第二十九章 圆（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十九章 圆 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（    ）m2． A． B． C． D． 3．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．在中，，则的外接圆的半径长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 5．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 6．如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，直径，是圆上一动点，在弦上，且，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 10．如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：①平分；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（   ） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，在中，，是上一点，则______． 12．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________． 13．如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 15．如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 16．以为直径的与相切于点A，弦于点H连接并延长交于点F、交于点G，连接．若，，．则______，______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）已知扇形的弧长为，半径为，求这个扇形的圆心角的度数． 18．（8分）如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 证明：∵四边形为内接四边形， ∴ ①  ， ∵， ∴ ② ， ∵平分， ∴ ③ ， ∴， 又∵ ④ （同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴． 19．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 20．（10分）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 21．（10分）如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 22．（10分）在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 23．（10分）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 24．（10分）如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的与相切于点D，与相交于点F． (1)求证：平分； (2)若，求图中阴影部分的面积． 25．（10分）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用) 第二十九章圆（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B D C & 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.135 12.18 13.12 14.(2,) 3V32元 15.23 20V6 16. 45 3 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)解：设这个扇形的圆心角为n度，已知扇形弧长为240m,半径为180，根据扇形弧长公式 nm×180 可得 180 =240m,4分 化简得m=240π， 解得n=240」 答：这个扇形的圆心角为240°.8分 18. (8分)作图如图， 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D4分 O. ∠BCD,∠BCD=∠EAD,∠CAD=∠EAD,∠BCD=∠CAD..8分 19.(10分)(1) △AB,C 解：如图所示， 即为所求： -4-3-2-10 5分 (2)解：AC=V4+P=V7 C 小点C旋转到点C的过程中线段4C扫过的面积为： 90×πx7_17r 360 4· …10分 20.(10分)(1)解：连接OA,设喷泉的半径为r,则OA=OC=r, 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 图2 ∴.OD=OC-CD=r-2 D是弦AB的中点， B 0D14AB、AD= 2x8=4, .∠ODA=90° 在Rt△AOD中，OA=AD2+OD2, 即2=4+(-2 解得r=5, 喷泉的半径为5米；5分 (2)解：由题意得：R=5+1=6米， 则2×6×3÷1.5=24盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯.10分 21.(10分)(1)解：四边形ABCD内接于⊙0， ∴.∠BAD+∠BCD=180° .∠BAD=70° ∴.∠BCD=180°-70°=110°. AC是⊙O的直径， LADC=∠ABC=90°：5分 (2)解：连结OD, 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E O 是直径， A .AC AC=10 ∴OA=OD=OC= -AC=5 直径AC⊥BD DE=BE-2BD=- 28=4 在直角△ODE中，由勾股定理可得： 0E=VOD2-DE=52-42=3 .AE=AO+OE=5+3=8, CE=C0-0E=5-3=2.10分 2.(10分)解：如图，用B表示主桥拱，设B所在圆的圆心为0，半径为R,经过圆心0作弦1B 的垂线，D为垂足，与相交于点C,连接O1,根据垂径定理，D是4B的中点，C是 D的中点， CD就是拱高， B .4分 根据题意可知，AB=37.02m,CD=7.23m, 则4D=8D-号4B=1851m,00=0C-cD=(R-72)m-6分 在RtAADO中， 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04=0D2+AD,即R=(R-7.23+185P 解得R≈27.3m, 故桥拱所在圆的半径为27.3m.10分 23.(10分)(1)证明：四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠BCD+∠DAB=180° .∠EAD+∠DAB=180°， ·∠EAD=∠BCD .DB=DC, .∠DBC=∠BCD」 .∠DBC=∠EAD, ∠DAC=∠DBC, .∠EAD=∠DAC, AD平分∠EAC;5分 (2)解：过D作DG⊥AC于G, E\E 平分 .AD ∠EAC DF⊥BEDG⊥AC .DF=DG. 在RtADFA和Rt△DGA中 AD=AD DF=DG ∴.RtDFAS≌RtADGA(HL) ..AG=AF =1, 在Rt△DFB和RtADGC中 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DB=DC DF=DG ∴.RtADFB≌Rt△DGC(HL) ..BF=CG BF=AB+AF=6+1=7, CG=7, ∴.AC=AG+CG=1+7=8 答：AC的长为8.10分 24.(10分)(1)证明：连接0D, 0 与 相切于点D, B D C:⊙OBC .OD⊥BC, 即∠ODB=90°， ∠C=90°， ∠ODB=∠C, .OD∥AC, .∠DAC=∠ODA, .OD=OA. .∴∠BAD=∠ODA, ∴.∠BAD=∠DAC AD平分∠BAC5分 (2)解：设OD与EF交于M,连接OF, :AE是⊙0的直径， .∴.∠AFE=90° OD∥AC, 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OME=∠AFE=90°， 即OD⊥EF, .OE=OF, .∠DOE=∠DOF,ME=MF, E-E=2, 2AE=2 .∴.OD=OA=OE ∴.OB=BE+OE=4, 在Ri△OBD中，c0s∠DOE=OD=1 OB 2, ∴.∠DOE=∠DOF=60° ME-MF-OE.sin-2x 2 =V3 0M=0E-cos60=2x7i,ZE0F=/D0E+/00F=12009 2 .EF=ME+MF=2√3 120m×224 .S扇形OF= 360=3元，S0 =EF.0M=x23x1=5, 2 4 ∴S世=S形OBr-Sa0r=3 π-5 10分 B D 25.(10分)(I)证明：连接BD、BC, AC=AD .∠ADC=∠ACD AB为⊙0的直径， .∠ADB=∠ACB=90°， 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD, .∠BDC=∠BCD. BC=BD .∠BAC=∠BAD」 .AB平分∠CAD: 0 E B 3分 C 图1 (2)证明：连接AF, :F-f元 .∠FAC=∠FDC, BD=BD, ∴.∠BFD=∠BAD, .∠ADF=2∠BFD, .∠ADF=2∠BAD, :AB平分∠CAD ∴.∠CAD=2∠BAD .∠CAD=∠ADF, 又，∠FAC=∠FDC, .∠CAD+∠FAC=∠ADF+∠FDC, 即∠FAD=∠ADC, .FD-AC .DF=CA, .CA=DA, 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF DA: D 6分 图2 (3)解：连接AF、OD 由(1)知，AB平分∠CAD .∠EAD=∠EAC, AC=AD,AE=AE, 片△ACE2aADE(SAS) ∴.∠AED=∠AEC :·∠AED+∠AEC=180°， .∠AED=∠AEC=90°， 即AB⊥CD 在RUAODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD, 由(2)知，DA=AD,∠CAD=∠ADF,DF=CA, ,△DAC≌△ADF(SAS) ..CD=FA. .BF BE =CD. .'BF+BE=FA, :AB为⊙O的直径， .∠AFB=90°， 在Rt△AFB中，根据勾股定理得，AF2+BF2=AB2, .AF CD .'CD2+BF2 AB2. 又：AB为⊙O的直径，AB⊥CD, 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=20B-20D DE-CE=1CD 2 (2DE)+B-(20B) 整理得，4DE2+BF2=4OB2, 即4DE2+BF2=4OD2 又：0E2+DE2=0D2, 4DE+OE+DE) 整理得，4DE2+BF2=40E2+4DE2, BF2=40E2, OE=3, .BF=6, 设BE=x,则OD=OB=OE+BE=3+x,CD=BF+BE=6+x, 0e-cD06+=3+, 在RtAODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2, +3+=6+ .1 整理得：x2+4x-12=0, 解得：为=2戈=6 (舍)， .BE=2, 1 DE=3+5x=4, 在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2+DE2=BD, .BD2=22+42=20, 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=25 E B 10分 C F 图3 11/11命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第二十九章圆 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知⊙0的半径为l0cm,点A为平面内一点，且OA=8cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在⊙0上 B.点A在⊙0内 C.点A在⊙0外 D.无法判断 【答案】B 【详解】⊙0的半径r=10cm,点A到圆心O的距离OA=8cm, ..OA<r .点A在⊙0内 2.已知圆的周长为4πm,则这个圆的面积是()m, A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】B 【分析】根据圆的周长是2πr易得圆的半径是2，再用圆的面积公式2可得该圆的面积是4π. 【详解】解：根据题意：圆的半径是4π÷π÷2=2 ∴.圆的面积是π×22=4π 故选B 【点睛】本题主要考查圆的周长与面积公式的灵活应用，解题的关键是熟练记住面积和周长的公式， 3.如图，在⊙0中，圆心角∠AOB=120°，点C是弧AB的中点，则∠ACB的度数为() 1/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C 【分析】连接OC,由弧与圆心角之间的关系可得∠AOC=∠BOC=60°，证明△AOC,△BOC都是等边三 角形，可得∠0CA=60°，∠0CB=60°，据此可得答案. 【详解】解：如图所示，连接OC, ,点C是弧AB的中点， .AC-BC .∠AOC=∠BOC. .·∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°， ∴.∠A0C=∠BOC=60°， ..OA=OB=OC ·.△AOC,△BOC都是等边三角形， ∠0CA=60°，∠0CB=60°， ∴.∠ACB=∠OCA+∠OCB=120° 4.在△ABC中，∠A=30°，BC=6,则△ABC的外接圆的半径长为() A.3 B.4 C.6 D.2 【答案】C 【详解】解：如图，连接OB,OC, 2132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ∠A=30°， ∴.∠B0C=2∠A=60°， OB=OC :.△OBC是等边三角形， ∴OB=OC=BC=6 5.如图，AB是OO的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则CD的长是() A.3 B.2 C.6 D.4 【答案】B 【分析】连接OA,由垂径定理求出MD=2AB=4,由勾股定理即可求出OD的长，再求出CD的长即可， 【详解】解：连接OA,如图所示： B C :半径OC⊥AB于点D, 40-4=8=4, 2 3/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0A=0C=5 ..OD=V04-AD2=3 ..CD=OC-OD=5-3=2 6.如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=66°，则∠CBA的度数为() A.24° B.33 C.34° D.66° 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求得∠ACB=90°，据此求解即可. 【详解】解：，AB是⊙O的直径， 、∠ACB=90° ,∠BAC=66°， .∠CBA=90°-∠BAC=24° 7.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，点O在线段AB上，∠AOC=92°，则∠ADC=() B A.46° B.92° C.112° D.134° 【答案】D AC 【分析】由圆周角定理可得圆周角等于圆心角的一半，弧 所对的圆周角为1BC=46°，故 ∠ADC=180°-46°=134° 【详解】解：∠AOC=92°， 4/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC= ∠40C=46° ∴.∠ADC=180°-46°=134° 8,如图，同O是矩形4BCD的外接圆，者4B=5,BC=,则图中阴形都分的面积是《) B A.4z-√5 B.π-5 c. 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线， 连接AC, 首先根据题意得到点O是AC的中点，然后利用勾服定理求出AC-2,40=C0 24C=1 然后利用阴影部分的面积 So0-S矩形ABCD 代数求解即可. 【详解】如图所示，连接AC, A D ,圆O是矩形ABCD的外接圆， “点O是AC的中点 ∠B=90°.AB=V3BC=1 4C=+BC)+P=2 :.A0=C0=4C=1 2 5132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .阴影部分的面积 =S0-S矩形HCn=π·A02-AB.BC=πxP-V3x1=π-V3 故选：B 9.如图，在O0中，直径BC=4,A是圆上一动点，D在弦AC上，且∠CBD=2∠ABD,则D0的最小 值为( 2 A.2 B.1 c.2 D.3 【答案】C 【详解】解：如图，延长BD交OO于点F,在BD延长线上取一点E使CD=CE,连接CE,CF, 令∠ABD=a, .∠CBD=2∠ABD. .∠CBD=2a,∠ABC=3a. :点A在圆上，BC是圆的直径， ∴.∠BAC=90」 ∠ACB=90°-∠ABC=90°-3a, :∠EDC是△BDC的一个外角， ,∠EDC=∠CBD+∠DCB=2a+(90°-3a)=90°-a CE=CD, ∴.∠CED=∠EDC=90-a, 点F在圆上， 6/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BFC=90°， ·∠BAC=∠BFC, :∠ADB=∠FDC, △ADBAFDC, .∠FCD=∠ABD=a. .CD=CE,∠BFC=90°， .∠ECF=∠DCF=a,∠DCE=2∠DCF=2a, ∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°-3a+2a=90°-a, .∠DBC=2a, .∠DBC=∠DCE. ,∠DEC=∠BEC, △CDE∽△BCE, DE CD ·CEBC ,∠BCE=90°-a,∠BEC=90°-a ∴BE=BC=4, 设BD=m, .DE BE-BD=4-m. 4-m CD CE4’ .CD=CE ÷CD2=44-m）=16-4m 过点D作DT⊥BC于点T,如图： D 7132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在RtADTB中，DT2=BD-BT2, 在RtDTC中，DT'=DC2-CT2=DC2-(BC-BT} :BD-BT2=DC2-(BC-BT) 2BC.BT BC2+BD2-CD2 ,BC=4, :8BT=16+BD2-CD2 B7=16+BD2-CD2 8 在RtADTO中， 0D2=0T2+DT2 =(OB-BT)+BD2-BT2 =OB2 -20B.BT+BT2+BD2-BT2 =OB2-2OB·BT+BD2 .0B=6C=2B7=16+BD2-CD 2 8 .0D2=4-16+BD2-CD2)+BD2 48-0+号c+0 2 =BD+cD2-4, 2 .BD=m CD2=16-4m 0m+6-4m-4. 2 8/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 无7m2-2m+4y m-2+2. (m-2}≥0 0D2≥2 ·.OD最小值为V2. I0.如图，在OO的内接四边形ABCD中，DB=DA,过点D作BC的垂线交BC延长线于E.则下列结论： DC平分4C5,②若点C是D中点，则CD平行于△1BD的莱条角平分线：③ AC+BC=12 DE=3.则D1=7:④若4C-BC=4,DB=3,则DC 其中正确的有() D E 0 B A.①③ B.①②④ C.②④ D.①②③④ 【答案】B 【详解】解：：DB=DA, ∴.∠DAB=∠DBA, 4D=AD .∠DCA=∠DBA, ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠DCB+∠DAB=180°， ,∠DCB+∠ECD=180°， 9/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ECD=∠DAB :.∠ECD=∠DCA,即DC平分∠ACE,故①正确： C BD 点是 中点， CD=BD .CD=BD ∠CDB=2（180P-ZDCB), 又：∠DCB+∠DAB=180°. .∠DBA=∠DAB=180°-∠DCB, 如图所示，BF平分∠DBA, D E O. .∠DBF= 080°-∠DCB=ECDB .CD∥BF;故②正确； 如图所示，过点D作DG⊥AC于点G, 0 B A 由①可得DC平分∠ACD, .'DE=DG. RtAEDCS≌RtAGDC(HL) 10/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CE=CG 又，DB=DA,DE=DG Rt△EDB≌RtAGDA(HL) .'AG=EB. .AC+BC=AG+CG+BE-CE=2BE=12 .'.BE=AG=6. 在RADG中，AD=DG+AG-V6+=35,枚国不正确 若AC-BC=4,DE=3, .AC-BC=AG+CG-(BE-CE)=2CE=4 ∴.CE=2, 在Rt△CDE中，DC=VEC+DE=V2+3=iB, 故④正确， 故选：B 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 o0中，∠40B=90:C是 B上一点，则 ∠ACB= 11.如图，在中， B 【答案】135 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解即可. 【详解】，∠AOB=90° ∴.优弧AB所对应的圆心角为360°-90°=270°， 根据圆周角定理得： 11/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷优弧4B所对应的圆周角为∠ACB=)×270=135 ABCDE 内接于O0,点P是4 .⊙0 CF ∠BCF 12.如图，正五边形 的中点，连接，则 的度数是 【答案】18 【详解】解：如图所示，连接OB,OAOF, :正五边形ABCDE内接于⊙O :∠A0B=360 =72° AB :点F是劣弧D的中点， :∠B0F=)∠A0B=36° 2 :∠BCF=)∠BOF=18. 故答案为：18 A F B 13.如图，己知OB为⊙0的半径，且OB=10cm,弦CD⊥OB于M.若OM:MB=4:L.则CD长为 cm 12/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】12 【分析】根据OB=10cm,OM:MB=4:l,可求得OM的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案. 【详解】解：：弦CD⊥OB于M, .CM=DM=1CD 2 .OM:MB=4:1. .4 ..OM=OB=8cm 5 ..OC=OB=10cm. ÷CM=v0c-0M=io2-8=6(cm), ∴.CD=2CM=12cm 14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧，则圆心的坐标 是 3 0 1 2345 【答案】 (2,1) 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心. 如图所示，则圆心是(2，) 3 2 ,1 2345x 13/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： (2,1) 15.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿BC翻折，点O的对应点O恰好落在 BC 上，点A的对应点为D,过点C的切线与BD交于点丑.若B=4则图中阴影部分的面积为 D B 0 3W52m 【答案】23 【详解】解：连接OC,O0,C0,如下图所示. D 由翻折，可知OB=OB,OC=O'C. 又：OB=OC, ∴.0B=O'B=OC=OC=2 ∴.四边形OBO'C为菱形 ∴.OC∥BD :CE是半圆O的切线， .∠0CE=90° ∴.∠BEC=90° .OB=00',OB=0'B. :.△OBO'为等边三角形. 14/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABD=∠OO'B=L00'B=60° :四边形OBO'C为菱形， :.∠C00'=∠0'0B=60°，∠C00=∠00B=60° ∴∠C0E=60° ∴.∠EC0'=30° 在aCB0中，0E=)0C=l. 2 CE=CO2-0E-3 BE-B0+EO-3 S.con=S.cro 片8e=5mw5xg62-352 36023. I6.以AB为直径的⊙O与AC相切于点A,弦DE⊥AB于点H连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于点 G,连接OD.若∠DOH=2∠C,OD=6,AH=2.则DE=一，CG=. B H 20V6 【答案】 4v5 3 【详解】解：DE⊥AB,OD=6,AH=2, ∴.OH=OA-AH=OD-AH=6-2=4,∠OHD=90°， 由勾股定理得DH=VOD2-0H=V36-16=2N5 由垂径定理得 DE=2DH=4V5 15/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :⊙0与AC相切于点A, ∴.BA⊥CA .DE∥CA, ∴LGDE=LC, 如图，连接AE,AG」 B A AD=AD ∠DOH=2∠C :∠DEA=∠DGA=)∠DOA=∠C=∠GDE, 2 .AC=AG,AE∥CG 又DE∥CA. ∴四边形ACDE为平行四边形， :4C=DE=4W5,AE=CD.∠HEA=∠C=∠HDF :4G=45 .'∠HEA=∠HDF,EH=DH,∠AHE=∠FHD △AHE≌AFHD(ASA) .AE=DF,AH=FH=2, .AF=4, 16/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点G作GM1CA的延长线于点M, 设GM=aMM=,则CM=45+b, ,∠GCM=∠FCA,∠GMC=90°=∠FAC, ∴.aGCM∽aFCA, GM CM a 4v5+b :AF=4C,即44V5, b=V5(a-4) 解 由勾股定理得AG2=AM?+GM,即(45=b2+d=[V5(a-4了+a2, 解得a20 3或a=0(舍去)， 厂3 :CM=45+85205 33， 由勾股定理得 CG=CM'+GM=20/6 3 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)已知扇形的弧长为240m,半径为180，求这个扇形的圆心角的度数. 【答案】240° 【分析】设扇形圆心角为度，代入扇形弧长公式列方程求解即可. 【详解】解：设这个扇形的圆心角为n度，已知扇形弧长为240π，半径为180，根据扇形弧长公式可得 nm×180 180 =240元， 化简得m=240π， 17/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得n=240 答：这个扇形的圆心角为240° 18.(8分)如图，已知点A,B,C在OO上，E是BA延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出 ∠EAC的角平分线AD交OO于点D,连接BD,CD,猜想线段BD与CD的数量关系，并证明你的猜想. (尺规作图保留作图痕迹，不写作法) E B 证明：，四边形ABCD为⊙O内接四边形， ∴，∠BAD+①=180°， ∠BAD+∠EAD=180°， ②， :AD平分∠CAE, ③， .∠BCD=∠CAD. 又，④（同弧所对的圆周角相等）， ∴.∠BCD=∠CBD. .BD=CD 【答案】 作图如图， 18/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCD,∠BCD=∠EAD.,∠CAD=∠EAD,∠BCD=∠CAD 【分析】先作出作出∠EAC的角平分线AD,然后通过圆周角定理得∠BAD+∠BCD=18O°，又 ∠BAD+∠EAD=I80°，则∠BCD=∠EAD,再由圆周角定理得∠CBD=∠CAD,再利用弧、弦、圆心角的关 系即可求解. 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图一一作角平分线，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关 系，掌握知识点的应用是解题的关键 19.(10分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点坐标分别为 (-1,1),B(-2,3),C(-5,2) B 2 5-4-3-2-19 2 45 ()画出△1BC 1BC绕点A顺时针旋转0°后得到 △ABC (2)求点C旋转到点C的过程中线段1C扫过的面积（结果保留不）. 19/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) △AB,C 解：如图所示， 即为所求： B -4-3-2-10 345X 3 17π (2)4 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的 位置是解题的关键。 (I)将△ABC 90° △AB,C 的三个顶点绕点A顺时针旋转心得到对应点，再顺次连接即可得到 (2)利用勾股定理求出AC的长，再利用扇形面积公式即可求解. 【详解】(1)略 (2)解： AC=√42+12=17 C “点C旋转到点的过程中线段AC 扫过的面积为： 90×元x1717元 360 4 20.(10分)如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一 圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB=8米，D是弦AB的中点，连接OD并延长，交 劣弧AB于点C,CD=2米 信息二：己知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆.请根据以上信息解答 下列问题 20/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 图1 图2 (1)求喷泉的半径： (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3，结果保留整数） 【答案】(1)5 (2)24 【分析】(1)连接OA,设喷泉的半径为r,则OA=OC=r、OD=r-2,由垂径定理可得OD⊥AB、 D=)B再利用勾股定理得到0=D+O0,据此列方程求解即 (2)由(1)可知R=r+1米，利用圆的周长进行求解即可. 【详解】(1)解：连接OA,设喷泉的半径为r,则OA=OC=r, 图2 ∴.OD=OC-CD=r-2 :D是弦AB的中点， OD⊥AB、 4D-14B-1x8-4. 2 2 ∴.∠ODA=90° 在Rt△AOD中，O2=AD2+OD2, 即2=4+r-2 解得r=5, .喷泉的半径为5米 21132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由题意得：R=5+1=6米， 则2×6×3÷1.5=24盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯. 21.(10分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，且AC⊥BD,垂足为E, D B E A (1)若∠BAD=70°，求四边形ABCD其余各角的大小： (2)若AC=10,BD=8,求AE,CE的长. 【答案】(1)∠BCD=110°；∠ADC=90°：∠ABC=90 (2)AE=8,CE=2 【分析】()利用圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角是直角即可得到答案； (2)利用垂径定理、勾股定理即可求出答案。 【详解】(1)解：四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠BAD+∠BCD=180°， :∠BAD=70°， ∴.∠BCD=180°-70°=110°， :4C是⊙0的直径， ∠ADC=∠ABC=90°： (2)解：连结OD, E 是直径， 4 .AC AC=10 22132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0M=0n-0c=4c=5, ~直径AC⊥BD, 1 1 ∴.DE=BE=BD=×8=4 2 在直角aODE中，由勾股定理可得： 0E=VOD2-DE2=V5-42=3 ∴.AE=A0+OE=5+3=8. CE=C0-OE=5-3=2 22.(10分)在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥一一赵州桥，距今已有1400多年的历史.赵 州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶.赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高 (弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.23m,跨度（弧所对弦的长）为37.02m,求桥拱所在圆的半径」 (结果精确到0.lm) 【答案】27.3m 【分析】根据题意构建拱形图形，利用勾股定理、垂径定理列方程解题. 【详解】解：如图，用B表示主桥拱，设所在圆的圆心为，半径为R,经过圆心O作弦B的垂线 AB 0 为垂足，与B相交于点C,连接，根据垂径定理，D是4的中点，C是 OA CD 的中点，就是拱 高， 23/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C R 0 根据题意可知，AB=37.02m,CD=7.23m, 4D=BD=74B=18.51m.OD=OC-CD=(R-7.23)m: 在RtAADO中， 0M=0D2+AD2,即R=(R-7,23+18.51P 解得R≈27.3m, 故桥拱所在圆的半径为27.3m 23.(10分)如图，圆内接四边形ABCD满足DB=DC,连结AC、BD,E是BA延长线上的一点，过 点D作DF⊥BE于点F, E F D (I)求证：AD平分∠EAC: (2)若AB=6,AF=1,求AC的长， 【答案】(4)证明：~四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BCD+∠DAB=180°， ,∠EAD+∠DAB=180° .∠EAD=LBCD, DB=DC ∴.∠DBC=∠BCD .∠DBC=∠EAD 24/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DAC=∠DBC, .∠EAD=∠DAC, AD平分∠EAC: (2)8 【详解】(1)略 (2)解：过D作DG⊥AC于G, E D A 平分 AD ∠EAC DE⊥BEDG⊥AC ∴.DF=DG 在RtADFA和Rt△DGA中 AD=AD DF=DG :.RtaDFAS≌RtADGA(HL) ∴.AG=AF=1. 在Rt△DFB和RtADGC中 「DB=DC DF=DG ∴.RtADFB≌RtADGC(HL) ∴.BF=CG」 :BF=AB+AF=6+1=7, ∴CG=7, .AC=AG+CG=1+7=8, 答：AC的长为8 25132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙0与BC相切于点 D,与AC相交于点F. O B D (I)求证：AD平分∠BAC； (2)若BE=)AE=2,求图中阴影部分的面积 【答案】(1)证明：连接OD A 与 相切于点D, C.⊙0 BC .OD⊥BC, 即∠ODB=90°， ∠C=90°， 、∠ODB=∠C, .OD∥AC, ∴.∠DAC=∠ODA, OD=0A. .∠BAD=∠ODA, ∠BAD=∠DAC, .AD平分∠BAC ®手-5 【分析】(1)根据圆的切线的性质可得OD⊥BC,可进一步证明OD‖AC,再根据平行线的性质及等腰 三角形的性质，即可证明结论： 26/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设OD与EF交于M,连接OF,先求出OD=2,OB=4,得到∠DOE=60°，进一步求得 ∠E0F=120°EF=2N3 ,即可根 S形=Sawor-.o时求解。 【详解】(1)略 (2)解：设OD与EF交于M,连接OF, :AE是⊙O的直径， ∠AFE=90°， :OD∥AC, ∴.∠OME=∠AFE=90°， 即OD⊥EF, :OE=OF, ∴.∠DOE=∠DOF,ME=MF, E-46=2, 1 0D=0M=0E=24E=2 ∴.OB=BE+OE=4, 在R△OBD中，os∠DOE=OD=1 OB 2 ∴.∠DOE=∠DOF=60°， :ME=Mr=0B.sm60=2x5-5 2 1 0M=0E-cos60°=2×2l,∠B0F=∠D0E+∠D0F=120°， ..EF ME+MF=23 202-,5mr0w-28x1-5j 120m×224。 :.S扇形OEF= 2 4 S阴影=S形or-SAOr=7元-V5 3 27132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 25.如图，△ACD内接于⊙O,AC=AD,AB为⊙O的直径，AB交CD于点E. D D D E B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AB平分∠CAD: (2)如图2，点F在弧AC上，连接DF、BF,∠ADF=2∠BFD,求证：DF=DA; (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD,若BF+BE=CD,OE=3,求BD的长. 【答案】(I)证明：连接BD、BC, .AC=AD ·.∠ADC=∠ACD, :AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°， ,∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD. ·.∠BDC=∠BCD .BC=BD ∠BAC=∠BAD. .AB平分∠CAD: 28/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B C 图1 (2)证明：连接AF, F元=F元 '.∠FAC=∠FDC, BD=BD, ∴.∠BFD=∠BAD, ,∠ADF=2∠BFD, ∴∠ADF=2∠BAD, :AB平分∠CAD .∠CAD=2∠BAD .∠CAD=∠ADF, 又：∠FAC=∠FDC ∴，∠CAD+∠FAC=∠ADF+∠FDC, 即∠FAD=∠ADC. :而-c ∴DF=CA CA=DA, ∴.DF=DA: D B 图2 29/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=25 (3) 【分析】(1)根据等边对等角得到∠ADC=∠ACD,圆内直径所对的圆周角是直角得到 ∠ADB=∠ACB=9O°，利用角之间的和差关系得到∠BDC=∠BCD,再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相 等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论： (2)根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到∠FAC=∠FDC和∠BFD=∠BAD,再结合条件，利用(1) 的结论得到∠CAD=∠ADF,利用角之间的和差关系得到∠FAD=∠ADC,最后利用同圆中相等的圆周角 与弧、弦的关系得出结论： (3)根据全等三角形的判定和性质得到AB⊥CD和CD=FA,根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到 BF2=40E2 BE=x RtaODE BE=2 ,Rt△BDE ,设 ，在 中，根据勾股定理列方程得，最后在 中，根据勾股 BD=2√5 定理得 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：连接AF、OD, 由(1)知，AB平分∠CAD, .∠EAD=∠EAC, AC=AD,AE=AE, △ACE≌AADE(SAS) ∴.∠AED=∠AEC、 ,∠AED+∠AEC=180°， ∠AED=∠AEC=90°， 即AB⊥CD 在RtAODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2, 由(2)知，DA=AD,∠CAD=∠ADF,DF=CA, ,△DAC≌AADF(SAS) ∴CD=FA, 30/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF+BE=CD, ∴BF+BE=FA, ,AB为⊙0的直径， ∠AFB=90°， 在Rt△AFB中，根据勾股定理得，AF2+BF2=AB2, .AF =CD. .CD2+BF2=AB2, 又：AB为OO的直径，AB⊥CD, AB=20B=20D:DE=CE=CD, ÷(2DE'+BF2=(20By2 整理得，4DE2+BF2=4OB2, 即4DE2+BF2=4OD2 又OE2+DE2=0D2, 4DE2+BF2=4(OE2+DE2） 整理得，4DE2+BF2=4OE2+4DE2, .BF2=40E2, .0E=3, BF=6. 设BE=x,则OD=OB=OE+BE=3+x,CD=BF+BE=6+x, 在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD', 3+-6+ 2 31/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得：x2+4x-12=0, 解得： x=2x2=-6 (舍)， BE=2, :DE=3 2x4 在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2+DE2=BD, .BD2=22+42=20 BD=25 D B 图3 32/32 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十九章 圆 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（    ）m2． A． B． C． D． 3．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．在中，，则的外接圆的半径长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 5．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 6．如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，直径，是圆上一动点，在弦上，且，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 10．如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：①平分；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（   ） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，在中，，是上一点，则______． 12．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________． 13．如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 15．如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 16．以为直径的与相切于点A，弦于点H连接并延长交于点F、交于点G，连接．若，，．则______，______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）已知扇形的弧长为，半径为，求这个扇形的圆心角的度数． 18．（8分）如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 证明：∵四边形为内接四边形， ∴ ①  ， ∵， ∴ ② ， ∵平分， ∴ ③ ， ∴， 又∵ ④ （同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴． 19．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 20．（10分）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 21．（10分）如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 22．（10分）在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 23．（10分）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 24．（10分）如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的与相切于点D，与相交于点F． (1)求证：平分； (2)若，求图中阴影部分的面积． 25．（10分）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $