专题10 计数原理与概率统计（期中真题汇编，上海专用）高三数学上学期

专题10 计数原理与概率统计 5大高频考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03古典概型与随机事件 考点04随机变量及其分布 考点05统计 地 城 考点01 排列与组合 一、填空题　 1．（25-26高三上·上海·期中）今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________． 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有________． 3．（25-26高三上·上海·期中）4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为___________种. 4．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有_______种. 5．（25-26高三上·上海青浦·期中）有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种 6．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）“”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题　 2．（25-26高三上·上海·期中）设，则的值为________． 3．（25-26高三上·上海·期中）的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则展开式中的常数项为_____. 4．（25-26高三上·上海长宁·期中）若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____． 5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为______. 6．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知的二项展开式中常数项为60，则______. 7．（25-26高三上·上海·期中）在的二项展开式中，的系数是__________． 8．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为__________. 9．（25-26高三上·上海·期中）在展开式中，含有项的系数为______． 10．（25-26高三上·上海青浦·期中）在的二项展开式中，第四项是常数项，则______． 11．（25-26高三上·上海·期中）的展开式中，系数最小的项为__________. 12．（25-26高三上·上海·期中）的展开式中的系数为__． 地 城 考点03 古典概型与随机事件 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期中）在一次试验中，随机事件，满足，，则（    ） A．事件，一定互斥 B．事件，一定不互斥 C．事件，一定互相独立 D．事件，一定不互相独立 3．（25-26高三上·上海·期中）给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 4．（25-26高三上·上海·期中）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海宝山·期中）抛掷一枚骰子2次，记事件为“2次所得点数和为7”.下列事件中，与事件相互独立的是（   ） A．第1次所得点数为1 B．2次中至少有1次所得点数为1 C．2次所得点数均为1 D．2次中恰有1次所得点数为1 6．（25-26高三上·上海杨浦·期中）某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 8．（25-26高三上·上海青浦·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 9．（25-26高三上·上海·期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是(    ) A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲25枚，乙50枚 二、填空题　 10．（25-26高三上·上海·期中）已知随机事件和互斥，且，，则______. 11．（25-26高三上·上海·期中）已知、是互斥事件，，，则________ 12．（25-26高三上·上海黄浦·期中）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为______． 三、解答题　 13．（25-26高三上·上海·期中）中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. (1)已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率 (2)求至多进行四场就结束比赛的概率. 14．（25-26高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间小于70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求、、的值． 15．（25-26高三上·上海黄浦·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 16．（25-26高三上·上海浦东新·期中）一个不透明的箱子里有个大小，质地完全相同的球，上面分别标有数字到.每次摸球时，摸到任一球的概率相同. (1)现从箱子中随机换取一球，设事件为“摸出标有数字或的球”，事件为“摸出标有数字或的球”.已知事件与事件相互独立.求、和的值； (2)在（1）求得的的条件下，甲、乙二人进行摸球比赛.规则如下：每一回合，甲先从箱子中随机摸一个球并放回，乙再从箱子中随机摸一个球并放回，两人比较所摸球上的数字.数字较大者在该回合得分，其余情况得分.不论是否平局，此回合结束. （i）比赛进行一回合后，甲得分的概率； （ii）若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率. 17．（25-26高三上·上海·期中）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 地 城 考点04 随机变量及其分布 一、填空题　 1．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 2．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 4．（25-26高三上·上海·期中）如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为______. 5．（25-26高三上·上海·期中）从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 地 城 考点05 统计 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）现有个不同的数据，其平均数为．若在这个数据中加入一个新的数据，则形成的一组新数据一定满足（    ） A．平均数变大 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 2．（25-26高三上·上海虹口·期中）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（    ）    A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 3．（25-26高三上·上海·期中）在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·期中）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．64 〔第4份／市统／原第14题〕 5．（25-26高三上·上海·期中）某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为分.如图所示的茎叶图为某班名同学的测试成绩(单茎位：分).则这组数据的极差和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题　 6．（25-26高三上·上海·期中）一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为______ 7．（25-26高三上·上海·期中）一组从小到大排列的10个数据：0,1,2,3,4,8,9,10,11,13，这组数据的第80百分位数是____________. 8．（25-26高三上·上海·期中）某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，..，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第6个数的编号是___________. 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 9．（25-26高三上·上海闵行·期中）将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）______    10．（25-26高三上·上海·期中）某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示，则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为___________． 11．（25-26高三上·上海·期中）若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，的方差为__________． 12．（25-26高三上·上海·期中）柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为_____. 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知数据2，4，6，的方差为5，则________. 三、解答题　 14．（25-26高三上·上海·期中）某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率. 15．（25-26高三上·上海·期中）为培养学生的阅读习惯，周浦中学开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以（）表示.（茎表示十位，叶表示个位） (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中的所有可能取值并求乙组阅读量的第65百分位数； (2)将甲、乙两组中阅读量超过11本的学生称为“阅读达人”.设，从阅读达人中随机抽取2人，求至少有一人为甲组学生的概率. (3)记甲组阅读量的方差为.在甲组中增加一名学生得到新的甲组，若的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较..，，的大小.（结论不要求证明） 16．（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 试卷第1页，共3页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 计数原理与概率统计 5大高频考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03古典概型与随机事件 考点04随机变量及其分布 考点05统计 地 城 考点01 排列与组合 一、填空题　 1．（25-26高三上·上海·期中）今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________． 【答案】 【分析】先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】三人值班的天数分别为、、，先确定值班天的人，有种选择， 再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为种. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有________． 【答案】2520 【详解】第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C102种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C81种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C71种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C102·C81·C71＝2520. 3．（25-26高三上·上海·期中）4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为___________种. 【答案】 【分析】先从4个家长中选2个家长排在排头和排尾，将剩余的5人全排即可. 【详解】第一步，先从4个家长中选2个家长排在排头和排尾，共有种排法； 第二步，将剩余的5人排在队伍中间，共有种排法. 所以，满足条件的排法种数有种. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有_______种. 【答案】 【分析】利用分步计数原理，优先安排甲，再排其他3人，最后利用乘法即可求解. 【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒， 则首先安排甲跑第二或第四棒，共有2种方法； 再安排剩下三棒，共有种方法； 所以不同的交接棒安排顺序有种方法， 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海青浦·期中）有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种 【答案】130 【分析】分类讨论男女队长的个数即可求解. 【详解】①只有男队长，没有女队长： 种， ②只有女队长，没有男队长： 种， ③男、女队长都有， 种， 所以共有46+56+28=130种. 故答案为：130. 6．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 【答案】/0.6 【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率. 【详解】由题意， 若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种， 若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种， 若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种， 若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种， 若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种， 共有种， 而所有的上场顺序有种， ∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：, 故答案为：. 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）“”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可. 【详解】展开式的通项为：； 当时，展开式的第项为常数项，充分性成立； 当时，展开式中存在常数项，如，必要性不成立； “”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题　 2．（25-26高三上·上海·期中）设，则的值为________． 【答案】 【分析】由二项式定理即可得解. 【详解】由二项式定理得， 所以. 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海·期中）的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则展开式中的常数项为_____. 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第2项与第4项的系数,列出方程解得,利用二项展开式的通项公式求出第项,令的指数为0求出常数项. 【详解】的展开式的通项公式为， 因为展开式中第2项和第4项的系数相同，则，解得：， 所以, 令 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海长宁·期中）若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____． 【答案】54 【分析】先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项． 【详解】解：令x＝1，有4n＝256， 解得n＝4，所以展开式通项为：， 令4﹣2k＝0得，k＝2． 故常数项为：． 故答案为：54． 【点睛】本题考查了赋值法求二项式展开式的系数和、二项式展开式的通项公式，属于基础题. 5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为______. 【答案】/ 【分析】写出展开式的通项公式，令的指数为0，找到常数项求解即可. 【详解】， ， 解得， 则，即， 因此实数的值为. 故答案为： 6．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知的二项展开式中常数项为60，则______. 【答案】 【分析】求出二项展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则的常数项为， 当常数项为60时，. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·期中）在的二项展开式中，的系数是__________． 【答案】 【分析】求出展开式的通项，然后令的指数为2，求出的值，在代入通项中进行化简，即可求得结果. 【详解】的展开式的通项公式为：， 令，解得， 所以的系数是. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为__________. 【答案】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于，结合已知即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以项的系数为， 又，所以. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·期中）在展开式中，含有项的系数为______． 【答案】 【分析】利用二项展开式可求得展开式中含有项的系数. 【详解】因为的展开式通项为， 由题意可知，在展开式中，含有项的系数为. 故答案为：. 10．（25-26高三上·上海青浦·期中）在的二项展开式中，第四项是常数项，则______． 【答案】6 【分析】求出通项，再令可解. 【详解】展开式的通项为，， 因为第四项是常数项， 所以当时，， 所以 故答案为：6. 11．（25-26高三上·上海·期中）的展开式中，系数最小的项为__________. 【答案】 【分析】求出展开式的通项，列出展开式中各项的系数，由二项式系数的性质即可求出. 【详解】二项式的展开式的通项是， 展开式中各项的系数为， 由二项式系数的性质知的值最大，则展开式中各项的系数中最小， 则系数最小的项为. 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海·期中）的展开式中的系数为__． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到结果. 【详解】展开式的通项公式为， 令，则，所以的系数为． 故答案为: 地 城 考点03 古典概型与随机事件 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的加法公式即可求解. 【详解】记吹风为事件，下雨为事件， 因为， 所以既吹南风又下雨的概率为， 故选：B. 2．（25-26高三上·上海·期中）在一次试验中，随机事件，满足，，则（    ） A．事件，一定互斥 B．事件，一定不互斥 C．事件，一定互相独立 D．事件，一定不互相独立 【答案】B 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念判断即可得出答案. 【详解】根据题意， 根据互斥事件的概念可知，事件不是互斥事件，选项A错误，选项B正确； 由事件的概率不能确定事件的相互独立关系，选项C，D错误. 故选：B. 3．（25-26高三上·上海·期中）给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 【答案】B 【分析】主要是用判断事件的相互独立性. 【详解】对于A，对于任意，， 即事件和事件独立， A不正确. 对于B，当时，满足； 当时，满足； 以此类推，当时，，，满足； 故存在无穷多个，使事件和事件独立，B正确. 对于C，当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 综上可知，对任意奇数，事件和事件都不独立；C不正确. 对于D，当时，D不正确. 故选：B. 4．（25-26高三上·上海·期中）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 5．（25-26高三上·上海宝山·期中）抛掷一枚骰子2次，记事件为“2次所得点数和为7”.下列事件中，与事件相互独立的是（   ） A．第1次所得点数为1 B．2次中至少有1次所得点数为1 C．2次所得点数均为1 D．2次中恰有1次所得点数为1 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义，逐项检验即可得解. 【详解】为“2次所得点数和为7”，即包含基本事件， 记“第1次所得点数为1”，则包含的基本事件为, 所以包含的基本事件为，故，则，即相互独立，故A正确； 记“2次中至少有1次所得点数为1”，则包含的基本事件为，则， 所以包含的基本事件为，故，则，即不相互独立，故B错误； 记“2次所得点数均为1”，则包含的基本事件为，故， 所以为空集，没有基本事件，即，所以，故不相互独立，故C错误； 记“2次中恰有1次所得点数为1”，则包含的基本事件为，故， 所以包含的基本事件为，故，所以，即不互相独立，故D错误. 故选：A 6．（25-26高三上·上海杨浦·期中）某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概率模型进行计算，即可得到答案. 【详解】6人分成3个小组，每个小组2人，共有种方法， 3个年级中选1个，该年级的2名学生组成一个小组，有 种选择， 剩余两个年级（设为年级）各有2名学生，年级学生记为 ，年级学生记为 ， 分组方式有和，和，共2种情况. 所以，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为. 故选：C 7．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【答案】A 【分析】根据概率的概念与意义求解. 【详解】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 8．（25-26高三上·上海青浦·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】A 【分析】根据互相独立事件、互斥事件的定义确定即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以， 所以事件与事件是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A. 9．（25-26高三上·上海·期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是(    ) A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲25枚，乙50枚 【答案】B 【分析】列举出若游戏继续进行到结束的所有情况，计算出甲乙各自胜出的概率，从而决定他们各自赌金的份额． 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为. 若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负： ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 则甲胜出的概率为＋＝，则甲应该分得赌金的，即300×＝225枚， 乙分得赌金75枚． 故选：B． 二、填空题　 10．（25-26高三上·上海·期中）已知随机事件和互斥，且，，则______. 【答案】0.4 【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得. 【详解】因为随机事件和互斥，，， 所以，得， 所以. 故答案为： 11．（25-26高三上·上海·期中）已知、是互斥事件，，，则________ 【答案】 【分析】根据互斥事件的性质，若、是互斥事件，则； 根据题中条件即可求出结果. 【详解】因为、是互斥事件，，， 所以，因此. 故答案为 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率问题，熟记事件的性质即可求解，属于常考题型. 12．（25-26高三上·上海黄浦·期中）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为______． 【答案】 【分析】利用正态分布对称性计算可得任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为，再由二项分布公式计算可得结果. 【详解】根据可得， 即，又由对称性可知， 所以，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为； 因此3个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为； 故答案为： 三、解答题　 13．（25-26高三上·上海·期中）中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. (1)已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率 (2)求至多进行四场就结束比赛的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，分别求出两种情况的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. （2）设比赛进行三场且中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件，比赛进行三场且瑞典队获胜为事件，比赛进行四场且瑞典队获胜事件，至多进行四场比赛为事件，分别求出，的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. 【详解】（1）设事件“中国队在已输第一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，所以， ②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”， 所以， 又因为与是互斥事件， 所以， 所以中国队在已输一场的情况下获胜的概率为； （2）设比赛进行三场且中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件，比赛进行三场且瑞典队获胜为事件，比赛进行四场且瑞典队获胜事件，至多进行四场比赛为事件， 所以，， ，， ，是互斥事件， 所以 ， 所以至多进行四场就结束比赛的概率为. 14．（25-26高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间小于70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求、、的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）分别算出第一种与第二种生产方式中优秀的概率相乘即可； （3）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解. 【详解】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为，所以第75百分数为； （2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. （3）依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，，. 15．（25-26高三上·上海黄浦·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）分别算出第一种与第二种生产方式中优秀的概率相乘即可； （3）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解. 【详解】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为， 所以第75百分数为； （2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. （3）依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，. 16．（25-26高三上·上海浦东新·期中）一个不透明的箱子里有个大小，质地完全相同的球，上面分别标有数字到.每次摸球时，摸到任一球的概率相同. (1)现从箱子中随机换取一球，设事件为“摸出标有数字或的球”，事件为“摸出标有数字或的球”.已知事件与事件相互独立.求、和的值； (2)在（1）求得的的条件下，甲、乙二人进行摸球比赛.规则如下：每一回合，甲先从箱子中随机摸一个球并放回，乙再从箱子中随机摸一个球并放回，两人比较所摸球上的数字.数字较大者在该回合得分，其余情况得分.不论是否平局，此回合结束. （i）比赛进行一回合后，甲得分的概率； （ii）若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率. 【答案】(1)，， (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出、、，根据独立事件的概率公式可得出，即可求出的值； （2）（i）利用古典概型的概率公式求解即可； （ii）列举出甲高于乙得分的所有情况，利用独立事件的概率公式求出每种情况的概率，加起来即可. 【详解】（1）由古典概型的概率公式可得，，所以 事件“摸出标有数字的球”，则， 因为事件、相互独立，所以，即， 因为，故. （2）（i）记甲摸的小球标有的数字为，乙摸的小球标有的数字为， 记事件比赛进行一回合后，甲得分的概率，即事件“”， 样本空间为 ， ， 所以； （ii）由（i）可知，乙得分的概率为，甲乙摸的小球标有的数字相同的概率为， 比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分，分以下几种情况讨论： 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为. 综上所述，若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率为. 17．（25-26高三上·上海·期中）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 【答案】(1) (2) 如果两个事件与相互独立， ， ， ， 所以与也独立. (3) 若一局定胜负，甲赢的概率为； 若三局两胜，甲赢的概率为. 因为甲是弱者，所以， 所以，即， 所以一局定胜负对甲有利. 【分析】（1）根据互斥事件及对立事件的概率公式求解； （2）根据独立事件的概念证明； （3）分别计算：一局定胜负与三局两胜情况下甲赢的概率，比较即可． 【详解】（1）， 事件与互斥，， 又，， ，， . （2）略 （3）略 地 城 考点04 随机变量及其分布 一、填空题　 1．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 【答案】120 【分析】由频率和为1，列式先求出的值，再求对应区间的频数即可． 【详解】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 故答案为：120． 2．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】/． 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 【答案】0.4/ 【分析】根据正态分布的均值和方差画出略图，利用正态分布图的对称性即可求得. 【详解】由可得， 则，故， 所以． 故答案为：0.4. 4．（25-26高三上·上海·期中）如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为______. 【答案】33 【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可. 【详解】因为，所以该组数据的第30百分位数为33. 故答案为：33 5．（25-26高三上·上海·期中）从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 【答案】11 【分析】根据组距即可求解. 【详解】第一组下限为151.5，组距为3，所以， 故第11组的下限为181.5，因此组数为11， 故答案为：11 地 城 考点05 统计 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）现有个不同的数据，其平均数为．若在这个数据中加入一个新的数据，则形成的一组新数据一定满足（    ） A．平均数变大 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 【答案】D 【分析】根据均值、极差、中位数、方差的定义判断． 【详解】加入一个数据后的平均数，所以平均数不变，A错误； 中位数是中间的一个数，因不知道原始数据，所以无法判断中位数，B错误； 因为数据的最大值和最小值不变，所以极差不变，C错误； 设原来的方差为，加入一个数据后的方差为， 则，D正确. 故选：D 2．（25-26高三上·上海虹口·期中）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（    ）    A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 【答案】B 【分析】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC. 【详解】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确； B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为亿元，故B错误； C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确； D：2016-2023年旅游收入的极差是亿元，故D正确. 故选：B. 3．（25-26高三上·上海·期中）在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负相关，以及相关性的强弱即可求解. 【详解】由图可知：， 由于图2的相关性比图4的相关性更强，故， 故选：B 4．（25-26高三上·上海·期中）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．64 【答案】C 【分析】根据题中信息计算出第三、第四组的频数，将第三组和第四组的频数相加可得出的值. 【详解】前两组的频数之和为，第四组的频数为， 后五组的频数之和为，所以，前三组的频数之和为， 故第三组的频数为，因此. 故选：C. 〔第4份／市统／原第14题〕 5．（25-26高三上·上海·期中）某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为分.如图所示的茎叶图为某班名同学的测试成绩(单茎位：分).则这组数据的极差和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据茎叶图中的数据，结合极差和众数的概念，即可求解. 【详解】由茎叶图中的数据可得：最高成绩为分，最底成绩为分，所以极差为， 又由数据的众数的概念，可得数据的众数为分. 故选：B. 二、填空题　 6．（25-26高三上·上海·期中）一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为______ 【答案】12 【分析】确定男女运动员的比例，根据分层抽样中的比例，即可求得答案. 【详解】由题意可知田径队中男运动员有60人，女运动员48人， 即男女运动员比例为， 故用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本， 则抽取女运动员的人数为， 故答案为：12 7．（25-26高三上·上海·期中）一组从小到大排列的10个数据：0,1,2,3,4,8,9,10,11,13，这组数据的第80百分位数是____________. 【答案】10.5 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数的定义直接求解. 【详解】由，得这组数据的第80百分位数是. 故答案为：10.5 8．（25-26高三上·上海·期中）某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，..，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第6个数的编号是___________. 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 【答案】315 【分析】利用随机数表的性质并结合题意求解即可. 【详解】由题意最先读到的1个的编号是685， 向右读下一个数是992，992它大于899，故舍去， 再下一个数是696，再下一个数是827，再下一个数是310， 再下一个数是991，舍去，再下一个数是696，舍去，再下一个数是729， 再下一个数是315，则读出的第6个数是315. 故答案为：315 9．（25-26高三上·上海闵行·期中）将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）______    【答案】72 【分析】根据小矩形面积和为1解得的值，再根据频率分布直方图计算平均数即可. 【详解】依题意：，解得， 则平均分为. 故答案为：72 10．（25-26高三上·上海·期中）某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示，则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为___________． 【答案】68 【分析】根据中位数和极差的计算公式即可求解. 【详解】老师的年龄分别为27，28，32，33，36，36，38，40，45，52，54，58， 故中位数为，极差为， 故， 故答案为：68 11．（25-26高三上·上海·期中）若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，的方差为__________． 【答案】14 【分析】先根据已知数据平均数和方差的定义解出两个关系，再由这两个关系来新数据的方差. 【详解】因为数据数据，，，的平均数为2，方差为4. 所以，即——① ， ， ， 即——②. 设数据，，，，，，，的平均数为. 设数据，，，，，，，的方差为. . 故答案为：14. 12．（25-26高三上·上海·期中）柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为_____. 【答案】 【分析】根据百分位数的定义求出遗失的学生成绩，然后根据平均数与方差的公式计算即可. 【详解】因为，则遗失的学生成绩是剩余学生的成绩从小到大排列的第3个， 所以遗失的学生成绩为. 因为这10名学生的成绩的平均数为：， 所以方差为. 故答案为：2.09. 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知数据2，4，6，的方差为5，则________. 【答案】 【分析】先求出平均数再结合方差的公式即可求解. 【详解】由题可得平均数， 所以， 化简得，即，解得，（舍）. 故答案为：. 三、解答题　 14．（25-26高三上·上海·期中）某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，可求出，平均数可利用同一组中的数据用该组区间的中点值和频率的乘积之和求解; （2）求出样本空间，再结合古典概型计算公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 平均值： （2）抽取的3天中，“轻度超标日”有2天，记为a，b，“重度超标日”有1天，记为A， 样本空间， 设事件B为这2天都是“轻度超标日”，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以. 15．（25-26高三上·上海·期中）为培养学生的阅读习惯，周浦中学开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以（）表示.（茎表示十位，叶表示个位） (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中的所有可能取值并求乙组阅读量的第65百分位数； (2)将甲、乙两组中阅读量超过11本的学生称为“阅读达人”.设，从阅读达人中随机抽取2人，求至少有一人为甲组学生的概率. (3)记甲组阅读量的方差为.在甲组中增加一名学生得到新的甲组，若的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较..，，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)的所有可能取值为；第65百分位数为13 (2) (3) 【分析】（1）根据平均数公式列不等式解得，再根据百分位数定义求解； （2）甲、乙两组中的阅读达人各有4人和5人，共9人，利用古典概率求解； （3）根据方差表示数据稳定性，即可作出大小判断. 【详解】（1））甲组10名学生阅读量的平均值为， 乙组10名学生阅读量的平均值为. 由题意，得，又，所以. 故图中a的取值为. 乙组阅读量的第65百分位数为第7个数据：13； （2）根据题意，甲、乙两组中的阅读达人各有4人和5人，共9人， 从阅读达人中随机抽取2人，有种取法， 至少有一人为甲组，有种取法， 所以至少有一人为甲组学生的概率为； （3）通过茎叶图观察，当增加一名阅读量为10学生A后，甲的茎叶图峰变瘦变尖，说明数据更集中， 即更稳定，所以， 当增加一名阅读量为20学生A后，甲的茎叶图峰变胖变矮，说明数据更分散，所以， 所以. 16．（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图求出的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得本次考试的总人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）分数在的频率为， 由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为． （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为． （3）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共10个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在之间的概率是． 试卷第1页，共3页 8 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $