13位数字为“校验码”．其中校验码是用来校验条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．具体算法如下（以图②为例）：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和：即；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和：即；
步骤3：计算与的和，即；
步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
步骤5：计算与的差就是校验码，即．
【解决问题】
(1)如图③，某条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，用只含有的代数式表示_____．当校验码时，_____；
(2)若某甲商品的条形码为692015246102Y，则校验码的值是_____；
(3)若乙商品条形码数字为6903244672483，利用上述检验码的算法，判断此条形码的真伪，并说明理由；
(4)如图④，某条形码中被污染的两个数字的和为13，请直接写出被污染的两个数字中右边的数字是_____；
(5)若小丽在超市买到我国国产商品条形码（条形码在常见使用范围）如图⑤，条形码中有两位数字被墨水污染了，设这两位数字分别为，．请分别求出，的值．
62．【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等．
【问题解决】
（1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整；
（2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方；
【拓展思考】
（3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值．
【题型 13】代数式化简 + 整体代换应用
63．综合与实践
【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示与的两点之间的距离，所以；
【问题初探】阅读以下材料，并回答问题：
如图，把一根长度为 的木棒放在一条数轴（单位长度为 ）上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，再向左移动，当点移动到处时运动停止，点与点重合，此时点对应的数为．
（1）由此可得，__________，的值为__________．
（2）图中点所表示的数是__________，点所表示的数是__________．
（3）若木棒以每秒个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？
【拓展应用】
（4）借助上述方法解决下列问题：
一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经是岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路．
64．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．
问题提出：计算．（其中n都通正整数，）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：__________．
类比探究：计算．（仿照上述方法，画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
拓展思考：计算___________．
65．观察下列式子：
，，，，，
(1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________；
(2)请写出第个式子：___________；
(3)计算：．
66．观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得．
(1)猜想并写出：＝ ．
(2)已知|ab﹣2|与（b﹣1）2互为相反数，试求：的值．
(3)探究并计算：．
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专题09 期中复习压轴十三大题型突破
选择题
【题型 1】绝对值几何意义 + 多情况判断
【题型 2】实数估值、无理数整数部分 & 小数部分综合
【题型 3】代数式赋值、整体代换判断
【题型 4】新定义运算
【题型 5】规律递推（数字 / 符号循环）
填空题
【题型 6】绝对值最值、多解问题
【题型 7】实数 + 根式的双重非负性
【题型 8】代数式整体代入、构造求值
【题型 9】图形规律、点阵 / 火柴棒规律
【题型 10】进制转换、阅读类小压轴
解答题
【题型 11】数轴动点综合大题
【题型 12】新定义阅读题
【题型 13】代数式化简 + 整体代换应用
选择题
【题型 1】绝对值几何意义 + 多情况判断
1．已知，且，则的值为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的减法运算，解题关键是结合绝对值求出a、b的可能值，再根据的条件筛选后计算．
根据绝对值的定义，a 和 b 各有两种可能值，结合条件筛选出满足条件的组合，计算 即可．
【详解】，
或；
，
或．
又，
当，时，成立，此时；
当，时，成立，此时；
当，时，，不满足；
当，时，，不满足．
的值为或．
故选 C．
2．若点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离表示为：，已知，，则的最大值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示到点 1 的距离为 1，解得或；表示到点的距离为2，解得或，然后依次计算求，选择最大值即可．
【详解】解：∵，
∴或；
∵，
∴或，
当, 时，，
当, 时，，
当, 时，，
当, 时，，
∴的最大值为 7，
故选：C．
3．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（ ）
A．2024 B．4048 C．20 D．0
【答案】A
【分析】本题考查的是绝对值的意义，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案．
【详解】解：∵绝对值具有非负性
∴，
∵有最大值，
∴当时，式子有最大值，此时的值是2024，故A正确．
故选：A．
4．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，则当x取任意有理数时，代数式的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值表示的两点之间的距离意义，运用数形结合是解题的关键．根据两点之间的距离可知，当x对应的点在1和7对应的点之间时，的最小值，即可得解．
【详解】解：表示x对应的点到1和7对应的点的距离之和，
则当x对应的点在1和7对应的点之间时，取得最小值，最小值为，
故选：．
5．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得．
【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和，
由数轴可知，当取最小值时，，
则所有满足条件的整数的和为，
故选：C．
【题型 2】实数估值、无理数整数部分 & 小数部分综合
6．任意实数，可以用表示不超过的最大整数，如，，已知，则下列n的值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据[]的意义可先求得的范围，然后再两边同时平方即可，依据[的意义求得的范围是解题的关键．
【详解】解：表示不超过的最大整数，
，
，
故选：．
7．已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先估算出的取值范围，再求出，的值，进而可得出结论．
【详解】∵，
∴，
∵，为两个连续的整数，且，
∴，，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用逼近法是解答此题的关键．
8．若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过估算无理数的大小，得到和的值，再代入代数式计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴ 的小数部分 ．
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分 ．
将,代入，得
．
9．设的小数部分是，的整数部分是，则（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】A
【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴.
【题型 3】代数式赋值、整体代换判断
10．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则式子的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2或
【答案】D
【分析】根据相反数、倒数和绝对值的定义，得出，，，再代入计算求值即可．
【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，，
，，，
当时，，
当时，，
综上可知，式子的值为或．
11．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（ ）
A． B． C． D．2019
【答案】B
【分析】先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用整体代入法计算求值．
【详解】解：当时，代数式的值为，
，
当时，，
把代入，则，
∴当时，这个代数式的值为．
12．若代数式的值为1，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值．利用整体代入思想求解，先将所求代数式变形为含已知代数式的形式，再代入已知值计算即可。
【详解】解：∵
∴
故选：A．
13．当时，代数式的值为5，则当时，代数式的值为（ ）
A．4 B． C．11 D．10
【答案】D
【分析】本题考查代数式求值，由已知条件求出的值，再代入时的表达式求解即可．
【详解】解：当时，，
∴；
当时，；
故选D．
14．已知，则代数式的值为（ ）．
A．2015 B．2020 C．2025 D．2035
【答案】D
【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
利用已知条件得出，然后将目标表达式变形为，再整体代入求值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
故选：D．
15．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查代数式求值，根据数值转换机的要求需要两次输入才行．根据数值转换机列代数式，再代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得当时，，故继续输入，
当时，，故输出的值为8．
故选：C．
【题型 4】新定义运算
16．定义新运算“*”，规定，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．18
【答案】B
【分析】根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查新定义，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确新定义和有理数混合运算的计算方法．
17．若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了新运算．解决本题的关键是根据新运算规定的运算法则把新运算转化为一般的有理数运算，然后根据有理数的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
18．我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查新定义情境下的有理数的运算，数字变化的规律，掌握新定义的含义及总结运算规律是解题的关键．
利用新定义的规定，发现的值每4个循环一次，且每4项之和为0．可得 ．
【详解】解：，，，，
．
又，，……，
以此类推，可知，的值每4个循环一次，且每4项之和为．
，
．
故选：B．
【题型 5】规律递推（数字 / 符号循环）
19．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（ ）
①；
②；
③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；
④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据数轴上的位置可得即可判断①；分别求出和的结果即可判断②；根据即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现这种情况即可判断④．
【详解】解：由题意得，，
∴，，
①，故①正确；
②，，
∴，故②正确；
③∵原代数式为，
∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为，
∵，
∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确；
④∵，，
∴不论怎么操作，都不可能出现这种情况，故④错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键．
20．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．
根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案．
【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为，
点所对应的数为，
点所对应的数为，
点所对应的数为，
点所对应的数为，
点所对应的数为，
，
数轴上所对应的顶点是．
故选：C．
21．在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了数轴上的动点问题．序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加1，即可解答．
【详解】解：第一次点向左移动1个单位长度至点，则表示的数，；
第 2 次从点向右移动2个单位长度至点，则表示的数为；
第 3 次从点向左移动3个单位长度至点，则表示的数为；
第4次从点向右移动4个单位长度至点，则表示的数为；
第 5 次从点向左移动5个单位长度至点，则表示的数为；
．．．；
故每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加1，
，
则点所表示的数为：，
故选：D．
22．观察下列算式，用你所发现的规律得出的末位数字为（ ）
，，，，，，，，
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察可知，末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．根据2021被4整除余1，所以22021的末位数字与2相同，22021的末位数字为2．
【详解】解：由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6，
∵2021÷4＝505…1
∴22021的末位数字与2的相同，
∴22021的末位数字为2．
故选C．
【点睛】本题考查的是尾数的特征，根据题意尾数的规律是2，4，8，6．找出22021的末位数字与2的相同是解题关键．
23．下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定a的值为（ ）
A．1584 B．3036 C．1728 D．3630
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可．
【详解】解：由第1个图可知：；
由第2个图可知：；
由第3个图可知：；
……
可得：；
∴．
故选：B．
24．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律：
…
…
…
25
250
…
若，则（ ）
A．153 B．485 C． D．
【答案】D
【分析】根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位，即可得出结果．
【详解】解：，
．
25．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查数阵规律的识别与递推能力，需要学生观察数列的排列方式，找到行数与元素位置、数值之间的对应关系是解题的关键．
确定每行元素个数，找到每行最后一个数的规律，确定最后一个数的值，根据规律计算即可．
【详解】观察数阵，第行有个元素，每行最后一个数的根号内数值为．
第八行有16个元素，最后一个数的根号内数值为，即．
根据规律左边的数值依次减1，所以倒数第三个数是．
故选：B．
26．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），…
利用以上规律计算结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．不能确定
【答案】A
【分析】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可．
【详解】解：∵，，，，…；
，，，，…
∴，，
∴，
∴
27．如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图1需要11根小棒，图2需要18根小棒，图3需要25根小棒，按此规律摆下去，第8个图案需要小棒的根数为（ ）
A．67 B．53 C．52 D．60
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多7根小棒（前后相邻的两个图形），据此总结规律求解即可．
【详解】解：图案①需要根小棒，
图案②需要根小棒，
图案③需要根小棒，
……，
以此类推可知，第n个图案需要根小棒，
∴第8个图案需要小棒的根数为，
故选：D．
填空题
【题型 6】绝对值最值、多解问题
28．当的值最小时，__________．
【答案】
【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
此时时，的值最小，则；
故答案为：．
29．数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值为__________．
【答案】1，2，3
【分析】本题考查了数轴，绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
根据绝对值的几何意义解答即可．
【详解】解：∵表示数轴上与1之间的距离，表示数轴上与3之间的距离，
∴时，表示数的点到表示数1和3的点之间的距离之和最小，
∴整数为，
故答案为：．
30．已知，且，那么多项式的值为___________．
【答案】或3
【分析】由绝对值方程求解x和y的可能取值，再根据得到确定符合条件的x和y组合，最后计算的值．
本题考查了绝对值的化简，代数式的求值，熟练掌握化简绝对值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴或；或，
解得或；或，
∵，
∴，
∴，或，，
∴或．
故答案为：3或4053．
31．已知，，且，求的值为___________．
【答案】或
【分析】本题主要考查了绝对值的应用和有理数加减运算，运用绝对值和已知条件确定a、b、c的值成为解答本题的关键．
根据绝对值的定义，确定、、的可能值，再结合条件筛选出符合条件的组合，最后计算的值．
【详解】解：∵，，，
∴，，．
∵，
∴，，或．
当，，时，；
当，，时，．
故答案为：或．
【题型 7】实数 + 根式的双重非负性
32．如果与互为相反数，那么的平方根是________．
【答案】
【详解】解：与互为相反数，
，
又，，且，，
∴，，
，，
解得，，
，
∵的平方根为，
∴的平方根是．
33．设、为实数，且，则的立方根是______．
【答案】2
【分析】先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：根据题意，得，，
解得，
∴，
∴，
∴的立方根是．
34．已知实数满足：，则的平方根__________．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的平方根为．
35．已知，则的值是___________．
【答案】12
【分析】本题考查了二次根式和绝对值的非负性．根据二次根式和绝对值的非负性，结合已知条件求出x和y的值，从而求得的值．
【详解】解：∵，
又∵且，
∴且，
∴且，
即且，
∴．
【题型 8】代数式整体代入、构造求值
36．已知代数式，当时，代数式的值为，则当时，的值为__________．
【答案】
【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把代入多项式求出的值，再将代入多项式，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：当时，
代数式，
，
当时，
代数式．
故答案为：2030．
37．已知，则的值为________．
【答案】
【分析】对比已知等式与所求代数式的结构，可通过整体代入法简化计算，无需单独求解的具体值．
【详解】解：∵，
∴．
∴
．
38．若，则_____________．
【答案】
【分析】将所求代数式变形为含的形式，再整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：∵，
∴等式两边同乘，得，
∴将代入所求代数式，得．
39．当时，代数式的值为2023，则当，代数式的值为________．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法求解．
先根据已知条件求出的值，再代入时的表达式进行计算．
【详解】解：当时，代数式，
所以．
当时，
代数式
．
故答案为：．
40．若，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，由已知可得 ，即得，然后将代入到代数式 中的高次项降幂，进而即可求解，掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴
，
故答案为：．
【题型 9】图形规律、点阵 / 火柴棒规律
41．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______．
【答案】
【分析】通过观察数列中相邻两项的差，发现后一项比前一项依次增加，从而得出等于从加到的和，利用求和公式即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
，
，
，
，
，
所以．
当时，
．
42．观察下列算式：
；
；
；
……
根据上面的规律计算：_________．
【答案】
【详解】解：；
；
；
……；
∴．
43．“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案可以近似地看作一些小正方形．如图，将一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间小正方形的个数如下：第1个图形中有16个小正方形，第2个图形中有23个小正方形，第3个图形中有30个小正方形，……，依照此规律，第2025个图形中共有_______个小正方形．
【答案】14184
【分析】本题主要考查了图形的规律探索，合理分析图形数量变化的规律是解题的关键．
根据图形数量的变化寻找规律得出第个图形中小正方形的个数，然后再求出时，代数式的值即可．
【详解】解：第一个图形可以看作是个正方形，
第二个图形可看作是个正方形，
第三个图形可看作是个正方形，
∴第个图形的小正方形数量为：，
∴第个图形的小正方形数量为：．
故答案为：．
44．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，……依次规律，第n幅图中★的个数为，则 的值为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索，观察图形可知第幅图中★的个数为，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可．
【详解】解：第1幅图中★的个数为，
第2幅图中★的个数为，
第3幅图中★的个数为，
……，
以此类推，第幅图中★的个数为，
又∵，
，
，
……，
以此类推，可知，
∴
．
故答案为：．
45．下列图形都是用同样大小的❤按一定规律组成的，则第（8）个图形中共有❤______个．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意得到第个图形有个❤，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
第1个图形有个❤，
第2个图形有个❤，
第3个图形有个❤，
第4个图形有个❤，
，
∴第个图形有个❤，
∴当时，，
∴故答案为：．
46．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定的值为______，的值为______，的值为______．
【答案】 9 10 209
【分析】根据表格可知，右上角中的数等于左下角数的2倍，左上的数与左下的数差为1，右下角的数等于左下角的数与右上角的数的乘积加上左上角的数．据此规律即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：9，10，209．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是仔细观察表格，总结出表格中数据的规律．
47．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第1个图案用了7个圆点，第2个图案用了10个圆点，第3个图案用了14个圆点，第4个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是_______个
【答案】49
【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．分别求出第个图案中共有圆点的个数是、、和，归纳类推出第个图案中共有圆点的个数是，其中为正整数，据此解答即可得．
【详解】解：第1个图案中共有圆点的个数是（个），
第2个图案中共有圆点的个数是（个），
第3个图案中共有圆点的个数是（个），
第4个图案中共有圆点的个数是（个），
归纳类推得：第个图案中共有圆点的个数是（个），其中为正整数，
所以第8个图案中共有圆点的个数是（个），
故答案为：49．
【题型 10】进制转换、阅读类小压轴
48．计算机的发明与应用被称作20世纪第三次科技革命的重要标志之一，计算机能识别和处理由“0”“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．计数的进位方法是“逢二进一”，例如：二进制数100110记为，通过式子 可以转换为十进制数38．将十进制数89转换成二进制数是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据十进制转化为二进制的方法，进行计算即可．熟练掌握十进制转化为二进制的方法，是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
∴十进制数89转换成二进制数是．
故答案为：．
49．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人．计算机和依赖计算机设备里都使用二进制，二进制数只使用数字0，1，计数的进位方法是“逢二进一”，如，二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数转换为十进制数是______．
【答案】38
【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题干给出的二进制与十进制的转化方法，列出算式进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：38．
50．二维码（如图①）在日常生活中应用越来越广泛，它巧妙利用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．某校利用二维码设立了一个学生身份识别系统，图②是某个学生的二维码简易编码，其中第一行代表的二进制数是1000，转换成十进制数为：，代表该生为8年级学生．第二行转换成班级序号，第三行、第四行分别转换成该生班内学号的十位数字与个位数字，则该生的班内学号为__________．
【答案】
【分析】根据题意明确黑色代表、白色代表，分别读取第三行和第四行的二进制编码，按照题目给出的规律（从左到右依次为）转换为十进制数，分别得到学号的十位和个位数字．
【详解】解：观察图②可知： 第三行的颜色排列为：白、白、黑、白，对应的二进制数为． 转换成十进制数为：． 即该生班内学号的十位数字为．
第四行的颜色排列为：白、黑、黑、白，对应的二进制数为． 转换成十进制数为：． 即该生班内学号的个位数字为．
故该生的班内学号为．
51．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813．若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则他的准考证号是________．
【答案】
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，读懂题意，分别找出每行的代表二进制的数字，逐个转化成10进制，即可作答．
【详解】解：依题意，第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，
则第二行代表二进制的数字1010，转化成10进制为：
；
则第三行代表二进制的数字11011，转化成10进制为：
；
则第四行代表二进制的数字10101，转化成10进制为：
；
则第五行代表二进制的数字1000，转化成10进制为：
；
将五行编码组合到一起就是“小张”的准考证号．
故答案为：．
52．阅读下列例题：
计算：．
解：设，①
那么．②
②①，得．所以原式．
仿照上面的例题计算：______．
【答案】
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用②①即可求出式子的值．
【详解】解：设，①
那么，②
②①，得．
所以．
故答案为：．
53．阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．则之间满足的关系式为_____．
【答案】
【分析】根据对数的定义计算后，看对数之间的关系，确定对数之间的关系即可．
【详解】解：因为，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以．
【点睛】本题考查了新定义对数问题，准确理解新定义是计算的关键．
解答题
【题型 11】数轴动点综合大题
54．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．
(1)a = ，b= ，c= ；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合；
(3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①求t为何值时，点P到点B的距离是5；
②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值．
【答案】(1)，，9
(2)7
(3)①2.5或7.5；②或
【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，．
（2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可．
（3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可．
②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵b是最大的负整数，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
故答案为：，，9．
（2）解：设点B与数x表示的点对应，则
，
解得，
故答案为：7．
（3）解：①情况1：P点在 B点右侧时，
，
解得；
情况2：P点在 B点左侧时，
，
解得．
综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5．
②由题意得，
整理得，
∴或，
解得或．
∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或．
【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键．
55．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100．
(1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数．
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？
【答案】(1)40
(2)52
(3)20秒或40秒
【分析】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间．
（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数；
（3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，分类讨论：
①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，逐项求解即可．
【详解】（1）解：M点对应的数是；
（2）由数轴，得A、B两点距离为，
∴两只蚂蚁相遇时间为秒，
∴点C对应的数为．
（3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，依题意，得
①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，
，
解得，
②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，
，
．
答：当它们运动20秒或40秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度．
56．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
(1)【知识呈现】
数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____．
(2)【定义】
一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示：
【初步理解】
①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____．
【深入探究】
②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【归纳总结】
③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度．
【答案】(1)1；6；3
(2)①2，8，10；②不变，；③线段的长度为
【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点间的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据点与点表示的数互为相反数，可得点B，根据点与点的中点为点表示的数，可得点D，进而即可得解；
（2）①根据跳跃点的定义可知M和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度；②由题易知P是和的中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可；③同②思路即可得解．
【详解】（1）解：∵点与点表示的数互为相反数，
∴点B表示的数是1，
根据题意得，点与点之间的距离，
∵点与点的中点为点表示的数，
∴点D表示的数是，
故答案为：1，6，3；
（2）解：①由题可知M和关于原点对称，
∴表示的数是2，
∵点P表示的数为5，
∴，
∵，
∴表示的数是8，
∴线段的长度为，
故答案为：2，8，10；
②的值不变，，理由如下：
依题意知点表示的数是，
若，如图所示，
∵点与点位于点P的两侧，且，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
∴；
若，如图所示，
∵点与点位于点P的两侧，且，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
∴，
综上所述：；
③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点表示的数是，
∵点与点位于点P的两侧，且，即点P是点和点之间的中点，
∵点P表示的数是p，
∴点表示的数是，
∴．
57．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是．
(1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______；
(2)如果，求出点P表示的数以及b的值；
(3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P表示的数是2026，的值是2023
(3)，定值为
【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算；
（2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解；
（3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件．
【详解】（1）∵点P表示数2，
∴，，
对称数组是；
（2）∵，
∴点P表示的数，
∴；
（3）秒后，点P表示的数为，
由，得，
点Q表示的数为，由，
得，
假设存在常数k，使得为定值：
，
要使为定值，则t的系数为0，即，
解得，
此时定值为．
【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键．
58．【知识引导】求正方向向右的数轴上两个点之间的距离，具体方法是：右边点表示的数减去左边点表示的数，这个差就表示这两个点之间的距离．例如：若点M表示的数为2，点N表示的数为，则点M、N之间的距离为．
【实际应用】如图，在数轴上，从左到右的点A、O、B表示的数分别是、0、6．
(1)点A到原点O的距离是 ，A、B两点之间的距离是 ；
(2)有一动点P从点A出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点P的运动情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位），求第4次运动后点P表示的数？此时点P与点A的距离是多少？
第1次
第2次
第3次
第4次
(3)若数轴上存在点C，与点O、B都不重合，当C、O、B这三个点中，其中一个点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”．请直接写出符合“和谐三点”的点C表示的数．
【答案】(1)3，9
(2)点P表示的数是，点P与点A之间的距离是7
(3)点C表示的数为3或或12
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，利用数轴上的点表示有理数，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解；
（2）先求出在第4次运动后点P表示的数，再根据两点间的距离公式计算即可得解；
（3）分三种情况，结合两点间的距离公式计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：点A到原点O的距离是，A、B两点之间的距离是；
（2）解：第1次运动后点P表示的数是：，
第2次运动后点P表示的数是：，
第3次运动后点P表示的数是：，
第4次运动后点P表示的数是：，
所以在第4次运动后点P表示的数是，
此时点P与点A的距离为：．
（3）解：当点到点和点的距离相等时，此时点为点和点的中点，点表示的数为；
当点到点和点的距离相等时，此时点为点和点的中点，点表示的数为；
当点到点和点的距离相等时，此时点为点和点的中点，点表示的数为；
综上所述，点C表示的数为3或或12．
59．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．
【问题解决】
（1）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离__________．
（2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么________．
（3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________．
【关联运用】
（4）点､､是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点､､开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5
【分析】（1）根据，计算求解即可；
（2）由题意知，或，计算求解即可；
（3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解；
（4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：5；
（2）解：由题意知，或，
故答案为：或9；
（3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，
∵，
∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ，
∴此时正整数的值为 1 或 2 ；
故答案为：3，1或2．
（4）解：不变，理由如下：
由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，
，
由题意知，，
∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减是解题的关键．
【题型 12】新定义阅读题
60．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．
例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20
（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？
（2）探索发现：
计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ．
由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）
（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．
【答案】（1）56种；（2）3，1，4，10，5，15；Ckn+∁nk+1＝Cn+1k+1；（3）165
【分析】（1）根据材料给出组合的方法直接计算即可；
（2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得∵+=，+＝，由此规律可得+=， ；
（3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可．
【详解】解：（1）根据公式＝＝56，
答：共有56种选法．
（2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15，
∵+＝3+1＝4=，
+＝10+5=15=，
∴+=，
故答案为3；1；4；10；5；15；
（3）++++…+，
＝+++…+，
＝++…+，
＝，
＝，
＝165．
【点睛】本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算，掌握新定义的计算方法与性质，有理数的乘除法混合计算法则是解题关键．
61．【发现问题】
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．我们知道，超市里的收费是扫码枪是通过扫描商品上的条形码来收款的，如图①．售货员通过输入条形码上的数字也可以获取商品的信息．爱思考的小丽发现条形码上的数字存在某种运算关系．
【提出问题】
①超市商品条形码大多是13位数字组成，它们代表什么含义？
②这些数字之间存在怎样的运算关系？
【查阅资料】
课本第9页阅读部分曾对商品条形码进行了简单介绍，通过查找资料，明晰：商品条形码由国际商品编码协会分配的，我国商品条形码国家代码范围是690-699，其中690-693为常见使用范围，696-699尚未启用．通过商品条形码的前缀码可快速识别商品的编码组织归属，助力全球供应链中的商品追溯与管理．商品的条形码共有13位数字，前12位数字表示“国家代码、厂商代码和产品代码”相关信息，第13位数字为“校验码”．其中校验码是用来校验条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．具体算法如下（以图②为例）：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和：即；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和：即；
步骤3：计算与的和，即；
步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
步骤5：计算与的差就是校验码，即．
【解决问题】
(1)如图③，某条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，用只含有的代数式表示_____．当校验码时，_____；
(2)若某甲商品的条形码为692015246102Y，则校验码的值是_____；
(3)若乙商品条形码数字为6903244672483，利用上述检验码的算法，判断此条形码的真伪，并说明理由；
(4)如图④，某条形码中被污染的两个数字的和为13，请直接写出被污染的两个数字中右边的数字是_____；
(5)若小丽在超市买到我国国产商品条形码（条形码在常见使用范围）如图⑤，条形码中有两位数字被墨水污染了，设这两位数字分别为，．请分别求出，的值．
【答案】(1)；
(2)0
(3)
条形码是假的，理由如下：
由题意得，；
；
；
是大于或等于且为10的整数倍的最小数，
，
校验码，
条形码是假的；
(4)4或9
(5)①当，；②当，；③当，；④当，
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和有理数的混合运算，理解题意是解题的关键．
（1）根据已知算法，求出p和q，进而即可表示出，当校验码时，可得，由是大于或等于且为10的整数倍的最小数，可知，进而可求出a的值；
（2）根据已知算法求解即可；
（3）根据已知算法求出校验码，即可得出结论；
（4）设左边污染的数字为e，右边污染的数字为f，则，根据已知算法得出，由校验码为5，可知，再根据是大于或等于且为10的整数倍的最小数，可推出n有两种情况，或110，分情况求解即可；
（5）根据已知算法表示出，由校验码为2，得出，再根据是大于或等于且为10的整数倍的最小数，可得n有两种情况，或170，分情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
；
；
当校验码时，，
则，
是大于或等于且为10的整数倍的最小数，
，
即．
，
故答案为：；；
（2）由题意得，；
；
；
是大于或等于且为10的整数倍的最小数，
，
校验码，
故答案为：0．
（3）略；
（4）设左边污染的数字为e，右边污染的数字为f，则，
由题意得，；
；
；
校验码为5，
，
则，
是大于或等于且为10的整数倍的最小数，
或110，
当时，．
解得，
当时，．
解得，
故答案为：4或9；
（5）由题意得，；
；
；
校验码为2，
，
则，
是大于或等于且为10的整数倍的最小数，
或170，
当时，，
当，；当，；
当时，，
我国商品条形码国家代码范围是690-699，其中690-693为常见使用范围，
当，；当，；
综上所述：当，；当，；当，；当，．
62．【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等．
【问题解决】
（1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整；
（2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方；
【拓展思考】
（3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值．
【答案】
（1）三阶幻方补充如图2：
（2）补全的三阶幻方如图3所示：
（3）或111
【分析】本题考查了有理数的四则运算，注重考查学生的思维能力和运算能力．
（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都为15，进而求解即可；
（2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：，进而求解即可；
（3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：，进而代入求解即可．
【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等，
∴对角线上的数字之和为：，
第一行第三列的数为：，
第一行第二列的数为：，
第三行第一列的数为：，
第三行第二列数为：，
第二行第一列数字为：，
（2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：，
第一行第一列的数为：，
第三行第一列的数为：，
第二行第二列的数为：，
第二行第三列的数为：，
第三行第三列的数为：；
（3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：，
∴，
解得，
又∵，且数字不重复，
∴或，
当时，
∴；
当时，
∴；
综上，的值为或111．
【题型 13】代数式化简 + 整体代换应用
63．综合与实践
【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示与的两点之间的距离，所以；
【问题初探】阅读以下材料，并回答问题：
如图，把一根长度为 的木棒放在一条数轴（单位长度为 ）上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，再向左移动，当点移动到处时运动停止，点与点重合，此时点对应的数为．
（1）由此可得，__________，的值为__________．
（2）图中点所表示的数是__________，点所表示的数是__________．
（3）若木棒以每秒个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？
【拓展应用】
（4）借助上述方法解决下列问题：
一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经是岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路．
【答案】（1）， ；
（2），；
（3）秒钟；
（4）点表示小华现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄，
借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当点移动到点时此时点所对应的数为，
奶奶比小华大（岁．
，，
点对应的数为，点对应的数为．
【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论进行应用是解本题的关键．
（1）根据数轴上两点间距离直接求解；
（2）根据数轴上两点的几何意义直接求解；
（3）根据点的运动轨迹，得到点的运动路程，再利用时间路程速度，求解即可；
（4）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可．
【详解】（1）点到点的距离、点到点的距离、点到的距离相等，都等于木棒的长度，
，的值为，
故答案为：，；
（2），点所表示的数是，
点所表示的数是，点所表示的数是，
故答案为：，；
（3）由题可知，点的运动路程为，
运动时间为，
故共需秒钟；
（4）略
64．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．
问题提出：计算．（其中n都通正整数，）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：__________．
类比探究：计算．（仿照上述方法，画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
拓展思考：计算___________．
【答案】探究问题：
类比探究：
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式∶ ，
两边同除以2，得．
拓展思考：
【分析】本题主要考查了含乘法的有理数混合运算，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
探究问题：根据正方形的面积为1减去最后空白部分的面积即可得出答案．
类比探究：根据题意得出探究过程，进而计算即可．
拓展思考：仿照以上例子代入计算即可．
【详解】解：探究问题：根据第n次分割图可得等式：
类比探究：略
拓展思考：根据以上可知：当第1次分割，把正方形的面积m等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续m等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续m等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后m等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
∴．
65．观察下列式子：
，，，，，
(1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________；
(2)请写出第个式子：___________；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据题目中的等式，可以写出第个式子即可；
（）根据题目中的等式的特点，可以写出第个式子；
（）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值．
本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键．
【详解】（1）解：依照上述规律，第个式子为，
故答案为：；
（2）解：∵第式子为，
第式子为，
第式子为，
第式子为，
，
∴第个式子为，
故答案为：；
（3）解：原式
．
66．观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得．
(1)猜想并写出：＝ ．
(2)已知|ab﹣2|与（b﹣1）2互为相反数，试求：的值．
(3)探究并计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用题中的等式出现的规律和分式的运算得到；
（2）先利用相反数和非负数的性质得到，，则，然后根据（1）中的结论把每个分式化为两个分数的差，最后进行加减运算即可；
（3）每个分数题得到原式，然后与（2）中的计算方法一样．
【详解】（1）；
故答案为；
（2）与互为相反数，
，
，，解得，，
；
（3）原式
．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
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