专题01有理数期中高效复习讲义（重难点梳理+常考题型+分层专项训练）2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题01有理数期中高效复习讲义 ✵复习目标 会用正负数表示相反意义的量；掌握有理数的定义与分类，能辨析非正数、非负数、非正整数、非负整数。 掌握数轴三要素，熟练解决数轴找点、确定原点、两点距离、点平移、整点覆盖、基础动点与规律探究问题，落实数形结合思想。 理解相反数、绝对值的概念，会化简多重符号；能运用绝对值的代数意义、几何意义及非负性解题。 掌握有理数大小比较的两种方法，能解决相关实际比较问题 ✵高频题型梳理 题型1.正负数的定义、相反意义的量及实际应用 题型2.0的意义、有理数的定义与分类，“非”类有理数辨析 题型3.数轴三要素、用数轴表示有理数，数轴上找原点 题型4.相反数的定义、化简多重符号、相反数的应用 题型5.求一个数的绝对值，绝对值的非负性应用 题型6.绝对值几何意义的简单应用 题型7.利用数轴、法则比较有理数大小，有理数大小比较实际应用 题型8.数轴上两点距离计算 题型9.数轴整点覆盖问题 题型10.数轴上点的平移与动点基础问题 题型11.数轴相关规律探究 题型12.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、正数、负数与相反意义的量 正数：大于 0 的数；负数：在正数前面加上负号 “-” 的数。 相反意义的量：属于同一类量、意义相反，可以用正负数区分。 示例：收入为正，支出为负；上升为正，下降为负；向东为正，向西为负。 提示：只要求意义相反，数值不一定相等。 知识点二、有理数的概念与分类 1. 0既不是正数，也不是负数；0是整数，是正数与负数的分界。 2.有理数：整数和分数统称有理数。有限小数、无限循环小数可以化为分数，属于有理数；π是无限不循环小数，不属于有理数。 3.分类 4.“非”类高频辨析 非负数：正数、0 非正数：负数、0 非负整数：正整数、0（自然数） 非正整数：负整数、0 知识点三、数轴基本概念 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，单位长度必须统一。 对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示；数轴上的点不一定代表有理数。 原点确定方法：结合已知点位置与两点之间的距离反向推算原点。 知识点四、相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0。 数量关系：a的相反数是-a；若a,b互为相反数，则a+b=0。 多重符号化简：口诀：奇负偶正，负号个数为奇数，结果为负；负号个数为偶数，结果为正。 知识点五、绝对值 1.定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 ｜a｜= 2.非负性：｜a｜≥0；若干个非负数的和为0，则每一个非负数均为 0 。例：|a|+|b|=0， 则a=0,b=0。 3.绝对值的几何意义 |x|：表示x对应的点到原点的距离； |x-a|：表示x对应的点与a对应的点之间的距离。 知识点六、有理数大小比较 数轴法：数轴上右边的数大于左边的数。 符号比较：正数>0，负数<0，正数>负数。 负数比较法则：两个负数，绝对值大的数反而小。 实际应用：用于比较偏差、高低、增减量等实际问题。 知识点七、数轴上两点距离 1.若点A、B对应的数为a、b，两点距离公式：AB=|a-b| 要点：距离是非负数，和两点的先后顺序无关。 2.数轴整点覆盖问题 整点：数轴上表示整数的点。 一条长度为n个单位的线段： 起点落在整点上：覆盖n+1 个整点 起点落在两个整点之间：覆盖n个整点 3.数轴上点的平移与基础动点 平移口诀：左减右加。数a向右平移m个单位：a+m；向左平移m个单位：a-m。 动点解题思路：设运动时间t，用含t的代数式表示动点对应的数，再结合距离、等量关系列式求解。 4.数轴规律探究 常见类型：点交替左右移动、周期循环、间隔变化。 解题思路：列举前几组数据，寻找周期或者等差规律，再代入规律计算。 ✵易错提醒 1.相反意义的量必须是同类量；有理数分类容易遗漏0，误将π归为有理数。 2.“非负整数” 易漏掉0；误认为-a一定是负数。 3.数轴缺少三要素、单位长度不统一；错误认为数轴上所有点都代表有理数。 4.多重符号化简时数错负号个数；比较负数大小时，错记 “绝对值越大，数越大”。 5.求两点距离忘记加绝对值，出现负数；绝对值非负性题型，忽略多个非负数同时为0。 6.整点覆盖不判断起点位置，直接套用单一结论；平移方向记反，错记 “左加右减”。 ✵典例精讲 题型1.正负数的定义、相反意义的量及实际应用 1．小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 2．向东走18米记作米，那么向西走米记作______米． 3．体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 题型2.0的意义、有理数的定义与分类，“非”类有理数辨析 1．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 2．在中，分数的个数为_________，整数的个数为_________，非负数的个数为_________． 3．把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________； (2)分数集合：_____________________________； (3)非负有理数集合：_____________________________． 题型3.数轴三要素、用数轴表示有理数，数轴上找原点 1．下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一刻度尺放在数轴上，数轴上点，在刻度尺上分别对应刻度“”和刻度“”，若点对应数轴上，刻度尺上的“”对应数轴上，则点对应数轴上的数为________． 3．如图，已知四个点在数轴上． (1)若点和点表示的数互为相反数，则原点在点______的位置； (2)若点和点表示的数互为相反数，则原点在点______的位置； (3)若点和点表示的数互为相反数，请在数轴上表示出原点的位置． (4)在（3）的条件下，点A和点D表示的数有什么关系？ 题型4.相反数的定义、化简多重符号、相反数的应用 1．下列判断不正确的有（   ） ①互为相反数的两个数一定不相等； ②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边； ③所有的有理数都有相反数； ④相反数是符号相反的两个点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 3．化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 题型5.求一个数的绝对值，绝对值的非负性应用 1．下列各组数中，互为相反数的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．已知是最大的负整数，和互为相反数，的绝对值为，，可以推断出________，这四个数的绝对值之和等于________． 3．数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足． (1) ________，________；A，B间的距离为________； (2)数轴上一点C距点A 7个单位长度，其表示的数c满足．求点B，C之间的距离． 题型6.绝对值几何意义的简单应用 1．如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个有理数中，绝对值最小的一个是（     ） A． B． C． D． 2．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 3．若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是_______； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； (3)代数式的最小值是_______； (4)写出所有符合条件的整数，使成立． 题型7.利用数轴、法则比较有理数大小，有理数大小比较实际应用 1．已知有理数a，b在数轴上的点如图所示，则a，b，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．设表示大于的最小整数，如，则下列结论中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③的最大值是；④；⑤不存在有理数使成立． 3．小明和小红在做运算游戏，他们分别从一摞混合三角形和正方形的卡片中抽取四张，游戏规定：从数字5开始运算，三角形表示减卡片上的数字，正方形表示加卡片上的数字，按抽到的卡片顺序依次计算，结果大者获胜．抽取结果如图： (1)小明的算式为： _________ (2)通过计算说明小明和小红谁获胜． 题型8.数轴上两点距离计算 1．如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．数轴上点A表示，B，C两点所表示的数互为相反数，且点B与点A间的距离为4，则点C所表示的数是______． 3．如图，图中数轴的单位长度为1． (1)如果点，表示的数互为相反数，请在图①中标出原点的位置，并指出点，表示的数是多少； (2)如果点，表示的数互为相反数，请在图②中标出原点的位置，并指出点，表示的数分别是多少． 题型9.数轴整点覆盖问题 1．在数轴上任取一条长度为2025的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ） A．2025个 B．2026个 C．2027个 D．2028个 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为__________． 3．按要求解答下列问题： (1)借助数轴，回答下列问题： ①从到1有3个整数，分别是____________； ②从到2有5个整数，分别是____________； ③从到3有7个整数，分别是________________________； ④从到100有______个整数； ⑤从到n（n为正整数）有______个整数； (2)根据以上规律，直接写出：从到3.9有______个整数，从到10.1有______个整数； (3)在单位长度是的数轴上任意画一条长为的线段，线段盖住的整点有多少个？ 题型10.数轴上点的平移与动点基础问题 1．如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 3．如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示． (1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示） (2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________； (3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数． 题型11.数轴相关规律探究 1．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 2．电子跳蚤从数轴上表示的点出发，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，按此规律，跳完第次后，它落在数轴上表示的数是______． 3．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． ✵分层专项训练 一、单选题 1．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 4．下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 5．下列说法中：①有理数中，0的意义表示没有；②带“”的数就是正数，带“”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．如图如果点C表示的数是，那么点A表示的数是__________． 7．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示_____． 8．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，且． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度，则的值为________． 三、解答题 9．把下列各数对应的序号填在相应的集合中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 非负数集合：{_______________…}； 负分数集合：{_______________…}； 正整数集合：{_______________…}． 10．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应． (1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____； (2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 11．有理数：，，，0，2，． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“<”连接起来； (3)由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，两点之间最大距离是多少？（列式计算） 12．如图所示，已知，两点在数轴上，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离是点到原点的距离的倍． (1)数轴上点对应的数是___________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数为___________．点表示的数与点表示的数之间的关系是___________． (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若在数轴上存在点，使得，请写出表示的数是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01有理数期中高效复习讲义 ✵复习目标 会用正负数表示相反意义的量；掌握有理数的定义与分类，能辨析非正数、非负数、非正整数、非负整数。 掌握数轴三要素，熟练解决数轴找点、确定原点、两点距离、点平移、整点覆盖、基础动点与规律探究问题，落实数形结合思想。 理解相反数、绝对值的概念，会化简多重符号；能运用绝对值的代数意义、几何意义及非负性解题。 掌握有理数大小比较的两种方法，能解决相关实际比较问题 ✵高频题型梳理 题型1.正负数的定义、相反意义的量及实际应用 题型2.0的意义、有理数的定义与分类，“非”类有理数辨析 题型3.数轴三要素、用数轴表示有理数，数轴上找原点 题型4.相反数的定义、化简多重符号、相反数的应用 题型5.求一个数的绝对值，绝对值的非负性应用 题型6.绝对值几何意义的简单应用 题型7.利用数轴、法则比较有理数大小，有理数大小比较实际应用 题型8.数轴上两点距离计算 题型9.数轴整点覆盖问题 题型10.数轴上点的平移与动点基础问题 题型11.数轴相关规律探究 题型12.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、正数、负数与相反意义的量 正数：大于 0 的数；负数：在正数前面加上负号 “-” 的数。 相反意义的量：属于同一类量、意义相反，可以用正负数区分。 示例：收入为正，支出为负；上升为正，下降为负；向东为正，向西为负。 提示：只要求意义相反，数值不一定相等。 知识点二、有理数的概念与分类 1. 0既不是正数，也不是负数；0是整数，是正数与负数的分界。 2.有理数：整数和分数统称有理数。有限小数、无限循环小数可以化为分数，属于有理数；π是无限不循环小数，不属于有理数。 3.分类 4.“非”类高频辨析 非负数：正数、0 非正数：负数、0 非负整数：正整数、0（自然数） 非正整数：负整数、0 知识点三、数轴基本概念 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，单位长度必须统一。 对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示；数轴上的点不一定代表有理数。 原点确定方法：结合已知点位置与两点之间的距离反向推算原点。 知识点四、相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0。 数量关系：a的相反数是-a；若a,b互为相反数，则a+b=0。 多重符号化简：口诀：奇负偶正，负号个数为奇数，结果为负；负号个数为偶数，结果为正。 知识点五、绝对值 1.定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 ｜a｜= 2.非负性：｜a｜≥0；若干个非负数的和为0，则每一个非负数均为 0 。例：|a|+|b|=0， 则a=0,b=0。 3.绝对值的几何意义 |x|：表示x对应的点到原点的距离； |x-a|：表示x对应的点与a对应的点之间的距离。 知识点六、有理数大小比较 数轴法：数轴上右边的数大于左边的数。 符号比较：正数>0，负数<0，正数>负数。 负数比较法则：两个负数，绝对值大的数反而小。 实际应用：用于比较偏差、高低、增减量等实际问题。 知识点七、数轴上两点距离 1.若点A、B对应的数为a、b，两点距离公式：AB=|a-b| 要点：距离是非负数，和两点的先后顺序无关。 2.数轴整点覆盖问题 整点：数轴上表示整数的点。 一条长度为n个单位的线段： 起点落在整点上：覆盖n+1 个整点 起点落在两个整点之间：覆盖n个整点 3.数轴上点的平移与基础动点 平移口诀：左减右加。数a向右平移m个单位：a+m；向左平移m个单位：a-m。 动点解题思路：设运动时间t，用含t的代数式表示动点对应的数，再结合距离、等量关系列式求解。 4.数轴规律探究 常见类型：点交替左右移动、周期循环、间隔变化。 解题思路：列举前几组数据，寻找周期或者等差规律，再代入规律计算。 ✵易错提醒 1.相反意义的量必须是同类量；有理数分类容易遗漏0，误将π归为有理数。 2.“非负整数” 易漏掉0；误认为-a一定是负数。 3.数轴缺少三要素、单位长度不统一；错误认为数轴上所有点都代表有理数。 4.多重符号化简时数错负号个数；比较负数大小时，错记 “绝对值越大，数越大”。 5.求两点距离忘记加绝对值，出现负数；绝对值非负性题型，忽略多个非负数同时为0。 6.整点覆盖不判断起点位置，直接套用单一结论；平移方向记反，错记 “左加右减”。 ✵典例精讲 题型1.正负数的定义、相反意义的量及实际应用 1．小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数的实际意义，熟练掌握正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：依题意可得：“从学校往南走”记作， 故选D． 2．向东走18米记作米，那么向西走米记作______米． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据向东为正，那么就是向西为负即可解答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解：∵向东走18米记作米， ∴向西走米记作米， 故答案为：． 3．体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 题型2.0的意义、有理数的定义与分类，“非”类有理数辨析 1．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 2．在中，分数的个数为_________，整数的个数为_________，非负数的个数为_________． 【答案】 4 2 3 【分析】根据分数、整数、非负数的定义，对给定的数进行分类统计．本题主要考察了有理数的分类，熟练掌握分数、整数、非负数的定义是解题的关键． 【详解】分数有，共4个；整数有0，，共2个；非负数有0，，，共3个． 故答案为：4；2；3． 3．把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________； (2)分数集合：_____________________________； (3)非负有理数集合：_____________________________． 【答案】(1)、0、 (2)、、、、 (3)、、0、、 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的性质及有理数的乘方，熟练掌握整数、分数、非负有理数的定义是解题的关键． （1）去绝对值，计算乘方后，根据整数的定义解答即可； （2）计算，根据分数的定义解答即可； （3）根据非负有理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：，， 那么整数集合：、0、， 故答案为：、0、； （2）解：， 分数集合：、、、、， 故答案为：、、、、； （3）解：非负有理数集合：、、0、、， 故答案为：、、0、、． 题型3.数轴三要素、用数轴表示有理数，数轴上找原点 1．下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 2．如图，将一刻度尺放在数轴上，数轴上点，在刻度尺上分别对应刻度“”和刻度“”，若点对应数轴上，刻度尺上的“”对应数轴上，则点对应数轴上的数为________． 【答案】 【详解】解：点在刻度尺上对应刻度“”，点对应数轴上，刻度尺上的“”对应数轴上， 数轴上的一个单位长度与刻度尺的单位长度一致， ∴点对应数轴上的数为． 3．如图，已知四个点在数轴上． (1)若点和点表示的数互为相反数，则原点在点______的位置； (2)若点和点表示的数互为相反数，则原点在点______的位置； (3)若点和点表示的数互为相反数，请在数轴上表示出原点的位置． (4)在（3）的条件下，点A和点D表示的数有什么关系？ 【答案】(1)B (2)C (3) (4)点A和点D表示的数互为相反数 【分析】根据相反数到原点的距离相等解答即可． 【详解】（1）∵点和点表示的数互为相反数， ∴点A到原点的距离等于点C到原点的距离， ∴原点在点B的位置 ； （2）∵点B和点D表示的数互为相反数， ∴点B到原点的距离等于点D到原点的距离， ∴原点在点C的位置； （3）∵点B和点C表示的数互为相反数，所以点B到原点的距离等于点C到原点的距离， ∴原点位置如图所示： （4） 在（3）的条件下，点A和点D到原点的距离相等，故点A和点D表示的数互为相反数． 题型4.相反数的定义、化简多重符号、相反数的应用 1．下列判断不正确的有（   ） ①互为相反数的两个数一定不相等； ②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边； ③所有的有理数都有相反数； ④相反数是符号相反的两个点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵的相反数是，∴互为相反数的两个数可能相等，该判断错误； ②∵的相反数是，对应数轴原点，不在原点两侧，该判断错误； ③所有有理数都有相反数，该判断正确； ④相反数是数而非点，且仅符号相反的数不一定互为相反数，如与，该判断错误； 综上，不正确的判断有①②④，共个． 2．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 【答案】4 【分析】先根据有理数运算法则化简每个数，再根据非负整数的定义，即和正整数，找出符合条件的数，统计个数即可． 【详解】解：，，， 因此符合条件的数有：，，，，共个． 3．化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 【答案】（）；；；；；（），；总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身；（）． 【分析】本题主要考查了化简多重符号，相反数的定义，有理数的加法，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． （）根据相反数的定义分别化简即可； （）根据前面的结果猜想即可求解； （）根据（）的规律得出算是，然后通过有理数加法法则即可求解． 【详解】解：（） ；；；；； 故答案为：，，，，； （）根据（）可得，当前面有个负号时，化简后的结果是，当前面有个负号时，化简后的结果是， 总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身， 故答案为：，； （）根据（）的规律可得， ． 题型5.求一个数的绝对值，绝对值的非负性应用 1．下列各组数中，互为相反数的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据相反数的定义和绝对值的定义把各项化简，根据化简的结果判断即可． 【详解】解：A选项：，，，故A选项不符合题意； B选项：，，，故B选项不符合题意； C选项：，，，故C选项不符合题意； D选项：，，和互为相反数，故D选项符合题意． 2．已知是最大的负整数，和互为相反数，的绝对值为，，可以推断出________，这四个数的绝对值之和等于________． 【答案】 四个数的绝对值之和为7 【分析】先确定的值，利用相反数性质得到和的关系，再结合已知乘积等式和的绝对值推导的取值，最后计算四个数的绝对值之和． 【详解】解：是最大的负整数， ． 和互为相反数， ． ， ． 将，代入得：， 化简得． ，且乘积， ，结合得． 将代入得，解得，即． ， ， 计算四个数的绝对值之和：． 3．数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足． (1) ________，________；A，B间的距离为________； (2)数轴上一点C距点A 7个单位长度，其表示的数c满足．求点B，C之间的距离． 【答案】(1)6， ，10 (2)3 【分析】本题考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，注意距离与数轴上的点的区别是解题的关键． （1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a，b，再求两点的距离即可； （2）根据题意判断c的符号，结合与点A距离7个单位长度即可解答． 【详解】（1）解： ∵，， ∴，解得， ，解得， ∴； （2）解：由（1）可知． 因为，所以或，所以或． 因为点C距点A 7个单位长度， 所以或， 又因为，所以点C在数轴上表示的数为 所以点B，C之间的距离为． 题型6.绝对值几何意义的简单应用 1．如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个有理数中，绝对值最小的一个是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据确定原点位置，结合数轴上点的位置关系判断绝对值大小． 【详解】解：， 与互为相反数，原点在线段的中点处， ， 由图可知， 点在点左侧，则， 点在点与点之间， 点到原点的距离小于点到原点的距离，即， 最小． 2．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 【答案】 8 【分析】将理解为数轴上点到三点的距离之和.当位于这三个数对应的点的中间位置时，距离之和最小． 【详解】解：原式可变形为， 根据绝对值的几何意义，该式表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离之和， ， 当时，该距离之和最小，最小值为． 3．若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是_______； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； (3)代数式的最小值是_______； (4)写出所有符合条件的整数，使成立． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)满足条件的整数为，，，． 【分析】（1）由题设给出的数轴上两点间的距离公式，把表示这两点的有理数代入，求出两点间的距离； （2）把表示的数与代入距离公式，写出这两点间的距离； （3）把与分别看成数轴上表示的点到表示、的点的距离，再由这两点间的距离确定距离之和的最小值； （4）把看成数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和，由它等于确定的取值范围，再从中找出整数． 【详解】（1）解：由题设，数轴上表示有理数、的两点之间的距离为． 把、代入，得 ． ∴数轴上表示和两点之间的距离是． （2）解：由题设的距离公式，数轴上表示与的两点之间的距离为 ． ∴数轴上表示和的两点之间的距离表示为． （3）解：∵， ∴表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 同理，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离． ∴表示数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和． 当表示的点在表示与的两点之间（含这两点）时，这两段距离之和恰好等于这两点间的距离， 即； 当表示的点在上述两点之外时，这两段距离之和大于这两点间的距离， 即． ∴当时，取最小值． ∴代数式的最小值是． （4）解：由（3）可知，表示数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和， 而表示与的两点之间的距离为． ∴当表示的点在表示与的两点之间（含这两点）时，这两段距离之和等于，等式成立； 当表示的点在上述两点之外时，这两段距离之和大于，等式不成立． ∴符合条件的满足． ∵为整数， ∴的值为、、、． ∴符合条件的整数为、、、． 题型7.利用数轴、法则比较有理数大小，有理数大小比较实际应用 1．已知有理数a，b在数轴上的点如图所示，则a，b，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，且，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴． 2．设表示大于的最小整数，如，则下列结论中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③的最大值是；④；⑤不存在有理数使成立． 【答案】/ 【分析】根据新定义表示大于的最小整数，逐项判断结论是否正确 . 【详解】解：∵的定义为大于的最小整数， ∴逐个判断如下： 对于∵大于的最小整数为， ∴，正确； 对于∵大于的最小整数为， ∴，错误； 对于∵是大于的最小整数， ∴，可得， 即的最大值为，不是， ∴错误； 对于根据定义可得，因此大于的最小整数一定不大于， 即恒成立，正确； 对于当时，，此时，且是有理数， ∴存在有理数使成立，错误； 综上，正确结论为. 3．小明和小红在做运算游戏，他们分别从一摞混合三角形和正方形的卡片中抽取四张，游戏规定：从数字5开始运算，三角形表示减卡片上的数字，正方形表示加卡片上的数字，按抽到的卡片顺序依次计算，结果大者获胜．抽取结果如图： (1)小明的算式为： _________ (2)通过计算说明小明和小红谁获胜． 【答案】(1) (2) 解：小明： ， 小红： 因为， 所以小红获胜． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的规定列式即可； （2）根据题中的规定计算出两人的得分，比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：； （2） 略 题型8.数轴上两点距离计算 1．如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 2．数轴上点A表示，B，C两点所表示的数互为相反数，且点B与点A间的距离为4，则点C所表示的数是______． 【答案】或7 【分析】根据点B与点A的距离是4，求得点B表示的数，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵点A表示，点B与点A的距离是4， ∴点B表示的数为或， ∵B、C两点表示的数互为相反数， ∴点C表示的数应该是或7． 3．如图，图中数轴的单位长度为1． (1)如果点，表示的数互为相反数，请在图①中标出原点的位置，并指出点，表示的数是多少； (2)如果点，表示的数互为相反数，请在图②中标出原点的位置，并指出点，表示的数分别是多少． 【答案】(1)原点的位置如图①所示．点表示的数是，点表示的数是． (2)原点的位置如图②所示．点表示的数是，点表示的数是． 【分析】（1）根据点表示的数互为相反数，得出原点在线段的中点上，然后得出点表示的数即可； （2）根据点表示的数互为相反数，得出原点在线段的中点上，然后得出点表示的数即可． 【详解】（1）略 （3） 略 题型9.数轴整点覆盖问题 1．在数轴上任取一条长度为2025的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ） A．2025个 B．2026个 C．2027个 D．2028个 【答案】B 【分析】要使线段覆盖的整数点最多，需让线段端点与整数点重合，结合端点不重合的情况比较得结果． 【详解】解：当线段两端点与数轴上的整数点重合时，设左端点对应整数为， 则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点个数为， 当线段两端点不与整数点重合时， 设左端点位于整数与之间，则右端点位于整数与之间， 此时覆盖的整数点为，个数为， ∵， ∴这条线段最多能覆盖个整数点． 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为__________． 【答案】2027或2026 【分析】分两种情况：当线段起点在整点时覆盖个数，当线段起点不在整点时覆盖个点，可得答案． 【详解】解：当线段的起点为整点时，覆盖个整点； 当线段的起点不为整点，即在个整点之间时，覆盖个整点． 综上所述，线段盖住的整点个数为或． 3．按要求解答下列问题： (1)借助数轴，回答下列问题： ①从到1有3个整数，分别是____________； ②从到2有5个整数，分别是____________； ③从到3有7个整数，分别是________________________； ④从到100有______个整数； ⑤从到n（n为正整数）有______个整数； (2)根据以上规律，直接写出：从到3.9有______个整数，从到10.1有______个整数； (3)在单位长度是的数轴上任意画一条长为的线段，线段盖住的整点有多少个？ 【答案】(1)①，，；②，，，，；③，，，，，，；④201；⑤ (2)， (3)线段盖住的整点有1000个或1001个 【分析】（1）结合数轴可得从到1、从到2、从到3整数的个数，据此规律可得从到100、从到n整数的个数； （2）根据（1）中规律解答即可； （3）根据线段的端点正好在两个整数点上和两个端点都不在整数点上，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ①从到1有3个整数，分别是，，； ②从到2有5个整数，分别是，，，，； ③从到3有7个整数，分别是，，，，，， ④由①②③可知，从到100有（个）整数； ⑤由①②③④可知，从到n（n为正整数）有个整数； （2）解：根据（1）中规律可得，从到3.9有（个）整数，从到10.1有（个）整数． （3）解：根据题意，分两种情况： 第一种情况：当线段起点在整点时，线段盖住的整点有1001个数； 第二种情况：当线段起点不在整点，即在两个整点之间时，线段盖住的整点有1000个数， 故线段盖住的整点有1000个或1001个． 题型10.数轴上点的平移与动点基础问题 1．如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 2．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 3．如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示． (1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示） (2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________； (3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数． 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： ， 则点Ｏ即为所求． (2)，，3 (3)3， 【分析】（1）根据数轴的三要素，确定原点，并标识出来即可； （2）根据向右加，向左减，计算即可； （3）求出原点与点A的距离，用距离除以2即可得到按键的次数，再根据平移思想计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：根据题意，得点M表示的数为：，点N表示的数为：， M、N两点之间的距离是． （3）解：原点到点A的距离为：， 根据题意，得每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度， （次）， 故点N表示的数为：． 题型11.数轴相关规律探究 1．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【详解】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【分析】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为， …… 依此类推，第次到达n，第次到达，（其中n为正整数）， ∵ 故第2021次到达1011． 2．电子跳蚤从数轴上表示的点出发，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，按此规律，跳完第次后，它落在数轴上表示的数是______． 【答案】 【详解】解：向右移动个单位长度可表示为，向左移动个单位长度可表示为， ∴当它跳第次落下时，落点在数轴上表示的数是： ． 3．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三；． ✵分层专项训练 一、单选题 1．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义即可得到答案． 【详解】解：“水位下降”应表示为， 故选B． 2．下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类．需要先对题目中给出的数进行化简，再根据非正有理数(即负有理数和0)的定义来判断这些数中非正有理数的个数． 【详解】解：是非正有理数； ，是负有理数，非正； ，是正有理数，不符合； 是无理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是负有理数，非正； 是有限小数，是有理数，且为负数，非正． 符合的非正有理数有：0、、、，共4个． 故选：C． 3．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的整数个数计算方法，分别求出两处墨水覆盖范围内的整数个数，再求和即可． 【详解】解：左侧墨水淹没的范围在，之间， 则该范围的整数有个， 右侧墨水淹没的范围在，之间， 该范围的整数有个， 故被淹没的整数点有个． 4．下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：A、若，则，原结论不成立； B、若，则或，原结论成立； C、若，则，原结论不成立； D、若满足，但是，原结论不成立． 5．下列说法中：①有理数中，0的意义表示没有；②带“”的数就是正数，带“”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①有理数中，不仅可表示没有，还可作为数量的界限（如），原说法错误； ②带“”的数不一定是正数，如是负数，带“”的数不一定是负数，如是正数，原说法错误； ③最大的负整数是，原说法正确； ④数轴上原点两侧且到原点距离相等的数互为相反数，如和在原点两侧但不互为相反数，原说法错误； ⑤任何数的绝对值都大于或等于，，原说法错误； ⑥两个负数比较大小，绝对值大的反而小，正数比较时绝对值大的数大，原说法错误； 综上，正确的说法有个． 二、填空题 6．如图如果点C表示的数是，那么点A表示的数是__________． 【答案】 【分析】观察数轴可知点在原点右侧3个单位长度处，点在原点左侧2个单位长度处，根据点表示的数求出单位长度代表的数值，即可求出点表示的数． 【详解】解：观察数轴可知，点在原点右侧3个单位长度处，点在原点左侧2个单位长度处， 点表示的数是， 数轴上每个单位长度表示的数为， 点在原点左侧2个单位长度处， 点表示的数是． 7．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示_____． 【答案】水面低于标准水位高度为 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量即可解答． 【详解】解：某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位高度为． 故答案为：水面低于标准水位高度为． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量用正数和负数表示是解答本题的关键． 8．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，且． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度，则的值为________． 【答案】 ② 【分析】（1）根据可知互为相反数，由此即可得； （2）先求出点与点距离个单位长度，再求出，然后利用数轴的性质求解即可得． 【详解】解：（1）， 互为相反数， 点、对应的数分别是、， 原点在第②部分， （2）点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度， 点与点距离个单位长度， 点、对应的数分别是、，且， ， 又∵点与点距离个单位长度，点对应的数是， ∴． 三、解答题 9．把下列各数对应的序号填在相应的集合中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 非负数集合：{_______________…}； 负分数集合：{_______________…}； 正整数集合：{_______________…}． 【答案】 ①④⑥⑦⑧⑨；②⑤；①⑥. 【分析】结合非负数、负分数、正整数的定义，逐一判断每个数的所属类别，注意非负数包含所有大于等于0的数，负分数包含可化为分数的负有限小数. 【详解】略 10．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应． (1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____； (2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据两点间的距离公式求出答案即可； 根据题意得到点表示的数为，然后通过点在点左侧个单位，列算式即可得到答案； 点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为，从而求出数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【详解】（1）解：若点表示的数为，则点表示的数应为，点表示的数应为， 故答案为：，； （2）解：因为点与表示的数互为相反数，且点之间的距离为， 所以点表示的数为， ∴点表示的数为； （3）解：因为点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为， 所以数轴的原点对应刻度尺上的刻度值为． 11．有理数：，，，0，2，． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“<”连接起来； (3)由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，两点之间最大距离是多少？（列式计算） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用绝对值的定义进行化简，然后在数轴上表示出各点即可； （2）借助数轴，表示出各数的大小； （3）根据两点之间的距离，列出算式，然后利用有理数的加减法运算法则计算． 【详解】（1）解：，图略； （2）解：借助数轴可知，； （3）解：， ∴两点之间最大距离是． 12．如图所示，已知，两点在数轴上，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离是点到原点的距离的倍． (1)数轴上点对应的数是___________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数为___________．点表示的数与点表示的数之间的关系是___________． (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若在数轴上存在点，使得，请写出表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)，互为相反数； (3)或． 【分析】（1）先求出点到原点的距离，再结合条件算出点到原点的距离，根据点在点左侧，确定点对应的数． （2）点到、距离相等，说明是线段中点，利用中点公式求出表示的数，再对比和的数，写出二者关系． （3）先算出的长度，由得到的长度，分点在的左侧、右侧两种情况，求出表示的数． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴到原点的距离是， ∵点到原点的距离是点到原点的距离的倍 ∴点到原点的距离是， ∵点在点的左侧，点表示的数为， ∴点在原点右侧， 故点对应数为； （2）解：∵点到点、点的距离相等， ∴点表示的数为， ∵点表示的数为， ∴点表示的数与点表示的数之间的关系是互为相反数； （3）解：∵，， ∴， 当在左侧时，表示的数是； 当在右侧时，表示的数是； 综上，表示的数是或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $