第2章 锐角的正弦、余弦和正切全章高频重点题型突破（7大高频+6大重难题型，专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以三角函数定义为核心，分基础、核心提升、综合攻坚三模块，覆盖从概念应用到实际问题的完整逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|7类高频题型|定义辨析、特殊角运算、由函数值求边长|从三角函数定义出发，巩固基础运算，建立边角关系认知| |核心提升|6类重难题型|方位角、非直角三角形、坡度仰角等实际应用|通过作高构造直角三角形，实现知识向实际问题迁移，发展推理能力| |综合攻坚|多题型综合|折叠、动态几何、跨知识综合题|整合函数定义与几何性质，提升综合解题能力，强化应用意识|

第2章 锐角的正弦、余弦和正切全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正弦的定义与求值 题型2 余弦的定义与求值 题型3 正切的定义与求值 题型4 特殊角三角函数值的混合运算 题型5 利用特殊角三角函数值求角度 题型6 已知正弦值求边长 题型7 已知余弦值求边长 核心提升：重难题型归纳 题型1 已知正切值求边长 题型2 方位角问题 题型3 解非直角三角形 题型4 解直角三角形的其它实际应用 题型5 坡度坡比问题 题型6 仰角俯角问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 正弦的定义与求值 1．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 2．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． ◆题型2 余弦的定义与求值 5．在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 6．如图，五边形是一个正五边形，则__________． 7．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． ◆题型3 正切的定义与求值 8．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，梯子和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 10．如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，，相交于点O，交于点E，连接．若，，则的值为______． ◆题型4 特殊角三角函数值的混合运算 12．求值：． 13．计算：． 14．计算： (1)． (2)． ◆题型5 利用特殊角三角函数值求角度 15．在中，若，，则的度数是 A． B． C． D． 16．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 17．在中，，则是______三角形． ◆题型6 已知正弦值求边长 18．在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 19．如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 20．在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果都保留根号） ◆题型7 已知余弦值求边长 21．如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 22．在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 _________． ◆题型1 已知正切值求边长 24．如图，在中，，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 25．如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 26．如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为_____． ◆题型2 方位角问题 27．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里． 28．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 29．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 30．如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） ◆题型3 解非直角三角形 31．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 32．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 33．如图，在中，，求和的长． 34．在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． ◆题型4 解直角三角形的其它实际应用 35．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 36．某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为． (1)如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度； (2)在图2所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 37．2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为，小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 38．如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行． (1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数； (2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度．（结果保留小数点后1位参考数据：） ◆题型5 坡度坡比问题 39．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 40．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形．，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：） 41．根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 42．如图1，古塔用于藏舍利、经卷，兼具宗教信仰、文化传承与历史见证意义，是古代建筑艺术瑰宝．综合与实践活动中，某小组要利用测角仪测量一古塔的高度，其测量模型如图2所示，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度，点，，在同一条水平直线上．该小组在处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（结果精确到．参考数据：） ◆题型6 仰角俯角问题 43．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 44．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 45．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 46．玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中，当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 47．在中，，、、的对边分别为、、，那么下列等式中错误的是 A． B． C． D． 48．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 49．如图，以各边为边向外作正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中①号L型和②号L型面积分别为1和4，则图1中的值为（     ） A． B． C． D． 50．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 51．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 52．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 53．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 54．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 55．如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 56．在中，，，，是边上的高，那么的长是______． 57．已知正方形的边长为3，点M在直线上，点N是点M关于直线对称点，若，则______ ． 58．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 59．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到，此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米． 60．如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 61．如图，在中，，，．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为___________． 62．某吹风机外观如图1，主机和手柄均为圆柱形状，主机前端是出风口，小明为吹风机制作收纳架如图2，该架子的置物平面α、衔接平面β、支撑曲面γ是固定结构，底座θ与曲面γ的连接处有转轴，放置吹风机时，出风口卡在平面α的圆孔，手柄紧靠在曲面上（与相切）．其主视图中，曲面γ呈半圆形状，为直径，直线恰好经过圆心O，且．当吹风机卡在第一个圆孔时，主机顶点A与置物面顶点P重合，D落在中点处，，，若，则吹风机最高点B到底座的距离为________．为解决壁柜内部高度不足的问题，将吹风机移至第二个圆孔，手柄仍然紧靠曲面，此时点D与Q重合，再把收纳架绕N点逆时针旋转一定角度，使得顶点F恰好落在直线上．移动后，点B到底座的距离为________． 63．如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 64．如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 65．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 66．如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 67．如图，将矩形绕点C旋转得到矩形，点E在上，延长交于点H． (1)求证：； (2)连接、． ①四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论． ②当与的比值为____________时，四边形为菱形． 68．身高米的小付同学在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上在如图所示的平面图形中，矩形代表建筑物，小付同学位于建筑物前点处，风筝挂在建筑物上方的树枝点处（点在的延长线上）．经测量，小付同学与建筑物的距离米，建筑物底部宽米，风筝所在点与建筑物顶点及风筝线在手中的点在同一条直线上，点距地面的高度米，风筝线与水平线夹角为． (1)求风筝距地面的高度； (2)在建筑物后面有长米的梯子，梯脚在距墙米处固定摆放，通过计算说明：若小付同学充分利用梯子和一根米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：，，） 69．项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 70．综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 71．【新知概念】在平行四边形中，取任意一边的中点，连接该中点与对边的两个端点所形成的三角形，叫作平行四边形的对边中点三角形． 【基础应用】 (1)如图1，矩形中，点为边上一点，若，求证：为矩形的对边中点三角形． 【延伸拓展】 (2)在中，点为边上一点，为的对边中点三角形． ①如图2，若，则 ； ②如图3，若为菱形，且，求的值； ③若为菱形，边长为，当对边中点三角形的一边长与菱形的对角线相等时，请直接写出的周长． 72．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 锐角的正弦、余弦和正切全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正弦的定义与求值 题型2 余弦的定义与求值 题型3 正切的定义与求值 题型4 特殊角三角函数值的混合运算 题型5 利用特殊角三角函数值求角度 题型6 已知正弦值求边长 题型7 已知余弦值求边长 核心提升：重难题型归纳 题型1 已知正切值求边长 题型2 方位角问题 题型3 解非直角三角形 题型4 解直角三角形的其它实际应用 题型5 坡度坡比问题 题型6 仰角俯角问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 正弦的定义与求值 1．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，理解相似三角形中对应角不变，三角函数值不变是关键． 根据三角函数的定义，正弦值是对边与斜边的比值，当三边都扩大相同倍数时，比值不变． 【详解】∵在中，， ∵三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为，斜边变为， ∴， ∴的正弦值不变． 故选：C． 2．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 3．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可； 【详解】，，， ， ． 4．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），设网格中每个小正方形的边长为1，先得出的长，再计算正弦即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，， ∴， ∴． ◆题型2 余弦的定义与求值 5．在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 6．如图，五边形是一个正五边形，则__________． 【答案】 【分析】先连接，过点作于点，作的平分线交于点，再求出正五边形内角为，再利用等边三角形的性质分别求出，，结合平分进而证明，求得，最后设求出利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，作的平分线交于点， ∵五边形是正五边形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴，即， 解得或（舍去）， 在中，，， ∴． 7．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】/ 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． ◆题型3 正切的定义与求值 8．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 9．如图，梯子和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 10．如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 11．如图，在矩形中，，相交于点O，交于点E，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，由正切的定义可得，证明垂直平分，得出，从而得出，进而可得，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ， 的值为． ◆题型4 特殊角三角函数值的混合运算 12．求值：． 【答案】 【分析】先计算角的正切值，再计算绝对值和零指数，最后合并化简即可． 【详解】解：原式 ． 13．计算：． 【答案】7 【分析】分别计算算式中的算术平方根，绝对值，零指数幂运算，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，再计算结果即可， 【详解】解： ． 14．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解； （2）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ◆题型5 利用特殊角三角函数值求角度 15．在中，若，，则的度数是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 16．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 17．在中，，则是______三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． ◆题型6 已知正弦值求边长 18．在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的应用．根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 19．如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 20．在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果都保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据三角函数得到，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出，进而求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点D， 在中，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ， ， 的面积为． ◆题型7 已知余弦值求边长 21．如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 22．在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，利用矩形的性质可得，，进而由余角性质可得，再根据余弦的定义求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 23．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 _________． 【答案】 【分析】作于，交的延长线于，于，则四边形是矩形，先证明，在中利用勾股定理求出，从而得出，再证明四边形是平行四边形，得到，从而解决问题． 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于，过点作于点， 则四边形是矩形． ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中， ，， ， ， ， ， 将沿直线翻折后，点落在点， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． ◆题型1 已知正切值求边长 24．如图，在中，，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切、余弦值，由，设，则，通过定理求得，然后利用即可求解，解题的关键在于求出三边的数量关系． 【详解】解：在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选：． 25．如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 26．如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ◆题型2 方位角问题 27．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里． 【答案】 【分析】过点B作于点F，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，，，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 28．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里 【分析】（1）根据方位角可以求出，根据平行线的性质即可求出； （2）过作，在中，解直角三角形得到与的长，在中，求出的长，由求出的长即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 在中，，，海里， 海里，海里， 在中，，， ，海里， 海里， 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里． 29．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 30．如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． ◆题型3 解非直角三角形 31．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 32．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 33．如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 34．在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【答案】(1) 射线为所求． (2) 【分析】（1）根据可得，结合三角形内角和可得平分，故作的角平分线交边于点M，即可解题； （2）过点M作，垂足为H，根据解三角形很容易求出，，进而求出边长． 本题主要考查了解三角形，利用又，得是解题关键． 【详解】（1）解：∵在中，，． ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 如图，作的角平分线交边于点M； （2）过点M作，垂足为H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ ◆题型4 解直角三角形的其它实际应用 35．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过点作的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理即可求出M、N两点的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知，，， 四边形是矩形， 米， 米． ， 米． （2）解：如图，过点作的延长线于点， ， ， ， 米，米， 米， 米． 36．某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为． (1)如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度； (2)在图2所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)灯泡悬挂点D距离地面的高度为 (2)的长为 【分析】（1）利用锐角三角函数可求的长，即可求解； （2）由锐角三角函数可求的长，由线段和差关系可求的长，的长，由锐角三角函数可求的长． 【详解】（1）解：过点D作于F， ∵，， ∴在中，，即， ∴， ∴， 答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为； （2）如图3，过点C作垂直于地面于点G，过点B作于N，过点D作于M， ∵在中，cm，，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，，即， ∴， 答：的长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． 37．2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为，小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为． （2）解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为． 38．如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行． (1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数； (2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度．（结果保留小数点后1位参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）根据正弦的定义计算，得到答案； （2）设，根据正弦的定义用表示出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：，， ∴，， 在中，，， ，， ， ， ； （2）∵鱼竿始终与地面平行，保持支架与地面的夹角不变 ， 设， 在中，，， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：，舍去， ， 答：支架的长度约为． ◆题型5 坡度坡比问题 39．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 40．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形．，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度（结果精确到，参考数据：） 【答案】20.61米 【分析】先利用勾股定理求出，再根据坡度的定义求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解 ∵坡度为， 在，， ， 在中，， ， ， 四边形ABCD为矩形， ， 斜坡的坡度为， ， ， 在中，， 斜坡的长度为20.61米． 41．根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 【答案】(1)处的竖直高度为5米； (2)基站塔的高为19.25米． 【分析】（1）过点作，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）延长交于点，过点作，设米，则（米），（米）．在中，解直角三角形求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵斜坡的坡度为， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， 解得：（负值舍去）， 米， 即处的竖直高度为5米； （2）解：延长交于点，过点作， 则四边形是矩形， 米，米， 由题意可得：， 设米，则（米），（米）， ∴在中，， 即， 解得：， 经检验：符合题意，即米， 米， 又∵斜坡的坡度为， ，即， 解得：米， 米， 答：基站塔的高为19.25米． 42．如图1，古塔用于藏舍利、经卷，兼具宗教信仰、文化传承与历史见证意义，是古代建筑艺术瑰宝．综合与实践活动中，某小组要利用测角仪测量一古塔的高度，其测量模型如图2所示，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度，点，，在同一条水平直线上．该小组在处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坡度得到垂直边与水平边的比例关系，设未知数，结合勾股定理列方程求解． （2）作垂线构造矩形，转化线段长度；由角得两直角边相等，再利用角的正切值列方程，解方程并取近似值得到塔高． 【详解】（1）解：， ∴是直角三角形， ∵，的坡度， ， 设，则． 在中，， 由勾股定理得： 解得（舍去负根）， ． （2）解：如图，过点D作于点F，过点C作于点G， ∴四边形，是矩形， ∴，， 由（1）得，， ，， ， 设，则，， 在中，， ， ， 解得：， ， ． 塔的高度约为． ◆题型6 仰角俯角问题 43．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 44．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解. 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 45．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 【答案】(1)米 (2)4.3米 【分析】（1）过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； （2）根据求出，在中，求出米，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 依题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， (米)， ∴点到地面的距离为米； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴中，(米)， ∴米． ∵，， ∴， ∴． 在中，(米)， ∴(米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 46．玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中，当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 47．在中，，、、的对边分别为、、，那么下列等式中错误的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义对边与边的关系进行转化是解题的关键． 根据每个三角函数的定义，将选项中的等式与定义变形后的式子对比即可判断． 【详解】解：在中，，对边分别为、、， ∵， ∴，故A正确，该选项不符合题意； ∵， ∴，故B错误，该选项符合题意； ∵， ∴，故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴，故D正确，该选项不符合题意． 故选：B． 48．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 49．如图，以各边为边向外作正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中①号L型和②号L型面积分别为1和4，则图1中的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、、的对边分别为a、b、c，由题意得，①号型面积，②号型面积，两式相加求出，再根据勾股定理求出，再求出，，然后求的值即可． 【详解】解：设，，， 由题意得，①号型面积，②号型面积， 两式相加得：， 在中， 由勾股定理得：， ， ，， 即，，， ． 50．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 51．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 52．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选： D． 53．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中利用正切函数求出，再在中利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴． 54．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 55．如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 【答案】A 【分析】根据题意可得，在正六边形网格找与相似的三角形，即找三边的比值为的直角三角形，分析图形可得共三种情况，即可解答． 【详解】解：∵的边长分别为1，，2，即，，， ∴，即 ∴为直角三角形， ∵ ∴，． 在正六边形网格中作出三边比为的直角三角形，如图所示： 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； ∴k可取，，． 综上所述，嘉嘉正确，佳佳不正确． 56．在中，，，，是边上的高，那么的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的含义是解题关键．根据题意设，，由勾股定理得，从而求出，，再利用三角形面积公式，通过面积相等列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 设，， 由勾股定理得， ， ， ，， ， ， 故答案为：．    57．已知正方形的边长为3，点M在直线上，点N是点M关于直线对称点，若，则______ ． 【答案】或 【分析】分点在点上方，点在点下方，两种情况讨论，根据M、N两点关于对角线对称，得到，进而求出的长度，由勾股定理求出，再利用即可求得． 【详解】解：在正方形中，， 当点在点上方时，如图： ∵， ∴， ∵M、N两点关于对角线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ； 当点在点下方时，如图： ∵， ∴， ∵M、N两点关于对角线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ； 综上，或 58．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 【答案】8 【分析】过作交于点，过作交于点，分别进行解直角三角形，求得的长度即可． 【详解】解：如图，过作交于点，过作交于点， 在中，（米）， ∵四边形是梯形， ∴四边形为矩形， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，（米）， ∴（米）， 59．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到，此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米． 【答案】 【分析】解直角三角形得出米，米，从而得出，求出r的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：米，米， 在中，，即米， 在中，，即米， ∴， 解得：， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 60．如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】过点B作于点H，则，在中，解直角三角形得到，，根据勾股定理求出，因此．证明，得到，求得，．连接，并延长至点G，使得，连接，证明，得到，，因此．连接，过点G作，交的延长线于点K，在中，解直角三角形得到，，因此，根据勾股定理求出，从而根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：过点B作于点H，则， ∵， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 连接，并延长至点G，使得，连接， ∵点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 连接，过点G作，交的延长线于点K， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，， ∵点M是的中点，， ∴． 61．如图，在中，，，．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为___________． 【答案】 【分析】作，使，延长到，使，连接，根据等腰三角形的性质可得，再求出，设，则，然后利用正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，作，使，延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 62．某吹风机外观如图1，主机和手柄均为圆柱形状，主机前端是出风口，小明为吹风机制作收纳架如图2，该架子的置物平面α、衔接平面β、支撑曲面γ是固定结构，底座θ与曲面γ的连接处有转轴，放置吹风机时，出风口卡在平面α的圆孔，手柄紧靠在曲面上（与相切）．其主视图中，曲面γ呈半圆形状，为直径，直线恰好经过圆心O，且．当吹风机卡在第一个圆孔时，主机顶点A与置物面顶点P重合，D落在中点处，，，若，则吹风机最高点B到底座的距离为________．为解决壁柜内部高度不足的问题，将吹风机移至第二个圆孔，手柄仍然紧靠曲面，此时点D与Q重合，再把收纳架绕N点逆时针旋转一定角度，使得顶点F恰好落在直线上．移动后，点B到底座的距离为________． 【答案】 29.4 / 【分析】①连接，过点B作于点K，延长交于点O，过点O作，过点A作，过点O作，构造直角三角形，解直角三角形求出吹风机最高点B到底座的距离； ②过点A作交延长线于点W，过点B作交延长线于点R，延长交于点L，经过圆心O，过点F作交延长线于点S，构造直角三角形，利用解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质求出吹风机最高点B到底座的距离． 【详解】①解：如下图所示，连接，过点B作于点K，延长交于点O，过点O作，过点A作，过点O作， 则四边形是矩形， ， 由题意可知，，，， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 过点M作， 则， 设，则， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ∴吹风机最高点B到底座的距离为； ②解：如图，过点A作交延长线于点W，过点B作交延长线于点R，延长交于点L，经过圆心O，过点F作交延长线于点S， ∴四边形是矩形， ∴，，， 过点M作交于点X，过点N作交于点Y， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴吹风机最高点B到底座的距离为． 63．如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定义和勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可； （2）先根据三角形的中线平分该三角形的面积求得，在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ． 设，则， ， ． ，解得， ，， ∵D是的中点， ； （2）解：∵D是的中点， ∴， ，即， ∴， ． ∴在中，． 64．如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； (2)48 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先求得，利用正弦函数的定义得到，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵F为中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积． 65．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 【答案】(1)证明：， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由得到，结合，即可得证； （2）过点作于点，根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， 平分，，， ， ， ， ． 66．如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接交于， ∵平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）如图，连接交于，则，证明，则，证明，则，进而结论得证； （2）由，可得，即，由菱形的性质可知，，，由勾股定理得，，可求，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ∵四边形是菱形； ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正切，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正切，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 67．如图，将矩形绕点C旋转得到矩形，点E在上，延长交于点H． (1)求证：； (2)连接、． ①四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论． ②当与的比值为____________时，四边形为菱形． 【答案】(1)证明：∵矩形由矩形旋转得到， ∴，，， ∴． 在和中， ， ∴． (2)解：①四边形为平行四边形，证明如下： 如图， ∵， ∴． ∵矩形由矩形旋转得到， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形． ② 【分析】（1）根据矩形由矩形旋转得到可得，，，利用平行线的性质可证明，然后依据“”证明即可； （2）①由全等三角形的性质可知，由旋转的性质与矩形的性质可得到，，从而可证明，根据平行四边形的判定定理进行证明即可； ②由菱形的性质与旋转的性质可得，因此证明为等边三角形，则，利用特殊锐角三角函数值可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②∵四边形为菱形， ∴． 由旋转可得， ∴． ∴为等边三角形． ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴． 68．身高米的小付同学在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上在如图所示的平面图形中，矩形代表建筑物，小付同学位于建筑物前点处，风筝挂在建筑物上方的树枝点处（点在的延长线上）．经测量，小付同学与建筑物的距离米，建筑物底部宽米，风筝所在点与建筑物顶点及风筝线在手中的点在同一条直线上，点距地面的高度米，风筝线与水平线夹角为． (1)求风筝距地面的高度； (2)在建筑物后面有长米的梯子，梯脚在距墙米处固定摆放，通过计算说明：若小付同学充分利用梯子和一根米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)由题意可知，， 在中，（米）， ， 能触到挂在树上的风筝． 【分析】（1）过作于点，在中利用三角函数求得的长，进而求得的长； （2）在直角中，利用勾股定理求得的长度，的长加上身高再加上竹竿长，与比较大小即可． 【详解】（1）解：过作于点， 由题意得， 又， 四边形是矩形， 则（米），米，， 在中，， （米）， （米）． （2）略 69．项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 70．综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)最短距离约为海里 (2)渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点作于点． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【分析】（1）过点作构造直角三角形，先根据航行时长算出长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里． （2）解：略． 71．【新知概念】在平行四边形中，取任意一边的中点，连接该中点与对边的两个端点所形成的三角形，叫作平行四边形的对边中点三角形． 【基础应用】 (1)如图1，矩形中，点为边上一点，若，求证：为矩形的对边中点三角形． 【延伸拓展】 (2)在中，点为边上一点，为的对边中点三角形． ①如图2，若，则 ； ②如图3，若为菱形，且，求的值； ③若为菱形，边长为，当对边中点三角形的一边长与菱形的对角线相等时，请直接写出的周长． 【答案】(1)证明；∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点E是的中点， ∴为矩形的对边中点三角形； (2)①；②；③的周长为 【分析】（1）利用矩形的性质证明可得，再利用矩形的对边中点三角形的定义即可证明结论； （2）①如图所示，取的中点F，连接，证明四边形是平行四边形，可得，进而得到，再根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可；②如图所示，过点E作于T，根据菱形的性质可得，易证可得，设，进而得到，解得；设，则，利用勾股定理列方程可得；最后在中利用余弦的定义求解即可；③分、、三种情况，分别利用全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图所示，取的中点F，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的对边中点三角形， ∴E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②如图所示，过点E作于T， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵为的对边中点三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，， ∴． ③如图所示，当时，分别过点D、E作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 中，由勾股定理得， ∴， ∴此时的周长为； 如图所示，当时，过点B作于K，过点A作交延长线于L， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 由菱形的性质可得， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此时的周长为． 如图所示，当时，则由菱形的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此时的周长为； 综上所述，的周长为或或． 72．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 【答案】(1) (2)，小组所设计的方案可行 【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长； （2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 在中， 依题意，四边形是矩形， ∴ （2）解：在中， ∴ 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴小组所设计的方案可行． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $