专题04 解直角三角形实际测量应用压轴题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

专题04 解直角三角形实际测量应用压轴题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 题型二、坡度坡角问题 题型三、方向角（方位角）问题 题型四、实物模型问题 题型五、综合背景问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法解法—明晰核心解法，助力能力迁移 解直角三角形实际测量应用压轴题是初中数学"数形结合"的典型代表，所有题型均围绕"实际问题→几何模型→解直角三角形→回归实际"这一核心思路展开，解题贯穿两条底线原则：一是必须将实际问题准确抽象为直角三角形模型，非直角三角形需通过作辅助线构造直角后再求解；二是所有计算结果必须符合实际意义（长度为正、角度合理、单位正确），最终结论需经实际场景验证 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 典例1某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点处，此时测得河对岸处的倾斜角为，图中点，，，在同一平面内．（参考数据） 计算器按键顺序 结果 (1)求无人机从点飞到点时垂直上升的距离（结果保留根号）； (2)求该段河道的宽度（结果保留整数）． 题型模版 测量建筑物高度、山高、塔高等。常见场景：从地面某点测塔顶仰角，从高楼顶测地面某点俯角，或从不同位置测同一目标的仰角/俯角，求高度或距离。 变式1-1如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 变式1-2舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 变式1-3某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图①），他们通过自制的测倾器（如图②）在，，三个位置观测，测倾器上的示数如图③所示．测量时，以题中图上距离为准，并精确到． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． (1)【分析规划】选择两个观测位置：点________和点_______． (2)【获取数据】写出所选位置观测角的正切值，并测量观测点之间的图上距离． (3)【推理计算】计算发射塔的图上高度． (4)【换算高度】楼房实际宽度为，请通过测量，换算发射塔的实际高度． 类型二、坡度坡角问题 典例2 如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 题型模版 涉及斜坡、堤坝、楼梯等。已知坡度（i=铅直高度/水平宽度）或坡角，求坡面长度、高度或水平距离。常与梯形、三角形结合，需作高构造直角三角形。 变式2-1如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 变式2-2如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 变式2-3综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 类型三、方向角（方位角）问题 典例3 如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） (1)求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 题型模版 航海、测量中的定位问题。已知某点相对于另一点的方向角（如北偏东30°），结合距离求两点间距离或位置关系。通常需建立坐标系或作垂线构造直角三角形。 变式3-1重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 变式3-2通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又 ， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记； (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 变式3-3手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 类型四、实物模型问题 典例4图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴． (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高． (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 题型模版 一、 题型特征 题干以花洒、显微镜、台灯、摄像头、机械臂、可调节支架等可调节实物为背景，配实物示意图，要求求高度、角度、调节范围或最佳位置。核心特征是"实物结构几何化+关键部位抽象为直角三角形"，解题关键是识别实物中的固定点、转动点、支撑杆，将可调节部分抽象为直角三角形的边和角。 二、 解题方法 识别关键部位：从实物图中找出固定点（如支架底座、转轴）、可动部分（如旋转臂、伸缩杆）、目标位置（如花洒出水口、显微镜物镜），明确哪些长度固定、哪些角度可变。 抽象直角三角形： 竖直方向（高度差）为一条直角边； 水平方向（距离）为另一条直角边； 倾斜的杆/臂为斜边； 转动角、仰角、俯角为锐角。 标注已知量：将杆长、固定高度、已知角度等数据标到抽象出的直角三角形中。 选函数求解： 已知斜边（杆长）和角，求高度用sin，求水平距离用cos； 已知两直角边，求角度用tan； 调节范围问题通常需计算"最大角度"和"最小角度"两种极端情况。 作答验证：结果带单位，检查是否符合实物使用场景（如花洒高度是否合理、显微镜角度是否可调节到位）。 三、 易错提醒 关键部位找错：把非转动点当成转轴，导致抽象出的三角形错误，先看清实物图中哪里能转动、哪里固定。 角度对应错：实物图中的角度可能是与竖直方向的夹角，而非与水平方向的夹角，用三角函数前需确认角的位置。 极端情况漏算：求调节范围时只算一种情况，忘记算最大/最小两个边界值。 实物尺寸忽略：如显微镜镜筒长度、花洒喷头直径等细节尺寸可能影响计算，题干给出的数据都要用上。 四、 解题底线 抽象出的直角三角形必须与实物结构严格对应，不能凭空构造。 计算结果必须符合实物实际使用场景（如高度不能超出房间、角度不能超过机械限位），验证合理性。 变式4-1【活动背景】 如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺开展测量，具体研究方法与过程如下： ①在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； ②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； ③调整反射镜与水平线的夹角，使得从A处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最右端处； ④在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内．根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．） 【问题解决】 测得，，，且此时无人机显示距离水平地面高度为，． (1)_________；点到点的距离为_________． (2)计算土坑的深度．（参考数据：，，，，，，，，结果精确到） 变式4-2消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． (1)当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． (2)某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 变式4-3 如图，图①是我国宋代时期发明的立式风车，是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械．图②是现代人根据风车设计的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面，最低点距地面．图③是该风力发电机的简化示意图，发电机的塔身垂直于水平地面（点在同一平面内）．点在右侧，且，求此时风叶的端点距地面的高度．（参考数据：，） 类型五、综合背景问题 典例5 【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4) 【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 题型模版 结合桥梁、隧道、滑梯、传送带等实际工程背景，题干信息量大，可能嵌套坡度、仰角、距离等多个要素，需从文字和图形中提取关键数据，分步构造直角三角形求解。 变式5-1 在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的处测得电视发射塔顶的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达处，在处测得电视发射塔的底部的仰角为，若电视发射塔的高度为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度．（结果保留根号） 变式5-2北京时间2021年9月20日15时10分，长征七号遥四运载火箭搭载天舟三号货运飞船，在海南文昌航天发射场成功发射。当天22时08分，天舟三号成功对接于空间站天和核心舱后向端口，为即将发射的神舟十三号载人飞船送去可支持3名航天员6个月的在轨驻留物资、空间站备份设备、空间科学载荷等诸多货物。在某一时刻，天舟三号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，此时A、P两点的距离为6千米；它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角为，求天舟三号从A处到B处的平均速度．（结果精确到，取，） 变式5-3 如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额，牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感．线段是悬挂在北大正西门上的匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角，且米，若、、三点在一条直线上，则匾额悬挂的高度的长约是多少米？（参考数据：，，，，，） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．甲船在A点测得乙船在北偏东方向上，两船相距．乙船以的速度向正北方向行驶，甲船以的速度向乙船追去．甲船沿什么方向前进，才能在最短的时间内追上乙船？ 2．某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图    请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 3．图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 4．无动力帆船是借助风力前行的，帆船借助风力航行的平面示意图如图所示．已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（参考数据：，，．，，．） 5．如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 6．如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 7．中国文字博物馆的字坊是其标志性建筑之一，位于博物馆正门前方的广场上，该建筑的设计灵感直接来源于汉字本身，具体取形于甲骨文和金文中“字”字的写法（如图1）．九年级数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量字坊的高度．如图2，在测点处安置测倾器，测得此时的仰角，然后在测点与物体之间的处安置测倾器（点与在一条直线上，且两点之间的距离可以直接测得），测得此时点的仰角，已知测倾器的高度，测点之间的距离．根据测量数据，求出字坊的高度（结果精确到1米，参考数据： ）． 8．【主题】探究光折射与反射现象． 【实验工具】低功率激光灯、一块光学直角棱镜、量角器等． 【实验过程】某物理兴趣小组使用相关实验工具进行光学实验．如图，是这块光学直角棱镜的截面，所在的面为不透光的磨砂面．一束光线从 边上的点射入棱镜，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后，从 边上的点射出． 【实验数据】调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到． 【问题解决】根据以上实验过程和测量的数据，解答下列问题． (1)如图1，调整光线入射角度和位置，使光线．若，则__________．（结果保留根号） (2)如图2，再次调整光线入射角度和位置，使，从点射出后，光线 ．若，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 9．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． (1)如图2，当，时，求视线距离的长； (2)如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 10．海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形实际测量应用压轴题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 题型二、坡度坡角问题 题型三、方向角（方位角）问题 题型四、实物模型问题 题型五、综合背景问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法解法—明晰核心解法，助力能力迁移 解直角三角形实际测量应用压轴题是初中数学"数形结合"的典型代表，所有题型均围绕"实际问题→几何模型→解直角三角形→回归实际"这一核心思路展开，解题贯穿两条底线原则：一是必须将实际问题准确抽象为直角三角形模型，非直角三角形需通过作辅助线构造直角后再求解；二是所有计算结果必须符合实际意义（长度为正、角度合理、单位正确），最终结论需经实际场景验证 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 典例1某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点处，此时测得河对岸处的倾斜角为，图中点，，，在同一平面内．（参考数据） 计算器按键顺序 结果 (1)求无人机从点飞到点时垂直上升的距离（结果保留根号）； (2)求该段河道的宽度（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)河道的宽度约为米 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用矩形转移等高线段，再结合三角函数求边长，最后用线段的等量关系列等式求河宽．关键易错点是无人机从到是朝的方向（向左）水平飞行，因此线段关系为． 【详解】（1）解：如图所示：过点作于． 在中，，， 答：无人机从飞到时垂直上升的距离为米． （2）解：如图所示：过点作，交的延长线于，则四边形为矩形， 在中： 在中，，： ，而，， ∴ ∴ ， 答：该段河道的宽度约为米． 题型模版 测量建筑物高度、山高、塔高等。常见场景：从地面某点测塔顶仰角，从高楼顶测地面某点俯角，或从不同位置测同一目标的仰角/俯角，求高度或距离。 变式1-1如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【分析】设，求出，，由列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即这座塔的高度为． 变式1-2舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 变式1-3某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图①），他们通过自制的测倾器（如图②）在，，三个位置观测，测倾器上的示数如图③所示．测量时，以题中图上距离为准，并精确到． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． (1)【分析规划】选择两个观测位置：点________和点_______． (2)【获取数据】写出所选位置观测角的正切值，并测量观测点之间的图上距离． (3)【推理计算】计算发射塔的图上高度． (4)【换算高度】楼房实际宽度为，请通过测量，换算发射塔的实际高度． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，，，测得图上（答案不唯一） (3)（答案不唯一） (4)发射塔的实际高度为（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意选择即可； （2）根据图3中的数据求解即可； （3）如图①，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解； （4）测得图上，设发射塔的实际高度为，由题意得，解得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图①，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵，， ∴，． ∵， ∴ 解得， ∴． ∵， ∴， ∴； （4）解：测得图上，设发射塔的实际高度为， 由题意，得， 解得， ∴发射塔的实际高度为． 类型二、坡度坡角问题 典例2 如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度为95米 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长 交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得， 即米， ∴（米）， 答： 摩天轮的高度为95米． 题型模版 涉及斜坡、堤坝、楼梯等。已知坡度（i=铅直高度/水平宽度）或坡角，求坡面长度、高度或水平距离。常与梯形、三角形结合，需作高构造直角三角形。 变式2-1如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 变式2-2如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 【答案】大坝高度为米，米 【分析】分别过两点作，垂足分别为，利用勾股定理和三角函数解答即可． 【详解】解：分别过两点作，垂足分别为，则的长就是大坝的高度． 迎水坡的坡度为， ， 设， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， （米），（米）， 大坝高度为米． 大坝横截面是梯形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， （米），（米）， 在直角三角形中，，， ， （米）， ∴（米）． 变式2-3综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)方案一中的长度为，方案一不可行； (2)方案二可行，理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点， ∴四边形和是矩形， ∴，，，， 设，则， ∵坡道的坡度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴方案二可行． 【分析】过作于点，可得四边形是矩形，则，，由题意可知，坡道的坡度为，所以，解得，然后通过，然后与比较即可； 过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点，则有四边形和是矩形，所以，，，，设，则，根据题意得，然后证明，根据，即，解得，所以，，则，然后与比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，坡道的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为，且， ∴方案一不可行， 答：方案一中的长度为，方案一不可行； （2）略． 类型三、方向角（方位角）问题 典例3 如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） (1)求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 【答案】(1)米 (2)甲同学距离还有米 【分析】（1）作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． （2）确定甲乙位置，连结，作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图， 作， 根据题意大象馆位于熊猫馆的东北方向， ∴， ∴在中，，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设， ∴， 根据勾股定理， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴（米）． （2）解：如图 根据题意当甲乙之间距离是米时，甲在点，乙在点，， 连结，作， 设乙的路程为即，则甲的路程为，即， 在中，根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，，由（1）可知， ∴， 根据勾股定理， ∴， （舍去），（米）， （米）， 答：甲同学距离还有米． 题型模版 航海、测量中的定位问题。已知某点相对于另一点的方向角（如北偏东30°），结合距离求两点间距离或位置关系。通常需建立坐标系或作垂线构造直角三角形。 变式3-1重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米． (2)会合时小王一共走了千米． 【分析】（1）作于，由方向角得，在Rt中利用特殊角三角函数值求出、；作交的延长线于，由得为等腰直角三角形，，由求出的长； （2）设两人会合于公路上的点、，由两人同时出发、同时会合，把速度比转化为路程比；在Rt中用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程并根据实际意义检验根． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向， ∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米）， （千米）． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北， ∴． 在Rt中，， ∴， ∴（千米）． ∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为， ∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴，即， 整理，得， 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【点睛】本题考查方向角、解直角三角形、矩形的判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及一元二次方程的应用；解题关键：一是抓住方向角与正东、正北方向互相垂直，把北偏东、北偏西转化为与，通过作垂线构造Rt、Rt与矩形，利用特殊角三角函数值和等腰直角三角形完成线段长度的转化；二是第（2）问抓住“两人同时出发、同时会合”，把速度比转化为路程比，设后在Rt中用勾股定理建立一元二次方程，解出后须检验根的实际意义，取． 变式3-2通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又 ， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记； (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 【答案】(1)①；②． (2)①的面积为（平方海里）；②乙船航行的速度为海里/时． 【分析】（1）由材料的推导过程，轮换三个顶点的字母直接补全①；把等式的两边同时除以补全②； （2）先求，又且，得为等边三角形，用材料结论求其面积；再由方位角求出、，在中用正弦定理求，除以航行时间小时得乙船速度． 【详解】（1）解：①同理（轮换顶点、、），可得，故①处填； ②将等式的两边同时除以，得，故②处填． （2）解：甲船行驶分钟的路程（海里）， ∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里， ∴，， ∴是等边三角形， ∴海里，． ①（平方海里）． ②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西； ∵射线的方向是南偏西，∴， ∴； ∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∴． 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得， ∴（海里）． 乙船航行分钟即小时， ∴乙船航行的速度为（海里/时）． 变式3-3手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】(1) (2)千米 (3)①米；②约米 (4)米 【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求； （2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解； （3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米； （4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高． 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向， ∴在的南偏东方向， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，， ∴， ． 在中，，， ∴， ∴， ∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟， ∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为， ∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米， ∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则 ， ∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米， ∴（米）． 由塔顶的俯角为得： ， ∴， ∴， ∴塔高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高． 类型四、实物模型问题 典例4图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴． (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高． (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，利用含角的直角三角形，即可求解； （2）①由平行四边形的判定与性质，即可判断； ②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作交的延长线于点，交的延长线于点， ， 四边形为矩形， ，，， 在中，，， ，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ． （2）解：①如图，由平移的性质可知，，， 四边形为平行四边形， ， 同理可得，四边形为平行四边形， ， ． ②如图，连接．在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 题型模版 一、 题型特征 题干以花洒、显微镜、台灯、摄像头、机械臂、可调节支架等可调节实物为背景，配实物示意图，要求求高度、角度、调节范围或最佳位置。核心特征是"实物结构几何化+关键部位抽象为直角三角形"，解题关键是识别实物中的固定点、转动点、支撑杆，将可调节部分抽象为直角三角形的边和角。 二、 解题方法 识别关键部位：从实物图中找出固定点（如支架底座、转轴）、可动部分（如旋转臂、伸缩杆）、目标位置（如花洒出水口、显微镜物镜），明确哪些长度固定、哪些角度可变。 抽象直角三角形： 竖直方向（高度差）为一条直角边； 水平方向（距离）为另一条直角边； 倾斜的杆/臂为斜边； 转动角、仰角、俯角为锐角。 标注已知量：将杆长、固定高度、已知角度等数据标到抽象出的直角三角形中。 选函数求解： 已知斜边（杆长）和角，求高度用sin，求水平距离用cos； 已知两直角边，求角度用tan； 调节范围问题通常需计算"最大角度"和"最小角度"两种极端情况。 作答验证：结果带单位，检查是否符合实物使用场景（如花洒高度是否合理、显微镜角度是否可调节到位）。 三、 易错提醒 关键部位找错：把非转动点当成转轴，导致抽象出的三角形错误，先看清实物图中哪里能转动、哪里固定。 角度对应错：实物图中的角度可能是与竖直方向的夹角，而非与水平方向的夹角，用三角函数前需确认角的位置。 极端情况漏算：求调节范围时只算一种情况，忘记算最大/最小两个边界值。 实物尺寸忽略：如显微镜镜筒长度、花洒喷头直径等细节尺寸可能影响计算，题干给出的数据都要用上。 四、 解题底线 抽象出的直角三角形必须与实物结构严格对应，不能凭空构造。 计算结果必须符合实物实际使用场景（如高度不能超出房间、角度不能超过机械限位），验证合理性。 变式4-1【活动背景】 如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺开展测量，具体研究方法与过程如下： ①在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； ②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； ③调整反射镜与水平线的夹角，使得从A处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最右端处； ④在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内．根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．） 【问题解决】 测得，，，且此时无人机显示距离水平地面高度为，． (1)_________；点到点的距离为_________． (2)计算土坑的深度．（参考数据：，，，，，，，，结果精确到） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过点作平行于的水平线以及垂直于的垂线交于，利用平行线性质、光的反射定律算出，代入求出；在中，由、求出，再利用三角形外角性质和等角对等边得到． （2）先根据反射角算出，算出，得到，结合推出，得到平分，由等腰三角形三线合一得，在中代入，求出，用得到土坑深度． 【详解】（1）解：如图，过点作水平线，作，垂足为，交于点． ， ． 由题意无人机显示距离水平地面高度为15m， ． ， ． ，根据光的反射定律，反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角， ． 同理，， ． ， ． 在中，，，， ， ． 是的外角， ， ， ． （2）解：由光的反射定律可知， ， ． ， ， ，即是的平分线． ， ． 在中，，，， ． ， ． 答：土坑的深度约为． 变式4-2消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． (1)当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． (2)某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 【答案】(1) (2)解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图， 由（1）知：四边形是矩形， ∴，， 此时， 在中，， ∴（米）（米）， ∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案； （2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∴， 由题意知：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米； （2）略． 变式4-3 如图，图①是我国宋代时期发明的立式风车，是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械．图②是现代人根据风车设计的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面，最低点距地面．图③是该风力发电机的简化示意图，发电机的塔身垂直于水平地面（点在同一平面内）．点在右侧，且，求此时风叶的端点距地面的高度．（参考数据：，） 【答案】此时风叶的端点距地面的高度约为 【分析】延长交于点，设线段与交于点，根据最高点与最低点距地面的距离可求得圆的半径；过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，进而求得的度数，解直角三角形求得，进而可求得结果． 【详解】解：设线段与交于点，延长交于点，如图． 由题意，知，， ， ． 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则四边形为矩形， ，． 由题意可知， ， ． ， ， ． 答：此时风叶的端点距地面的高度约为． 类型五、综合背景问题 典例5 【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 【答案】(1)，； 证明：， ， ； (2)米． (3)米； (4) 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果； （2）根据题意得出四边形是矩形，再根据锐角三角函数求解即可； （3）根据题意推出米，米，设米，在直角三角形中，利用锐角三角函数得出，进而解方程即可； （4）同（3）理证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， （米）， （米）， 答：树高为米． （3）解：由题意可知，，，，米， ，， 点、到地面的距离、均为米， 米， 四边形是矩形， ，米， ， 米， 设米， 在中，， 米， 在中，， （米）， ， ， ，即米， 米， 答：的长为米； （4）解：由（3）可得，，， 设， 在和中，，， ， ， 解得：，即， ． 题型模版 结合桥梁、隧道、滑梯、传送带等实际工程背景，题干信息量大，可能嵌套坡度、仰角、距离等多个要素，需从文字和图形中提取关键数据，分步构造直角三角形求解。 变式5-1 在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的处测得电视发射塔顶的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达处，在处测得电视发射塔的底部的仰角为，若电视发射塔的高度为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度．（结果保留根号） 【答案】小山的铅直高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设米，由正切函数得，可求出，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，，，， 设米，则米， 在中， ， 解得：， 米， 在中，， ， ， 解得． 小山的铅直高度为米． 变式5-2北京时间2021年9月20日15时10分，长征七号遥四运载火箭搭载天舟三号货运飞船，在海南文昌航天发射场成功发射。当天22时08分，天舟三号成功对接于空间站天和核心舱后向端口，为即将发射的神舟十三号载人飞船送去可支持3名航天员6个月的在轨驻留物资、空间站备份设备、空间科学载荷等诸多货物。在某一时刻，天舟三号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，此时A、P两点的距离为6千米；它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角为，求天舟三号从A处到B处的平均速度．（结果精确到，取，） 【答案】天舟三号从A处到B处的平均速度约为293米/秒 【分析】先在中，因为已知的长度和，所以用锐角三角函数求出和的长度，再在中，因为已知，且已求出，所以用等腰直角三角形的性质求出的长度，用减去得到的长度，因为平均速度等于路程除以时间，所以将的长度单位换算为米后除以时间7.5秒，即可得到平均速度． 【详解】解：由题意可得：，，千米，， 在中， ∵，千米，， ∴ ， ∴千米，（千米）， 在中， ∵，千米，，， ∴（千米）， ∴（千米）米， 则天舟三号从处到处的平均速度约为：（米/秒）， 答：天舟三号从处到处的平均速度约为293米/秒． 变式5-3 如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额，牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感．线段是悬挂在北大正西门上的匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角，且米，若、、三点在一条直线上，则匾额悬挂的高度的长约是多少米？（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】过点作，，垂足分别为、，在中，先求出、，再在中用含的代数式表示出线段的长，最后根据等腰直角三角形的性质得关于的方程，求解方程得结论． 【详解】解：过点作，，垂足分别为、． 由题意知，， ∴， 四边形是矩形， ，，． 在中，，， （米）， （米）． 在中，，， ． ． 在中， ． ，， ， （米）． 答：匾额悬挂的高度的长约是米． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．甲船在A点测得乙船在北偏东方向上，两船相距．乙船以的速度向正北方向行驶，甲船以的速度向乙船追去．甲船沿什么方向前进，才能在最短的时间内追上乙船？ 【答案】甲船沿北偏东方向前进，才能在最短时间内追上乙船． 【分析】如图：设甲船沿直线在D处追上乙船，延长交于点C，根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再设甲船沿直线在D处追上乙船所用的时间为，从而可得，则，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：如图：设甲船沿直线在D处追上乙船，延长交于点C， 由题意得：， ∴， 在中，， ∴， 设甲船沿直线在D处追上乙船所用的时间为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴甲船沿直线在D处追上乙船所用的时间为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴甲船沿北偏东方向前进，才能在最短时间内追上乙船． 2．某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图    请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】塔高约 【分析】延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图： 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 答：塔的高度约为． 3．图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为； （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为． 4．无动力帆船是借助风力前行的，帆船借助风力航行的平面示意图如图所示．已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（参考数据：，，．，，．） 【答案】264 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据已知条件和平行线的性质先推出，然后利用直角三角形内角和以及平角的定义求出和度数，最后结合正弦值即可求出所求的值． 【详解】解：由题意可知，，，， ，． ，， ， ． ， ． ，，， 在中，， 在中，， ． 5．如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】快递小哥这个过程中总共走了 【分析】过点作于点，过点作于点．在中求出，．在中求出，进而可求出快递小哥这个过程中总共走了多少米． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 由图可知，四边形是矩形， ，． 根据题意，，， ， ． ， ， ， ， ． 答：快递小哥这个过程中总共走了． 6．如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【答案】海里/时 【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度． 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形． 7．中国文字博物馆的字坊是其标志性建筑之一，位于博物馆正门前方的广场上，该建筑的设计灵感直接来源于汉字本身，具体取形于甲骨文和金文中“字”字的写法（如图1）．九年级数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量字坊的高度．如图2，在测点处安置测倾器，测得此时的仰角，然后在测点与物体之间的处安置测倾器（点与在一条直线上，且两点之间的距离可以直接测得），测得此时点的仰角，已知测倾器的高度，测点之间的距离．根据测量数据，求出字坊的高度（结果精确到1米，参考数据： ）． 【答案】 【分析】设的长度为，在，因为，所以，在中，因为，所以，由与的差等于的长度，即，建立关于的方程，求解得到的值，代入和的数值计算即可． 【详解】解：设 ，根据题意可知： 四边形 、 均为矩形，因此 ，，， 在 中，，得 ， 在 中，，得 ， 由 ，代入得： 解得： 因此字坊高度 答：字坊的高度约为． 8．【主题】探究光折射与反射现象． 【实验工具】低功率激光灯、一块光学直角棱镜、量角器等． 【实验过程】某物理兴趣小组使用相关实验工具进行光学实验．如图，是这块光学直角棱镜的截面，所在的面为不透光的磨砂面．一束光线从 边上的点射入棱镜，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后，从 边上的点射出． 【实验数据】调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到． 【问题解决】根据以上实验过程和测量的数据，解答下列问题． (1)如图1，调整光线入射角度和位置，使光线．若，则__________．（结果保留根号） (2)如图2，再次调整光线入射角度和位置，使，从点射出后，光线 ．若，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】(1) (2)的长约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，，，进而勾股定理求得的长； （2）延长交于点．解求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 在中，， ． 在中，， ∴ ． （2）如图，延长交于点． ． ， ， ． ， 在中，， ． 9．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． (1)如图2，当，时，求视线距离的长； (2)如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直平分得长，结合求得，连接，延长交于点，证四边形是矩形得、，即可得，由为中点得，进而求，最后在中用勾股定理求出； （2）先求坐下后的高度，延长交于，证四边形是矩形得，由对顶角得，在直角三角形中用余弦求，最后通过线段差求出即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 如图，连接，延长交于点， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：∵使用者坐下时，高度下降， ∴， 如图，延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 10．海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1) (2)塔杆的长度是90米 (3)风叶的长为59米 【分析】（1）由题意可知答案； （2）在中，利用和，计算即可； （3）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用x表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【详解】（1）解：由题意可知：米； （2）根据题意，可知， ， 米， 塔杆的长度是90米； （3）如下图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为米， ， 四边形为矩形， 米， ， ， ， ， ， 解得：， 风叶的长为59米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $