专题04有理数的乘方与混合运算及近似数期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年新教材浙教版七年级数学上册

专题04有理数乘方与混合运算及近似数期中复习讲义 1.理解乘方、底数、指数的含义，牢记乘方符号法则，能准确进行乘方计算，分清-an与(-a)n的区别。 2.掌握有理数混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，细心规避符号陷阱。 3.分清准确数与近似数，会识别精确度，理解科学记数法，能按要求取近似值。 4.熟练解决含乘方的规律题、实际应用题，规范书写解题步骤。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★ 题型九 算 “24” 点 ★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:有理数乘方的相关概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 注意：负数或分数作底数时，必须用括号将底数括起来。 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 特殊数乘方结论 1的任意次幂：1n=1 -1的偶次幂：(-1)2n=1；-1的奇次幂：(-1)2n+1=-1 知识点 03 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a 10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。 【科学记数法形式：a 10n，其中1 a < 10，n 为正整数。】 2.规律方法总结： ① 科学记数法中 a 的要求和 10 的指数 n 的表示规律为关键，由于 10 的指数比原来的整数位数少 1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出 10 的指数 n。 ② 记数法要求是大于 10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10 的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号。 知识点 05 有理数混合运算运算顺序（必考核心） 1.优先级从高到低：乘方 → 乘除 → 加减 2.括号规则：有括号先算括号内，顺序：小括号( )→中括号[ ]→大括号{ } 3.同级运算（只有乘除 / 只有加减）：从左往右依次计算 4.简便优化：可灵活使用加法、乘法运算律简化计算 完整计算步骤 ① 先算所有乘方；② 统一除法为乘法，完成全部乘除；③ 最后进行加减；④ 有括号优先算括号内部。 知识点 06 准确数与近似数 准确数：完全符合实际、没有误差的数，能精确表示事物真实数量。 例：班级 45 人、一张试卷 24 道题。 近似数：与实际数值接近、存在一定误差的数，由测量、估算、四舍五入得到。 例：身高 1.65m、全国人口 14 亿。 知识点 07 近似数精确度（重难点） 1.定义：近似数精确到哪一位，就说它的精确度是哪一位。 2.基础判定方法（普通小数 / 整数） 例： 3.2 精确到十分位（0.1）； 5.46 精确到百分位（0.01）； 700 精确到个位。 3.带单位近似数判定 例：3.2 万 = 32000，精确到千位。 例：4.5103=4500，精确到百位。 知识点 08 四舍五入取近似数方法 1.步骤：① 找到要求精确到的数位；② 观察后一位数字；③ 后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去。 2.题型分类： 普通数字精确到指定数位； 大数先四舍五入，再改写科学记数法； 带单位数值取近似值。 举例：把 25680 精确到千位：26000，写成2.6104 知识点09：高频易错点 1.混淆(-a)n和-an，底数判断错误，符号算反； 2.乘方运算顺序错误，先算乘除再算乘方； 3.科学记数法中a范围出错，写成a10或a<1； 4.近似数带单位、科学记数法形式，误判精确数位； 5.0、1、-1 的乘方规律记忆混乱； 6.混合运算跳步计算，符号、绝对值化简出错； 7.四舍五入时，精确数位后全部清零，遗漏末尾 0（如 2.50 精确到百分位，末尾 0 不能去掉）。 题型一 有理数幂的概念理解 1．在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，表示n个a相乘（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 2．计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方和乘法的意义，解题的关键是区分个相乘与个相加的不同，以及个相加的表示方法． 个相乘表示为；个相加表示为；将两部分结果相加即可． 【详解】解：个相乘，根据乘方的意义，可表示为；个相加，根据乘法的意义，可表示为； 因此，原式的结果为． 故选：B． 3．下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据自然数的定义（自然数为非负整数，包括0和所有的正整数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数）、有理数幂的定义（在中，叫做底数，叫做指数）、相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）逐个判断即可得． 【详解】解：（1）0是最小的自然数；则原说法错误； （2）整数和分数统称为有理数，正数和负数不一定都是有理数，则原说法错误； （3）的底数是3，则原说法错误； （4）、互为相反数，则，原说法正确； （5）当时，，则原说法错误； 综上，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了自然数、有理数、有理数幂、相反数，熟记各概念是解题关键． 题型二 有理数的乘方运算 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 5．若 ，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用非负项和为0时各非负项均为0的性质，求出，的值后计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 6．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘法的意义（多个相同加数的和）与乘方的意义（多个相同因数的积），熟练掌握乘法和乘方的定义是解题的关键．根据根据加法及乘方的意义求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 故选：D． 题型三 有理数乘方逆运算 7．已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，乘方，有理数的大小比较，求代数式的值，解题的关键是掌握以上知识点；根据绝对值，乘方的定义，有理数的大小比较求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，的值为， 当时，的值为， 的值为或． 故选：． 8．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 9．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 题型四 乘方运算的符号规律 10．计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算的运算法则是解题的关键．遵循先计算乘方再处理符号的运算顺序计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 11．______． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方法则得题目计算式等于，再根据偶数个负数相乘为正数，即可得，最后根据有理数乘方法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 12．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 题型五 乘方的应用 13．一个圆的直径扩大到原来的3倍，那么它的面积扩大（     ）倍 A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】C 【分析】圆的面积与半径的平方成正比，直径扩大的倍数与半径相同，可通过平方直接得到面积扩大的倍数. 【详解】解：设原圆的直径为， ∴原面积， ∵直径扩大3倍， ∴新直径为， ∴新面积， ∴面积扩大的倍数为. 14．二进制（）是逢二进一的进位计数制，也是现代计算机和数字电子技术的基石．比如数字45，用二进制表示为101101，从右向左．那么数字123用二进制可表示为______． 【答案】 【分析】将十进制数转换为二进制，可使用除2取余法，把每次除以2得到的余数逆序排列，即可得到对应二进制数． 【详解】解：使用除2取余法计算，步骤如下： ，余数为 ，余数为 ，余数为 ，余数为 ，余数为 ，余数为 ，余数为 将所得余数从后往前逆序排列，得到二进制数为 验证：，结果正确． 15．网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，共有（     ）人会收到该信息． A．7 B．64 C．128 D．49 【答案】C 【详解】解：初始时A已收到信息，总人数为1人，第1秒，新增1人，总人数为人； 第2秒，新增2人，总人数为人； 第3秒，新增4人，总人数为人；以此类推，第秒总人数为人； 当时，总人数为人 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 16．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 17．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，那么100兆=________（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】根据题目给出的大数关系，先将1万，1亿，1兆转化为以10为底的幂的形式，再计算100兆，最终整理为科学记数法形式即可． 【详解】解：∵ 1万 ，1亿 万 万 ，1兆 万 万 亿， ∴ 1兆 ， ∴100兆 ． 18．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法形式为，其中， 为整数，对于数字，需确定，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 19．一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 【详解】解：， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． 20．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【答案】5 【分析】由题意得，求出，再结合科学记数法的规则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴这个数中被覆盖的0有5个． 21．已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型八 程序流程图与有理数计算 22．如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出的结果为（     ） A．1 B．4 C．5 D．12 【答案】C 【分析】根据数值转换机的示意图，确定运算顺序为：输入 乘以 2，输入 平方，两者相加后除以 2，代入数值计算即可. 【详解】解：根据数值转换机的示意图，可得运算公式为 ， 当 时， 原式 . 23．如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过的顺序进行运算，可列式为；8经过的顺序进行运算，可列式为，则经过的顺序进行运算的结果为_______． 【答案】23 【详解】解：由题意，得， 所以经过的顺序进行运算的结果为23． 24．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题．先根据数据运算程序计算出前几次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 题型九 算 “24” 点 25．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 26．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：他的算式是． 27．有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意运用有理数运算法则计算即可． 【详解】解：选项，，符合题意． 选项，，不符合题意． 选项，，不符合题意． 选项，，不符合题意． 题型十 含乘方的有理数混合运算 28．定义一种新运算：，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 29．计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据乘方的规律，的偶次幂结果为，奇次幂结果为，分别计算两项后相加即可得到结果． 【详解】解：． 30．下列计算正确的有（　　） （1） （2） （3） （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键． 根据含有乘方的有理数混合运算法则，对每个式子逐一进行计算，判断其正确性，即可解答． 【详解】解：（1），故原式计算错误； （2），故原式计算错误； （3），故原式计算错误； （4） ；故原式计算错误； 综上，正确的有0个； 故选：A． 题型十一 求一个数的近似数 31．下列数中，是准确数的是（     ） A．七年级（）班有学生人 B．我国人口约亿 C．光速约每秒万千米 D．李华身高大约是米 【答案】A 【分析】通过数值是否为精确计数结果、是否带有估计类表述，区分准确数与近似数． 【详解】解：A选项：七年级（1）班的学生数是精确计数得到的准确数，故A选项符合题意； B选项：我国人口约亿是近似数，故B选项不符合题意； C选项：光速约每秒万千米是近似数，故C选项不符合题意； D选项：李华身高大约是米是近似数，故D选项不符合题意． 32．吸烟不仅有害健康而且花钱．如果一位吸烟者每天吸一包元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（   ）元 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一年按天计算，（元）． 33．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似值不正确的是（    ） A．（精确到百分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．27289（精确到千位） 【答案】C 【分析】本题考查了四舍五入法取近似值． 根据四舍五入规则，精确到某一位时，需看下一位数字是否大于等于5，决定是否进位．逐项检查即可． 【详解】解：A． （精确到百分位），原说法正确； B． （精确到千分位），原说法正确； C． （精确到），原说法错误； D． 27289（精确到千位），原说法正确； 故选：C． 题型十二 求近似数的精确度 34．近似数精确到（     ） A．百分位 B．十分位 C．千分位 D．万位 【答案】C 【分析】判断小数形式近似数的精确数位，需确定其最末一位数字所在的数位． 【详解】解：的最末一位数字位于千分位，故该近似数精确到千分位． 35．我国某座大桥的长度约为 米，这个近似数精确到（     ） A．百位 B．十分位 C．千位 D．万位 【答案】A 【详解】解：， ∵的末位数字0在原数中对应百位， ∴这个近似数精确到百位． 36．下列说法中，正确的是（     ） A．0.009精确到百分位 B．精确到千分位 C．800精确到个位 D．56.7万精确到十分位 【答案】C 【分析】判断近似数精确度需确定末位数字所在数位，带计数单位或科学记数法的数先还原为原数再判断． 【详解】解：A．的末位数字在千分位，精确到千分位，故该选项错误； B．，末位数字在百位，精确到百位，故该选项错误； C．的末位数字在个位，精确到个位，正确，符合题意； D．，末位数字在千位，精确到千位，故该选项错误． 题型十三 近似数推断取值范围 37．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四舍五入的法则解答即可． 【详解】解：近似数精确到百分位， ∵ 当千分位数字时，向百分位进1可得到， ∴ 的最小值为， ∵ 当千分位数字时，舍去千分位及后续数位可得到， ∴ ， ∴  ． 38．一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 【答案】 【分析】分“四舍”和“五入”两种情况讨论近似数，“四舍”得到的近似数比原数小，对应原数的最大值；“五入”得到的近似数比原数大，对应原数的最小值． 【详解】解：若原数是通过“四舍”得到近似值，则原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需小于，千分位最大取，因此最大原数为； 若原数是通过“五入”得到近似值，则进位后得到，原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需大于等于，千分位最小取，因此最小原数为． 39．一个数保留一位小数后的近似数是，则这个数的取值范围在下图（数轴的一部分）中表示正确的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，这个数大于或等于小于，故选项B符合题意． 解答题 40．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减． （2）先算中括号外乘方，再算中括号内的部分．中括号内的部分先算乘方，再算乘法，括号内相加 ，最后算括号外的减法． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 41．已知一个棱长为的立方体铁块． (1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为），则溢出水的体积为________． (2)将铁块恰好分割成16个棱长为的立方体与6个棱长为的立方体，求的值． 【答案】(1)512 (2) 【分析】（1）求出铁块的体积即可得出排开水的体积； （2）用铁块的体积减去16个棱长为的立方体的体积，得出6个棱长为的立方体的体积和，再求出一个立方体的体积，即可得出答案． 【详解】（1）解：溢出水的体积为：， 故答案为：512． （2）解：棱长为的立方体的体积为： ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考出乘方的应用，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则． 42．由乘方的定义可知：（个相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________； (2)________； (3)计算：① ② 【答案】(1)900 (2) (3)①1② 【分析】（1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出结论，再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据乘方的定义以及规律求解可得： ； （2）解：根据乘方的定义以及规律求解可得： ； （3）解：① ； ② ． 43．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器），由于不小心，把一个数字污染了． (1)琪琪说：若被污染的数字为最大的负整数，输入的数为，求输出的数； (2)嘉嘉说：若被污染的数字为，输入的数是，求输出的数． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）根据程序，列式计算即可； （2）根据程序，列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，最大的负整数是． 由题意可得， 故输出的数为13； （2）解：由题意可得， 所以不能输出， 只能把当作再次转换，即， 故输出的数为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数乘方与混合运算及近似数期中复习讲义 1.理解乘方、底数、指数的含义，牢记乘方符号法则，能准确进行乘方计算，分清-an与(-a)n的区别。 2.掌握有理数混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，细心规避符号陷阱。 3.分清准确数与近似数，会识别精确度，理解科学记数法，能按要求取近似值。 4.熟练解决含乘方的规律题、实际应用题，规范书写解题步骤。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★ 题型九 算 “24” 点 ★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:有理数乘方的相关概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 注意：负数或分数作底数时，必须用括号将底数括起来。 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 特殊数乘方结论 1的任意次幂：1n=1 -1的偶次幂：(-1)2n=1；-1的奇次幂：(-1)2n+1=-1 知识点 03 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a 10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。 【科学记数法形式：a 10n，其中1 a < 10，n 为正整数。】 2.规律方法总结： ① 科学记数法中 a 的要求和 10 的指数 n 的表示规律为关键，由于 10 的指数比原来的整数位数少 1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出 10 的指数 n。 ② 记数法要求是大于 10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10 的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号。 知识点 05 有理数混合运算运算顺序（必考核心） 1.优先级从高到低：乘方 → 乘除 → 加减 2.括号规则：有括号先算括号内，顺序：小括号( )→中括号[ ]→大括号{ } 3.同级运算（只有乘除 / 只有加减）：从左往右依次计算 4.简便优化：可灵活使用加法、乘法运算律简化计算 完整计算步骤 ① 先算所有乘方；② 统一除法为乘法，完成全部乘除；③ 最后进行加减；④ 有括号优先算括号内部。 知识点 06 准确数与近似数 准确数：完全符合实际、没有误差的数，能精确表示事物真实数量。 例：班级 45 人、一张试卷 24 道题。 近似数：与实际数值接近、存在一定误差的数，由测量、估算、四舍五入得到。 例：身高 1.65m、全国人口 14 亿。 知识点 07 近似数精确度（重难点） 1.定义：近似数精确到哪一位，就说它的精确度是哪一位。 2.基础判定方法（普通小数 / 整数） 例： 3.2 精确到十分位（0.1）； 5.46 精确到百分位（0.01）； 700 精确到个位。 3.带单位近似数判定 例：3.2 万 = 32000，精确到千位。 例：4.5103=4500，精确到百位。 知识点 08 四舍五入取近似数方法 1.步骤：① 找到要求精确到的数位；② 观察后一位数字；③ 后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去。 2.题型分类： 普通数字精确到指定数位； 大数先四舍五入，再改写科学记数法； 带单位数值取近似值。 举例：把 25680 精确到千位：26000，写成2.6104 知识点09：高频易错点 1.混淆(-a)n和-an，底数判断错误，符号算反； 2.乘方运算顺序错误，先算乘除再算乘方； 3.科学记数法中a范围出错，写成a10或a<1； 4.近似数带单位、科学记数法形式，误判精确数位； 5.0、1、-1 的乘方规律记忆混乱； 6.混合运算跳步计算，符号、绝对值化简出错； 7.四舍五入时，精确数位后全部清零，遗漏末尾 0（如 2.50 精确到百分位，末尾 0 不能去掉）。 题型一 有理数幂的概念理解 1．在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的C．他们两人都不对 D．他们都有道理 2．计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 3．下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 有理数的乘方运算 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 5．若 ，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D．3 6．计算（   ） A． B． C． D． 题型三 有理数乘方逆运算 7．已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 8．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 9．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 题型四 乘方运算的符号规律 10．计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 11．______． 12．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 题型五 乘方的应用 13．一个圆的直径扩大到原来的3倍，那么它的面积扩大（     ）倍 A．3 B．6 C．9 D．4 14．二进制（）是逢二进一的进位计数制，也是现代计算机和数字电子技术的基石．比如数字45，用二进制表示为101101，从右向左．那么数字123用二进制可表示为______． 15．网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，共有（     ）人会收到该信息． A．7 B．64 C．128 D．49 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 16．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 17．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，那么100兆=________（用科学记数法表示）． 18．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 19．一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 21．已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 题型八 程序流程图与有理数计算 22．如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出的结果为（     ） A．1 B．4 C．5 D．12 23．如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过的顺序进行运算，可列式为；8经过的顺序进行运算，可列式为，则经过的顺序进行运算的结果为_______． 24．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型九 算 “24” 点 25．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 26．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 27．有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十 含乘方的有理数混合运算 28．定义一种新运算：，则的值为（     ） A． B． C． D． 29．计算的结果是______． 30．下列计算正确的有（　　） （1） （2） （3） （4） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十一 求一个数的近似数 31．下列数中，是准确数的是（     ） A．七年级（）班有学生人 B．我国人口约亿 C．光速约每秒万千米 D．李华身高大约是米 32．吸烟不仅有害健康而且花钱．如果一位吸烟者每天吸一包元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（   ）元 A． B． C． D． 33．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似值不正确的是（    ） A．（精确到百分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．27289（精确到千位） 题型十二 求近似数的精确度 34．近似数精确到（     ） A．百分位 B．十分位 C．千分位 D．万位 35．我国某座大桥的长度约为 米，这个近似数精确到（     ） A．百位 B．十分位 C．千位 D．万位 36．下列说法中，正确的是（     ） A．0.009精确到百分位 B．精确到千分位 C．800精确到个位 D．56.7万精确到十分位 题型十三 近似数推断取值范围 37．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A． B． C． D． 38．一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 39．一个数保留一位小数后的近似数是，则这个数的取值范围在下图（数轴的一部分）中表示正确的是（     ） A．B．C．D． 解答题 40．计算： (1) (2) 41．已知一个棱长为的立方体铁块． (1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为），则溢出水的体积为________． (2)将铁块恰好分割成16个棱长为的立方体与6个棱长为的立方体，求的值． 42．由乘方的定义可知：（个相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________； (2)________； (3)计算：① ② 43．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器），由于不小心，把一个数字污染了． (1)琪琪说：若被污染的数字为最大的负整数，输入的数为，求输出的数； (2)嘉嘉说：若被污染的数字为，输入的数是，求输出的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $