专题09 期中复习压轴十三大题型突破-2026-2027学年浙教版九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题
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内容正文：
专题09 期中复习压轴十三大题型突破
选择题
【题型 1】二次函数图像性质结论判断
【题型 2】二次函数区间最值
【题型 3】圆的多解问题
【题型 4】圆中角度转化、倒角模型
【题型 5】二次函数与圆小综合
填空题
【题型 6】二次函数存在性、参数范围
【题型 7】圆中线段最值
【题型 8】垂径定理计算 + 多解
【题型 9】二次函数面积定值、线段比值
【题型 10】圆内接四边形、弧长、扇形面积拓展
解答题
【题型 11】二次函数综合大题
【题型 12】二次函数代数探究
【题型 13】圆综合大题
选择题
【题型 1】二次函数图像性质结论判断
1．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与坐标轴的交点问题逐项分析判断即可．
【详解】解：由图可知，该抛物线的开口向下，与y轴正半轴交于一点，对称轴在y轴的左边，
∴，，，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且点和点都在抛物线上，
而，，，
∴，故②错误；
由图象知，当时，为最大值，
当时，，
∴对于任意实数m，都有，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵当时，，
∴，则，故④正确，
综上，正确的有③④，故选项B符合题意．
2．如图，二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（为实数），其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置可判断①②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象与轴交点位置可判断④，由函数最大值性质可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
抛物线与轴的一个交点在和之间，
当时，，
对称轴为直线，
与关于对称轴对称，
当时，，即，
将代入得，故③错误；
由图象可得，抛物线与轴的左交点在和之间，右交点在和之间，
当在左交点左侧时，；
当在右交点右侧时，，
时，存在使，故④错误；
由图象可得时，函数值取最大值，
即对任意实数，都有，
，故⑤正确．
综上，正确的说法是①②⑤，共个．
3．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以①正确，符合题意；
②时，，
即，
，
，
，
，所以②错误，不符合题意；
③当时，，
抛物线的顶点坐标为，
把代入得，
，所以③正确，符合题意；
④当时，，
即，
，
，所以④正确，符合题意．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，已知点、，点在线段上，设（a为常数）；下列两个说法：
①当时，t有最大值，无最小值；
②当时，的值一定是负数；下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】B
【分析】本题综合考查了一次函数的解析式、二次函数的最值以及代数式的符号分析，核心是将线段上点的坐标关系与二次函数的性质结合，进行分类讨论和推理。
点在线段上，先求出的直线方程，得到与的关系式，代入的表达式，得到关于的二次函数．
对于说法①，当时，在定义域内有最大值和最小值，但说法声称无最小值，故错误；对于说法②，当时，通过求的最大值，证明其恒为负，故正确．
【详解】设直线的函数表达式为（），将、代入可得方程组。
用第二个方程减去第一个方程消去可得：，解得，
将代入可得：，解得，
所以直线的函数表达式为，
因为点在线段上，
所以，且，
当时，，
将代入可得：，
对于二次函数，其中，
所以函数图象开口向下，对称轴为．
当时，有最大值，．
当时，；
当时，．
，所以的最小值为，故①错误．
．
对于二次函数，其中，函数图象开口向下，对称轴为．
因为，
所以当时，有最大值，．
因为，
所以，，则，即，
所以的值一定是负数，故②正确．
综上，①错误，②正确，选B．
故选：B．
5．抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过；
②；
③点，在抛物线上，且，则；
④若是方程的两个根，其中，则．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，判断对错即可解答．
【详解】解：①∵抛物线经过点，
，
，
当时，，
，
∴该抛物线一定经过，
故此项正确；
②由①得：，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
，
也符合题意与矛盾，
故此项错误．
④∵抛物线，对称轴为直线，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线图象向左平移2个单位得到抛物线的图象，
∵抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
是方程的两个根，
是抛物线与直线交点的横坐标，
，
，
故此项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质和数形结合的思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
6．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a﹣b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）；③7a+c＞0；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】①利用对称轴方程进行解答；②利用抛物线的对称性质求解便可；③把（2，0）代入二次函数解析式，并把b换成a的对称代数式便可；④根据抛物线抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2的交点情况解答；⑤根据两函数图象的位置关系解答．
【详解】解：①由抛物线对称轴知，x＝=-1，
∴2a﹣b＝0，则此小题结论正确；
②设抛物线与x轴的另一个交点坐标是（m，0），根据题意得，，
∴m＝2，则此小题结论正确；
③把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，4a+2b+c＝0，
∵x＝=-1，
∴b＝2a，
∴4a+2×2a+c＝0，
∴8a+c＝0，
∴7a+c＝﹣a＞0，则此小题结论正确；
④由函数图象可知，直线y＝2与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，
∴ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，即ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，则此小题结论正确；
⑤由函数图象可知，当﹣4＜x＜﹣1时，抛物线在直线上方，于是y2＜y1．则此小题结论正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定：＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【题型 2】二次函数区间最值
7．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据二次函数的开口方向与对称轴，判断区间内最小值对应的自变量取值，代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴在范围内，离对称轴越远的点函数值越小，
∵，
∴当时，取最小值，代入得
，
解得．
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（ ）
A．7 B．11 C．22 D．26
【答案】D
【分析】先将二次函数配方确定对称轴，结合开口方向与的取值范围确定最值对应的值，再根据最小值为列方程求出，进而计算；
【详解】解：将二次函数配方得 ，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点处取得最大值，
∵，对称轴在取值范围内，
∴当时，取最大值，即，
当时，，
当时，，
∵，
∴当时，取最小值，即，
解得，
∴．
9．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点，
当时，，
∵当时取得最小值，
∴，
∴，
∵当时取得最大值，
，
令，则，
解得，
即，
∴，
，
．
故选：C．
10．当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：．
，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最小值，
分两种情况讨论：
若时，当时，的最小值是，
；
若时，当时，的最小值是，
，
解得：，
综上，或，
故选：C．
11．已知二次函数（）在时的最小值为，则m等于（ ）
A．5 B．或 C．5或 D．或
【答案】C
【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分和，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：，
二次函数图象的对称轴为直线，
由题可知，分两种情况：
①当时，抛物线开口向上，时，y有最小值，，解得；
②当时，抛物线开口向下，
对称轴为直线，且，
时，y有最小值，，解得；
综上所述，m的值为5或．
12．已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二次函数与直线只有一个交点，可以构成一元二次方程得到，求出c的值，然后画出的图象进行增减性的讨论即可．
【详解】解：令，即，
由题意，，即，
故函数，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，－3），
由对称性，该函数图象也经过点（4，－3）．
由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
又因为当时，函数的最小值为－3，最大值为1，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查了函数图象交点问题，综合了函数与方程的关系和二次函数图象增减性和最值问题．理解二次函数与方程的联系，二次函数图象，数形结合的思想方法是解题的关键．
【题型 3】圆的多解问题
13．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数.
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
当点在优弧上时，.
当点在劣弧上，如图点的位置时，.
14．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )
A．80° B．160° C．80°或20° D．80°或100°
【答案】D
【分析】分情况讨论，若∠B是劣弧所对的圆周角时，由圆周角是圆心角的一半可求；若∠B'是优弧所对的圆周角时，可利用内接四边形对角互补求解.
【详解】若∠B是劣弧所对的圆周角时，∠B==80°，
若∠B'是优弧所对的圆周角时，四边形ABCB'为内接四边形，∠B+∠B'=180°，所以∠B'=100°，
综上，∠ABC的度数是80°或100°，故选D.
【点睛】本题考查圆周角定理和内接四边形的性质，注意采用数形结合，分类讨论，不要漏解.
15．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（ ）．
A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3
【答案】B
【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可．
【详解】当点P在外时，
∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为，
∴ 的直径为 ，半径为 ．
当点P在内时，
∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为，
∴的直径为 ，半径为 ．
因此的半径为或．
16．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（ ）
A．3或8 B．6或8 C．3或6 D．5或6
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设该圆内接正多边形的边数为，则每条边对应的圆心角为，通过分析弦对应的圆心角与已知角的关系，分情况计算正多边形的边数．
【详解】解：设该圆内接正多边形的边数为，则每条边对应的圆心角为，
当角的顶点在圆上时，如图，
∵，
∴圆的内接正多边形每个内角的度数为，
∴，
∴；
当角的顶点在圆外时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，正多边形的边数为或．
故选：C．
17．已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的两边，那么这个角的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形的内角和外角，关键是要分两种情况讨论，由正多边形的性质，即可求解．
【详解】解：如图：
是正五边形的一个内角，
；
如图：
和是正五边形的两个外角，
，
，
这个角的度数为或．
故选∶D．
18．弦AB是圆内接正三角形的边，弦AC是同圆内接正六边形的一边，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，求出正六边形内角的度数，再根据正三角形的特点求出∠BAC的度数即可．
【详解】①如图所示，正六边形ACBDEF与正△ABE是⊙O的内接多边形；
∵在六边形ACBDEF中，AC=EC，
∴∠AEC=∠CAE．
又∵∠C=（6﹣2）•180°×=120°，∠BAE=180°÷3=60°，
∴∠CAE=（180°﹣120°）×=30°，
∴∠BAC=∠BAC+∠CAE=60°+30°=90°．
②若点C在F处，则∠BAC=（180°﹣120°）×=30°．
故选C．
【点睛】解答此题不仅需要熟知正六边形的性质和正三角形的性质，还要根据题意进行分类讨论．
【题型 4】圆中角度转化、倒角模型
19．如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆心角定理可得，再根据，可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得，则有，然后根据圆周角的性质及三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，三线合一得到的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果.
【详解】解：由题意，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）.
22．如图，是的内接三角形，是的直径，是上一点，连接，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得，根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据圆周角定理可得．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
．
23．如图，四边形内接于，，过点C作交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出，再利用平行线性质求出，最后利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
，
，
，
．
24．如图，四边形内接于，为的直径．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆内接四边形的性质得，利用弧、弦、圆心角的关系得，即得是等边三角形，得到，再证明，得到，进而利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为的直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由圆内接四边形得到，从而由直角三角形两锐角互余得到相关角度，连接，如图所示，由切线性质、等腰直角三角形的判定与性质进一步求出相关角度，最后由直径所对的圆周角是直角，由互余定义求出，结合图形表示出即可得到答案．
【详解】解：四边形是圆内接四边形，，
，
，
，则，
连接，如图所示：
，
则，
，
，则，
是圆的直径，
，
则，
，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形、直角三角形两锐角互余、切线性质、互余定义、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角等知识，掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键．
26．如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，点E在上，且，则的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】D
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形内接于，
，
，
，
是的直径，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：D．
27．如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，连接，根据圆内接四边形的性质，得，再得到，再根据圆周角定理即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【题型 5】二次函数与圆小综合
28．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形中位线，二次函数的性质．连接，如图，先求出A，B坐标，即可判断出为的中位线，得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值．
【详解】解：连接，如图，
当时，，解得，
∴，
∵E是线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴当最大时，最大，
而当过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大，
∵，
∴，
∴线段的最大值是．
故选：B．
29．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为C“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接CM，根据抛物线解析式求出OD=3，AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度．
【详解】解：连接CM，
∵抛物线的解析式为，
∴点D的坐标为（0，-3），
∴OD=3，
令y=0，则，解得：或，
∴A（-1，0），B（3，0）.
∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0），
∴MC=2，OM=1，
在Rt△COM中，
∴，
即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长．
故选：D
【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键．
30．已知抛物线经过点、，则下列结论：①若，、在该抛物线上，；②若抛物线与y轴交于点，当时y的最大值与最小值的差为9；③平面直角坐标系内，线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，a的取值范围是；④以为直径的圆与轴下方抛物线有交点，则的取值范围是．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：①∵抛物线经过点、，
∴抛物线对称轴为直线，抛物线解析式可化为：，
∵抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，，点、都在对称轴右侧，此时，
当时，点在对称轴右侧，到对称轴的距离为，
点在对称轴左侧，到对称轴的距离为，
而，
∴，
∴当时，总有，故①正确；
②过点，
代入得：，
∴抛物线解析式为：，
∴当时，；当时，，
∴的最大值与最小值的差为9，故②正确；
③当过点时，
，
解得：，
当过点时，
，
解得：，
∴当抛物线与线段有交点时，，故③正确；
④如图，
当时，抛物线开口向下，这时以为直径的圆与抛物线在轴下方无交点，故④不成立；
所以正确的结论有①②③，共3个．
故选：C ．
填空题
【题型 6】二次函数存在性、参数范围
31．已知二次函数图象过点，．若，则的取值范围是__________．
【答案】或
【分析】先确定二次函数与轴交点、对称轴、开口方向，计算得的值，利用二次函数的轴对称性找到与函数值相等的横坐标，结合函数值的大小关系推导的取值范围．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图象与轴的交点坐标为，，图象开口向上，对称轴为直线，
将代入函数解析式，得.
∵二次函数图像关于对称轴对称，
∴与函数值相等的点的横坐标为，即时对应的函数值为3，
∵函数开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∴当函数值满足时，对应的的范围是或，
∵，即，
∴的取值范围是或．
32．已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点则的取值范围是_______．
【答案】或或
【分析】分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分别求出m的值，然后再结合图形即可解答．
【详解】解：如图，
当抛物线经过点时，，
解得：；
当抛物线经过点时，，
解得：；
当抛物线的顶点在线段上时，，
解得：，
结合图象可知，m的取值范围是或或．
33．若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________．
【答案】
【分析】将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴与最小值点，结合最大值对应的自变量取值，根据抛物线开口方向即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为．
∵二次函数的最小值为，
∴，
令，则，
解得，，
∵抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，且当时，对应函数值为，
∴，
综上，的取值范围为．
34．新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据新定义推导得出所有“偶点”都在直线上，且，将原问题转化为直线与给定区间上的抛物线存在交点，再通过二次函数值域求解的范围．
【详解】解：根据“偶点”定义，点满足，，且，
将两式相减得：
变形得：
整理得：
，
，即，
由得，解得，
抛物线上至少存在一个“偶点”，
即直线与抛物线在范围内至少有一个交点，
联立方程得
整理得，其中，，
是关于的二次函数，开口向上，对称轴为
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的最小值为，最大值小于，
因此的取值范围为．
35．已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________．
【答案】
【分析】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果．
【详解】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴将中的替换为，得的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴．
∵点也在抛物线上，
∴将点坐标代入解析式得．
把代入等式左边，得左边，
展开整理等式右边，得右边．
∵等式对任意实数m都成立，
∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得．
将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此．
36．一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是_________ ．
【答案】/
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据关于二次函数对称轴点的位置为2，结合二次函数的开口方向和至少存在一个“二倍点”，将时代入解得，综合即可求出值的范围．
【详解】解：由题意可知，“二倍点”所在直线的解析式为，
∵在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
∴在的范围内，若二次函数和至少存在一个交点，
令，整理得，
∴，解得，
∵二次函数的对称轴为，
∴关于对称轴的点为，
∵二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
∴把代入二次函数得，代入得，
则，解得，
综上，的取值范围是．
37．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________．
【答案】或或
【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标．
【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点，
当时，，点的坐标为，
当时，，点的坐标为，
对称轴为直线．
点在对称轴上，
设点的坐标为．
以、、为顶点的三角形为等腰三角形，
需要分三种情况讨论．
当时，由，得，
解得，
点坐标为．
当时，由，得，
解得或（舍去），
点坐标为．
当时，由，得，
解得或（舍去），
点坐标为．
综上所述，点坐标为或或．
38．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是__________．
【答案】或
【分析】本题考查一元二次函数的图象与性质，将问题转化为图象交点问题是解题关键．
设是二次函数图象上的任意一点，将化为，问题转化为二次函数与直线在上只有一个交点，数形结合即可解答．
【详解】解：设是二次函数图象上的任意一点，
则由题可知方程在上只有一个解，
化为，
即二次函数与直线在上只有一个交点，
如图：
则或，
∴或，
故答案为：或．
【题型 7】圆中线段最值
39．如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】由题意可得，半径为．根据内心性质得出．设轴负半轴与半圆交点为，通过证明得出，从而确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧．求出该圆弧所在圆的圆心和半径，当三点共线时取得最小值．
【详解】点的坐标为，
半圆半径．
半圆交轴于点，
．
设轴负半轴与半圆交点为，
则，．
轴，
．
点为和的角平分线交点，
点为的内心．
．
点在的平分线上，
．
在和中，
．
．
点在以为弦，含圆周角的圆弧上．设该圆弧所在圆的圆心为，半径为．
圆周角为，且点在轴上方，
圆心在轴下方，且．
，为等腰直角三角形，
点的横坐标为，纵坐标为，
即．．
连接，
当三点共线时，取得最小值．．
的最小值为．
故答案为：．
40．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________．
【答案】
【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论．
【详解】解：连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示，
，
，
，
，
，
∴的最小值为2．
41．如图，已知四边形是边长为的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．当时， ______；在点运动过程中， 的最小值为________．
【答案】
【分析】过点作交于点，先证，根据全等三角形的性质结合已知条件，得到，在中，运用勾股定理，求得；取的中点，过点作交于点，连接，由可知点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接，由，可得当点与点重合时，有最小值，最小值为的长，然后运用勾股定理求出和的长，最后求得的长．
【详解】如图1，过点作交于点．
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，，
，，
．
在和中，
，
，
，
在中，；
如图2，取的中点，过点作交于点，连接．
，
，
点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接，
，
当点与点重合时，有最小值，最小值为的长．
点为的中点，，
，
，，
．
四边形是正方形，
，
，
，
在中，．
在中，，
的半径为，
，
，
即的最小值为．
42．如图，以为圆心，2为半径的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，点E为上的动点（不与点A、C重合），连接，于点F，连接，点E在上运动的过程中，线段长度的最小值为___________．
【答案】
【详解】解：如图，连接，作于点，连接，
．
以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，
，，
．
，
，．
在中，，，
，
在中，取的中点，连接，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
，
，．
，
，
点在以为直径的上，
的半径为，
当点在的延长线上时，的长最小，此时最小值为．
43．如图，已知的半径为2，圆外一点O满足，点P为上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且，，l不经过点C，则的最小值为______．
【答案】3
【分析】先连接，，，根据，即可得到当点O，P，C三点共线时，最短，依据，，可得点P在以O为圆心，为直径的圆上，进而得到与相切时，最短，根据已知长度求得此时的长，即可由解答．
【详解】解：如图，连接，，，
∵，，
∴，
∵，
∴当点O，P，C三点共线时，最短，
如图，
∵，，
∴点P在以O为圆心，为直径的圆上，
∴与相切时，最短，
∵，，
∴，
∴．
44．如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________．
【答案】2
【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，弦心距的计算，线段最大值的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，根据垂径定理和勾股定理计算得出的长度，由此判断点的运动轨迹，故可得出的最小值．
【详解】解：连接，如下图所示：
∵为直径，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∵为的中点，
∴，，
在中，由勾股定理可得，
∴点在以为圆心，半径为的圆上，
∴的最小值为．
45．如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最小值为______________________ ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，作出正确的辅助线，确定点C的运动轨迹是解答本题的关键．先确定点C的运动轨迹，再作点A关于原点的对称点E，连接，交于C，当最小时，也就是最小，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最小，利用勾股定理求出最小值即可．
【详解】解：∵，，即，
∴点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为1的圆周上运动，
如图，作点A关于原点的对称点E，连接，交于点C，
∵O为中点，M为中点，
∴为的中位线，
∴，
当最小时，也就是最小，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最小，
在中，，，根据勾股定理得：
，
∴，
∴．
故答案为：．
46．如图，等腰 中 ，，点是边上一动点，点是射线上一动点，，交于点，且．连接，当动点沿边从点移动到点过程中，长的最小值为_________________．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质，通过两边对应成比例和夹角相等可证，得到，通过三角形外角的性质从而推出，然后分别作和的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，得到点在上运动，再利用圆周角定理得到，求得；连接，，，可推出当点在线段上时，取得最小值，此时，最后由勾股定理求得的长度，进而可得的最小值．
【详解】解：等腰中 ，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
分别作和的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，如图所示：
，
点在上，
在优弧上任取点，连接、，如上图，
则，
，
，，
，
连接，，，如图所示，
，
当点在线段上时，取得最小值，
此时，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，两点间线段最短等，根据题意得到点的轨迹是解题的关键．
47．如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，A，D，M三点共线时，最小，求出此时的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
点在以为弦，的圆弧上运动，
如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
A，D，M三点共线时，最小，
此时，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，点圆最值问题，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
【题型 8】垂径定理计算 + 多解
48．已知A，B为上的两点，C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，若，，则的长为______．
【答案】或
【分析】先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可．
【详解】解：如图1，连接，
∵点C为弦的中点，是的直径，，
∴，，
又，
∴，
∴；
同理，如图2，则；
综上，长为或.
49．已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为_______．
【答案】2或8
【分析】根据作图可知，为的中垂线，则必过圆心O，连接，利用垂径定理求出的长，分点在劣弧上和点在优弧上两种情况进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：是弦的中垂线，为的中点，如图，连接，
则： ，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴，
∴；
①当点在劣弧上时：；
②当点在优弧上时：；
故答案为：2或8
【点睛】本题考查中垂线的作图，垂径定理．根据作图方法得到是的中垂线，是解题的关键．注意分类讨论．
50．等腰内接于，若半径为，底边长为，则这个等腰三角形的腰长______．
【答案】或
【分析】本题考查三角形的外接圆，垂径定理，等腰三角形的性质，分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：设的底边为，两腰为，
连接，作于点，则：，
∴，
连接，
∵等腰内接于，
∴点三点共线，
当为锐角三角形时，如图①：则，
∴；
当为钝角三角形时，如图②，则，
∴；
故答案为：或．
51．已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为__________．
【答案】或
【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理，熟练掌握圆与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理是解题的关键；利用两圆连心线垂直于公共弦且平分公共弦的性质，构造直角三角形，应用勾股定理求出圆心到公共弦的距离，再根据圆心与公共弦中点的位置关系求圆心距 ．
【详解】解：设 与 交于点 ，则 为 的中点，且 ，当点 与点 位于点 异侧时，如图所示：
由于 ，故 ，
在 中，，，由勾股定理得 ，
在 中，，，由勾股定理得 ，
∴；
当点 与点 位于点 同侧时，如图所示：
同理可得；
综上所述： 的长度为 或 ；
故答案为 或 ．
52．半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是_______．
【答案】或
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意可得两条平行弦的位置关系分为当和在的两旁时，当和在的同旁时两种情况，分别画出图形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：如图，当和在的两旁时，过作于，交于N，连接，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
如图，当和在的同旁时，
同理可得：；
故答案为：或．
【题型 9】二次函数面积定值、线段比值
53．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____．
【答案】4
【分析】首先利用待定系数法求得抛物线解析式为，进而确定点坐标，即可求得的面积；再确定点坐标，利用待定系数法解得直线、、的解析式，联立直线解析式和直线解析式，求解即可确定点坐标，过点作于点，易得，然后解得的面积，然后求解即可．
【详解】解：将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线解析式为，
当时，可得，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴交抛物线于点D，
∴可令，可得，
解得，，即，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，
将点代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，
联立直线解析式和直线解析式，
可得，解得，
∴，
如下图，过点作于点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、求二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
54．如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为___________．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________．
【答案】
【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）设直线的解析式为，
∵，点，
∴，解得：
∴直线的解析式为，
设过点C且与直线平行的直线解析式为，
当直线与抛物线有唯一的公共点，
则点C到的距离最大，
∴面积最大，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∴过点C且与直线平行的直线解析式为，
∴，解得：，
∴．
作轴交于点D，
则点的横坐标为，
又点在直线上，
∴，
∴点D的坐标为，
∴此时的面积．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
55．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________．
【答案】
【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大．
【题型 10】圆内接四边形、弧长、扇形面积拓
56．如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________．
【答案】
【分析】假设线段为定值，根据已知条件可知四点共圆，且线段是圆的直径，根据，可知弧所对的圆心角是，得到，再根据两点之间线段最短可知，当时，最大，从而解出答案．
【详解】解： ∵四边形中，，
∴四边形对角互补，
∴四点共圆，
∵，
∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值，
如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆，
，
连接，分别过点作垂直，垂足分别为点，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，
又∵两点之间线段最短，
∴，
∴当时，最大，即最大，如下图所示，
，
此时，
∴，解得，
∴．
57．如图，是的外接圆，，已知面积为，，则的半径为________．
【答案】
【分析】过点作，交于点，得出，，由面积得出，设，，则，，在中，由勾股定理得出；过点作的直径，连接，设的半径为，得，，由勾股定理可求出．
【详解】解：过点作，交于点，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵面积为，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴（负值舍去）
过点作的直径，连接，则，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径为．
58．如图，已知四边形是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于_______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质和圆的定义证明是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，四边形是边长为2的菱形，
，，
点、、、都在以为圆心的同一圆弧上，
，
,
是等边三角形，
，
，
，
，
的长度等于．
59．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________．
【答案】
【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：在中，，，
， 由勾股定理得，
由旋转的性质可知，，，
，
阴影部分的面积
．
60．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______．
【答案】/
【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合，推出圆心在轴上，设圆心，设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：点，的坐标分别是，，
，
垂直平分，
圆心在轴上．
如图，设所在圆的圆心为，连接，．
设的半径为，
在中，，即，解得．
，
，
的长为．
61．如图，菱形，，，以点为圆心为半径画弧，点是弧上的动点，在线段上取一点，，连接、，则边、与弧围成的面积是_____，的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图所示，过点A作交于点H，求出，，求出扇形的面积，，求出菱形的面积，进而求解即可；
如图所示，连接，过点D作交的延长线于点M，证明出，得到，由推出当点D，E，H三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用矩形和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作交于点H，
∵菱形，，，
∴，，
∴扇形的面积，
∴
∴
∴，
∴菱形的面积
∴边、与弧围成的面积是菱形的面积扇形的面积；
如图所示，连接，过点D作交的延长线于点M
∵，，
∴
∴
∴
∴当点D，E，H三点共线时，取得最小值，即的长度
∵，
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形
∴，
∴
∴的最小值是．
解答题
【题型11】二次函数综合大题
62．如图，二次函数的图象经过，两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求面积的最大值及点P的坐标；
(3)动点Q为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点Q旋转，使点A的对应点D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)点Q的坐标为或或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值时，有最大值，可求出的最大值为；
（3）分顺时针和逆时针旋转两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点，
∴，解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于E，连接，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，，
∴当，即时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为，此时；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
设点Q的坐标为，
当线段绕点Q逆时针旋转时：
①如图所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，则；
∴，
∴；
∵，
∴；
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
②如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
当线段绕点Q顺时针旋转时：
①当点在轴上方时，如图，
同法可得：，
∴，
解得或（舍去）；
∴；
当点在轴下方时，如图，
同法可得：，
∴，
解得或（舍去）；
∴；
综上，点Q的坐标为或或或．
63．【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线．
【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设．
【解决问题】
(1)求抛物线的解析式；
(2)若．
①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由；
②当时，求d的取值范围；
【拓展思考】
(3)在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
①解：线段的中点落在直线上．理由：
点，点，
∴，，
∵点C与点B关于直线对称，
∴点．
∴中点为．
∴线段的中点落在直线上．
②；
(3)或．
【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式；
（2）①由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解；由①可得的表达式，由二次函数的图象和性质，即可得当时，的取值范围；
（3）根据题意可得的表达式，由二次函数的图象和性质可得当时，，利用图象法，即可得的取值范围．
【详解】（1）解：由已知可得过点，
∴．
（2）解：若，则．
①略
②，
当时，，
∴．
∴的范围是．
（3）解：，
∴当时，，
利用图象法可得，当时，或．
64．如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______．
【答案】(1)，；
(2)面积的最大值为，M的坐标为；
(3)或或
【分析】（1）代入A、C求抛物线解析式，求与x轴交点得B，再求直线解析式；
（2）设P点横坐标得M、N坐标，表出并配方求最值，进而得M坐标与最大面积；
（3）分、、三种情况列方程，求解即可．
【详解】（1）解：将点、代入抛物线，
得，
解得，
抛物线解析式为，
令，则，
解得，
故点，
设直线解析式为，
将代入得，
解得，
直线解析式为；
（2）解：由题意，点，
则，，其中，
，
配方得，
当时，最大值为，
，
当最大时，最大，最大值为，
将代入，得，
故M的坐标为；
（3）解：由（2）知，点，点，点，
，
，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得或（舍去）；
当，，
解得或（舍去），
综上，m的值为或或．
65．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
(3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数与图形，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形的综合，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）把点和点的坐标代入抛物线的解析式即可；
（2）分别过点，作轴，轴，与交于点，，利用铅垂法分别表示的面积和的面积，再求比值即可；
（3）过点作于点，作，过点作交于点，利用等腰三角形的性质，先求出时，直线的解析式，利用求出点的坐标．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为：，
∴，
当时，，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
，
直线过点，则，
解得，，
直线，
如图1，分别过点，作轴，轴，与交于点，，
，
，
∵ 过点作轴与直线交于点，
∴，
，，
，
∴当时，，
，，
，
的值是一个定值，这个定值为；
（3）解：如图2，过点作于点，交轴于点，作，过点作交于点，
，
，点是的中点，
，，设直线的解析式为，
∴，
∴，
直线，
，，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
直线，
联立，
解得，
，
，，设直线的解析式为，
∴，
解得，，
直线，
联立，
解得，
，
∵点是的中点，
∴由中点坐标公式可得，，
∴，
∴，
，
设直线的解析式为，
，
解得，，
，
直线的表达式为：，
联立，
解得，
．
66．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段上的一个动点，连接，在上方作，交抛物线于点E．
(1)请求出抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)如图2，当平分时，请求出的长；
(3)点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，M坐标为或或
【分析】（1）由直线求出点B和点C，再利用待定系数法求抛物线的解析式，令求点A的坐标；
（2）过P作，垂足为Q，根据等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，说明，证明是等腰直角三角形，得到，再求出P、E的坐标，最后求；
（3）分两种情况求解：线段作为平行四边形的一条边或对角线，根据平行四边形对角线互相平分，数即可求解点M的坐标．
【详解】（1）解：当时，；令，，
∴点，点，
∵抛物线经过点B、点C，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
令，得或，
∴点A的坐标为．
（2）解：过P作，垂足为Q，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
令，得或，
∴，
令，得，
∴，
∴．
（3）解：存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点M坐标为或或．理由如下：
由（2）可知，，，
∵点N是y轴上的一点，点M在抛物线上，
∴设点的坐标为，点的坐标为，
当线段作为平行四边形的一条边时，
则或，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴点M的坐标为或；
当线段作为平行四边形的对角线时，
则，解得，
此时，
∴点M的坐标为，
综上，点M坐标为或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，并与等腰直角三角形和平行四边形结合，对于（2），关键是说明．
67．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案．
【详解】（1）解：∵的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：如图，设与y轴交于点E，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，得，
∴，，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得 ，
∴，
设所在直线表达式为 ，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为．
【点睛】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题关键．
68．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)直接写出二次函数的解析式_________________________；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为四边形的面积最大值为
(3)存在，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点P作y轴的平行线与交于点Q，设，先求出直线的解析式为，再利用求解即可；
（3）设点，交于点E，若四边形是菱形，则，连接，则，，可得，进而求解．
【详解】（1）解：将两点的坐标代入得
解得
所以二次函数的表达式为，
故答案为：；
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q，
设，直线的解析式为，
则，
解得
直线的解析式为，
则，
，
，
，
当时，四边形的面积最大，
此时，点P的坐标为四边形的面积最大值为；
（3）解：存在．理由如下：
如图，设点，交于点E，
若四边形，是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，（不合题意，舍去），
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
69．如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
(3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)能．或
(3)，，，
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【详解】（1）解：将代入，
得：，解得，
则抛物线解析式为；
（2）解：能．设直线的解析式为，
把代入得，解得，
所以直线的解析式为，
设，则，
∴，，
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，如图，
设，
∵，
∴，
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为或，
综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，．
【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
70．如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)面积最大值为，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出抛物线，，，设：，过点作轴交于点，得出，表示出，根据得出，求出最大值和点P的坐标即可．
【详解】（1）解：顶点，
设二次函数的解析式为，
把代入得：，
，
，
即；
（2）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为，
则函数的解析式为：，
设 为 上一点，
绕顺时针旋转 后，对应点为，
则由旋转得，
则，，
，
若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，
所以抛物线，
把 代入，
，
解得：，；
则，，
设：，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
当 时，有最大值，，
此时．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等，有一定的综合性，难度较大．
71．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点或或或或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）先求出点，再分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【题型 12】二次函数代数探究
72．抛物线，点，（其中m，n为常数）．
(1)若，，分别判断点A，B是否在抛物线上；
(2)若点B在抛物线上，求的面积；
(3)若线段与抛物线有两个交点，求的取值范围．
【答案】(1)点A在抛物线上，点B不在抛物线上
(2)的面积为1
(3)
【分析】（1）先求出抛物线的解析式及点A，B的坐标，再代入验证即可；
（2）由点B在抛物线上可得，然后用待定系数法求出直线的解析式为，设直线与y轴的交点为点P，可得，再根据点A，B与y轴的三种位置分别求即可；
（3）先确定点A为抛物线的顶点，然后设直线的解析式为，并求出，再联立方程组，整理得，设直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，并结合一元二次方程根与系数的关系，得到，即可根据求解，得到，最后根据二次函数的性质，即可得到答案．
【详解】（1）解：当，时，，，，
当时，，
点A是在抛物线上，
当时，，
点B不在抛物线上；
（2）解：，
若点B在抛物线上，则，
，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设直线与y轴的交点为点P，
令，则，
，
当点A、B均在y轴左侧时，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
则，，
的面积为；
当点A、B在y轴两侧时，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
则，，
的面积为；
当点A、B均在y轴右侧时，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
则，，
的面积为；
综上所述，的面积为1；
（3）解：，
，
抛物线的顶点为点A，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，
得，
两式相减，得，
联立方程组，
消去y并整理，得，
设直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，
则，
，
线段与抛物线有两个交点，
，
，
，
，
，
，
对于，
设，则，，
当时，原式取最小值，
当时，原式取最大值，
．
73．在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为．
(1)请用含a的式子表示b，c；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定；
①若，，求t的值；
②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①或；②
【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案；
（2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可；
②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可．
【详解】（1）解：抛物线顶点为，
∴，，
∴；．
（2）解：①∵，
∴，
直线为：，
∵，
∴，，
∴，
∴或，
∴或，
当时，
解得：或，
当时，
此时，方程无解．
综上：或．
②由①同理可得：
，
当时，
∴，
解得：，，
∴函数的对称轴为直线，
如图，
当或时，随的增大而增大，
当或时，随的增大而减少，
当时，，
∴，
∴点P从点运动到点的过程中，增大，
开口向上的抛物线的解析式为：，
开口向下的抛物线的解析式为：，
令，，
把代入，
∴，
解得：，
∵，的长存在最大值，
∴，
解得：，
当时，
∴，
当点P从点运动到点的过程中，减少，
此时图象不含端点，
∴不存在最大值，
综上：．
74．已知抛物线（，为常数），经过点，其图象对称轴为直线．
(1)求抛物线表达式；
(2)已知，在该抛物线上，且，
①若，对于，都有，求的取值范围；
②若，为该抛物线在上的两点，且，的最大值为2，求的值．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）根据对称轴公式求出，再将代入求解即可；
（2）①求出关于对称轴直线的对称点，根据二次函数的图象列不等式组求解即可；
②先求出最大时，，进而求出，求出时的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵对称轴为直线，
∴，
解得：，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①设关于对称轴直线的对称点为，
∴，
解得：，
∴关于对称轴直线的对称点为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵，对于，都有，
∴，
解得：；
②∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，，
∴在内，抛物线在取得最大值，
即最大时，，
∵的最大值为2，
∴最大时，，
解得：，
当时，解得（舍去）或．
即．
75．已知二次函数（a为常数，且）．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)若，当时，函数的最大值为1，求的值；
(3)在（2）的条件下，如果，在二次函数（）的图象上，其中，求的最大值．
【答案】(1)对称轴为直线；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）先判断出点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，然后求出，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：二次函数，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，
抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为直线，且，
当时，函数值在处取得最大值，
将，，代入，
得，解得；
（3）解：由（2）得，，
，
，
自变量的取值范围位于对称轴的左侧，
∴如图，点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，
∵ ，
∴当时，函数值离对称轴越远值越大，
∴要使取得最大值，，，
∴，
整理得，，
∵，
∴当时，.
76．已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)7
(3)
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题．
（1）将点A的坐标和对称轴代入二次函数中，即可求解；
（2）表示出平移后的点B的坐标，再代入关系式，求出m的值；
（3）先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
解得．
二次函数的表达式．
（2）解：点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为，即．
点两次平移后落在的图象上，
．
整理得．
解得，．
，
．
（3）解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为．
对称轴为直线，
当，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大．
当时，．
分三种情况：
当时， y随x的增大而减小；
当时，y的值最大，即最大值为；
当时，y的值最小，即最小值为．
二次函数的最大值与最小值的差为4，
，解得．
当时，则时，y的值最大，即最大值为；
当时，y的值最小，即最小值为．
此时二次函数的最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，则时，y的值最小，为，
当时，y的值最大，即最大值为，
二次函数的最大值与最小值的差为4，
．
解得，．
，
不符合题意，舍去．
综上，n的取值范围．
77．已知二次函数（a为常数，且），
(1)若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ．
(2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值．
(3)若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围．
【答案】(1)，或；
(2)的值为或；
(3)或．
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据交点确定不等式的解集，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，即可得的值，从而得二次函数解析式，求出二次函数与轴的交点坐标即可得到结论；
（2）由二次函数解析式结合，可求出，代入，可求的值；
（3）分和两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
解得，，
∴，
令，即，
解得，，，
又，
∴抛物线开口向下，
∴时，的取值范围为或；
故答案为：；或；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
∵，
∴当时，取最大值，即，
当时，取最小值，即，
∵，
∴，
解：；
当时，抛物线开口向下，
∵，
∴当时，取最小值，即，
当时，取最大值，即，
∵，
∴，
解：；
综上，的值为或；
（3）解：①当时，抛物线与直线只有一个公共点时，符合条件，则顶点在直线上，
∴
∴，
②当时，抛物线过点B ，且与只有一个交点，
将点代入，得，
解得，；
将代入得：，
解得，，
如图，此时抛物线与线段有两个交点，
综上，抛物线与只有一个交点时，或．
【题型 13】圆综合大题
78．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、．
(1)如图1，若，
①求证：；
②若，，求的长度
(2)如图2，若，时，求证：．
【答案】(1)①证明：∵，，
∴，
∵，，
∴；
②
(2)证明：∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
取优弧的中点，连接，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【分析】（1）①由和圆周角定理得到，再结合，，证明；
②由得到，，，再利用勾股定理求出，，最后根据，得到，代入计算即可；
（2）由，设，则，，取优弧的中点，连接，，则，，即可证明，得到，再求出，得到，，推出，得到．
【详解】（1）解：①略
②∵为直径，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）略
79．【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：．
【问题解决】证明：如图②，连接．
四边形是平行四边形，∴，．
是的中点，是的中点，，．．
四边形是平行四边形．．点在上，．
．．
【结论应用】
(1)在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为 ；
(2)如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用题干中已知结论可得，由圆周角定理得，由勾股定理计算出，最后利用平行四边形面积公式求解；
（2）由题干中已知结论可得，推出，进而可得点C在以点D为圆心，3为半径的圆上，根据圆外一点到圆上一点的距离，可得当点C在线段的延长线上时，长度取最大值．
【详解】（1）解：如图，连接，
中，
，
由题干中已知结论可得，
，
点也在上，
，
，
的面积；
（2）解：正方形中，
，，
由题干中已知结论可得，
，
点C在以点D为圆心，3为半径的圆上，
当点C在线段的延长线上时，长度取最大值，如图：
此时．
80．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
(1)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称______；
(2)如图，在等腰中，，经过点A、B的圆交边于点D，交边于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值；
(3)如图，在中，经过A、B的圆交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P，使得，连结交于点G，连结，若，．求证：四边形为圆美四边形．
【答案】(1)正方形
(2)
(3)证明：，，
，
，
，
，
，
又，
即，
，
，
又，，
，
即，
，
又∵A，B，E，D在同一个圆上，
∴四边形为圆美四边形．
【分析】（1）根据圆美四边形的定义直接得出结论；
（2）先判断出，得出，；
（3）先判断出∽，得出，进而判断出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据圆美四边形的定义可知，正方形是圆美四边形．
（2）解：如图，连接，，
，
为的直径，
，
四边形为圆美四边形，
，
，
，
，
，
，
在等腰直角中，，
，
，
，，
．
（3）略
81．如图，是的外接圆，平分交于点D，平分交于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求证：．
【答案】(1)30°
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得出，确定，再由角平分线及等量代换即可得出结果；
（2）根据圆周角定理得出，然后结合图形即可等量代换确定，利用等角对等边即可证明；
（3）延长至点F，使得，连接，得出，利用等量代换得出，再由圆周角定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）由题意，得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图，延长至点F，使得，连接．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
82．如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，
(1)求证：
(2)若，，求半径．
(3)如图2，点F在上，，连接、．求证：．
【答案】(1)
证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
．
(2)5
(3)
证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，，
，
∵，
，
，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
．
【分析】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论；
（2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图：连接，
由（1）知：，
，
，
为的直径，
，
，
设半径为r，则，
，
，
，解得：，
半径为5．
（3）略
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键．
83．如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比．
【答案】(1)
证明：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)；
(3)
【分析】（1）连接，设，则，由可得，再由为直径，可得，求出，最后由等腰三角形的判定证明即可；
（2）先由勾股定理求解，再判定为等腰三角形，且，根据边的关系求解即可；
（3）由弧的关系可得圆心角的关系，证明为等腰直角三角形，再得到，由此可求解．
【详解】（1）略
（2）解：过点作垂直于，垂足为，如图，
∵，，
∴在中，，
∵，,
∴，
∵,
∴，
,
∴为等腰三角形，
∵垂直于，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴．
（3）解：设点到线段的距离为，
∵，
∴要使得的面积最大，就是当，
此时，为等腰直角三角形，且，
连接，过点D作，如图，
∵，
∴，
∵，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并适当添加辅助线．
1
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专题09 期中复习压轴十三大题型突破
选择题
【题型 1】二次函数图像性质结论判断
【题型 2】二次函数区间最值
【题型 3】圆的多解问题
【题型 4】圆中角度转化、倒角模型
【题型 5】二次函数与圆小综合
填空题
【题型 6】二次函数存在性、参数范围
【题型 7】圆中线段最值
【题型 8】垂径定理计算 + 多解
【题型 9】二次函数面积有关问题
【题型 10】圆内接四边形、弧长、扇形面积拓展
解答题
【题型 11】二次函数综合大题
【题型 12】二次函数代数探究
【题型 13】圆综合大题
选择题
【题型 1】二次函数图像性质结论判断
1．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．如图，二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（为实数），其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在平面直角坐标系中，已知点、，点在线段上，设（a为常数）；下列两个说法：
①当时，t有最大值，无最小值；
②当时，的值一定是负数；下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确D．①②都错误
5．抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过；
②；
③点，在抛物线上，且，则；
④若是方程的两个根，其中，则．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a﹣b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）；③7a+c＞0；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型 2】二次函数区间最值
7．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（ ）
A．7 B．11 C．22 D．26
9．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
11．已知二次函数（）在时的最小值为，则m等于（ ）
A．5 B．或 C．5或 D．或
12．已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【题型 3】圆的多解问题
13．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
14．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )
A．80° B．160° C．80°或20° D．80°或100°
15．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（ ）．
A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3
16．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（ ）
A．3或8 B．6或8 C．3或6 D．5或6
17．已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的两边，那么这个角的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
18．弦AB是圆内接正三角形的边，弦AC是同圆内接正六边形的一边，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【题型 4】圆中角度转化、倒角模型
19．如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，是的内接三角形，是的直径，是上一点，连接，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，四边形内接于，，过点C作交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，四边形内接于，为的直径．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，点E在上，且，则的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
27．如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【题型 5】二次函数与圆小综合
28．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
29．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为C“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
30．已知抛物线经过点、，则下列结论：①若，、在该抛物线上，；②若抛物线与y轴交于点，当时y的最大值与最小值的差为9；③平面直角坐标系内，线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，a的取值范围是；④以为直径的圆与轴下方抛物线有交点，则的取值范围是．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题
【题型 6】二次函数存在性、参数范围
31．已知二次函数图象过点，．若，则的取值范围是__________．
32．已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点则的取值范围是_______．
33．若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________．
34．新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为________．
35．已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________．
36．一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是_________ ．
37．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________．
38．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是__________．
【题型 7】圆中线段最值
39．如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______．
40．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________．
41．如图，已知四边形是边长为的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．当时， ______；在点运动过程中， 的最小值为________．
42．如图，以为圆心，2为半径的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，点E为上的动点（不与点A、C重合），连接，于点F，连接，点E在上运动的过程中，线段长度的最小值为___________．
43．如图，已知的半径为2，圆外一点O满足，点P为上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且，，l不经过点C，则的最小值为______．
44．如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________．
45．如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最小值为______________________ ．
46．如图，等腰 中 ，，点是边上一动点，点是射线上一动点，，交于点，且．连接，当动点沿边从点移动到点过程中，长的最小值为_________________．
47．如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为______．
【题型 8】垂径定理计算 + 多解
48．已知A，B为上的两点，C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，若，，则的长为______．
49．已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为_______．
50．等腰内接于，若半径为，底边长为，则这个等腰三角形的腰长______．
51．已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为__________．
52．半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是_______．
【题型 9】二次函数面积有关的问题
53．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____．
54．如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为___________．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________．
55．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________．
【题型 10】圆内接四边形、弧长、扇形面积拓展
56．如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________．
57．如图，是的外接圆，，已知面积为，，则的半径为________．
58．如图，已知四边形是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于_______．
59．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________．
60．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______．
61．如图，菱形，，，以点为圆心为半径画弧，点是弧上的动点，在线段上取一点，，连接、，则边、与弧围成的面积是_____，的最小值是_____．
解答题
【题型11】二次函数综合大题
62．如图，二次函数的图象经过，两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求面积的最大值及点P的坐标；
(3)动点Q为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点Q旋转，使点A的对应点D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标．
63．【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线．
【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设．
【解决问题】
(1)求抛物线的解析式；
(2)若．
①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由；
②当时，求d的取值范围；
【拓展思考】
(3)在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围．
64．如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______．
65．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
(3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．
66．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段上的一个动点，连接，在上方作，交抛物线于点E．
(1)请求出抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)如图2，当平分时，请求出的长；
(3)点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．
67．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式；
68．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)直接写出二次函数的解析式_________________________；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
69．如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
(3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
70．如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标．
71．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型 12】二次函数代数探究
72．抛物线，点，（其中m，n为常数）．
(1)若，，分别判断点A，B是否在抛物线上；
(2)若点B在抛物线上，求的面积；
(3)若线段与抛物线有两个交点，求的取值范围．
73．在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为．
(1)请用含a的式子表示b，c；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定；
①若，，求t的值；
②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围．
74．已知抛物线（，为常数），经过点，其图象对称轴为直线．
(1)求抛物线表达式；
(2)已知，在该抛物线上，且，
①若，对于，都有，求的取值范围；
②若，为该抛物线在上的两点，且，的最大值为2，求的值．
75．已知二次函数（a为常数，且）．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)若，当时，函数的最大值为1，求的值；
(3)在（2）的条件下，如果，在二次函数（）的图象上，其中，求的最大值．
76．已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围．
77．已知二次函数（a为常数，且），
(1)若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ．
(2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值．
(3)若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围．
【题型 13】圆综合大题
78．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、．
(1)如图1，若，
①求证：；
②若，，求的长度
(2)如图2，若，时，求证：．
79．【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：．
【问题解决】证明：如图②，连接．
四边形是平行四边形，∴，．
是的中点，是的中点，，．．
四边形是平行四边形．．点在上，．
．．
【结论应用】
(1)在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为 ；
(2)如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为 ．
80．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
(1)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称______；
(2)如图，在等腰中，，经过点A、B的圆交边于点D，交边于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值；
(3)如图，在中，经过A、B的圆交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P，使得，连结交于点G，连结，若，．求证：四边形为圆美四边形．
81．如图，是的外接圆，平分交于点D，平分交于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求证：．
82．如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，
(1)求证：
(2)若，，求半径．
(3)如图2，点F在上，，连接、．求证：．
83．如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比．
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