1.1认识三角形 课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

1.1认识三角形 同学们，今天我们开始学习一个最基本也最重要的图形——三角形。它在建筑、桥梁、日常工具里无处不在，这节课我们系统地认识它。 1 CONTENTS 目录 01 三角形的定义与表示 02 三角形的内角和 03 三角形按角分类 04 三角形按边分类 05 三角形的三边关系 06 三角形的重要线段 这节课我们分六个部分认识三角形：先学会表示它，再看内角和、按角和按边分类、三边关系，最后研究它的重要线段。 2 Lead-in 从生活走进三角形 先观察、再提问：找到这些结构里的共同图形，思考三角形有什么特别之处。 找一找：它们藏着什么图形？ 观察实物：房屋的人字屋顶、斜拉桥的钢索与桥塔、三角尺、三角形交通标志。 圈出每幅图中的三角形，说说它们由几个点、几条线段围成。 为什么这些结构偏爱三角形而非四边形？先猜，学完本节再回答。 这节课，你将学会 说出三角形的定义，用符号表示三角形及其边、角。 用"内角和等于 180°"求未知角的度数。 按角、按边对三角形分类，认识等腰、等边、直角三角形。 用三边关系判断能否围成三角形，并求第三边范围。 画出并识别三角形的中线、角平分线和高线。 先看几张图：房屋的屋顶、斜拉桥、三角尺、三角形的交通标志。请大家找一找它们共同藏着什么图形。想一想，为什么这些地方都爱用三角形？带着这个问题，我们来看本节课要达成的目标。 3 三角形的定义与表示 01 进入第一部分：先明确三角形到底是什么，以及怎样用符号简洁地表示它。 4 定义 · 表示 01 三角形的定义与表示 定义的两个关键词：不在同一直线上、首尾顺次相接；表示用符号"△"。 定义 由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三个关键条件：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接、围成封闭图形。 表示 用符号"△"表示三角形，如记作△ABC，读作"三角形 ABC"。 基本元素 三角形有 3 个顶点（A、B、C）、3 条边、3 个内角。 三条边可用与对角顶点同名的小写字母 a、b、c 表示，如∠A 所对的边 BC 记作 a。 05 / 18 注意定义里两个关键词：一是三条线段不在同一条直线上，二是首尾顺次相接——也就是每条线段的端点正好接住下一条的起点，围成一个封闭图形。我们用一个符号△来表示它，顶点是A、B、C就记作△ABC。三条边可以用对应顶点的小写字母a、b、c表示，比如边BC记作a。 5 三角形的内角和 02 第二部分研究三角形三个内角的和有什么规律，并动手验证它。 6 02 定理 · 验证 三角形内角和等于 180° 内角和定理是求角度、判断三角形形状的基础工具，对所有三角形都成立。 定理 三角形的三个内角的和等于 180°。 ∠A + ∠B + ∠C = 180° 在△ABC 中，上述等式恒成立。 动手验证（教材"做一做"） 撕角拼合：把三角形的三个角撕下来，将三个顶点对齐拼在一起，正好拼成一个平角。 折叠法：把三个角分别向三角形内部折叠，使三个顶点重合，也能拼成一个平角。 平角是 180°，所以无论撕拼还是折叠，都说明三个内角之和等于 180°。 撕角拼合：三个角拼成一个平角（180°） 07 / 18 不管什么形状的三角形，三个内角加起来都等于180°。怎么验证？做一做：把一个三角形纸片的三个角撕下来，把三个顶点拼在一起，恰好拼成一个平角180°；或者像教材那样把三个角向中间折叠，也能拼成一个平角。 7 例题 · 示范 典型例题：用内角和求各角 三个角都用含同一未知数的式子表示，代入内角和 180° 列方程即可。 02 PROBLEM 题目 在 △ABC 中，已知 ∠B = 3∠A，∠C = 5∠A，求 ∠A、∠B、∠C 的度数。 SOLUTION 解题过程 1 设 ∠A = x°，则 ∠B = 3x°，∠C = 5x°。 2 由内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 3 列方程 x + 3x + 5x = 180，合并得 9x = 180，解得 x = 20。 4 代回：∠A = 20°，∠B = 60°，∠C = 100°。 08 / 18 来看这道题。三个角都跟∠A有关，我们就设∠A为x，那么∠B等于3x、∠C等于5x。用内角和180°列出方程：x加3x加5x等于180°，也就是9x等于180°，解得x等于20°。代回去，∠A是20°，∠B是60°，∠C是100°。 8 三角形按角分类 03 第三部分：按角的大小，三角形可以分成哪几类。 9 03 锐 · 直 · 钝 三角形按角分类 按最大角分类；直角三角形记作 Rt△ABC，两锐角互余。 锐角三角形 三个内角都是锐角（都小于 90°）的三角形。 直角三角形 有一个角是直角（90°）的三角形，记作 Rt△ABC。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边（最长边）。 性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角之和等于 90°。 钝角三角形 有一个角是钝角（大于 90°）的三角形。 10 / 18 按角分有三类：三个角都是锐角的是锐角三角形；有一个角是直角的是直角三角形，记作Rt△ABC，夹直角的两边叫直角边，直角对的边叫斜边；有一个角是钝角的是钝角三角形。特别注意直角三角形：它另外两个锐角加起来正好90°，也就是互余。 10 三角形按边分类 04 第四部分：换成按边来看，三角形又该怎么分。 11 等腰 · 等边 三角形按边分类 按边的相等关系分类；认识等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。 04 不等边三角形 三条边互不相等（底边和腰不相等的三角 形）。 等腰三角形 有两条边相等的三角形。相等的两条边叫 腰，另一边叫底边。 两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底 角。 等边三角形 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角 形，三个角也都等于 60°。 等腰直角三角形 两条直角边相等的直角三角形，是既等腰又 直角的特殊三角形。 等腰三角形各部位名称示意 12 / 18 按边分：三边都不相等的是不等边三角形；有两条边相等的是等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条叫底边，两腰的夹角是顶角、腰和底边的夹角是底角；三边都相等的是等边三角形，它是特殊的等腰三角形；两条直角边相等的，就是等腰直角三角形。 12 三角形的三边关系 05 第五部分研究三条边之间的大小关系，判断三条线段能不能围成三角形。 13 定理 · 例题 05 三边关系定理与应用 判定口诀：较短两边之和大于最长边即可；范围：两边之差 < 第三边 < 两边之和。 定理 三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 判定技巧：只要把较短的两条边相加，看和是否大于最长边即可。 例 1 能否摆成三角形 用长 2cm、5cm、8cm 的三根木棒，能否摆成三角形？ 解 因为 2 + 5 = 7 < 8，两边之和小于第三边。 结论：不能摆成三角形。 例 2 求第三边范围 一个三角形两边长分别为 3 和 7，求第三边 x 的取值范围。 解 由三边关系得 7 − 3 < x < 7 + 3。 即 4 < x < 10。 14 / 18 定理是任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。判断时只要把较短的两条边加起来，看是不是大于最长边就行。第一题，2加5等于7小于8，所以这三根木棒摆不成三角形。第二题反过来求范围，第三边要大于两边之差、小于两边之和，也就是大于4、小于10。 14 三角形的重要线段 06 最后一部分研究三角形内部几条重要的线段：中线、角平分线和高。 15 中线 · 角平分线 06 中线与角平分线 三条中线交于重心，三条角平分线交于一点；重心能支起三角形卡片。 01中线 连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 把三角形卡片的重心顶在铅笔尖（指尖）上，卡片就能被平稳支起——这是重心的直观体验。 02角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的三条角平分线交于一点。 中线与角平分线交点示意 16 / 18 中线是连接一个顶点和它对边中点的线段。三条中线交于一点，这个点叫重心。有个好玩的现象：把三角形卡片的重心放在铅笔尖上，卡片就能稳稳支起来，不会掉。角平分线是内角的平分线与对边相交、顶点到交点之间的那段线段，三条角平分线也交于一点。 16 06 高线 · 面积 高线与面积应用 三条高所在直线交于一点；中线把三角形分成等底同高、面积相等的两部分。 高线 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高 （高线）。 三角形的三条高所在的直线交于一点。 面积应用 三角形任意一条中线，都把原三角形分成面积相等的两个小三角形。 道理：这两个小三角形底边相等（中线分对边为中点）、高又相同——等底同高，所以 面积相等。 三条高所在直线交于一点 17 / 18 高线是从一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点到垂足之间的线段。注意三条高所在的直线会交于一点。这里有个重要应用：中线把三角形分成两个面积相等的小三角形，为什么？因为这两个小三角形底边相等、高相同，等底同高，面积自然相等。 17 06 SUMMARY 课堂小结 六个要点回顾，带着本节知识回应开头的问题：三角形的稳定性。 01 定义与表示 不在同一直线上、首尾顺次相接围成；用△ABC 表示，三边记 a、b、c。 02 内角和 ∠A + ∠B + ∠C = 180°；可撕角拼合、折叠验证，用于求角度。 03 两种分类 按角：锐角 / 直角（Rt△，两锐角互余）/ 钝角三角形；按边：等腰、等边、等腰 直角三角形。 04 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；可判定能否围成、求第三边范围。 05 重要线段 中线交于重心、角平分线交于一点、高线所在直线交于一点；中线分三角形为等积两部分。 回到课前提问：为什么建筑与桥梁大量使用三角形？——因为三角形具有稳定性，三边一旦确定，形状和大小就完全固定，这是其他多边形不具备的性质。 18 / 18 我们这节课学了：三角形的定义与表示；内角和等于180°；按角分成锐角、直角、钝角三角形；按边分成等腰、等边等；三边关系是两边之和大于第三边；最后是三条重要线段中线、角平分线和高线。现在再想开头那个问题——为什么建筑爱用三角形，你能回答了吗？ 18 $