上海市建平中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

建平中学2025学年第一学期期中教学质量检测

高三数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，共54分）

1. 不等式的解集为________.

2. 已知向量，，若，则实数________.

3. 在中，若，则___ ．

4. 已知为实数，且函数，是偶函数，则________.

5. 在的展开式中，的系数为_____．（用数字作答）．

6. 将直角边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的体积为________.

7. 若复数是关于的方程的一个根，则______.

8. 已知数据2，4，6，的方差为5，则________.

9. 已知等比数列的前项和为，若，则实数________.

10. 小明在一个如图所示的半圆形水域（为圆心，是半圆的直径）进行体育活动，小明先从点出发，沿着直线游泳至半圆上点处，再从点沿着弧跑步至点处.已知，小明游泳平均每米消耗0.24大卡能量，跑步平均每米消耗0.06大卡能量，设，要使消耗的能量最多，则________.

11. 已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是________.

12. 对任意满足的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________.

二、选择题（本大题共4小题，共18分）

13. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

14. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

15. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

16. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ）

A.  B.  C. 3 D. 5

三、解答题（本大题共5小题，共78分）

17. 如图，在三棱锥中，底面，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

18. 已知函数.

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，求函数的最值（最大值与最小值）及相应的值.

19. 一个不透明的箱子里有个大小，质地完全相同的球，上面分别标有数字到.每次摸球时，摸到任一球的概率相同.

（1）现从箱子中随机换取一球，设事件为“摸出标有数字或的球”，事件为“摸出标有数字或的球”.已知事件与事件相互独立.求、和的值；

（2）在（1）求得的的条件下，甲、乙二人进行摸球比赛.规则如下：每一回合，甲先从箱子中随机摸一个球并放回，乙再从箱子中随机摸一个球并放回，两人比较所摸球上的数字.数字较大者在该回合得分，其余情况得分.不论是否平局，此回合结束.

（i）比赛进行一回合后，甲得分的概率；

（ii）若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率.

20. 如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为.

（1）求的值；

（2）若时，直线与曲线有交点，求的取值范围；

（3）若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围.

21. 已知函数，若函数的图像上存在两点，同时满足以下两个条件，则称函数