平面向量及其应用核心考点强化演练-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

南一数学梳心桌费情中学生教理化 平面向量及其应用核心考点强化演练 ■刘中亮（特级教师） 筑，众多游客来此打卡拍照。 一、选择题 现某中学数学兴趣小组对解 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别 放碑的高度进行测量，并绘 为a,b,c,△ABC的面积为合6(bsin B 制出测量方案示意图 B (如图1)，A为解放碑的最顶C asin A-csin C),则B等于()。 端，B为基座（即B在A的 A石BC D.2 正下方)，在步行街上（与B 3 图1 2.已知△ABC中，AB·AC=-3,AB 在同一水平面内)选取C,D两点，测得CD =2,cos'A+sin2B++sin2C++sin Bsin C=1, 的长为100m。小组成员利用测角仪已测得 D是边BC上一点，且∠CAD=3∠BAD,则 ∠ACB=吾，则根据下列各组中的测量数据， AD等于()。 能计算出解放碑高度AB的是()。 A.号 B.3/3 c D.6 A.∠BCD,∠BDC 4 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别 B.∠ACD,∠ADC C.∠BCD,∠ACD b+c 为a,b,c,若A=60,b=1,simB十$inC D.∠BCD,∠ADC ,则△ABC的面积为(). 2w3 7.(多选题)△ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,已知bsin A=(3b一 A. 2 岭 4 c c)sinB,且cosA=子，则下列结论正确的是 4.(多选题)在△ABC中，内角A,B,C ()。 的对边分别为a,b,c,若(a2+c2一b2)tanB A.a+c=3b =√3ac,则B的值为()。 B.tanA=2√2 A.若 R营 C.5x 6 n等 C.△ABC的周长为4c D.a=c 5.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C 二、填空题 所对的边分别为a,b,c,则下列命题正确的 8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边 是()。 A.若acos A=bcos B,则△ABC是等 分别为a,b,c,且2c0sA=osB+0sC bc ab ac,则 腰三角形 A=。 B.若bcos C+ccos B=b,则△ABC是 等腰三角形 9已知△ABC的面积S=子(W+c) C,若a b eo9A=oB-oSC,则△ABC (其中b,c为△ABC的边长)，则△ABC的 形状为一。 是等边三角形 10.在△ABC中，∠BAC=120°，D在 D.若B=60°，b=ac,则△ABC是直角 1 2 三角形 BC上，AD⊥AC,AD=1,则AC+AB= 6.(多选题)解放碑是重庆的地标性建 27 中学生款理化款心数摩滴等年3月 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分 别为a,b,c,若cos2C=sinA+cos2B 4E,@smc=十 sin Asin C,且b=6,则B=,△ABC外 (1)指出这三个条件，并说明理由。 接圆的面积为 (2)求b的值和三角形的面积S△Ac。 12.在△ABC中，角A,B,C的对边分 18.已知△ABC的三个角A,B,C的对 边分别为a,b,c,且bcos C+ccos B=6。 别为a,6c,若(+)·A店=会A, (1)求边长a的值。 则acos B (2)若△ABC是锐角三角形，且，求 bcos A △ABC面积S的取值范围。 三、解答题 13.记△ABC的内角A,B,C所对的边 要求：从①A=冬，②b十c=10这两个条 B 件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出 分别为a,b,c,已知bsin C=csin2。 解答。 (1)求角B的大小。 (2)若点D在边AC上，BD平分 参考答案与提示 ∠ABC,a=2,b=√7，求线段BD的长。 一、选择题 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分 1.提示：由△ABC的面积为2b(bsin B 别为a,b,c,且2bsin(A+若）=a+c. 1 asin A一csin C),可得2 absin C= (1)求角B的大小。 (2)若△ABC为锐角三角形，且b=2,求 (bsin B-asin A-csin C),asin C 其周长的取值范围。 bsin B-asin A一csin C。由正弦定理得ac 15.请从①asin B-√3 bcos Bcos C =b2-a2-c2,即a2十c2-b2=-ac,所以 √3ccos2B,②(sinA-sinC)=sinB c0sB=a+么--克.因为B∈(0， 2ac sin Asin C,③y3 bsinA 1+cosB=a,这三个条件中任 ,所以B-否。应选D, 选一个，补充在下面的问题中，并加以解答。 2.提示：设角A,B,C的对边分别为a,b, 在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C c。因为cosA+sin'B+sin'C+sin Bsin C= 的对边，且 1,即sinB+sinC+sin Bsin C=sinA,所以 (1)求角B的大小。 (2)若△ABC为锐角三角形，c=1,求a b+c+c=a,所以cosA=+c2-a 2bc 十b2的取值范围。 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边 号.由A∈(0，)，可得A=否。因为 分别为a,b,c,且满足3(acos C一b)= AB·AC=-3,AB=2,所以AB·AC= 3 csin A。 26cosA=2b×(-2) =一3，即b=3。因为a (1)求角A的大小。 =b2+c2+bc=32+22+3×2=19,所以a= (2)若△ABC的面积为2√3，D为BC √I9,所以cosC= a2+b-c2-19+9-4= 边上一点，且BD=2CD,求AD的最小值。 2ab 6√19 17.已知在非钝角△ABC中，角A,B,C 4 的对边分别为a,b,c,△ABC同时满足下列 所以mC-亮则amC- √/19 19 。又 4 四个条件中的三个：①A=子，②a=4,③c ∠CAD=3∠BAD,A三，所以∠CAD=T 2, 28 南一数学梳心桌费情中学生教理化 所以AD=ACtan C=-3×5-3E 从而求得AB,B正确。对于C,己知CD= 4 4 。应选B。 10,∠ACB=若，∠BCD,∠ACD这四个条 3.提示：在△ABC中，由a b sin A sin B 件，无法通过解三角形求得AB,C错误。对 b+c 2W 于D,由∠ACB,∠BCD,借助直角三角形和 siaC,可得sinA-sinB+sinC= 3,所以 余弦定理，用AB表示出CB,BD,AC,AD, a2imA=2m6-2× 结合∠ADC,在△ADC中，利用余弦定理列 3 2 =1. 方程即可求得AB,D正确。应选ABD。 又因为b=1,A=60°，所以△ABC是正三角 7.提示：由已知及正弦定理得ba=(3b 形，所以△ABC的面积S△AC= 1 absin60 一c)b,整理得a=3b一c,即a+c=3b,A正 4。应选B。 确。由0sA=行，可得sinA=√-（兮） 4.提示：由余弦定理a十c2一b2= 2则1amA=A-2E,B正确.由 3 2 accos B代人(a2+c2-b2)tanB=√3ac,可得 余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,由a=3b 2amB·月-g,即snB-点 。因为 -c得(3b-c)°=b+2-2bc·3,整理得 0<B<,所以B=号或B-答。应选D. 3b=2c,则△ABC的周长为a十b+c=4b= 5.提示：对于A,由acosA=bcos B,结 3c,C错误。由上知a=3b-c,3b=2c,则 合正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,所以 a=c,D正确。应选ABD。 sin2A=sin2B,则2A=2B或2A十2B= 二、填空题 180°，即A=B或A+B=90°，所以△ABC 8.提示：由2cosA=osB+osC得 bc ab ac 为等腰三角形或直角三角形，A错误。对于 2a·cosA=c·cosB十b·cosC,由正弦定 B,由bcos C十ccos B=b,结合正弦定理得 理得2 sin Acos A=sin Ccos B+sin Bcos C, sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A 即2 sin Acos A=sin(B+C)=sinA。因为 =sinB,所以A=B,所以△ABC是等腰三 角形，B正确。对于C,由oA=oB b SinA≥0，所以cosA三之。又A为三角形的 cosC,结合正弦定理得sinA=sinB C 内角，所以A=于。 cos A cos B cosC,所以tanA=anB=tanC,即A=B= sin C g.提示：由△ABC的面积S=子(b十 C,所以△ABC是等边三角形，C正确。对于D, c),可得号esin A=子（十c),所以 由B=60°，b2=ac,结合余弦定理得b=ac=a 2 bcsin A=b2十c2。因为0<A<π，所以0 十c2一ac,即(a一c)'=0,解得a=c,所以 sinA≤1，所以0<2 bcsin A≤2bc。由基本不 △ABC是等边三角形，D错误。应选BC。 等式得b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时等号 6.提示：对于A,已知CD=100,∠ACB 成立。要使2 bc sin A=b2+c2成立，需同时 =吾，∠BCD,∠BDC,在△BCD中，由正弦 满足sinA=1(即A=90)且b=c(即b2十c2 =2bc),所以A=90°且b=c,所以△ABC是 定理求得CB,从而求得AB,A正确。对于 等腰直角三角形。 B,已知CD=10,∠ACB=若，∠ACD, 10.提示：在△ADC中，AD⊥AC,AD= ∠ADC,在△ACD中，由正弦定理求得AC, 1,所以光-衣-1amC.易得B-180 29 中学生数理化高数学2026年3月 核心考点演练 ∠BAC-C=60°一C。在△ABC中，由正弦 定理得AB AC ACsin C= 可得B-暂 sin C sinB,所以AB= sin B 1 +2 1 (2)由题意得2a·BD·sin3 1 tanC·sinC cos C sin(60°-C)= 2 cos C-1 一，所以AB 1 BD·n-ac sin n2,所以a·BD十c· 3 2sin C BD=ac,即2BD+c·BD=2c,所以BD= 1 2干c。在△ABC中，由余弦定理得b'=a2+ 2c ,cosC-2-2anC,所以Ac十 AB=tan C+(3-tan C)=3. c2-2accos 2=a2+c2+ac,即7=4+c2+ 3 11.提示：由cos2C=sinA十cos2B 2c,解得c=1或c=-3(舍去)，所以BD= sin Asin C 1-sin'C=sin2A+1-sinB- 2c- 2 2+c3。 sin Asin C,sin'A sin'C-sin'B sin Asin C,由正弦定理得ac=a2+c2一b, 14.提示：(1)由2bsin(A+)=a十c, 由余弦定理得cosB=a十c-b。1 2ac 。因 结合正弦定理得2 in Bsin(A十)=sinA 为B∈(0，)，所以B=子.设△ABC外接 十sinC,所以2inB(停nA+osA)厂 圆的半径为R,则R= b 2sin B =2√5，所以 sinA十sin(A十B),整理得√3 sin Bsin A= sinA十cos Bsin A。因为A∈(0，元)，所以 △ABC外接圆的面积为πR2=12π。 12.提示：在△ABC中，由(CA+CB)· sinA≠0，所以√3sinB-cosB=1,所以 A成-是A,可得C.A应+C成.A店 sn(B一若)=名.又B∈(0，x,所以B-君 号A方，所以0s(x一A)十acc0sB ∈(- ，)所以B-吾-吾即B=专 多，即a0sB-booA=号。由E孩定理 (2)由1)知B=号。由b=2,结合正孩 b 定理得A一BC一后·所以a 4 得sin Acos B-sin Bcos A= 5 sin C= 3 sin A,c= 4 4 亏sin(A十B),化简得sin Acos B=4sinB· cosA,所以cosB_sin Acos B 4 +sin C) 'bcos A sin Bcos A 后[mA+(管-A】 三、解答题 后停A+誓m)=4ina+》.在 13.提示：1由snC=csn号，结合正 B 弦定理得sin Bsin C=sin Csin之。因为C∈ 锐角△ABC中，由 0<A<· (0,元，所以snC≠0，所以snB=sn号，即 2n号os号-n号.因为2∈(，)，所 B 吾<A<受，所以<A+吾<，所以 sim(A+君)<1，所以25<a+c≤4，所以 以m≠0，所以c号-所以 △ABC周长的取值范围为(2√3十2,6]。 30 高一数学枝心普察清赞中学生教理化 核心考点演练 15.提示：(1)选条件①。已知asin B一 3 2tanC。 因为△ABC为锐角三角形，所以 √3 bcos Bcos C=√3 ccos2B,由正弦定理得 sin Asin B=√3 sin BcosBcos C+√3sinC· 0<c<2, cosB,即sin Asin B=√3cosB(sinB· 0<2x 可得C∈(，)，所以 C cosC+sin Ccos B)=√3 cos Bsin(B+C),所 21 以sin A sin B=√3 cos Bsin A。由A∈(0， tan C 3 ,所以 anc∈(03)，所以a2+b π)得sinA≠0，所以sinB=√尽cosB,即 √5 31 anB=5.因为B∈(0，)，所以B=号 =1+ 2tan'C 2tan C 2 tanC十6 选条件②。由(sinA一sinC)2=sinB 8∈(1,7). sin Asin C,化简得sin'A+sinC-sinB= 16.提示：(1)由3(acos C-b)= sin Asin C,由正弦定理得a2+c2-b2=ac, √3 csin A及正弦定理得3(sin Acos C一 即a+cb- 1 2ac 2,所以cosB=2。因为 sinB)=√3 sin Csin A,即3(sin Acos C B∈(0，x),所以B= sin Acos C-cos Asin C)=√3 sin Csin A,所 3 以-3 cos Asin C=√3 sin Csin A。因为C∈ 选条件③。由3 bsin A」 =a,结合正弦定 (0,x),所以sinC>0,所以tanA=-√3。又 1+cos B 理得3sin Bsin A 因为A∈(0，x).所以A-号 1+cos B =sinA,即5 sin Bsin A= (2)因为△ABC的面积为2√3，所以 sinA(1十cosB)。因为0Aπ，所以sinA ≠0，所以√3sinB=1十cosB,所以 2 besin A=-25。又A-5,所以bc=8。 sim(B一君)=子由0<B<x得-吾<B 因为D为BC边上一点，且BD=2CD, 合<餐，所以B-音-吾即B=受 所以A市=A店+号B心=A店+号(AC A)=号A店+号AC,所以A市 = (2)在△ABC中，由正弦定理A sin Csin B得a=csinA b sin C,6=csin B (传a+A花)=日A+善A心 sinC。由 a.=g+6+c×(） 9 、(1)知B三3，结合c=1,代人上式得a=一 2 sinA sin C,b= √3 2sinC。 由余弦定理得a2十b2=c2 +2abcos C=1+2(sin A. c=号c-吕，当且仅当c= 2 2. 9b°，即c 4 sinC·2sinc/cosC=1 =4,b=2时取等号，所以AD的最小值为 3sin A sin2C ·cosC=1+5sin(B+C. sin'C 号，即AD的最小值为号 17.提示：(1)该三角形同时满足①②③。 3sin(+c) cos C=1+ 理由如下：假设非钝角△ABC同时满足 sin'C ·cosC=1+3· √ 1 条件①④.由nC-子<名，可得0<C< 2 cos C sin C ·cosC=1+ 3 sin'C 2tan'C 吾或晋<C<《合去)。因为A=至，所以置 31 中学生款理化款心数摩滴等年3月 <A+C<径，所以径<B=x-(A+C)< -B,所以<B<2,所以牙<2B-开 4 ,这与△ABC为非钝角三角形相矛盾，则 3π <票，所以号<n2B-）≤1，所以9< ①④不能同时选，所以②③必选。 假设选②③④。由a<c得A<C,因为 9Esin(2B-F)≤9E,所以18<S≤92 snC=合所以0<C<吾，所以A+C +9,即△ABC面积S的取值范围是(18， 9√2+9]。 <吾，所以B=元-(A+C)>答，这与 选择②。因为b+c=10,所以c=10一b。 因为△ABC是锐角三角形，所以cosA= △ABC为非钝角三角形相矛盾，所以该三角 形同时满足①②③。 t0,cos B= a2+c2-b2 2bc 2ac >0, (2)由余弦定理知a2=b2十c2 cos C-0ca 2bc0sA=6+32-2×4厄×b×号 2ab =16, (10-b)2-36>0,a”+c2-b2=36+(10 化简得b2一8b十16=0，所以b=4。所以 b)2-b2>0,a2+b2-c2=36+b2-(10-b)2 Sw=名esinA=×4X4vE×号 2 8 >0。据上解得16<b<34。 5 5。 18.提示：(1)（方法1）由bcos C+ccos B 因为cosC=a+b-c2=5b-16 2ab 所以 =6,结合余弦定理得b·Q十b一 2ab -十c· a2+c2-b2 sinC=-cosc=4-28b,所 36 =6,解得a=6。 2ac (方法2)由bcos C十ccos B=6,结合正 以S=1 absin C=3b.4√b一2)(8-b) 3b 弦定理得2R(sin Bcos C十sin Ccos B)=6, 所以2Rsin(B+C)=6,所以2 Rsin A=6,所 4一-0+10w-16,且9<b<.设顾数 以a=6。 g6x)=-x+10x-16=-(x-6)+9,9 b (2)选择①。因为sinA=sin B=sinC <x<兰，由二次函数的性质可得，当x=5 6 =6√2，所以b=6√2sinB,c= sin4 时，g(x)取得最大值g(5)=9,当x= 9时 6 sinC,所以S=之besin A- g)”.又因为慧-5-胃-所 18/Zsin Bsin C-18/7 sin Bsin(B+)- 以g(x)∈(2装，9]，即-b+106-16∈ 18 sin B·(竖sB+竖m)- (装，所以6+1o-6∈（传] 18sin Bcos B+18sin'B =9sin 2B+9- 所以餐5≤12. 9cos 2B= 9Esin(2B-F）+9。因为 故△ABC面积S的取值范围是 0<B<2 △ABC是锐角三角形，所以 又C 作者单位：河南省开封市第十中学 0<c< (责任编辑郭正华) 32