第六章 平面向量初步全章高频重点题型突破（八重点题型+二大难点题型专项训练）数学人教B版高一必修第二册

第五章 概率与统计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 平面向量的基本概念辨析 题型2 向量的线性运算 题型3 向量共线与三点共线问题 题型4 平面向量基本定理 题型5 向量的坐标运算 题型6 坐标法解决向量共线问题 题型7 向量在几何中的应用 题型8 向量在物理中的应用 核心提升·重难点归纳 题型1 平面向量中的范围与最值问题 题型2 平面向量中的创新与新定义问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 平面向量的基本概念辨析 1．（25-26高一下·天津宝坻·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于选项A：若，则，故A正确； 对于选项B：向量不能比较大小，故B错误； 对于选项C：若，但方向不一定相同，可知不一定相等，故C错误； 对于选项D：若，但方向不一定相同，可知不一定相等，故D错误. 2．（25-26高一下·河南周口·期末）下列说法正确的是（     ） A．向量与向量是相等向量． B．向量的模是一个正实数． C．与实数类似，对于向量，有，，三种关系． D．若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合． 【答案】D 【详解】对于A，因为向量与向量是相反向量，不是相等向量，故A错误； 对于B，因为向量的模是一个非负实数，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，但两个向量不能比较大小，故C错误； 对于D，若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，故D正确. 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）在四边形中，若，则四边形的形状一定是（   ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据向量相等和平行四边形定义判断可得答案. 【详解】四边形中，所以，且， 所以四边形为平行四边形. 而邻边不一定相等、且不一定垂直， 所以四边形不是梯形，也不一定是菱形、矩形. 4．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和互为相反向量，可得，即可得D，再结合向量定义逐项判断其余选项即可得. 【详解】对D：由非零向量和互为相反向量，则，故D正确. 对A：由，故，故A正确； 对B：由且和为非零向量，故，故B正确； 对C：由，则，故C错误； 5．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．零向量与任意非零向量共线 【答案】D 【详解】对于A：单位向量大小相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误； 对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误； 对于D：零向量与任意非零向量共线，故D正确. 6．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①加速度是有方向有大小的量，故①正确； ②若，则与不一定平行，②错误； ③若向量，则直线与直线平行或共线，③错误； ④两个向量不能比较大小，④错误； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量，⑤正确； ⑥方向相同，大小相等的两个向量为相等向量，表示它们的有向线段的起点可能不同，⑥错误； 所以其中错误的有4个. ◆题型2 向量的线性运算 1．（25-26高一下·四川达州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．（25-26高一下·陕西商洛·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 3．（25-26高一下·四川绵阳·期末）在中，M为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示： 可得. 4．（25-26高一下·福建龙岩·期末）在中，点D满足，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则在线段上，且. 则，又， 所以. 5．（25-26高一下·河南信阳·期末）中，，为中点，设，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示出，即可得. 【详解】已知，，则， 因为，所以， 由， 因为为的中点，所以， 所以. 6．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知点，，，下列向量运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量加减的定义得， ； ； ； . 7．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在矩形中，点分别是和的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由相等向量，向量的加法运算即可求解. 【详解】在矩形中，因为点分别是和的中点， 故，则， 由图可知和，，都不是相等向量， 所以A正确，BCD错误. ◆题型3 向量共线与三点共线问题 1．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 2．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）设为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 【答案】B 【分析】对已知向量表达式变形推导得到三点共线，结合λ的取值范围判断点的位置，再结合点位置不确定的特点判断各选项即可. 【详解】由，移项可得，即，所以三点共线， 已知，因此与方向相同，且，故点在线段上， 对于A，若点在线段上，需满足，与题设矛盾，故A错误； 对于B，由上述推导可知，点在线段上，故B正确； 对于C，若点在线段上，需满足，与题设范围矛盾，故C错误； 对于D，题干未给出与直线的位置关系，无法判定四点共线，故D错误. 3．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，， 所以，又， 所以，又，，三点共线， 所以， 解得，故选A． 4．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线定理依次判断即可. 【详解】对于A，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故A错误； 对于B，，因此， 又因为向量与有一个公共点，因此三点共线，故B正确； 对于C，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故C错误； 对于D，， 若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故D错误； 5．（25-26高一下·四川成都·期末）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【详解】由已知可得，， 因为A，C，D三点共线，所以，共线，则，使得， 即，整理可得 因为，不共线，所以有，解得. 6．（25-26高一下·河南·期末）已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 由于，因此. ◆题型4 平面向量基本定理 1．（25-26高一下·四川泸州·期末）在中，，记，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， 即 = =. 2．（25-26高一下·云南丽江·期末）在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得. 【详解】由题意， 故, 根据平面向量基本定理可知，，则. 3．（25-26高一下·重庆·期中）如图所示，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，，则 4．（25-26高一下·陕西汉中·期末）如图，在中，是的中点，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算法则，将 表示为 与 的线性组合，进而解出 . 【详解】由题意可知， 是 的中点，所以 . 因为 ，根据向量减法的三角形法则， 可得： . 又因为 ，且 ， 所以 . 整理可得 ， 解得 . 5．（25-26高一下·河北承德·期末）如图，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，所以． 6．（25-26高一下·甘肃定西·期末）在中，，，，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，建立如图直角坐标系，则， 所以，又， 所以，又，所以， 化简得，解得或（舍）， 设，即， 即，解得，故.    ◆题型5 向量的坐标运算 1．已知，，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点的坐标为，因为点，所以. 又因为，所以，解得，即点坐标为. 2．（25-26高一下·甘肃白银·期末）已知向量，，实数x，y满足，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量的坐标运算求解． 【详解】由题可得， 则解得 3．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知点，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以， 又因为，所以点的坐标为. 4．（25-26高一下·福建泉州·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 5．（25-26高一下·广东梅州·期末）已知点，，若点是线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知点得出向量坐标，再应用比例得出，进而得出点的坐标 【详解】因为点，，所以， 因点P是线段AB上靠近A的三等分点， 故， 则点P坐标为； 6．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 7．（25-26高一下·湖北随州·期末）已知在平面中，点的坐标为，向量，，点P是线段的中点，则点P的坐标为_________． 【答案】 【详解】由，，得，. 因是线段的中点，由中点坐标公式得，， 故点的坐标为. 8．（25-26高一下·广东湛江·期末）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标是____________． 【答案】 【详解】设点的坐标是，则，， 因为四边形为平行四边形，则， 可得，解得，即. ◆题型6 坐标法解决向量共线问题 1．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．3 D．1 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，解得. 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，，若和方向相同，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】已知，，若和方向相同，得： ， 整理得：，解得或， 当时，，此时，两向量方向相同，符合条件； 当时，，此时，两向量方向相反，不符合条件，舍去， 综上，. 3．（25-26高一下·广东广州·期末）已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（    ） A． B．3 C．2或3 D．或 【答案】B 【详解】因为A，B，C三点共线，可知，则， 可得，所以. 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，与共线，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】因为，所以 因为与共线，所以,解得. 5．（25-26高一下·安徽六安·期末）已知向量，，且，则实数的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由，，得． 因为，所以， 整理得，解得． 6．（25-26高一下·吉林延边·期末）已知平面向量，，且，则_______． 【答案】 【详解】因为向量，，则， 又因为，则，可得，解得. 7．（25-26高一下·河南信阳·期末）若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____. 【答案】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， . 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知. (1)若与平行，求实数的值； (2)若，且满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共线的坐标公式列方程计算即得； （2）利用条件求得，由向量的模的公式列方程求出的值即得.. 【详解】（1） 由 ，， 得 ， ， 因与平行，则 ， 解得 ； （2）因， 由 ，则得 ，则 ， 因，则，整理得， 解得 或 . 当时，，不符合，舍去； 当时，，符合，此时. ◆题型7 向量在几何中的应用 1.已知是内部（不含边界）一点，若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】 【详解】如图，连接AD并延长交BC与点M, 设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为, 因为， 所以设， 因为AM与向量AD共线， 设,, 所以，即， , 所以 故选：A 2.已知是内一点，，设的面积为的面积为，则 ． 【答案】 【详解】过点作,交于点,交于点连接并延长交于点,作,垂足为,作,垂足为 因为，, 所以 因为, 所以. 故答案为： 3.（多选）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A项，，故A正确； B项，，故B错误； C项，， 若，则，不合题意，故C错误； D项，，故D正确；故选：AD. 4.如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1)；(2)证明过程见解析 【解析】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点，所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点，所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 5.已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）． 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即，得． 因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得 （2）． （3）因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则， 因为，所以，解得， 即点的坐标为． ◆题型8 向量在物理中的应用 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（   ） A．向东北方向航行km B．向北偏东方向航行2km C．向北偏东方向航行2km D．向北偏东方向航行km 【答案】C 【详解】 如图，，，，， 所以，即向北偏东方向航行2km. 2．（25-26高一下·天津西青·期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】做出受力分析图，根据题意对结论逐一判断即可. 【详解】画出受力分析图，如图所示：    平衡状态时，受重力 和两臂拉力 、 作用， 根据平衡条件可得 ，即 . 因为 ，设 ，  可得 ，即 ，其中 . 对于①，当 时， 取得最大值，此时 取得最小值 ，故①正确； 对于②，当 时，， 则 ，故②正确； 对于③，当 时，， 则 ，故③正确； 对于④，由平衡条件可知 ，结论中缺少系数 ，故④错误； 对于⑤，由 可知，当 增大时，其中， 增大， 减小， 分母减小，则 增大，即两臂夹角越大越费力，故⑤错误. 综上所述，正确的结论有①②③，共 个. 3．（25-26高一下·四川凉山·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设船垂直河岸实际渡河速度的大小为，， 所以，解得， . 4．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】设船速为，水速为，船的合速度为， 则，即，解得， 因为，所以， 则船的合速度为， 则过河需要的时间为. 5．（25-26高一下·山东威海·期末）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速度为向东________． 【答案】8 【分析】将小船静水速度正交分解，利用实际航向正北、东西向合速度为 的条件，由船速西向分速度直接得到向东的水流速度大小. 【详解】 小船本身航行速度大小为，方向北偏西，将其分解为东西、南北分量, 东西方向的速度分量的大小为，方向向西， 小船实际航行方向为正北，说明东西方向合速度为. 设河水向东的速度为，根据速度合成：,即 所以。 即河水速度向东为. 6．（25-26高一下·山东青岛·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，水流的速度为向东，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，方向为北偏西，则游船到达对岸的时间为________． 【答案】 【分析】计算出游船垂直河岸方向（正北方向）的分速度后，结合河宽即可得所需时间. 【详解】游船垂直河岸方向（正北方向）的分速度为， 则游船到达对岸的时间为. ◆题型1 平面向量中的范围与最值问题 1．（25-26高一下·重庆·期中）已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算将用和表示，对比系数得到与参数的关系，结合参数范围求解的取值范围. 【详解】设，由点在线段上，得. 由，得，所以. 又，， 所以. 又，所以. 因为，所以. 2．（25-26高一下·广东茂名·期末）在中，点D满足，且线段DB上存在一点E，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，结合平面向量基本定理得到，再由二次函数单调性即可求解. 【详解】不妨设，，， 则， 则， 即， 则， 由平面向量基本定理得： 则，由二次函数性质可知，其在单调递减， ∴． 3．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用中点将换成，结合共线得到，把用代换，转化为关于的二次函数，配方求出的最小值． 【详解】因为是线段的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 4．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）在中，是中点，是线段上一点，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得是中点，则， 因为三点共线，所以， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 解得，则的最大值为. 5．（25-26高一下·福建泉州·期末）已知点是的重心，且，．若三点共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过重心定义以及均值不等式求解. 【详解】    因为点是的重心，所以， ，又，，所以， 因为三点共线，所以， 因此，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为. 6．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）如图，在中，点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．9 【答案】C 【分析】设， 在上的系数分别为 和，由 共线得每组系数和为1，故合并后，再利用基本不等式求 的最小值． 【详解】解：设，， ，，，共线，，． ，则， 点，是线段上两个动点，，． 则的最小值为． 7．（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. ◆题型2 平面向量中的创新与新定义问题 1．平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走______步. 【答案】28 【分析】作出图象，结合相关点的分布情况，即可得出答案. 【详解】 如图， ， 共需28步. 故答案为：28. 2．（25-26高一下·北京·期中）对于任意平面向量，定义．个平面向量组成的向量组，，，称为向量组，如果对每个都有，，，，．一个向量组称为向量组，如果存在使得． (1)已知向量组，，，判断该向量组是否为向量组？是否为向量组？说明理由． (2)当时，是否存在向量组不是向量组？若存在，举出一个例子；若不存在，说明理由． (3)当为奇数时，证明：任意向量组都是向量组． 【答案】(1)该向量组是向量组，是向量组. 因为，，，所以该向量组是向量组； 令，，， 所以， 所以，满足向量组的定义，因此该向量组也是向量组. (2)当时，存在一组向量是向量组不是向量组， 取，，，， ，，，， 满足向量组的定义，对于任意的， 则，所以的值为， 因为，所以. 又因为，所以. 所以此时. 所以不存在，使得， 故该向量组不是向量组. (3)当为奇数， 若对于一个向量组，将其中的数对更换为或者将与对换位置，向量组仍然为向量组. 所以不妨设对于任意的均有，取. 情况1：若对于每个，均有， 不妨设，则有 因为， 所以， 且有 所以 情况2：若存在，使得. 则可设， 当为偶数时， 同时 当为奇数时， 同时 综上可得,. 由已知条件可得及， 则有. 不妨设， 若，则 若，则 综上可知，当为奇数时，任意向量组都是向量组. 【分析】（1）由向量组，向量组的定义以及向量的坐标运算即可求解；（2）选取，，，，求解可得，不能满足，即可求解；（3）根据与存在，两种情况进行讨论，得到，，然后讨论与的关系即可证明 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，设A是由 个实数组成的n行n列的数表，其中 表示位于第i行第j列的实数，且 记向量 若 则称 与 为正交向量. 若对任意不同的， 都有 与 为正交向量，则称A为正交数表. (1)直接判断是否为正交数表(不需要说明理由)； (2)当时， 设 且 与 为正交向量， 与 为正交向量，求证： 与 不是正交向量： (3)求证: 对任意，当时， A不是正交数表. 【答案】(1)是正交数表，不是正交数表. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先明确正交数表判定规则，再分别计算，的行向量数量积. （2）先分析的元素构成，再计算的表达式，最后利用反证法推导. （3）先利用反证法假设，再分析数表变换，然后分析其余行向量的元素构成即可得证. 【详解】（1）对于，， 则，满足正交向量的定义，因此是正交数表. 对于，， 则， 不满足正交向量的定义，因此不是正交数表. 综上，是正交数表，不是正交数表. （2）设，， 由与 为正交向量， 与 为正交向量，可得且 ，其中，， 故不妨设，， 则， 即，因此与 不是正交向量. （3）因为，因此的最小值为6， 所以我们可以从数表A中选出三个不同的行向量，不妨设为， 假设A是正交数表，则有，，， 可得如下变换成立， 变换1：交换正交数表A的任意两行，所得的新数表仍是正交数表； 变换2：交换正交数表A的任意两列，所得的新数表仍是正交数表； 变换3：将正交数表A的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表仍是正交数表； 因此我们将第一行的所有元素都变成1，即假设， 由，在中，1和的数量相等，即有个1和-1， 同样的，在中也有个1和， 由，我们将乘积值的情况分成四类： 第一种：，设数量为a；第二种：，设数量为b； 第三种：，设数量为c；第四种：，设数量为d； 且， 根据中也有个1和，， 同样根据在中也有个1和，， 因此得，从而有 故有，因此，即正交数表的行列数必须是4的倍数， 因此时必成立，命题得证. 一、单选题 1．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）下列关于向量的说法中，错误的是（    ） A．若向量、互为相反向量，则 B．若，，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则、、三点共线 【答案】B 【分析】利用相反向量的定义可判断A选项；取可判断B选项；利用相等向量的定义可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为向量、互为相反向量，则，A对； 对于B选项，当时，、不一定共线，B错； 对于C选项，若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同，C对； 对于D选项，由且、有公共点可知、、三点共线，D对. 2．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中的条件是为非零向量. 【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 3．（25-26高一下·山东临沂·期末）在中，点，分别在边，上，且，，若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查平面向量的线性运算及共线向量基本定理的应用，将向量利用条件分别用与来表示，利用系数相等求解即可. 【详解】因，所以， 可设； 设，则，则，解得， 所以. 4．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得，可得三点共线，从而到的距离等于到的距离，将问题转化为求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，则， 则三点共线，所以到的距离等于到的距离， 所以. 5．（25-26高一下·山东聊城·期末）在梯形中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、用、作为基底表示，利用平面向量基本定理列方程求解、，再计算. 【详解】由题意，可得， 则 ， ， 将上述两式代入，整理得： ， 由于、为不共线的非零向量，根据平面向量基本定理，等式两边对应向量的系数相等， 得： 解得，则， 因此. 6．（安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题（A卷））飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念、加法运算及平面向量的模求解即可. 【详解】设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为，， 由题意可得，且，，所以， 故，即飞行器在该时刻的地速大小为． 二、多选题 7．（25-26高一下·湖南·期末）设，是平面内一组不共线向量，向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则必有 C．若，则向量的终点在，终点的连线上 D．若，，则，，一定能构成三角形三边对应的向量 【答案】AB 【详解】选项A：若，则，A正确. 选项B：不共线，由平面向量基本定理，若，则必有，B正确. 选项C：未指明向量起点相同，无法推出终点共线，C错误. 选项D：由条件得，故共面，若三个向量起点相同，的终点在终点的连线上，三点共线，不能构成三角形，D错误. 8．（25-26高一下·广东深圳·期末）设O为内一点，已知，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（   ） A．E，O，F三点共线 B．O为E，F的中点 C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的线性运算可得，故可判断AB的正误，根据可得、，从而可得诸面积关系，故可判断CD的正误. 【详解】因为，并且E，F分别为AB，AC中点， 所以，， 则，所以， 所以，又O为公共点，所以E，O，F三点共线但O不是E、F的中点， 故A正确；B错误； 对于C，由，得，， 则，， 所以，故C错误； 对于D，由选项C得，故D正确． 9．（25-26高一下·湖南永州·期末）已知四边形是正方形，延长至，使，点是线段上的任意一点.设向量，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为，，易得，由此即可求出的取值范围，则可选出答案. 【详解】如图所示：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系.    不妨设正方形的边长为，， 则，且，， 可得 因为， 所以，解得 所以， 又因为，所以，所以， 结合选项可知ABC正确，D错误. 10．（25-26高一下·江苏无锡·期中）一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（    ） A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸 B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为 C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为 D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积的运算性质及模的运算判断ABC，根据船垂直河岸方向航行用时最短判断D. 【详解】设小船在静水中的速度为为，水流的速度为， 则 ，小船的实际速度为，则有， 对于A，由小船以北偏西方向航行可知，船速的方向与垂直于河岸方向的夹角为， 若小船实际航向垂直河岸，则在平行于河岸方向的分速度大小与水速大小相等， 即，而，所以假设不成立，错误； 对于B，由题意，所以， 所以，正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以， 所以小船到达河北岸的时间为h，正确； 对于D，当小船渡河时间最短时，垂直河岸的分速度最大， 即船垂直河岸方向航行（船头指向正北），此时分速度等于船在静水中的速度， 所以最短时间为 h，正确. 三、填空题 11．（25-26高一下·宁夏吴忠·期末）中，为边中点，，，，则__________．（用，表示） 【答案】 【分析】作出图象，由向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示： 因为 . 12．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）在中，，且三点共线，则___________． 【答案】 【分析】由三点共线，可得，再由题设及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因三点共线，则， 又，则（显然不为0），从而，结合，平面向量基本定理， 可得. 13．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 【答案】/ 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 14．（暑假作业03重难专题01：向量问题的四大秒杀技：爪子定理、等和线、极化恒等式、矩形大法（巩固培优,4知识5题型巩固提升 能力培优 创新拓展）高一数学人教A版）“爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得.则三点共线_________ 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上. （2）已知在线段上，且，则____________ 【答案】 【分析】（1）由向量的线性运算及共线向量之间的关系求解即可； （2）由向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）因为三点共线， 所以， 又因为， 又因为 所以， 整理得, 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章概率与统计全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1平面向量的基本概念辨析 题型2向量的线性运算 题型3向量共线与三点共线问题 题型4平面向量基本定理 题型5向量的坐标运算 题型6坐标法解决向量共线问题 题型7向量在几何中的应用 题型8向量在物理中的应用 目核心提升重难点归纳 题型1平面向量中的范围与最值问题 题型2平面向量中的创新与新定义问题 目综合攻坚知能拔高 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1平面向量的基本概念辨析 1.(25-26高一下·天津宝坻期末)下列命题中，正确的是（) A.若a=6,则ld= B.若d>,则a>6 c.若d=万，则a=6 D.若a/b,则a=b 2.(25-26高一下·河南周口·期末)下列说法正确的是() A.向量AB与向量BA是相等向量 B.向量的模是一个正实数 C.与实数类似，对于向量a,万有=b,a>b,a<6三种关系. D.若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合. 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高一下广西南宁·期中)在四边形ABCD中，若AD=BC,则四边形ABCD的形状一定是 () A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 4.(25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测)若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法中错误的是 () A.a//b B.atb c.同月 D.a=-b 5.(25-26高一下湖北武汉阶段检测)下列命题正确的是() A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.平行向量不一定是共线向量 D.零向量与任意非零向量共线 6.(25-26高一下·上海·期中)下列说法： ①加速度是向量： ②若向量a∥b且b∥c,则a∥c: ③若向量AB=CD,则直线AB与直线CD平行： ④若向量B,CD满足AB>CD,且B与CD同向，则B>CD: ⑤若两个非零向量AB,CD满足AB+CD=0,则AB,CD为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同： 其中错误的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 ◆题型2向量的线性运算 1.(25-26高一下四川达州期末)OB-OA=() A.AB B.BA C.A0 D.BO 2.(25-26高一下·陕西商洛期末)AB+CD-CB=() A.AC B.BD C.CA D.AD 3.(25-26高一下四川绵阳期末)在ABCD中，M为CD的中点，则BM=() A.AD-AB B.4B-IAD 2 c.0-丽 D.AD+AB 4.(25-26高一下福建龙岩期未)在△ABC中，点D满足BD=2DC,设AB=ā，AC=b,则AD= () 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2a-b B.-a+26 1 3 3 5。(2526商一下河南信阳期末)。MBC中，D-号46，B为CD中点，设G=aC匠=6：则店。 () D A写0+6 2 1 126 6 C. D 6.(25-26高一下四川乐山期末)已知点O,A,C,下列向量运算结果为OC的是() A.OA-AO B.OC+40 C.AC-04 D.04+4C 7.(25-26高一下·安徽马鞍山期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是AB和CD的中点，则 AD+EB=() D F A.AF B.DE C.CE D.BF ◆题型3向量共线与三点共线问题 1.(2026湖南长沙三模)已知a,b是不共线的向量，且AB=a+2b,BC=-5a+66,CD=7ā-2b,则( ) A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,D三点共线 D,A,C,D三点共线 2.(25-26高-下甘肃兰州阶段检测)设0,4，M,B为平面上四点，0M=10B+(1-2)0A,且2∈(1,2). 则下列结论正确的是() A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.点A在线段BM上 D.O,A,M,B四点共线 3.(25-26高一下安徽芜湖期中)设8,8是两个不共线的向量，且AB=26+m吧，BC=g+26, BD=-5+46,若A,C,D三点共线，则m的值为（) A.-3 B.-4 C.3 D.4 4.(25-26高一下山东济宁·期中)已知m,i是不共线的向量，且AB=3m-2i,BC=2m+i,CD=m-3n, 则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C,B,C,D三点共线 D,A,C,D三点共线 5.(25-26高一下四川成都期末)已知%，6是平面内两个不共线的向量，AB=46+28, BC=-g+g,CD=g+(1-)8,且A,C,D三点共线，则=() A.Z B.2 C.4 0.4 6.(25-26高一下河南期末)已知4，B,C是同一平面内不同的三点，且AB=2BC,若AC-2BC,则 九=() 1 A.3 B. 2 C.2 D.3 ◆题型4·平面向量基本定理 1.(2526高一下四川泸州期末)在A1BC巾，丽-号MC,记B=0AC-6则A。（） 1-2 A.3atb 2a+6 3 B. 3 2。(2526高一下云南丽江期末)在AM1BC巾，N-NC,p是BN上茶近V的-个三等分点，若 2 AP=mAB+nAC,则实数m+n的值为() B 2 A B.1 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 C. 5 D.9 3. (25-26高一下重庆期中)如图所示，ā+b=() e ei A.2e+3e, B.-2e+3e2 C.4e +5e, D.-4e+5e 4.(2526商一下陕西汉中期末)如图，在。BC中，D是AB的中点，C正-CD,设丽=a”花-6， 则AC=() D B A d-36 1 .3b B.402 -a + C.-a 1 5。<256商-下河北承德期未)如图D=30,5-2D·若正-。+n4C,则n-《) 6 E B D 1 A.3 B. C.i 6.(25-26高一下甘肃定西期末)在△ABC中，AB=3,AC=4,AB1AC,BD=BC(1≠0)，且 AB=AD,则AD=() 5/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 16 AC B+ 18 AB+ 25 5 B. 25 1AC 2 C. 25 6+9AC 25 D.2 25 ◆题型5向量的坐标运算 1.已知A3,4),AB=(5,6),则B点坐标为(） A.(8,10) B.（-2,-2) C.（-2,2) D.（-8,10) 2.(25-26高一下甘肃白银期末)已知向量=(1,2)，6=(2,3)，实数x,y满足x+b=(3,4),则 () A.x=-1,y=2 B.x=1,y=-2 C.x=-1,y=-2 D.x=1,y=2 3.(2526商-下旷西南宁期未)已知点0Qo).01=(23).0i=(63).=P丽，则p的坐标为 () A.(4,0) c(可 4 (25-26高一下福建泉州期末)已知向量=(-2,1)，b=(1,3),则ā+26=() A.(0,7) B.(0,-5) c.(4,-5) D.(4,7) 5.(25-26高一下·广东梅州期未)已知点A0,),B(3,4),若点P是线段4B上靠近点A的三等分点，则 点P的坐标为() A.(12) B.(2,2) c.(2,3) D.(1,3) 6.(25-26高一下浙江温州期未)已知向量AB=(0,-),0B=(3,4),则0A=（) A.(3,3) B.(3,5) c.(-3,-5) 7.(25-26高一下湖北随州期末)已知在平面中，点O的坐标为(0,0)，向量0A=(2,3),OB=(4,-1), 点P是线段AB的中点，则点P的坐标为， 8.(25-26高一下广东湛江·期末)己知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为（-2,1)， (2,2),(3,4),则点D的坐标是 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6坐标法解决向量共线问题 1.(25-26高-下陕西咸阳期末)己知向量a=(m,),b=(3,-3),且a1/6,则m=（) A.-3 B.-1 C.3 D.1 2.(2026广东深圳-模拟预测)己知ā=(1,2)，b=(k,k2-3),若a和方方向相同，则k=() A.-1 B.3 c.-1或3 D.1或-3 3.(25-26高一下广东广州期末)已知向量AB=(k-4,-),BC=(（1,k-2),若A,B,C三点共线，则 实数k=() A.-3 B.3 C.2或3 D.-3或-1 4.(25-26高一下贵州遵义期中)若à=(3，m),6=(1,2）,ā-6与6共线，则m的值为() A.2 B.3 C.4 D.6 5.(2526高一下安徽六安期末)已知向量a=(1,m）),万=(-2，m+3),且a1/a+b),则实数m的值为 () A.1 B.-1 C.3 D.-3 6.(25-26高一下吉林延边期末)己知平面向量ā=(1,2)，万=(2x,x-1),且a/(6-d),则x= 7.(25-26高一下河南信阳期末)，若0A=(1,),0B=(3,k),0C=(-2,4),且4，B,C三点共线，则实 数k的值为 8.(25-26高一下贵州遵义期中)己知d=(1,-1),b=(-1,2). (1)若a+2b与2a+4b平行，求实数k的值： (2)若=xa+b(x≠)，且满足=l,x+y=2,求x-y的值。 ◆题型7向量在几何中的应用 1.已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABm:SaCn:S△cD=5:4:3,AD=xAB+yAC,则x+y= () 3 7 B.4 C.12 D.1 2已知M是A1BC内点，成-兮办r子正，忍，By的育积为3aBC的而积为s:则是 4 7/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(多选)正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中， 以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形 T-5-1 A7=2，下列关系中正确的是( D A.CO+TP=DS B.ES-RO=PA C.47+80-5-CR D.西-AP=5-lD 2 2 4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F依次是对角线AC上的两个三等分点，设AB=,AD=b. D B (I)请用a与b表示DF; (2)用向量方法证明：四边形DFBE是平行四边形 5.已知e,e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2,BE=-e1+e2,EC=-2e+e2,且A,E,C三点 共线 (1)求实数九的值： (2)若e1=(2,1)e2=(2,-2),求BC的坐标： 3)已知D(3,5),在(2)的条件下，若A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. ◆题型8向量在物理中的应用 1,(25-26高一下·黑龙江哈尔滨阶段检测)向量ā表示“向东航行1km”,向量石表示“向北航行V3 km”,则向量a+b表示() A.向东北方向航行（1+V3)km B.向北偏东60°方向航行2km C.向北偏东30°方向航行2km D.向北偏东30°方向航行1+3)km 2.(25-26高一下·天津西青·期末)在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图)，假设 某同学所受重力为G,两臂拉力分别为耳，F,若=引，F与F的夹角为0，则以下五个结论中：① 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四的录小为c1:②当0-时.A-G:③当0-7，H=:@1GH5e号：⑤在年 0 杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力.以上结论中，正确的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(25-26高一下四川凉山期末)如图，一条河两岸平行，河的宽度d=300m,一艘船从河岸边的A地 出发，向河对岸航行.己知船的速度的大小为=250m/min,水流速度2的大小为=200m/min, 那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间=() 色 A A.1.2 min B.2min C.3min D.4min 4.(25-26高一下·河北邯郸期中)如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600m,河水的速度为向东 2kmh.一艘小货船准备从河岸边A地出发，航行到河对岸的B处，（AB与河的方向垂直)，已知船的 速度为2√5km/h,过河需要的时间为1(min),船的行驶方向与水流方向的夹角为0，则() B A.sin0= 5’t=6 8.sin0= 5’t=9 C.sin=25 5’t=9 D.sin=5 5’t=6 5.(25-26高一下山东威海·期末)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行 速度的大小为16kh,方向为北偏西30°，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度为向东 km/h 6.(25-26高一下山东青岛期中)一条东西方向的河流两岸平行，河宽200W3m,水流的速度为向东 4m/s，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为20m/s,方向为北 偏西30°，则游船到达对岸的时间为 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1平面向量中的范围与最值问题 1.(25-26高一下重庆期中)己知在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，若BC=3CD,点O在线段 CD上，若A0=tAB+(1-)AC,则实数1的取值范围() A.-3S/50 C.-4≤1s0 。.0ss对 2.(25-26高一下广东茂名期末)在△ABC中，点D满足AD=2DB,且线段DB上存在一点E,使得 CE=2CA+uCD,则u的取值范围为() A.o [2 c. D.-1, 3.(25-26高一下·湖北襄阳期末)在△ABC中，D是线段AC的中点，E是BD上的动点，满足 AE=mAB+nAC,则m2+n的最小值为() 1 A.5 1 B.8 C.10 4.(25-26高一下贵州铜仁期末)在△ABC中，D是BC中点，E是线段AD上一点，若BE=元BA+uBC, 则“的最大值为() 1 1 A.8 C.Z D.6 5.(25-26高一下福建泉州期末)已知点G是△ABC的重心，且AE=mAB,AF=nAC(m>0,n>0).若 E,F,G三点共线，则m+n的最小值为() A.3 B.3 C.4 D.12 6.(25-26高一下贵州遵义阶段检测)如图，在△ABC中，点D,E是线段BC上两个动点，且 14 D+花=xB+yAC,则x+y的最小值为() 10/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H 3 9 A. 2 B.2 C.2 D.9 7.(2025-江苏模拟预测)在平面四边形ABCD中，AB⊥AD,CD L AD,CD=2AB,点M在边BC(含端 点)上运动，设AM=xAB+yAD,则x+y的取值范围是() A.1,5] B.[2,4] c.[1,3] D.[1,4] ◆题型2平面向量中的创新与新定义问题 1.平面直角坐标系中，点M从原点0出发，每步只能按向量a=(1,0),b=(-1,),c=(-山，-)运动若M 要走遍以0，A(4,0),B(4,4),C(0,4)为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走步， 2.(25-26高一下北京期中)对于任意平面向量à=(x,y),定义d@=+以.n(n≥3)个平面向量组成 的向量组G,a,,a,称为U-向量组，如果对每个a都有d(a)=l,i=1,2,,n.一个U-向 量组称为 向量组。如果存在名，446L-使得公可小31 E知向量组4-L04=G号).云-（石引 判断该向量组是否为)-向量组？是否为4-向量组？ 说明理由， (2)当n=4时，是否存在U-向量组不是A-向量组？若存在，举出一个例子；若不存在，说明理由. (3)当n(n之3)为奇数时，证明：任意U-向量组都是A-向量组， 3.(25-26高一下北京顺义期中)如图，设A是由n×n(n≥2)个实数组成的n行n列的数表，其中a 表示位于第i行第j列的实数，且a,∈{1，(=1,2，，j=12,…,n)记向量 X=(a1,a2,,an)X=(a,a2,…,0n)若X·X=an4n+a2a2t…+an0m=0,则称X与X,为正交 向量.若对任意不同的，j∈L,2,,”},都有X与X为正交向量，则称A为正交数表 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a11 a12 … ain a21 a22 a2n anl an2 ann 是否为正交数表（不需要说明理由： (2)当n=6时， 设X=(,山1，山1，)且X,与X为正交向量，X与X为正交向量，求证：X,与 X不是正交向量： (3)求证：对任意k∈N,当n=4+2时，A不是正交数表. 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.(25-26高一下河南南阳阶段检测)下列关于向量的说法中，错误的是() A.若向量a、石互为相反向量，则例 B.若a/b,b1lc,则allc C.若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D.若AB与AC是共线向量，则A、B、C三点共线 2.(2026-江苏二模)已知向量a与6均为非零向量，则“aW6”是(a+b)/(a-”的（) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高一下山东临沂期末)在△ABC中，点M,N分别在边AC,BC上，且2AM=AC, BN=2NC,若AN与BM相交于点D,则() A.AD-3AN 5 C.AD-4AN 5 D.AD-2aN 4.(25-26高一下江西景德镇期末)已知平面上不共线的四点0，A,B,C,满足0A-40B+30C=0, S.o腿等于（ 则S.oAC ) A. B.2 c.4 4 D.3 5.(25-26高一下山东聊城期末)在梯形ABCD中，AB=2DC,若AD=1AC+BD,则元-4=() 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.3 C.1 D. 3-2 6.(安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题(A卷))飞行器飞行中的 地速(GS)是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速(AS)向量加减风速 (S)向量得出，其中顺风为加，逆风为减.已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空 速对应的向量如图所示（单位：kmh),则飞行器在该时刻的地速大小为(） % 200 175 150 空速 125 100 75 50 风速 25 255075100125150175200225x A.300km/h B.375km/h C.380km/h D.525km/h 二、多选题 7.(25-26高一下·湖南期末)设%，2是平面内一组不共线向量，向量m=x?+吧，下列说法正确的是 () A.若x=y=0,则m=0 B.若m=0,则必有x=y=0 C.若x+y=l,则向量m的终点在e,e终点的连线上 D.若x=2,y=1,则m,6,2一定能构成三角形三边对应的向量 8.(25-26高一下广东深圳期末)设0为△ABC内一点，已知30A+0B+20C=0,B,F分别为AB, AC中点，则下列说法正确的是（() A.E,O,F三点共线 B.O为E,F的中点 g4= C.S, D S.on+S.0c S。ABC 2 9.(25-26高一下·湖南永州期末)已知四边形ABCD是正方形，延长CD至E,使DE=CD,点P是线段 BD上的任意一点.设向量AP=mAB+nAE,则m+n的可能取值为() A.2 B.√2 C.1 D.Z 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26高一下·江苏无锡期中)一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽500m,一艘小船在河南岸 向河北岸航行.已知小船在静水中的速度大小为10kmh,河水的流速大小为2kmh,关于这艘船的渡河情 况，下列说法正确的是() A.当小船以北偏西60°方向航行时，小船实际航向垂直河岸 B.当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为2√26kmh C.当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为48 D.当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行 三、填空题 1,(255商-下宁夏吴8期未)ABC中，D为B边中点，CE=兮cD,a·C-石，则E (用a,b表示) 12.(25-26高-下山东即城阶段检测)在。BC中，4G=(+4CB=元D,且CD,G三点其线， 则2= 13.(25-26高一下·安徽滁州阶段检测)已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线 33 分别交直线AB'AC于不同的两点M'N,设B=mAM:4C=nAN,其中m>0?n>0:则m+n n 的最小值是 14.(暑假作业03重难专题01：向量问题的四大秒杀技：爪子定理、等和线、极化恒等式、矩形大法 (巩固培优4知识5题型巩固提升能力培优创新拓展)高一数学人教A版)“爪”字型图及性质： (1)已知AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量AD,必存在x,y,使得则B,C,D三点共线台 当0<x+y<1,则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间 当x+y>1,则D与A位于BC两侧 x+y=1时，当x>0,y>0,则D在线段BC上：当y<0,则D在线段BC延长线上： D (2)已知D在线段BC上，且BD:CD=m:n,则AD= 14/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m D n 15/15