九年级数学上学期期中模拟卷（新教材湘教版第1～3章，高效培优）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1章~第3章。 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为2， A. 中未知数最高次数为1，不符合要求； B. 中含有2个未知数，不符合要求； C. 同时满足三个条件，符合要求； D. 是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 4．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．某国产芯片企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到50亿元，为计算这两年研发投入的平均年增长率，设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住2024到2026年共经历2次增长的特点，用含x的式子表示2026年研发投入，建立等量关系． 【详解】解：设研发投入的平均年增长率为x， 2025年研发投入为亿元， 2026年研发投入为亿元， ∵ 2026年研发投入为50亿元， ∴． 6．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过“降次法”得出，解一元二次方程，结合得出，代入降次后的式子，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴． 7．在菱形中，，于点，，连结交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形性质求出、长度及长度，通过勾股定理求出，再利用构造相似三角形，根据对应边成比例求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 解得． 8．如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴ 在中，， ∴． 9．如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在正方形中，由，可得的长；再由“一线三等角”，证得，从而推得；由相似三角形的性质，可得的长，从而根据勾股定理可得的值，进而求出小正方形的面积． 【详解】解：正方形的边长为，， ， 四边形和均为正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ∴在中，， ∴． 10．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点运动到点时，、两点停止运动．连接，过点E作，垂足为，连接，交于点，交于点，连接．给出下列结论：①∽；②；③；④的值为定值；⑤若，则．上述结论中正确的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等判定 ，判断①；利用相似三角形性质及互余关系证 ，判断②；通过证明 推导边长比例及定值，判断③④；利用平行线分线段成比例及三角函数定义计算 ，判断⑤. 【详解】解：设运动时间为 ． 四边形 是矩形， ，，． ，， ， ，故①正确； ，． ， ． ， ， ，故②正确； ． ， ． ， ． ， ， ，． ． ， ，即， ， ，即 ． ， ，故③错误； ， ，为定值，故④正确； 若 ，则 ． ， ， ，即 ． ， ， ，即 ． 解得 ． 与是对顶角， ， ， ， 是直角三角形，， ， 前面已证， ，变形得， 代入已知线段比例，得 ， ， ⑤错误． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程的解是________． 【答案】， 【分析】若实数满足（），则是的平方根，据此即可解答. 【详解】解：对等式两边直接开平方，可得． ∴ ，即方程的解为，． 12．已知非零实数、、满足，则的值是______． 【答案】 / 【详解】解：设，其中， ∴ ，，， ∴． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的两个实数根，可通过根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 一元二次方程的一般形式为，其中，，, ∴ 根据根与系数的关系，两根之和，两根之积， 将上述结果代入代数式，计算得． 14．如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________． 【答案】1152 【分析】设正方形边长为x，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得到，然后利用矩形面积公式求解． 【详解】解：设正方形边长为x，则，， ∵ ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴矩形面积． 15．如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形，结合矩形性质得，，进而得，即可得，在中，根据勾股定理求出，再根据正弦定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，且，证明是等边三角形，根据三线合一得到，根据三角函数求出，，​​根据等面积法求出，证明是的中位线，得到，证明，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，且． ∵菱形邻边相等，， ∴是等边三角形， ∴． 在中，，， ∴，，​​ ∵， ∴， 即， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解： 或， ，； （2）解： 或 ，． 18．在中，D是边上一点，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵（公共角） ∴（两角分别相等的两个三角形相似） (2) 【分析】（1）首先找到两个三角形的公共角，结合已知条件，因为两角分别相等的两个三角形相似，所以可证明． （2）如果已经证明两个三角形相似，那么根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的边长即可求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由， 得对应边成比例：， 将代入， 得， ∴， ∴的长为． 19．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数先求出的值，再根据勾股定理求出的长； （2）过点D作，根据角平分线的性质得到，用证明，根据全等的性质和勾股定理求出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：； （2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ， 整理得：， 解得：， ． 20．已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为或. (2)存在，的值为. 【分析】（1）将代入方程求解，结合方程有实根的判别式条件验证结果； （2）利用根与系数的关系变形所求代数式，列方程求解，结合判别式筛选符合条件的值． 【详解】（1）解：∵方程的一个根为，∴将代入，得，即， 解得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∵和均满足， ∴的值为或. （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴代入得， 整理得， 解得，. ∵方程有实数根， ∴， ∴不符合条件，舍去， ∴. 综上所述，存在实数使得成立． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为，，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）根据位似的性质解题． 【详解】（1）略 （2）解：由位似的性质知，，相似比为， ∴周长比为． 22．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． (2)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)， 【分析】（1）先把方程变形为，确定长方形长、宽，再利用面积关系列出，开方求解得到方程的两个根． （2）先把方程变形为，设，得到，套用得到，开方算出的值． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解得，． （2）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 23．综合与实践 【问题提出】如图①，在等腰三角形中，，，为中点，以为顶点作，角的两边分别交，于点，，连接．试探究点到线段的距离． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图②，当点和点重合时，点到线段的距离为________（用含的式子表示）． (2)再探究一般情形，如图①，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】 (3)如图③，在等腰三角形中，，为中点，以为顶点作，角的两边分别交直线，于点，，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作于点，于点， ∵为中点， ∴， ∴． ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 即点到线段的距离为． (3)． 【分析】（1）根据“三线合一”可得，，，， 证明点到线段的距离即为的长，根据正弦的定义即可求解； （2）过点作于点，于点，，由（1）可得，证明，再证明，得到，即可求解； （3）连接，作于点，设，则，，证明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：， 为中点， ，，． ∴， ，， ∴， ， ， 点到线段的距离即为的长． 在中，， ． （2）略 （3）解：连接，作于点，如图． 设，则， ． ，为中点， ，， ． ，， ， ， ． 同（2）易得， ，， ， ， ， ， ． 24．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）根据菱形的性质，得到，结合，推出，设，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，折叠的性质得到，进而求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果； （3）设，则，进而得到，证明，得到，设，，得到，根据角平分线的性质以及同高（等高）三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，过点作，交的延长线于点，根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出，，进而得到，在中，利用勾股定理求出，进而得到，即可得到的长，进一步求出最终结果即可. 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∵， ∴平分， ∴点到的距离相等，设点到的距离为， 则， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ ∴， 整理，得， ∴（舍）或， ∴， ∴， ∴. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 2 心 5 6 8 9 10 答案 D & C B D B B C B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11. x=3X2=-3 12.4/0.25 13.-1 14.1152 18 15.5 16.1 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1) x=4x2=-2 (2) x=1+V5x2=1-3 【详解】()解：(x--9=0 (x-1)2=9 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1=3或x-1=-3, x=4x2=-2 3分 (2)解：x2-2x-2=0 x2-2x=2 x2-2x+1=3 (x-1)2=3 -l=5或-l=5 x=1+3为=1-V5 6分 18.(I)证明：：∠BCD=∠A∠B=∠B(公共角) ∴△BDC∽aBCA(两角分别相等的两个三角形相似) -3分 ②2 【详解】(1)略 (2)解：由△BDC∽aBCA, BD BC 得对应边成比例：BCAB, 将BC=3,AB=6代入， BD 3 得36， .BD=3x3_3 62, ·BD的长为2： 6分 19.(1)BC=4 (2)an∠BAD=I 【详解】()解：在R△BC中，∠B=90,snC- 5,AC=5, 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..sinC= AB AB 3 AC55: .AB=3 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,AC=5, 由勾股定理得： BC=AC2-AB2=52-3=4 --3分 (2)解：过点D作DE⊥AC交AC于点E,则∠AED=∠CED=90°，如下图所示， AD平分∠BAC,∠B=90°，∠AED=90°， ∴.BD=DE,∠BAD=∠EAD, ∴.△ABD≌AAED(AAS) :AE=AB=3. ∴CE=AC-AE=5-3=2, 在RIACDE中，∠CED=90°，CE=2, 由勾股定理得：CD2=DE2+CE2,1 即(BC-BDP=BD+22 (4-BD)2=BD2+22 整理得：8BD=12, 解得：BD=3 2 3 tan∠BAD=BD=2-=1 8分 AB 3 2 20.(1)m的值为0或-2 (2)存在，m的值为-1. 3/11 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 【详解】()解：“方程的一个根为，“将x=代 入+(2m-x+m=0,符+2m-1+时=0，即 m2+2m=0 m1=0m2=-2 解得 ,方程有实数根， .△=(2m-1)2-4m2=1-4m≥0 .1 解得m≤4； ·0和-2均满足ms 4， ∴.m的值为0或-2.-4分 (2)解：：α，B是方程的两个实数根， a+B=1-2m aB=m2 由根与系数的关系得： .a+B-a0=(a+m2-3B=6 1-2m)2-3m2=6 代入得 整理得m2-4m-5=0, m1=5m2=-1 解得 ,方程有实数根， 1 ∴ms 4 .m=5不符合条件，舍去， ∴.m=-1. 综上所述，存在实数m=使得 a2+B2-ap=6 成立 --8分 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4 3 21.(1) 6分 -7-6 5-4-3-2 (2)2:1 【详解】(1)略 (2)解：由位似的性质知，△ABC∽aA'B'C',相似比为2：L, ∴.周长比为2：1.-一10分 2.0)x+5)=14,x+5,x.(c+x+5=4x14+525=2.=-7 2②)5=7+v47 2 【详解】(1)解：+5x-14=0,先变形为 (x+5)=14 如图2， x+5 14 14x+5 x+514 52 14 x+5 图2 每个小长方形的长为x+5), 宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为x+x+5=4×14+5 解得=25=-7 --5分 (x-7)=-2 (2)解：由题意，先变形为 设x=a,x-7=b, 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [ab=-2 a-b=7. .(a+b2-4×(-2)+72 (x+x-7)}2=41 (2x-7)}2=41 解利4-74年。41西 2 ---10分 23.(1)2sina 【详解】(1)解：“AB=AC,D为BC中点， ·AD L BC, BD=CD-BC-2,ZBAD-ZCAD Γ2 ∴.∠AFD=90°」 ∠EDF=∠ABC=a.∠BAD=∠CAD. .180°-∠EDF-∠CAD=180°-∠ABC-∠BAD .∠AFD=∠ADB=90°， ∴.DF⊥AC, ∴·点D到线段EF的距离即为DF的长. DF DE 在RtACDF中，sina= DC 2 .DF=2sina.--4分 (2)(2)证明：如图，过点D作DM⊥EF于点M,DN⊥CF于点N, - B D C .D为BC中点， .BD=CD= c-2 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'DN CDsina 2sina ∠EDF=∠ABC=∠ACB=C&. ∴.a+∠BED=∠EDC=a+∠CDF, .∠BED=∠CDF .AEBDADCF, ED BD DC DF CFCF ED DF DC-CF· ∠EDF=∠ACB=a, .EDFADCF, .∠EFD=∠CFD, ∴.DM=DW=2sina, 即点D到线段EF的距离为2 sina.—一-8分 (3)解：连接AD,作DP⊥AB于点P,如图. B 设BP=a,则DP=atana, ∴.BD2=a2+a2tan2u :AB=AC,D为BC中点， .AD⊥BC,BD=CD」 .∠ADB=90° ∠BPD=90°，∠B=∠B, △BPD∽△BDA, BP BD BD BA .B=BD=d+a'tan'a BP =a+atan'a. a 同(2)易得△EBD∽△DCF∽△EDF, 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EB DC ∴.∠BED=∠DEF'BDCF, :∠BED=∠DEF=1∠BEF=45° 2 ,.∴PE=PD=atana, ..BE a+atana, :.Cr-BD-d+dtn'a_a(1+tan'a) BE a+atana 1+tana AC=4B=a+atana1+tan 'CF CF a(1+tan2a) .-12分 1+tan a 24.PF=2-V5 √5 (2)2 n3+n2-n-1 (3)2n+1 【详解】(1)解：，折叠， .AF=AB=2, :AF⊥BC于点P,∠B=60°， .∠BAP=30°， :.BP=14B=1. 2 AP=VAB2-BP=3 PF=AF-AP=2-3 --2分 (2)解：，菱形ABCD, .AB=AD=CD,∠D=∠B=60°，ABII CD ,AF⊥AB, 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF⊥CD .∠AMD=∠FMN=90°， .∠DAM=30°， AD=2DM,AM=AD-DM =3DM 设DM=x,则MB=CD=D=2x,MM=V3x 翻折， .AF=AB=2x,∠AFE=∠B=60° MF=AF-AM=2x-3x .∠FMN=90°， .∠FNM=30°， FN-2MF,MN=FN-FM-5FM=23x-3x :CN=CD-DM-MN-2x-x-2x+3x=4x-2x MN2√5x-3xV5 .CN4x-25x2;----7分 (3)解：折叠， .AF=AB,BE=EF,∠BAE=∠PAE,∠AFE=∠B=60°， ∴.∠PFE=180°-∠AFE=120°. .BE=nEC, .EF nEC, 设CE=2,则BE=EF=2n, .AF=AB=BC=2n+2, .AB//CD .∠BCD=180°-∠B=120°， .∠PFE=∠ECN, 又，∠CEN=∠PEF, 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ACEN∽aFEP, PF PE EF .CN EN CE =n .PE nEN,PF =nCN. 设EN=a,CN=b, .PE=na,PF=nb」 .'PC=PE-CE=na-2,AP=AF+PF=2n+2+nb. .∠BAE=∠PAE, .AE平分∠BAP, ∴点E到AB,AP的距离相等，设点E到AB,AP的距离为h, 1 AB.h S能=2 AB BE 则SAPE AP.h AP PE, 2 2n+2 2n2 .2n+2+nb na a’ :a=2+b n+1, 过点E作EH⊥NC,交NC的延长线于点H, A D B E .∠BCD=120°， .∠ECH=180°-120°=60°， ∠CEH=30°， :CH-=CB=1,EH=c-7-5, .NH=CN+CH=b+1. 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△EHN中，由勾股定理，得EN2=EH+NH, .a2=3+(b+1)2 整理，得(2m+1)b=(2m-2b 六6=0（舍）或6=2m-2 2n+1, a=2+nb-2m+2n+2 n+12n+1, PC=ma-2-2n+2r+2n-2-2m+2-2n-2 2n+1 2n+1 2n3+2n2-2n-2 .CP =2m+1二=n+n2-m-1-2分 EC 2 2n+1 11/11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1章~第3章。 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 5．某国产芯片企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到50亿元，为计算这两年研发投入的平均年增长率，设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．在菱形中，，于点，，连结交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 9．如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于(     ) A． B． C． D． 10．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点运动到点时，、两点停止运动．连接，过点E作，垂足为，连接，交于点，交于点，连接．给出下列结论：①∽；②；③；④的值为定值；⑤若，则．上述结论中正确的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程的解是________． 12．已知非零实数、、满足，则的值是______． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 14．如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________． 15．如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 16．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 18．在中，D是边上一点，． (1)求证： (2)若，求的长． 19．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 20．已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为，，则______． 22．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． (2)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 23．综合与实践 【问题提出】如图①，在等腰三角形中，，，为中点，以为顶点作，角的两边分别交，于点，，连接．试探究点到线段的距离． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图②，当点和点重合时，点到线段的距离为________（用含的式子表示）． (2)再探究一般情形，如图①，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】 (3)如图③，在等腰三角形中，，为中点，以为顶点作，角的两边分别交直线，于点，，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 24．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $