第三十章 直线与圆的位置关系（复习课件）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 复习课件 人教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 02 工具掌握 掌握切线的性质定理与判定定理，会用切线长定理进行计算和证明；掌握三角形内切圆的作法，会求正多边形的边长、边心距、半径和面积。 01 理解直线与圆的三种位置关系，能识别切线、切点、割线、切线长等概念，区分三角形的外接圆与内切圆、外心与内心。 概念识别 深化理解 理解圆心到直线的距离d与半径r的数量关系决定位置关系，能综合运用切线性质、判定、切线长定理解决几何证明与计算问题。 03 思想与应用 体会数形结合、分类讨论思想，能解决油桶靠墙、管道V形架、螺母扳手开口等实际问题，会用等分圆周设计图案。 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 1.切线证明中辅助线的添加，切线性质与判定的综合运用。 2.切线长定理与直角三角形、等腰三角形结合的综合计算，内心与外心性质的辨析。 3.正多边形中半径、边心距、边长构成的直角三角形的计算，实际问题中几何模型的建立。 1.掌握直线与圆三种位置关系的判定，能准确判断直线与圆的位置关系。 2.掌握切线的性质定理和判定定理，能证明一条直线是圆的切线，会用切线长定理进行计算。 3.掌握三角形内切圆、内心的概念，会求正多边形的边长、边心距和面积。 重 点 难 点 4 知识图谱 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 切线长定理 三角形的内切圆 正多边形与圆 画正多边形 5 考点串讲 ——1：直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系：直线和圆没有公共点时，称这条直线与圆相离；直线和圆只有一个公共点时，称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点；直线和圆有两个公共点时，称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线。 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则 直线l与⊙O相离⇔d>r； 直线l与⊙O相切⇔d=r； 直线l与⊙O相交⇔d<r。 归纳总结 （1）位置关系由d与r的大小关系决定； （2）相离无交点，相切一个交点（切点），相交两个交点； （3）判定时先求圆心到直线的距离，再与半径比较。 6 考点串讲 ——2：切线的性质定理 归纳总结 （1）切线⊥过切点的半径； （2）见到切线，连接切点和圆心，得到垂直关系； （3）这是证明垂直、构造直角三角形的重要依据。 切线的性质 ：圆的切线垂直于过切点的半径。 7 考点串讲 ——3：切线的判定定理 切线的判定 ：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 归纳总结 （1）两个条件：过半径外端 + 垂直于半径； （2）有交点：连半径，证垂直； （3）无交点：作垂直，证半径。 8 考点串讲 ——4：切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 归纳总结 （1）切线长：圆外一点到切点之间的线段长； （2）从圆外一点引两条切线→切线长相等、夹角被平分； （3）常连接圆心与圆外一点、圆心与切点，构造直角三角形。 9 考点串讲 ——5：正多边形与圆 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。这个三角形叫作圆的外切三角形。 归纳总结 （1）内心：三条角平分线交点，到三边距离相等，等于内切圆半径； （2）对比外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等； （3）切线长：从三角形顶点到两个切点的线段长相等。 10 考点串讲 ——6：正多边形与圆 把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 归纳总结 （1）中心角=； （2）半径、边心距、边长一半构成直角三角形； （3）正n边形面积=×周长×边心距。 11 题型全解 题型01 直线与圆位置关系的判定 例：已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． B 【解析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 解： 又 （d为C到的距离），即 ，，当 时，圆与相切，有一个公共点，当 时，圆与相交，为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 12 题型全解 方法总结 方法 1：d与r比较法 ①求圆心到直线的距离d； ②与半径r比较大小； ③ d>r相离，d=r相切，d<r相交。 题型01 直线与圆位置关系的判定 方法 2：交点个数法 ①看直线与圆有几个公共点； ② 0个相离，1个相切，2个相交； ③适用于图形直观判断。 题型全解 题型02 切线的证明 例：如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【解析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 证明：连接 ∵， ∴ ∴∴ ∵∴ ∵点在上， ∴为半径，∴直线是的切线． 14 题型全解 方法总结 方法 1：有交点，连半径，证垂直 ①已知直线与圆有公共点； ②连接圆心和公共点，得半径； ③证明这条半径与直线垂直。 方法 2：无交点，作垂直，证半径 ①不知直线与圆是否有公共点； ②过圆心作直线的垂线段； ③证明垂线段长度等于半径。 题型02 切线的证明 题型全解 题型03 切线长定理的应用 例：如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点；(2)求的长． 【解析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论；（2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 16 题型全解 题型03 切线长定理的应用 证明：(1)∵矩形，∴， ∵为半圆O的直径，、CD为的切线， 又AE为切线，，， 在矩形ABCD中，，， ，， 、FC为切线，，，为CD中点． （2）、AE为切线，，设 则，∴， ∵矩形，∴， 在中，即， 又，，． 17 题型全解 方法总结 方法 1：切线长相等法 ①从圆外一点引两条切线； ②两组切线长分别相等； ③结合勾股定理或等腰三角形性质求解。 方法 2：构造直角三角形法 ①连接圆心与切点、圆心与圆外一点； ②得到直角三角形； ③利用勾股定理列方程求解。 题型03 切线长定理的应用 题型全解 题型04 三角形内切圆的计算 例：如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【解析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：（1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出 ，最后利用三角形内角和求出结果；（2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可. 19 题型全解 题型04 三角形内切圆的计算 解：（1）∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ． 20 题型全解 方法总结 方法 1：切线长公式法 ①设三边长为a、b、c； ②从顶点到切点的线段长=； ③结合已知条件求内切圆半径或边长。 方法 2：面积法 ①三角形面积S= ×周长×内切圆半径r； ②已知面积和周长，反求r； ③适用于任意三角形内切圆半径计算。 题型04 三角形内切圆的计算 题型全解 题型05 正多边形的计算 例：如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【解析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可；（2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 22 题型全解 题型05 正多边形的计算 解：（1）如图，连接． ∵正六边形内接于，， ； （2）如图，过点作于点，． 的周长等于，的半径为． ，，是等边三角形，， ，， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 23 题型全解 方法总结 方法 1：直角三角形法 ①连接中心与顶点（半径R）； ②作边心距d（垂直于边）； ③在直角三角形中用勾股定理求解。 方法 2：公式直接代入法 ①中心角= ； ②半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，利用勾股定理进行计算； ③面积=×周长×边心距。 题型05 正多边形的计算 题型全解 题型06 切线综合证明与计算 例：如图，等腰三角形的外接圆是以为直径的，，是的优弧上的任意一点（点不与点重合），连接，作直线交直线于点，使． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)写出的数量关系，请证明你的结论． 【解析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，即可求解；（2）根据等腰三角形的性质以及，可得，即可求证；（3）分点P在上方、下方两种情况讨论：在上（或其延长线上）取点，使，连接，证明，可得，，从而得到为等腰直角三角形，即可求解． 25 题型全解 题型06 切线综合证明与计算 解：(1)∵为的直径，∴； (2)如图，连接， ∵，点O为的中点，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵为半径，∴直线是的切线； (3)、、的数量关系分两种情况：当点P在下方时，；当点在上方时，． 证明如下： ①当点P在下方时，． 证明如下： 如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形为的内接四边形，∴， 26 题型全解 题型06 切线综合证明与计算 ②当点P在上方时，．证明如下： 如图，在上取点，使，连接． ∵四边形为⊙的内接四边形， ∴（同弧所对的圆周角相等）． ∵，，∴． ∴，．∴， 即．∴为等腰直角三角形，∴． ∵，∴． 综上所述，或． ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴，∴为等腰直角三角形， ∴，∵，∴． 27 题型全解 方法总结 方法 1：切线性质+判定综合法 ①见切线→连半径→得垂直； ②要证切线→连半径证垂直或作垂直证半径； ③结合等腰三角形、平行线等性质推导。 方法 2：方程思想法 ①设未知数（半径或线段长）； ②在直角三角形中用勾股定理列方程； ③解方程求出未知量。 题型06 切线综合证明与计算 针对训练 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以R为半径画圆，若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是（　　）． A．R＝ B．3≤R≤4 C．R＜3或R＞4 D．3＜R≤4或R＝ D 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3．由直角三角形面积的计算公式可得CD＝． ∴当⊙C与AB相切时，⊙C与边AB只有一个公共点，此时R＝； 当⊙C的半径大于BC的长而小于等于AC的长时， ⊙C与边AB也只有一个公共点，此时3＜R≤4．综上，3＜R≤4或R＝． 【解析】圆与线段只有一个公共点分两种情况：①圆和线段相切；②圆与线段相交，但只和线段其中一个端点相交（另一个端点在圆外）.先求点到线段的距离，再结合端点到圆心的距离分类讨论半径范围. 针对训练 2．（2026·浙江）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． C 【解析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接，, 多边形为正六边形， 圆心角 ,正六边形的边长为，圆的半径, 为等边三角形， 过点作于点，则, 在中，, 阴影部分的面积． 针对训练 3．（2026·山东青岛）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【解析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 解：如图所示，连接．∵点是切点，∴,∵， ∴,∵，∴,∵,∴为等腰三角形，∴,∴,∵与同底等高，∴， ∵半径，圆心角，∴扇形面积． 针对训练 4．如图，过外一点M引的两条切线，，切点分别是A，B，为锐角，连接并延长，与交于点N． (1)尺规作图：在的延长线上任取一点P，过点P作的垂线，垂足为C．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，直线交的延长线于点D．求证：是等腰三角形． 【解析】（1）根据垂线的基本作图求解即可；（2）根据直角三角形全等的判定和性质，证明即可． 针对训练 解：(1)如图所示，线段即为所求． (2) 如图所示，连接． 由题意，得，． 在和中， ∴． ∴． ∵，，∴ ∴．∴． ∴ ∴是等腰三角形． 针对训练 5．（2026·甘肃兰州）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【解析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论；（2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 证明：(1)连接， 是的直径，是的切线，，， ，，， ，， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； 针对训练 针对训练 （2），在和中，， ，， ，， ，， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 单元总结/易错复盘 ·位置关系判定 直线与圆三种位置关系由圆心到直线距离d与半径r的大小决定：d>r相离，d=r相切，d<r相交。相切是重点，切线性质：切线垂直于过切点的半径；切线判定：过半径外端且垂直于半径。 ·切线长与内切圆 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，连线平分夹角。三角形内切圆圆心是内心（角平分线交点），到三边距离相等；三角形面积=×周长×内切圆半径。 ·答题注意事项 证切线时，有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径；切线长定理注意"从圆外一点引两条切线"的前提；内心是角平分线交点（到三边等距），外心是垂直平分线交点（到三顶点等距），二者勿混淆；正多边形计算抓住半径、边心距、边长一半构成的直角三角形。 37 人教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $