专题01 平均数、中位数、众数十大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

专题01 平均数、中位数、众数十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一组数据的平均数 题型02 已知平均数求未知数据的值 题型03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型04 求加权平均数 题型05 运用加权平均数做决策 题型06 求中位数 题型07 求众数 题型08 求中位数和众数 题型09 利用众数或中位数求未知数据的值 题型10平均数、中位数、众数与统计图的综合应用 ▌题型01 求一组数据的平均数 对于 n 个数据 x₁，x₂，…，xₙ，它们的算术平均数（简称平均数）为： x̄ ＝ (x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ xₙ) ÷ n 即：平均数 ＝ 全部数据之和 ÷ 数据的个数。平均数反映一组数据的平均水平，是最常用的集中趋势统计量。 【典例1-1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知一组数据：，，，这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（     ） A．9.51分 B．9.5分 C．9.6分 D．9.625分 【变式1-1】（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学的身高分别是、、、，如果把他们的平均身高记为，高于平均身高的部分记为正，低于平均身高的部分记为负，那么甲同学的身高记为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是88，92，88，96，92，84，91，94，85（单位：分），则这组数据的平均数是_______． 【变式1-3】利川齐岳山风力发电场某日对5台发电机组的发电量进行统计，以2000度（千瓦时）为标准，超过标准的部分记为正数，不足标准的部分记为负数，记录如下表： 机组编号 1 2 3 4 5 与标准的差/度 (1)发电量最多的机组比发电量最少的机组多发电多少度？ (2)求这5台机组该日的平均发电量． ▌题型02 已知平均数求未知数据的值 逆用平均数公式：由 x̄ ＝ (x₁＋x₂＋…＋xₙ) ÷ n 可得 x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ xₙ ＝ n·x̄ 即：数据总和 ＝ 平均数 × 数据个数。于是，未知数据 ＝ 总和 − 已知各数据之和。 【典例2】已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-2】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则______． 【变式1-3】某班六个兴趣小组的人数如下：．已知这组数据的平均数是5，则x的值为______． ▌题型03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 若一组数据 x₁，x₂，…，xₙ 的平均数为 x̄，则： ① 每个数据都加上（或减去）同一个数 k，新数据平均数为 x̄＋k（或 x̄−k）； ② 每个数据都乘同一个数 k，新数据平均数为 k·x̄； ③ 每个数据先乘 k 再加（减）b，新数据平均数为 k·x̄＋b； ④ 两组合并：甲组 n₁ 个数据平均数为 a，乙组 n₂ 个数据平均数为 b，合并后的平均数为 (n₁a＋n₂b) ÷ (n₁＋n₂)。 【典例3】数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【变式1-1】（25-26七年级下·北京·课后作业）已知一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是（　　） A．5 B．20 C．15 D．25 【变式1-2】已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 【变式1-3】已知：x1，x2，x3...x10的平均数是a,x11，x12，x13...x50的平均数是b,则x1，x2，x3...x50的平均数 是（        ） A．a＋b B． C． D． ▌题型04 求加权平均数 如果 n 个数 x₁，x₂，…，xₙ 对应的“权”分别为 w₁，w₂，…，wₙ，则加权平均数为： x̄ ＝ (x₁w₁ ＋ x₂w₂ ＋ … ＋ xₙwₙ) ÷ (w₁ ＋ w₂ ＋ … ＋ wₙ) 其中“权”表示各数据的重要程度，常见形式有：出现次数（频数）、所占百分比、比例（如 2∶3∶5）。当各权相等时，加权平均数就等于算术平均数。 【典例4-1】如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【典例4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某电视节目主持人大赛要进行专业素养、综合素质、才艺展示和临场应变能力四项测试，各项测试均采用10分制．前两名选手的各项测试成绩如下表： 测试项目 专业素养 综合素质 才艺展示 临场应变能力 测试成绩/分 甲 乙 (1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次，那么名次是怎样的？ (2)如果规定按专业素养、综合素质、才艺展示和临场应变能力四项测试的成绩各占，，，计算总成绩，那么名次有什么变化？ 【变式1-1】某中学规定学生的学期体育成绩满分为分，其中早锻炼及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．张伟的三项成绩（百分制）依次是，，，他这学期的体育成绩是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】某超市销售A、B、C、D四种矿泉水，它们的单价依次是6元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-3】2026年10月1日是中华人民共和国成立77周年，为开展爱国主义教育，我校举办“礼赞祖国”国庆诗朗诵比赛，评分主要从作品选材、朗诵表达、情感感染力三个维度打分，最终成绩中作品选材占，朗诵表达占，情感感染力占．九年级（1）班和（2）班的成绩如下表．（本题满分8分） 参赛班级 作品选材 朗诵表达 情感感染力 九年级（1）班 70 80 88 九年级（2）班 80 75 x (1)计算九年级（1）班的最终成绩； (2)如果九年级（2）班要在最终成绩上超过九年级（1）班，那么他们的情感感染力得分x应该超过多少分？ ▌题型05 运用加权平均数做决策 运用加权平均数可以对多个对象（人、方案、班级等）的“综合水平”进行比较：分别算出各对象的加权平均数，再按“数值越大越优（或越小越优）”的原则作出选择。此类题的关键是读懂各项成绩及其权重的对应关系。 【典例5-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 【典例5-2】（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【变式1-1】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）为传承中华优秀传统文化，某校开展国学文化宣讲使者选拔活动．评委从宣讲的内容、表达、效果三个方面为选手打分（各项满分均为100分）．现从进入决赛的甲、乙两名选手中确定一人胜出，胜出者定为本校的国学文化宣讲使者，两人最终的单项成绩如下： 选手 内容 表达 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)若以两名选手的三项的平均成绩作为最终成绩，能否以此确定两人的名次？说明理由； (2)若评委将“内容”“表达”“效果”按计算两名选手的平均成绩，通过计算说明哪一名选手会胜出． 【变式1-2】“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【变式1-3】某足球特色学校举行罚点球测试（每人罚点球10次，罚中1个点球记1分），测试结束后，随机抽取20名学生的成绩作为样本进行整理，部分信息如下： 20名学生罚点球成绩统计表 罚点球成绩/分 5 6 7 8 9 10 人数/人 2 3 6 3 2 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____________； (2)样本数据的中位数是_____________分，平均数是_____________分； (3)该校2000名学生全部参加了此项测试，规定8分及以上为优秀，根据样本数据估计参加此项测试成绩为优秀的学生人数． ▌题型06 求中位数 中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 · 数据个数 n 为奇数：中位数是第 (n＋1)÷2 个数据； · 数据个数 n 为偶数：中位数是第 n÷2 个与第 n÷2＋1 个数据的平均数。 中位数只与数据的排列位置有关，一般不受极端值的影响。 【典例6】汝城深耕红色教育，某校举办红色经典诵读大赛，某组选手现场得分如下（单位：分）：8，8，7，9，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（     ） A．6 B．8 C．7 D．9 【变式1-1】已知一组数据：1，2，9，5，3．该组数据的中位数是（     ） A．9 B．5 C．3 D．2 【变式1-2】广州国际龙舟邀请赛是一项历史悠久且深受广大市民喜爱的传统赛事．某龙舟代表队在“人龙舟米直道竞速”项目的六次训练成绩（单位：秒）分别是：，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（    ）． A．2 B．4 C．4.5 D．5 ▌题型07 求众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 · 一组数据可以有多个众数：当两个或两个以上数据出现的次数并列最多时，它们都是众数； · 一组数据也可以没有众数：当所有数据出现的次数都相同时，这组数据没有众数。 众数反映一组数据中“出现最多”的集中点，不受极端值和排列顺序的影响。 【典例7】为践行绿色低碳理念，选择电瓶车出行的市民越来越多．为加强市民安全意识，交警同志在某个路口对是否佩戴安全头盔进行一周连续检查，每天未佩戴安全头盔人数分别是、、、、、、，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式1-2】（2026·黑龙江大庆·中考真题）已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为______． 【变式1-3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）牡丹江市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是______． ▌题型08 求中位数和众数 同时求一组数据的中位数与众数时，两者方法不同、互不干扰： · 中位数：先排序，再看个数奇偶，取中间一个或中间两个的平均数； · 众数：统计各数据出现次数，取出现次数最多的数据。 中位数与众数可能相同，也可能不同，分别独立求解即可。 【典例8】在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．5和5 B．3和5 C．3和7 D．3和10 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，表格是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（     ） A．0.3，0.3 B．0.4，0.3 C．0.3，0.6 D．0.35，0.3 【变式1-2】某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（　　） A．5，5 B．6，5 C．6，5和6 D．6，5和7 ▌题型09 利用众数或中位数求未知数据的值 已知一组数据的中位数或众数，反求其中未知数据 x 的值： · 由中位数求 x：先排已知数据，再根据“x 应处于的位置”满足中位数定义来定 x，常需分类讨论 x 所处的位置； · 由众数求 x：让某个数据出现的次数达到“最多”，从而确定 x 的取值（或取值范围）。 求得结果后必须代回原数据检验，确保中位数/众数确实符合条件。 【典例9】若一组数据：11，13，7，9，x，8，9，11，唯一的众数是11，则这组数据的中位数是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1-1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）若一组数据“4，4，4，3，5，5，x，6”有唯一的众数，则x的值不可能为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】一组数1，5，6，2，3，x的中位数是4，则x的最小值是_____． ▌题型10 平均数、中位数、众数与统计图的综合应用 在统计图（条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图）背景下综合求平均数、中位数、众数，关键是“读懂图、理清频数”： · 条形图、频数分布直方图：直条高度（或标数）表示该组数据的频数（出现次数）； · 折线图：折线上的点对应各数据的值； · 扇形图：各部分占整体的百分比，结合总数可求出各部分频数。 把图形信息还原成“数据—频数”表后，即可用加权平均数求平均数、排序后求中位数、找频数最大者求众数，并回答实际问题。 【典例10-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下面是小龙上学期的数学测试成绩记录表（满分100分）： 测试 平时测试 期中测试 期末测试 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 成绩/分 根据表格提供的信息，解答下列问题： (1)小龙上学期八次测试成绩的众数是______分，中位数是______分； (2)若把六次平时测试成绩的平均分作为平时成绩，按照学校规定，学期综合成绩的权重如图所示，求小龙上学期的综合成绩． 【典例10-2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）为深入落实“书香河北”全民阅读工程部署，并了解本校学生的课外阅读习惯，某校随机调查了该校部分学生每天阅读课外书籍的时长（单位：小时），根据调查结果，绘制出如下不完整的条形统计图与扇形统计图： (1)求本次接受调查的学生人数，补全条形统计图； (2)求所抽查的学生中，每天阅读时间的众数和中位数； (3)求样本中每天阅读课外书籍的平均时间； (4)若该校共有1500名学生，估计该校每天阅读课外书籍时间超过1小时的学生人数． 【变式1-1】为了解学生使用绘画工具进行创意作图的情况，从七年级、八年级各随机抽取名学生，记录每位学生完成一幅完整创意作品的实际操作用时（时长不足一分钟按一分钟计）．整理数据分为四组（A组：分钟，B组：分钟，C组：分钟，D组：分钟），并将数据进行分析，下面是部分信息： 抽取的七年级名学生用时数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的八年级名学生用时在B组的数据：，，，，，，． 七．八年级所抽取的学生用时统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取的学生用时扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)结合表格中的统计量，比较七年级、八年级学生使用绘画的效率哪个更高（用时越短代表操作效率越高），请写出一条理由； (3)七年级共有人，八年级共有人，请估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有多少人？ 【变式1-2】（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）重庆市某校组织全校学生参加了“筑牢舌尖防线”的食品安全知识科普竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分为三组：A．；B．；C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：74，76，79，83，84，86，86，87，91，94． 九年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：82，82，87． 八、九年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生科普知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级有1000名学生、九年级有900名学生参加了此次科普竞赛活动，请估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀（）的学生人数共是多少？ 【变式1-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）群力经纬中学为了增强学生勤俭节约的意识，随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额（单位：元），根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： (1)求本次接受调查的学生人数为多少人？ (2)图1中m的值为________；这组学生零花钱数据的中位数是________；在图2中补全条形统计图； (3)群力经纬中学共有约2000名学生，请估算全校学生一周的零花钱共多少元？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平均数、中位数、众数十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一组数据的平均数 题型02 已知平均数求未知数据的值 题型03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型04 求加权平均数 题型05 运用加权平均数做决策 题型06 求中位数 题型07 求众数 题型08 求中位数和众数 题型09 利用众数或中位数求未知数据的值 题型10平均数、中位数、众数与统计图的综合应用 ▌题型01 求一组数据的平均数 【典例1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】B 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】(1)360度 (2)2040度 【分析】（1）先根据正负数的意义求得发电量最多和最少的发电量，然后作差即可； （2）先求得5台机组的偏差之和，再求得平均偏差，然后与标准相加即可． 【详解】（1）解：发电量最多为（度），最少为（度）， 相差（度）． （2）解：5台机组的偏差之和为（度）， 平均偏差为（度）， 故平均发电量为（度）． ▌题型02 已知平均数求未知数据的值 【典例2】【答案】C 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】 ▌题型03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例3】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】D ▌题型04 求加权平均数 【典例4-1】【答案】C 【典例4-2】 【答案】(1)乙第一名，甲第二名 (2)甲的加权总成绩为分，乙的加权总成绩为分，甲第一名，乙第二名，两人名次与（1）相比互换． 【分析】（1）计算甲、乙的算术平均数，比较大小，即可确定名次； （2）根据给定权重计算两人加权总成绩，比较后即可得出名次变化． 【详解】（1）解：甲的算术平均成绩：（分）， 乙的算术平均成绩：（分）， ∵， ∴按算术平均数排名，乙第一名，甲第二名． （2）解：甲的加权总成绩：（分）， 乙的加权总成绩：（分）， ∵， ∴按加权成绩排名，甲第一名，乙第二名，与（1）的名次相比，甲、乙名次互换． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】(1)分 (2)分 【分析】（1）根据加权平均数的公式解答即可； （2）根据加权平均数以及2班要在最终成绩上超过1班列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：九年级（1）班的最终成绩为分； （2）解：根据题意得：， 解得：， 即它们的情感感染力得分x应该超过90分． ▌题型05 运用加权平均数做决策 【典例5-1】 【答案】(1)丙是优胜者； (2)乙是优胜者； (3)示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为，此时乙是优胜者． 【分析】（1）分别计算出三名候选人三项打分的算术平均数，比较后即可得到答案； （2）分别计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案； （3）根据题意给三项得分分配适当的权重，计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：甲的成绩的算术平均数（分）， 乙的成绩的算术平均数（分）， 丙的成绩的算术平均数（分）， ∵， ∴如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么丙是优胜者； （2）解：甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者； （3）解：示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为， 甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者． 【典例5-2】 【答案】(1) 解：∵各项成绩同等重要， ∴甲班的平均成绩： 乙班的平均成绩：， ∵， ∴从他们的平均成绩看，甲班的成绩更好． (2)解：甲班的最终成绩为：， 乙班的最终成绩为：， ∵， ∴从他们的最终成绩看，乙班的成绩更好． 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可； （2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】 【答案】(1)解：不能以此确定两人的名次，理由如下： 甲选手的三项的平均成绩为（分）， 乙选手的三项的平均成绩为（分）， ∴两名选手的三项的平均成绩一样， ∴不能以此确定两人的名次； (2)甲选手会胜出 【分析】（1）分别计算两名选手的三项的平均成绩，然后比较判断即可； （2）分别按计算两名选手的平均成绩，然后比较判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：甲选手的加权平均成绩为（分）， 乙选手的加权平均成绩为（分）， ∵， ∴甲选手会胜出． 【变式1-2】 【答案】(1)，，， (2)解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下， ∵七年级的方差为，八年级的方差为，且， ∴七年级的方差比八年级的方差小， ∴七年级打分的波动小，即七年级学生对“校园餐”的满意度更为一致． 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）根据七年级的方差小于八年级的方差即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； ； 把八年级10名学生的打分按照从低到高的顺序排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， ∴八年级10名学生的打分的中位数为，即； ∵七年级10名学生的打分中打8分的人数最多， ∴七年级10名学生的打分的众数为8，即； （2）略 【变式1-3】 【答案】(1)4 (2)7；7.5 (3)参加此项测试成绩为优秀的学生人数是900人 【分析】（1）用抽取的总人数减去得分为分的人数即可求解； （2）根据中位数和平均数的定义，结合统计表即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，． （2）解：由表格可得，数据按从小到大排列后，第10个和第11个数据均为7， ∴中位数， 平均数． （3）解：（人）． ▌题型06 求中位数 【典例6】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】B ▌题型07 求众数 【典例7】【答案】C 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】 ▌题型08 求中位数和众数 【典例8】【答案】A 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D ▌题型09 利用众数或中位数求未知数据的值 【典例9】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】5 ▌题型10 平均数、中位数、众数与统计图的综合应用 【典例10-1】 【答案】(1)； (2)分 【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算即可； （2）利用加权平均数进行计算即可． 【详解】（1）解：∵小龙上学期八次测试成绩中，分出现次，出现的次数最多， ∴众数为分， 将小龙上学期八次测试成绩从小到大重新排列：，，，，，，，，其中第个数为，第个数为， ∴中位数为（分）； （2）解：（分）， ∴小龙上学期的综合成绩为分． 【典例10-2】 【答案】(1)总人数为人， 补全条形统计图如图： (2)众数是；中位数是 (3) (4)人 【分析】（1）先根据0.9h的人数和占比求出调查总人数，再依次算出各组人数； （2）按定义求众数、中位数； （3）利用加权平均数公式求平均时长； （4）用样本占比估算全校人数即可． 【详解】（1）解：由条形图知阅读时长有人，扇形图对应占比， 总人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 补全条形统计图：在横坐标对应位置画高为的长方形及在横坐标对应位置画高为的长方形． （2）解：众数：出现次数最多的数据，共人，人数最多， ∴众数是； 一共个数据，中位数是排序后第个数据的平均数， 从小到大累加：和共计人，再加共计人， 则第个数都落在这一组， ∴中位数是． （3）解： ． （4）解：超过1小时：时长为、、、， 样本中超过1小时人数:（人），占比：， 全校1500人，估计人数：（人）． 【变式1-1】 【答案】(1)8，8，10 (2)八年级效率更高．理由：平均数相同（都是9.2），八年级中位数8，小于七年级中位数8.5，八年级的众数为7，小于七年级的8，说明八年级学生使用绘画的效率更高． (3)估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有745人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出a，b的结果；求出组的数据个数，即可求出的值； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用1200乘以七年级所有学生中使用绘画用时不超过7分钟的学生的人数所占的比例，用1100乘以八年级所有学生中使用绘画用时不超过7分钟的学生的人数所占的比例，再求和即可． 【详解】（1）解：七年级数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 众数是出现次数最多的数，8出现4次，次数最多，所以； 八年级A组数据的个数为：， B组7个数据为：，，，，，，， C组数据的个数为：， D组数据的个数为：， 中位数是第10、11个数的平均数，即； ∵， ∴； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有745人． 【变式1-2】 【答案】(1)86，82，30 (2)八年级学生科普知识竞赛的成绩较好，因为八年级科普知识竞赛成绩的众数大于九年级科普知识竞赛成绩的众数；（理由不唯一，合理即可） (3)470 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求出，用九年级竞赛成绩在C组的人数除以九年级总人数求出； （2）根据众数或中位数进行比较，合理即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：八年级竞赛成绩中86分出现次数最多，所以； 九年级在A组的数据有（个）， 则第5和第6 个数据的平均数为（分） 所以； 九年级在C组的数据有（个）， 则， 所以； （2）略； （3）解：（名）， 答：估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀（）的学生人数共470名． 【变式1-3】 【答案】(1)人 (2)，元， 补全条形统计图如下， (3)元 【分析】（1）利用部分的实际数据除以占比即可得出总数； （2）根据实际数据和总数求出部分占比，利用中位数的定义求出中位数，求出部分数据补全条形统计图即可； （3）求出样本的加权平均数，然后根据样本估计总体即可． 【详解】（1）解：本次接受调查的学生人数为（人）； （2）解：∵， ∴； 该组数据的中位数是排序后的第位数和第位数的平均数， 第位数和第位数都为， ∴该组数据的中位数为（元）； 元的人数为（人）， 补全条形统计图如下， （3）解：（元）， （元）， 答：全校学生一周的零花钱共元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平均数、中位数、众数十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一组数据的平均数 题型02 已知平均数求未知数据的值 题型03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型04 求加权平均数 题型05 运用加权平均数做决策 题型06 求中位数 题型07 求众数 题型08 求中位数和众数 题型09 利用众数或中位数求未知数据的值 题型10平均数、中位数、众数与统计图的综合应用 ▌题型01 求一组数据的平均数 对于 n 个数据 x₁，x₂，…，xₙ，它们的算术平均数（简称平均数）为： x̄ ＝ (x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ xₙ) ÷ n 即：平均数 ＝ 全部数据之和 ÷ 数据的个数。平均数反映一组数据的平均水平，是最常用的集中趋势统计量。 【典例1-1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知一组数据：，，，这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：这组数据的平均数为． 【变式1-2】某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（     ） A．9.51分 B．9.5分 C．9.6分 D．9.625分 【答案】B 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，然后再求平均数即可． 【详解】解：由题意知，最高分和最低分为9.9，9.2， 则余下的数据的平均数为（分） 【变式1-1】（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学的身高分别是、、、，如果把他们的平均身高记为，高于平均身高的部分记为正，低于平均身高的部分记为负，那么甲同学的身高记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算四位同学的平均身高，再按照规则计算甲的身高记录值即可． 【详解】解：四人平均身高为 ， ∴甲同学的身高记为． 【变式1-2】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是88，92，88，96，92，84，91，94，85（单位：分），则这组数据的平均数是_______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，先计算所有数据的总和，再除以数据的个数即可得到结果． 【详解】解：先计算这组数据的总和：， 共有个数据，因此平均数为． 【变式1-3】利川齐岳山风力发电场某日对5台发电机组的发电量进行统计，以2000度（千瓦时）为标准，超过标准的部分记为正数，不足标准的部分记为负数，记录如下表： 机组编号 1 2 3 4 5 与标准的差/度 (1)发电量最多的机组比发电量最少的机组多发电多少度？ (2)求这5台机组该日的平均发电量． 【答案】(1)360度 (2)2040度 【分析】（1）先根据正负数的意义求得发电量最多和最少的发电量，然后作差即可； （2）先求得5台机组的偏差之和，再求得平均偏差，然后与标准相加即可． 【详解】（1）解：发电量最多为（度），最少为（度）， 相差（度）． （2）解：5台机组的偏差之和为（度）， 平均偏差为（度）， 故平均发电量为（度）． ▌题型02 已知平均数求未知数据的值 逆用平均数公式：由 x̄ ＝ (x₁＋x₂＋…＋xₙ) ÷ n 可得 x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ xₙ ＝ n·x̄ 即：数据总和 ＝ 平均数 × 数据个数。于是，未知数据 ＝ 总和 − 已知各数据之和。 【典例2】已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均数的定义建立方程求解即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数是， ∴． ∴， ∴． 【变式1-1】已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据平均数的定义，总和等于平均数乘以数据个数，从而列出方程求解x． 本题考查平均数的计算，直接利用定义即可求解． 【详解】解：∵ 数据个数为6，平均数为5， ∴ 总和． 又∵ 已知数据中除x外其余各项之和为， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据4，5，6，a，b的平均数为5， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】某班六个兴趣小组的人数如下：．已知这组数据的平均数是5，则x的值为______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，这组数据的总和除以这组数据的个数即得5，列方程求解的值． 【详解】解： 这组数据的平均数是，数据个数为， 根据平均数的定义可得 ， 等式两边同乘得 ， 移项解得 ． 故答案为． ▌题型03 利用已知的平均数求相关数据的平均数 若一组数据 x₁，x₂，…，xₙ 的平均数为 x̄，则： ① 每个数据都加上（或减去）同一个数 k，新数据平均数为 x̄＋k（或 x̄−k）； ② 每个数据都乘同一个数 k，新数据平均数为 k·x̄； ③ 每个数据先乘 k 再加（减）b，新数据平均数为 k·x̄＋b； ④ 两组合并：甲组 n₁ 个数据平均数为 a，乙组 n₂ 个数据平均数为 b，合并后的平均数为 (n₁a＋n₂b) ÷ (n₁＋n₂)。 【典例3】数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【答案】A 【分析】此题考查了平均数的定义，首先根据题意得到，求出，然后根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵，，的平均值是333， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式1-1】（25-26七年级下·北京·课后作业）已知一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是（　　） A．5 B．20 C．15 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，解答本题的关键要明确：若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数． 根据的平均数为5得到，再根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数为5， ∴， ∴ ∴数据的平均数为20， 故选：B． 【变式1-2】已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数的计算．根据平均数的计算公式即可求解． 【详解】解：∵，，，，的平均数是4， ∴， ∴， ∴，，，，的平均数是， 故选：C． 【变式1-3】已知：x1，x2，x3...x10的平均数是a,x11，x12，x13...x50的平均数是b,则x1，x2，x3...x50的平均数 是（        ） A．a＋b B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数及加权平均数的定义解答即可. 【详解】∵x1，x2，x3...x10的平均数是a，x11，x12，x13...x50的平均数是b, ∴x1，x2，x3...x50的平均数是：. 故选D. 【点睛】本题考查了平均数及加权平均数的求法，熟练运用平均数及加权平均数的定义求解是解决问题的关键． ▌题型04 求加权平均数 如果 n 个数 x₁，x₂，…，xₙ 对应的“权”分别为 w₁，w₂，…，wₙ，则加权平均数为： x̄ ＝ (x₁w₁ ＋ x₂w₂ ＋ … ＋ xₙwₙ) ÷ (w₁ ＋ w₂ ＋ … ＋ wₙ) 其中“权”表示各数据的重要程度，常见形式有：出现次数（频数）、所占百分比、比例（如 2∶3∶5）。当各权相等时，加权平均数就等于算术平均数。 【典例4-1】如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【答案】C 【分析】根据雷达图读取五项能力的具体得分，结合给定的权重比例，利用加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解： 分， ∴他的综合得分为8分． 【典例4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某电视节目主持人大赛要进行专业素养、综合素质、才艺展示和临场应变能力四项测试，各项测试均采用10分制．前两名选手的各项测试成绩如下表： 测试项目 专业素养 综合素质 才艺展示 临场应变能力 测试成绩/分 甲 乙 (1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次，那么名次是怎样的？ (2)如果规定按专业素养、综合素质、才艺展示和临场应变能力四项测试的成绩各占，，，计算总成绩，那么名次有什么变化？ 【答案】(1)乙第一名，甲第二名 (2)甲的加权总成绩为分，乙的加权总成绩为分，甲第一名，乙第二名，两人名次与（1）相比互换． 【分析】（1）计算甲、乙的算术平均数，比较大小，即可确定名次； （2）根据给定权重计算两人加权总成绩，比较后即可得出名次变化． 【详解】（1）解：甲的算术平均成绩：（分）， 乙的算术平均成绩：（分）， ∵， ∴按算术平均数排名，乙第一名，甲第二名． （2）解：甲的加权总成绩：（分）， 乙的加权总成绩：（分）， ∵， ∴按加权成绩排名，甲第一名，乙第二名，与（1）的名次相比，甲、乙名次互换． 【变式1-1】某中学规定学生的学期体育成绩满分为分，其中早锻炼及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．张伟的三项成绩（百分制）依次是，，，他这学期的体育成绩是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，张伟这学期的体育成绩为（分）． 【变式1-2】某超市销售A、B、C、D四种矿泉水，它们的单价依次是6元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】利用加权平均数计算即可； 【详解】解：根据题意，得（元）； 【变式1-3】2026年10月1日是中华人民共和国成立77周年，为开展爱国主义教育，我校举办“礼赞祖国”国庆诗朗诵比赛，评分主要从作品选材、朗诵表达、情感感染力三个维度打分，最终成绩中作品选材占，朗诵表达占，情感感染力占．九年级（1）班和（2）班的成绩如下表．（本题满分8分） 参赛班级 作品选材 朗诵表达 情感感染力 九年级（1）班 70 80 88 九年级（2）班 80 75 x (1)计算九年级（1）班的最终成绩； (2)如果九年级（2）班要在最终成绩上超过九年级（1）班，那么他们的情感感染力得分x应该超过多少分？ 【答案】(1)分 (2)分 【分析】（1）根据加权平均数的公式解答即可； （2）根据加权平均数以及2班要在最终成绩上超过1班列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：九年级（1）班的最终成绩为分； （2）解：根据题意得：， 解得：， 即它们的情感感染力得分x应该超过90分． ▌题型05 运用加权平均数做决策 运用加权平均数可以对多个对象（人、方案、班级等）的“综合水平”进行比较：分别算出各对象的加权平均数，再按“数值越大越优（或越小越优）”的原则作出选择。此类题的关键是读懂各项成绩及其权重的对应关系。 【典例5-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 【答案】(1)丙是优胜者； (2)乙是优胜者； (3)示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为，此时乙是优胜者． 【分析】（1）分别计算出三名候选人三项打分的算术平均数，比较后即可得到答案； （2）分别计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案； （3）根据题意给三项得分分配适当的权重，计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：甲的成绩的算术平均数（分）， 乙的成绩的算术平均数（分）， 丙的成绩的算术平均数（分）， ∵， ∴如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么丙是优胜者； （2）解：甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者； （3）解：示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为， 甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者． 【典例5-2】（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【答案】(1) 解：∵各项成绩同等重要， ∴甲班的平均成绩： 乙班的平均成绩：， ∵， ∴从他们的平均成绩看，甲班的成绩更好． (2)解：甲班的最终成绩为：， 乙班的最终成绩为：， ∵， ∴从他们的最终成绩看，乙班的成绩更好． 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可； （2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）为传承中华优秀传统文化，某校开展国学文化宣讲使者选拔活动．评委从宣讲的内容、表达、效果三个方面为选手打分（各项满分均为100分）．现从进入决赛的甲、乙两名选手中确定一人胜出，胜出者定为本校的国学文化宣讲使者，两人最终的单项成绩如下： 选手 内容 表达 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)若以两名选手的三项的平均成绩作为最终成绩，能否以此确定两人的名次？说明理由； (2)若评委将“内容”“表达”“效果”按计算两名选手的平均成绩，通过计算说明哪一名选手会胜出． 【答案】(1)解：不能以此确定两人的名次，理由如下： 甲选手的三项的平均成绩为（分）， 乙选手的三项的平均成绩为（分）， ∴两名选手的三项的平均成绩一样， ∴不能以此确定两人的名次； (2)甲选手会胜出 【分析】（1）分别计算两名选手的三项的平均成绩，然后比较判断即可； （2）分别按计算两名选手的平均成绩，然后比较判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：甲选手的加权平均成绩为（分）， 乙选手的加权平均成绩为（分）， ∵， ∴甲选手会胜出． 【变式1-2】“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：，，，，，，，，，． 八年级：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下， ∵七年级的方差为，八年级的方差为，且， ∴七年级的方差比八年级的方差小， ∴七年级打分的波动小，即七年级学生对“校园餐”的满意度更为一致． 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）根据七年级的方差小于八年级的方差即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； ； 把八年级10名学生的打分按照从低到高的顺序排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， ∴八年级10名学生的打分的中位数为，即； ∵七年级10名学生的打分中打8分的人数最多， ∴七年级10名学生的打分的众数为8，即； （2）略 【变式1-3】某足球特色学校举行罚点球测试（每人罚点球10次，罚中1个点球记1分），测试结束后，随机抽取20名学生的成绩作为样本进行整理，部分信息如下： 20名学生罚点球成绩统计表 罚点球成绩/分 5 6 7 8 9 10 人数/人 2 3 6 3 2 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____________； (2)样本数据的中位数是_____________分，平均数是_____________分； (3)该校2000名学生全部参加了此项测试，规定8分及以上为优秀，根据样本数据估计参加此项测试成绩为优秀的学生人数． 【答案】(1)4 (2)7；7.5 (3)参加此项测试成绩为优秀的学生人数是900人 【分析】（1）用抽取的总人数减去得分为分的人数即可求解； （2）根据中位数和平均数的定义，结合统计表即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，． （2）解：由表格可得，数据按从小到大排列后，第10个和第11个数据均为7， ∴中位数， 平均数． （3）解：（人）． ▌题型06 求中位数 中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 · 数据个数 n 为奇数：中位数是第 (n＋1)÷2 个数据； · 数据个数 n 为偶数：中位数是第 n÷2 个与第 n÷2＋1 个数据的平均数。 中位数只与数据的排列位置有关，一般不受极端值的影响。 【典例6】汝城深耕红色教育，某校举办红色经典诵读大赛，某组选手现场得分如下（单位：分）：8，8，7，9，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（     ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先将得分按从小到大排序，再根据数据个数确定中位数位置求解． 【详解】解：将得分从小到大排列为， ∴中位数为第4个数据，即． 【变式1-1】已知一组数据：1，2，9，5，3．该组数据的中位数是（     ） A．9 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：将数据从小到大排列为1，2，3，5，9， 数据共个，中位数为第个数据，即． 【变式1-2】广州国际龙舟邀请赛是一项历史悠久且深受广大市民喜爱的传统赛事．某龙舟代表队在“人龙舟米直道竞速”项目的六次训练成绩（单位：秒）分别是：，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将数据从小到大排列为，，，，，， ∵共有个数据，且为偶数个， ∴ 中位数是第个和第个数据的平均数， 即 ． 【变式1-3】某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（    ）． A．2 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是中位数和平均数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据分成了相同数目的两部分． 先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】解：，按从小到大排列为2，3，3，4，5，5，6， 所以中位数为4． 故选：B． ▌题型07 求众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 · 一组数据可以有多个众数：当两个或两个以上数据出现的次数并列最多时，它们都是众数； · 一组数据也可以没有众数：当所有数据出现的次数都相同时，这组数据没有众数。 众数反映一组数据中“出现最多”的集中点，不受极端值和排列顺序的影响。 【典例7】为践行绿色低碳理念，选择电瓶车出行的市民越来越多．为加强市民安全意识，交警同志在某个路口对是否佩戴安全头盔进行一周连续检查，每天未佩戴安全头盔人数分别是、、、、、、，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数． 【详解】解：统计这组数据中各数出现次数：出现次，出现次，出现次，出现次， 可得出现次数最多，故众数为． 【变式1-1】已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查根据平均数和中位数求参数，求众数，根据平均数和中位数均为7，列出关于的二元一次方程组，求出的值，再根据众数的确定方法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴这组数据为：2，5，5，9，10，11； ∴众数为5． 故选A． 【变式1-2】（2026·黑龙江大庆·中考真题）已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为______． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义求出未知数据的值，再根据众数的定义得到结果． 【详解】解：∵这组数据，，，，的平均数是， ∴， 整理得， 解得， ∴这组数据为，，，，， 其中出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． 【变式1-3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）牡丹江市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是______． 【答案】 【分析】根据众数定义，观察图中的数据，确定答案即可． 【详解】解：由折线统计图可得，这周每天最低气温的七个数据分别为15，14，16，17，18，15，13． ∵在这组数据中，15出现了2次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是15． ▌题型08 求中位数和众数 同时求一组数据的中位数与众数时，两者方法不同、互不干扰： · 中位数：先排序，再看个数奇偶，取中间一个或中间两个的平均数； · 众数：统计各数据出现次数，取出现次数最多的数据。 中位数与众数可能相同，也可能不同，分别独立求解即可。 【典例8】在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．5和5 B．3和5 C．3和7 D．3和10 【答案】A 【详解】解：在数据7，5，3，5，10中，出现次，出现次数最多， ∴众数为； 将数据从小到大排列为3，5，5，7，10， ∵共有个数据，中位数为排序后第个数， ∴中位数为． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，表格是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（     ） A．0.3，0.3 B．0.4，0.3 C．0.3，0.6 D．0.35，0.3 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：∵节水量为的家庭有4户，出现次数最多， ∴众数为， ∵共有10户，将节水量从小到大排列后，中位数为第5、6个数据的平均数，节水量为的有2户，节水量为的有4户， ∴第5、6个数据均为， ∴中位数为． 【变式1-2】某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（　　） A．5，5 B．6，5 C．6，5和6 D．6，5和7 【答案】D 【分析】本题考查平均数中位数和众数的定义，先根据平均数求出x的值，再将数据从小到大排序，根据定义求出中位数和众数即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数为6，共有7个数据， ∴这组数据的总和为 ， ∴， 将这组数据从小到大排列为：4，5，5，6，7，7，8， ∵7个数据的中位数是排序后第4个数据，∴中位数为6， ∵5和7都出现2次，出现次数最多，∴众数为5和7， 故选：D． ▌题型09 利用众数或中位数求未知数据的值 已知一组数据的中位数或众数，反求其中未知数据 x 的值： · 由中位数求 x：先排已知数据，再根据“x 应处于的位置”满足中位数定义来定 x，常需分类讨论 x 所处的位置； · 由众数求 x：让某个数据出现的次数达到“最多”，从而确定 x 的取值（或取值范围）。 求得结果后必须代回原数据检验，确保中位数/众数确实符合条件。 【典例9】若一组数据：11，13，7，9，x，8，9，11，唯一的众数是11，则这组数据的中位数是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先根据众数的定义确定的取值，再将数据从小到大排序，根据中位数的定义计算即可． 【详解】解：∵ 原数据中9和11都已经出现2次，其余数各出现1次，且这组数据的唯一众数是11， ∴ ，保证11出现次数最多，符合唯一众数要求， 将这组数据从小到大排序得：， ∵ 数据总个数为8，是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，即第4个和第5个数的平均数， ∴ 中位数为 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）若一组数据“4，4，4，3，5，5，x，6”有唯一的众数，则x的值不可能为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义分析x取不同值时众数的个数即可求解． 【详解】解：原数据各数的出现次数：4出现3次，3出现1次，5出现2次，6出现1次， 对于A选项：若，则3出现2次，4仍是出现次数最多的数，有唯一众数，不符合题意； 对于B选项：若，4出现4次，4仍为唯一众数，不符合题意； 对于C选项：若，5也出现3次，此时4和5都是众数，不满足“唯一众数”的要求，符合题意； 对于D选项：若，6出现2次，4仍为唯一众数，不符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查中位数的定义，偶数个数据的中位数是按大小排序后中间两个数的平均数，据此列方程即可求解. 【详解】解：这组数据共有个数，个数为偶数， 中位数是从小到大排序后，第个与第个数的平均数， 即和的平均数. 中位数为， . 解得. 【变式1-3】一组数1，5，6，2，3，x的中位数是4，则x的最小值是_____． 【答案】5 【分析】先确定数据共6个，中位数由排序后第3、4两数平均得到；分和两种情况分别计算中位数，筛选符合中位数为4的取值范围，得到的最小值． 【详解】解：该组数据共6个，中位数为排序后第3个数、第4个数的平均数． 原有已知数字按从小到大排序：1，2，3，5，6． 若，x排在5的前面，中位数或, ∴与中位数等于4矛盾，不符合题意． 若，x排在3的后面,中位数始终为满足题意， ∴的最小值为5． ▌题型10 平均数、中位数、众数与统计图的综合应用 在统计图（条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图）背景下综合求平均数、中位数、众数，关键是“读懂图、理清频数”： · 条形图、频数分布直方图：直条高度（或标数）表示该组数据的频数（出现次数）； · 折线图：折线上的点对应各数据的值； · 扇形图：各部分占整体的百分比，结合总数可求出各部分频数。 把图形信息还原成“数据—频数”表后，即可用加权平均数求平均数、排序后求中位数、找频数最大者求众数，并回答实际问题。 【典例10-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下面是小龙上学期的数学测试成绩记录表（满分100分）： 测试 平时测试 期中测试 期末测试 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 成绩/分 根据表格提供的信息，解答下列问题： (1)小龙上学期八次测试成绩的众数是______分，中位数是______分； (2)若把六次平时测试成绩的平均分作为平时成绩，按照学校规定，学期综合成绩的权重如图所示，求小龙上学期的综合成绩． 【答案】(1)； (2)分 【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算即可； （2）利用加权平均数进行计算即可． 【详解】（1）解：∵小龙上学期八次测试成绩中，分出现次，出现的次数最多， ∴众数为分， 将小龙上学期八次测试成绩从小到大重新排列：，，，，，，，，其中第个数为，第个数为， ∴中位数为（分）； （2）解：（分）， ∴小龙上学期的综合成绩为分． 【典例10-2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）为深入落实“书香河北”全民阅读工程部署，并了解本校学生的课外阅读习惯，某校随机调查了该校部分学生每天阅读课外书籍的时长（单位：小时），根据调查结果，绘制出如下不完整的条形统计图与扇形统计图： (1)求本次接受调查的学生人数，补全条形统计图； (2)求所抽查的学生中，每天阅读时间的众数和中位数； (3)求样本中每天阅读课外书籍的平均时间； (4)若该校共有1500名学生，估计该校每天阅读课外书籍时间超过1小时的学生人数． 【答案】(1)总人数为人， 补全条形统计图如图： (2)众数是；中位数是 (3) (4)人 【分析】（1）先根据0.9h的人数和占比求出调查总人数，再依次算出各组人数； （2）按定义求众数、中位数； （3）利用加权平均数公式求平均时长； （4）用样本占比估算全校人数即可． 【详解】（1）解：由条形图知阅读时长有人，扇形图对应占比， 总人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 补全条形统计图：在横坐标对应位置画高为的长方形及在横坐标对应位置画高为的长方形． （2）解：众数：出现次数最多的数据，共人，人数最多， ∴众数是； 一共个数据，中位数是排序后第个数据的平均数， 从小到大累加：和共计人，再加共计人， 则第个数都落在这一组， ∴中位数是． （3）解： ． （4）解：超过1小时：时长为、、、， 样本中超过1小时人数:（人），占比：， 全校1500人，估计人数：（人）． 【变式1-1】为了解学生使用绘画工具进行创意作图的情况，从七年级、八年级各随机抽取名学生，记录每位学生完成一幅完整创意作品的实际操作用时（时长不足一分钟按一分钟计）．整理数据分为四组（A组：分钟，B组：分钟，C组：分钟，D组：分钟），并将数据进行分析，下面是部分信息： 抽取的七年级名学生用时数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的八年级名学生用时在B组的数据：，，，，，，． 七．八年级所抽取的学生用时统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取的学生用时扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)结合表格中的统计量，比较七年级、八年级学生使用绘画的效率哪个更高（用时越短代表操作效率越高），请写出一条理由； (3)七年级共有人，八年级共有人，请估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有多少人？ 【答案】(1)8，8，10 (2)八年级效率更高．理由：平均数相同（都是9.2），八年级中位数8，小于七年级中位数8.5，八年级的众数为7，小于七年级的8，说明八年级学生使用绘画的效率更高． (3)估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有745人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出a，b的结果；求出组的数据个数，即可求出的值； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用1200乘以七年级所有学生中使用绘画用时不超过7分钟的学生的人数所占的比例，用1100乘以八年级所有学生中使用绘画用时不超过7分钟的学生的人数所占的比例，再求和即可． 【详解】（1）解：七年级数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 众数是出现次数最多的数，8出现4次，次数最多，所以； 八年级A组数据的个数为：， B组7个数据为：，，，，，，， C组数据的个数为：， D组数据的个数为：， 中位数是第10、11个数的平均数，即； ∵， ∴； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有745人． 【变式1-2】（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）重庆市某校组织全校学生参加了“筑牢舌尖防线”的食品安全知识科普竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分为三组：A．；B．；C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：74，76，79，83，84，86，86，87，91，94． 九年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：82，82，87． 八、九年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生科普知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级有1000名学生、九年级有900名学生参加了此次科普竞赛活动，请估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀（）的学生人数共是多少？ 【答案】(1)86，82，30 (2)八年级学生科普知识竞赛的成绩较好，因为八年级科普知识竞赛成绩的众数大于九年级科普知识竞赛成绩的众数；（理由不唯一，合理即可） (3)470 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求出，用九年级竞赛成绩在C组的人数除以九年级总人数求出； （2）根据众数或中位数进行比较，合理即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：八年级竞赛成绩中86分出现次数最多，所以； 九年级在A组的数据有（个）， 则第5和第6 个数据的平均数为（分） 所以； 九年级在C组的数据有（个）， 则， 所以； （2）略； （3）解：（名）， 答：估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀（）的学生人数共470名． 【变式1-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）群力经纬中学为了增强学生勤俭节约的意识，随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额（单位：元），根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： (1)求本次接受调查的学生人数为多少人？ (2)图1中m的值为________；这组学生零花钱数据的中位数是________；在图2中补全条形统计图； (3)群力经纬中学共有约2000名学生，请估算全校学生一周的零花钱共多少元？ 【答案】(1)人 (2)，元， 补全条形统计图如下， (3)元 【分析】（1）利用部分的实际数据除以占比即可得出总数； （2）根据实际数据和总数求出部分占比，利用中位数的定义求出中位数，求出部分数据补全条形统计图即可； （3）求出样本的加权平均数，然后根据样本估计总体即可． 【详解】（1）解：本次接受调查的学生人数为（人）； （2）解：∵， ∴； 该组数据的中位数是排序后的第位数和第位数的平均数， 第位数和第位数都为， ∴该组数据的中位数为（元）； 元的人数为（人）， 补全条形统计图如下， （3）解：（元）， （元）， 答：全校学生一周的零花钱共元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $