精品解析：上海市川沙中学2026-2027学年高三上学期期中数学试卷

川沙中学2026学年高三上期中 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合交运算即可求解. 【详解】由1<2及集合的交运算可知，. 故答案为： 2. 不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【详解】，， ，， 不等式的解集是. 3. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 则，所以， 所以， 所以该圆锥的体积为. 4. 已知的展开式中，的系数是．则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，进而即得． 【详解】∵的展开式通项为 ， 令，可得， 所以的系数等于， 解得. 故答案为：． 5. 已知函数，是偶函数，则a+b=________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答. 【详解】因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即，解得， 显然，，即，整理得， 而不恒为0，于是得，解得， 所以. 故答案为：4 6. 已知，试用表示________． 【答案】 【解析】 【详解】由换底公式可得：  ， 又  ， ，又， 所以. 7. 设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421    6606580562    6165643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 【答案】43 【解析】 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字， 读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)， 60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个）， 故选出来的第5个个体的编号为43． 8. 如图，在中，，E是BD上的一点，若，则实数m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先设，利用向量的三角形法则得出则，由此解出，再由已知得，根据平面向量基本定理列出方程，即可求出实数m的值. 【详解】解：设，则， 即，， ∴， 由已知得，∴，解得， 故答案为：. 9. 将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算所有满足每个家庭至少1人的总分配方法数，再计算甲恰好被安排在A家庭的分配方法数，二者的比值即为所求概率. 【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种. 志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况： ① A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种； ② A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种. 因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种. 故所求概率为. 10. 设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，分类讨论函数值情况，根据最值定义，求解不等式即可. 【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增， 因此此时函数最大值为，当时，函数为， 若，则函数在上单调递增， 此时函数不存在最大值， 当时，函数在上单调递减， 则此时，取不到最大值， 此时若该函数有最大值，应有，解得. 11. 已知函数，若有三个零点，则的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】有三个零点等价于与有三个交点，当与相切时，求出对应切线，则由数形结合可判断的取值范围. 【详解】有三个零点等价于与有三个交点，如图所示. 当与相切时，此时恰有两个交点，设切点为 ，则切线方程为， ∵切线过，∴，∴切线斜率为. 由图易得，当时，与有三个交点. 故答案为： 12. 如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “”是“直线与垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的知识点解答. 【详解】当时，两条直线分别为：和，所以斜率均存在，且乘积为：，所以两直线垂直，所以充分性成立； 当时，易得两直线分别为：和，明显不垂直；当时，若两直线垂直，则，解得：，所以必要性不成立， 综上所述，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 14. 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理、性质定理逐项判断各命题的真假即可. 【详解】对于A，若，，，则与的位置关系为平行、异面或相交，故A错误； 对于B，若，，由面面平行的性质可得，又，由线面垂直的性质可得，故B错误； 对于C，若，，则或，又： 当时，由线面垂直的性质可得； 当时，由线面垂直的定义可得，故C正确； 对于D，若，，则与的位置关系为、或与相交，故D错误. 15. 关于事件，，若，，则以下结论正确的为（ ） A. 若，为对立事件，则，不可能是互斥事件 B. 若，为互斥事件，则，不可能是对立事件 C. 若，为相互独立事件，则，也可能为互斥事件 D. 若，为互斥事件，则，不可能为相互独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义，利用题设、的条件逐一判断选项即可. 【详解】 选项A：对立事件的定义为两个事件互斥且并集为整个样本空间， 因此对立事件一定是互斥事件，A错误； 选项B：互斥事件如果满足并集为整个样本空间，就属于对立事件， 因此互斥事件可能是对立事件，B错误； 选项C：若为相互独立事件，则， 结合得； 而互斥事件满足，即，二者矛盾， 因此独立事件不可能是互斥事件，C错误； 选项D：若为互斥事件，则，若二者为相互独立事件则需满足，明显矛盾， 因此互斥事件不可能为相互独立事件，D正确. 16. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和以及组合数问题可解 【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28． 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为 故选：D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使得． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）直角梯形中，， 所以四边形为正方形. 所以，. 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法求得二面角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 由图可知,二面角为钝角,所以二面角的大小为． 18. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，. （1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）若成绩在前的学生可获得“消防达人”称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ （3）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率. 【答案】（1）0.016，76.2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求，再由平均数计算公式即可求解； （2）由百分位数计算公式即可求解； （3）确定样本空间，由古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由， 得， 平均数为； 【小问2详解】 前4个矩形面积为： ， 前5个矩形面积为： ， 所以若成绩在前的学生可获得“消防达人”的称号， 则成绩至少要达到； 【小问3详解】 区间有人，区间有人， 设内两人为，内3人为， 则随机抽取2名学生有：，共10种结果， 来自不同组的有，共6种结果， 所以这2名学生成绩不在同一分组的概率为. 19. 将函数的图象横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象． （1）求函数的解析式，并写出的单调递增区间； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，求． 【答案】（1），单调递增区间为，其中. （2）5 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角正弦公式和图象的变换法则求得，然后利用正弦函数单调性求解即可； （2）先根据同角三角函数关系求得，利用二倍角公式求得，进而结合两角和正弦公式，根据正弦定理求解即可. 【小问1详解】 ，横坐标压缩为原来的得到函数， 再向左平移个单位长度得到函数， 令，解得， 即的单调递增区间为，其中. 【小问2详解】 ， 所以，因为，所以为锐角，则， 则由正弦的二倍角公式得：， ， 由正弦定理得：. 20. 已知椭圆：的一个焦点，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）证明：点在以为直径的圆外； （ⅱ）在上是否存在点使得是等边三角形．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）当直线斜率存在时，设，， 得，则， ，， 即点在以为直径的圆外， 当直线斜率不存在时，直线为，将代入椭圆，解得， ，，，， 即点在以为直径的圆外， 综上，点在以为直径的圆外. （ⅱ）不存在这样的点使得是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）使用椭圆的标准方程计算； （2）（ⅰ）分直线的斜率存在和不存在两种情况，通过的正负求解； （ⅱ）若是等边三角形，则，，通过弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意得，，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知：，故， （ⅰ）略 （ⅱ）不存在，理由如下： 当直线斜率存在时，设，设中点为， 若是等边三角形，则，， ，， 则，， 因为，所以，直线：， 又在直线：上，代入得， ， 若是等边三角形，则，， 即，化简得，令， ，，方程无实根， 当直线斜率不存在时，，，，，，若是等边三角形，则，此时，， 综上，不存在这样的点使得是等边三角形． 21. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在（为常数，）上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数，满足的条件． 【答案】（1） （2）当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为. （3）且 【解析】 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“0跃点”函数的定义，可得方程在上有3个不同的解，构造函数，利用导数判断单调性，结合函数图象即可得解. （3）根据题意将问题转化为在上恰有两根，再构造函数，借助导数求解作答. 【小问1详解】 函数的导函数为， 因为函数是“跃点”函数， 所以方程有解，即有解， 又，所以. 【小问2详解】 函数的导函数为. 因为函数是“0跃点”函数，所以，则. 由题意可得在上有个不同的解. 令，则. 令，得或. 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增. 又，，，当时，，当时，. 当时，在上只有个不同的解，不满足题意； 当时，在上有个不同的解， 则，即； 当时，在上有个不同的解，则. 综上所述，当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”， 所以方程，即在上恰有两根. 令，则. 当时，，在上单调递增，此时最多只有一个实根，不合题意； 当时，令，得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，且， 又当时，，当时，， 要使得在上恰有两根，仅需，即. 综上，实数满足的条件为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川沙中学2026学年高三上期中 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，则______. 2. 不等式的解集是____________． 3. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为________． 4. 已知的展开式中，的系数是．则实数_________． 5. 已知函数，是偶函数，则a+b=________. 6. 已知，试用表示________． 7. 设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421    6606580562    6165643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 8. 如图，在中，，E是BD上的一点，若，则实数m的值为______. 9. 将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 10. 设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 11. 已知函数，若有三个零点，则的取值范围为__． 12. 如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “”是“直线与垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 14. 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 15. 关于事件，，若，，则以下结论正确的为（ ） A. 若，为对立事件，则，不可能是互斥事件 B. 若，为互斥事件，则，不可能是对立事件 C. 若，为相互独立事件，则，也可能为互斥事件 D. 若，为互斥事件，则，不可能为相互独立事件 16. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使得． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 18. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，. （1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）若成绩在前的学生可获得“消防达人”称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ （3）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率. 19. 将函数的图象横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象． （1）求函数的解析式，并写出的单调递增区间； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，求． 20. 已知椭圆：的一个焦点，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）证明：点在以为直径的圆外； （ⅱ）在上是否存在点使得是等边三角形．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 21. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在（为常数，）上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数，满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $