第六章 平面向量初步单元复习（复习讲义）数学人教B版高一必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章 平面向量初步单元复习 复习目标 1.理解向量的定义、表示方法，区分零向量、单位向量，掌握平行（共线）与相等向量 复习要点 的概念： 2.熟练掌握向量的加减、数乘运算及坐标运算，牢记共线向量的坐标条件： 3.会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理中的合成、分解问题。 复习重难点 重点：向量的概念与线性运算、坐标运算，共线向量的判定； 难点：向量运算的几何意义理解，几何问题向向量问题的转化。 理脉络 知识体系构建 大州 向量的概念 方向 三角形法则 加法：AB+BC=A记 平行四边形法则 向量的线 减法：Oi-OB=BA 三角形法则 性运算 数乘向量：La Hal=lallal 线性运算：a+b=(a+4)a, 1(a+b)=1a+b 平面向量初步 共线向量基本定理 向量基本定理 平面向量基本定理 基底(a,b 向量的坐标 若a=(k1y),b=(2,则： 及其运算 a=b=(x1-x2,y1-y);al/b+xV2-X=0; a+b=(x+x,y+y2);Aa=(ax,Ay);la 在平面几何中的应用 向量的应用 力 在物理中的应用 速度 位移 过主千 核心内容整合 知识点 向量的概念 1/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、向量的概念及表示 1.定义：既有又有 的量叫做向量. 2.表示 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段它包含三个要素起点、一、长度 (2)向量的表示： ①几何表示：用有向线段AB表示，记作向量AB.有向线段的长度|AB表示向量的，有向线段的方 向表示向量的向量AB的大小称为向量AB的长度（或称），记作AB· ②字母表示：书写时用ā，b,c表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以 B为终点的向量记作AB 3.两个特殊向量： (1)零向量与非零向量： 长度为的向量叫做零向量印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示，即0，书写时，写为0，长度不为0的 向量称为非零向量 (2)单位向量：长度等于个单位长度的向量叫做单位向量 二、平行向量与相等向量 1.平行向量（共线向量)：方向或的非零向量叫做平行向量，向量ā，b平行，记作/b.规定：零 向量与任意向量 ,即对于任意向量a,都有0/a 2相等向量：长度且方向的向量叫做相等向量；向量ā与b相等，记作ā=b, 要点速测 1.(25-26高一下贵州避义期中)下列说法：①考同=， 则ā=b;②两个向量相等的充要条件是它们 的起点相同，终点相同；③若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形；④若四边形ABCD是平行四边形， 则4B=DC,同若i=6,6=c,则i=c,©若a116,61,则a1c其中正确的是() A.①④⑤ B.①⑤⑥ C.④⑤ D.④⑥ 2/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 向量的加减、数乘运算 一、向量的加法 三角形法则：已知非零向量a,b.在平面内任取一点A,作B=a,BC=b,再作向量AC,则向量AC叫 做“与b的和，记作a+b=AB+BC=AC >B 平行四边形法则：已知不共线的两个向量a,b, ,在平面内任取一点O,以同一点0为的两个已知向 量OA=a,OB=6,以OA,OB为邻边作o0ACB,则OC就是a与i的和 B a 0 a A 规定：零向量与任意向是“的和，都有a+0=0+a=d 运算律：① 律：a+6=i+a:②律：a+(6+c)=(a+)+d 二、向量的减法 1.相反向量 (1)定义：与向量“长度相等、方向的向量，叫做“的相反向量，记作-a,a与一“互为相反向量， -（-a=a (2)性质：0a+(-a)=0,②若a,b互为相反向量，则a=-五，=-a,a+万=0： ®·的相反向量是0 0 2.向量的减法 3/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)向量的减法的定义向量a加上6的相反向量，叫做a与乃的差，即a-五=ā+(b),求两个向量差 的运算叫做向量的减法. (2)运算法则在平面内取一点0，作01=a,0B=b则BA=a-石 o a 6 a-b (3)几何意义a-b表示从向量5的终点_0的终点的向量 (4)向量减法的两个重要结论： ①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终 点的向量： ②一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量OB或 简记“终点向量减去始点向量”· 三、向量的数乘运算 1.定义：规定实数入与向量“的是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作九a,它的长度和方向规 定如下： ola-a ②当1>0时，的方向与“的方向：当元<0时，2a的方向与“的方向：当=0时， a=0 2运算律设元，u为任意实数则有02(u@)-ua,@(2+p)a=a+ua, ③(a+b)=a+6 特别地，有-a=(a=(-a)2(a-)=a- 4/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()响量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a,b以及任意实数 元，4,4恒有 (4a±42b)=4a±4，b 一要点速测 2.(25-26高一下·山东潍坊开学考试)化简 O+OP+MN-MP= 知识点 平面向量的坐标及其运算 一、直线上向量的坐标及其运算 1.直线上向量的坐标 (I)定义：给定一条直线1以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线1上的 任意一个向量a,一定存在 的实数x,使得a=xe,此时，x称为向量a的坐标. (2)向量的模和方向与x的关系 1a=xe=lxe=x(e为单位向量). 当x>0时，a的方向与e的方向一： 当x=0时，a是： 当x<0时，a的方向与e的方向· 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定， (3)直线上向量的坐标：在直线1上指定一点O作为原点，以的方向为正方向，e的模为单位长度建 立数轴，对于1上的任意一个向量a,如果我们把它的始点到原点O,那么a的终点对应的数就是向 量a的坐标. 2.直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量4,6的坐标分别为，G (1)a=b的充要条件是 5/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)ā+b的坐标为， a-b的坐标为一， 九a的坐标为一， (3)设A(x,B(:)是数轴上的两点，M()是线段AB的中点，则 Bx 2 二、平面向量的坐标及其运算 1.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相的向量. (2②)基底在平面直角坐标系中，分别取与轴、y销方向相同的两个单位向盘作为基底 (3)坐标对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数xy使得a=i+万，则有序数对(：，)） 叫做向量的坐标。 (4)坐标表示a=(:,y) (5)特殊向量的坐标i=(1,0),7=(0,1),0=(0,0). 2.平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量a=(G,)b=(:,乃b∈R则有下表 ·文字描述 符号表示 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的 加法 a+b=(x+x月+2) 和 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的 减法 a-b= 差 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 数乘 2a=(2x,元y) 向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 向量的坐标 已 4Ax,,Bx),则AB= 终点的坐标减去起点的坐标 模 lal= 3.平面向量共线的坐标表示 6/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)条件： a=(Gy)b=(c,h,其中万≠0： (2)结论：当且仅当 时向量a,b共线 要点速测 3.(25-26高-下甘肃庆阳期末)已知向量i=(3,5),6=(2,6),c=(4,2) 1)若“与6+ k 共线，求： (2)若 b=xa+yc x,y 求 知识点 平面向量线性运算的应用 一、向量在几何中的应用 1用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”· ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题 ③把运算结果“翻译”成几何关系 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取；②用基底表示相关向量； ③利用向量的找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题 (2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的；②把相关向量 化： ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题 二、向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上： (3)动量mv是向量的数乘运算 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题， (2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型： 7/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)参数的获得：求出数学模型的有关解一一理论参数值. (4)问题的答案：回到问题的初始状态，解释相关的物理现象， 口要点速测 4.(25-26高一下·江苏苏州·期中)飞行器飞行中的地速(GS)是指飞行器相对于地面的实际速度，它由 飞行器相对于周围空气的空速(TAS)向量加减风速(WS)向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减已 知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为(45,25) (315,245) 地速对应的向量为 ,则飞行器在 该时刻的空速大小约为（单位：km/h)() A.400 B.450 C.560 D.630 研题型 高频题型突破 题型01 平面向量的基本概念 例1(25-26高一下四川绵阳期末)下列命题正确的是() A.laHBbal/b 则=6 B.0没有方向 C.者a6,6e 则a/e D.若i=b,则i16 解题技巧 解答平面向量基本概念问题，需紧扣“大小与方向”两大核心要素。解题时首先要精准辨析零向 量、单位向量、相等与共线向量等特殊概念，尤其警惕零向量方向任意这一易错陷阱。其次，牢记向 量是自由向量，与起点位置无关，解题时可灵活平移。最后，注重数形结合，将有向线段的几何直观 与代数运算相统一，从而快速准确破题。 ■迁移练1-1(25-26高一下·广东河源·阶段检测)下列关于平面向量的说法中，正确的是() A.长度相等的两个向量一定是相等向量 B.方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C.零向量没有方向 D.平行向量的方向一定相同 1迁移练12(25-26高-下上海浦东新期中)回=何是4=6或a=6的() 8/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ■迁移练1-3（多选）(25-26高一下·贵州遵义·阶段检测)下列说法中错误的是() A.平行向量一定是共线向量 B.单位向量都相等 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量都是在同一条直线上的向量 ■迁移练1-4（多选）(25-26高一下·湖南长沙期末)下列关于平面向量描述正确的是（) A.平面中相反向量的长度一定相等 B. a+Bsla+8 c.若>例 则a>6 D.若a6,6e,则ae ■迁移练1-5（多选）(25-26高一下·陕西榆林·期中)下列说法中正确的有() A.零向量没有方向 B.零向量方向任意 C.相等向量的长度一定相等 D.共线向量不一定在同一条直线上 题型02 平面向量的线性运算 例2(25-26高一下福建福州期末)如图，平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,E为线段CD上 的点，且满足 E=2EC则BE=（) 9/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. Ia+-6 B. 216 -a- 3 3 3 C. 30+6 1 2 D 30+6 解题技巧 解决平面向量线性运算问题，核心在于熟练掌握三角形法则与平行四边形法则。解题时，应优先 将未知向量转化为已知基向量的线性组合，充分利用共线向量定理与平面向量基本定理。同时，要善 用几何性质，如三角形重心、中位线等，将几何关系转化为向量等式。最后，注意运算的封闭性与方 向性，确保首尾相接，避免符号错误。 ■迁移练2-1(25-26高一下·山西大同·阶段检测)化简ME+EN-PN=() A.MP B.MN C.EM D.PM ■迁移练2-2(25-26高一下·河南省直辖县级单位期末)AB-AC+BD-CD等于() A 0 B.0 C DC D.-2CD 迁移练2-3(25-26高一下·北京·期末)在平面四边形ABCD中，AB-AD=() A.Ci B DB C BD D 4C 】迁移练2-4(25-26高一下·海南省直辖县级单位·期末)如图，在平行四边形ABCD中，连结BD,下列 运算正确的是() A.BA+AD=DB B.BA-BD=AD C BA+BC=BD D.BD-BA=CB Ⅱ迁移练2-5（多选）(25-26高一下·陕西西安期末)下列各式计算正确的有() 10/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（-7)6a=-42a B.7(a+b)-86=7a+156 C.a-2b+a+2b=2a D.4(2a+b)=8a+46 题型03 平面向量的共线定理 1例3 (25-26高一下安徽芜湖期中)设9,6是两个不共线的向量，且 AB=2e +mez BC=e+2e2 BD=-5G+4e,若A,C,D三点共线，则m的值为（） A.-3 B.-4 C.3 D.4 解题技巧 平面向量共线定理（即若a≠0，则a与b共线的充要条件是存在唯一实数1，使b=)的应用技巧 主要有：一是判断共线，将向量用基向量表示后验证是否满足该关系；二是求参数，在共线条件下建 立关于入的方程求解；三是几何转化，将三点共线、线段比例等问题转化为向量共线处理；四是结合 坐标运算，利用xy2-x2y1=0快速判定。关键是合理选取基底，将几何条件代数化，注意零向量的特殊 情况。 迁移练3-1(25-26高一下湖北恩施期末)己知向量d,万不共线，若ka+b与ā+2b共线，则实数k 的值为() A.-1 B.2 C.1 D.2 1迁移练3-2(25-26高一下·湖北随州期末)设ā，b是两个不共线的向量，若向量石-m6,ma+26共线， 则() A.mn=2 B.mn=-2 C.m=2n D.m=-2n ■迁移练3-3(25-26高一下·北京·期末)向量m,n共线当且仅当() A.存在几使m=n B.存在入，“使2m=m C.存在不均为零的入，“使m=m D.存在均不为零的己，“使m=m 11/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 迁移练34(25-26高一下贵州安顺期末)己知°，是不共线的两个向量， a=cj-202 b=3e+ke2 ，若a ,则k的值为() A.6 B.-6 C.3 D.-3 I迁移练3-5(25-26高一下·贵州遵义·阶段检测)设a,b是两个不共线的向量，若AB=2a+kb, BC=a+3bA,B,C ，且 三点共线，则实数的值为 题型04 平面向量的基本定理 I例4（多选）(25-26高一下广东广州期中)已知六边形ABCDEF为正六边形，且AC=ā，BD=b, 以下正确的是() E A.DE=_2 +6 a B.BC-1a+16 3 3 3 3 c.Af=-a+26 2 D,BE=-2a+4方 2 3 3 3 3 解题技巧 求解平面向量基本定理问题，核心在于“基底化”。首先，选取不共线的两个向量作为基底，将 平面内所有相关向量均用这组基底唯一线性表示。其次，利用向量相等的充要条件，将向量等式转化 为基底系数的二元一次方程组求解。最后，结合几何图形特征，将几何条件转化为向量关系。解题时 需注意基底选取的合理性，并牢记表示的唯一性。 【迁移练4(25：26高一下陕西西安期中)已知M为△40C所在平面内的一点，仙-0】 12/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE=2EM ,则=（) A.3 5 B 2B+4C 3 B+2AC C.31 DB+写4c 迁移练42(26-27高一上浙江开学考试)在△ABC中，若BC=7BD,则AD=() A. +94c 8 1证移练43(2526商一下云南附道期未)如图.在。1BC中，N-号C,p是BN上的一点，若 A=3AB+mAC,则实数m的值为() 11 B 1 A.3 B 2 D.1 1证移练4(25,25病下云南丽江期未)在。BC中，N-号C,p足gN上亚N的个三等分 点，若4P=mB+nAC 则实数m+”的值为() P 2 A. B.1 13/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.5 D.9 I过移练45(2526有一下山东罐助阶段粒测)在。BC,B而-写C,点E是AD的中点：记 3 店-a,Ac=i,则BE=() A. a+6 3 B、 + c. 2a- 6 D. 6 题型05平面向量的坐标运算 1例5(25-26高一下陕西咸阳期末)已知向量ā，b,c在正方形网格中的位置如图所示，若 c=iā+i(2,ueR), 则2-u=() A.1 B-1 C.2 D-2 解题技巧 平面向量坐标运算的核心是“数形转化”。解题时，首先需熟记向量的加减、数乘的坐标公式， 将几何问题直接转化为代数运算。其次，灵活运用共线条件(x1y2x2y1=0)来建立方程求解参数。应 结合坐标公式与函数思想，将几何特征代数化，从而简化计算过程，提高解题效率。 1迁移练51(25-26高一下四川成都阶段检测)己知向量石=（山，2），6=(2，x),若训(4G-b),则x= () 14/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.8 D.10 【迁移练52(25-26高一下甘肃白银期末)已知向量=(L,2),6=(2,3) 实数x,y满足 a+6=(6,4),则《) A.x=-1,y=2B.x=1,y=-2 C.x=-1,y=-2 D.x=1,y=2 1迁移练53(25-26高一下山东威海期末)已知向量a=(,2),6=(3,m）,且(a+b)位，则m=（) A.6 B.4 C.2 D.-2 1迁移练54(25-26高一下广西南宁期未)已知点0(0,0)，.01=(2,3列，0i=-(63列，-PB,则p的 坐标为() 143 A.(4,0) B D 32 ■迁移练5-5(25-26高一下·湖北随州期末)已知在平面中，点0O的坐标为(0,0)，向量0A=(2,3), 0B=(4,-10 点P是线段AB的中点，则点P的坐标为 题型06 平面向量的应用举例 ■例6(25-26高一下·河南驻马店期中)长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=2km.一艘游船从 南岸头A出发航行到北岸已知游船在静水中的航行速度5的大小为网-10kmh 水流的速度的大小为 =4kmh设y和%的夹角为0(0°<0<180°)，北岸的点4在A的正北方向， 15/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当8=120°时，试判断游船航行到达北岸的位置是在A的左侧还是右侧，并说明理由： (2)当0s0多大时，游船能到达A处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当8=120°时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 】迁移练6-1(25-26高一下·四川凉山期末)如图，一条河两岸平行，河的宽度d=300m,一艘船从河 岸边的4地出发.向河对岸航行.已知船的速度的大小为=250m/mm,木流速度5的大小为 =200m/min,那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间=（） A A.1.2min B.2min C.3min D.4min ■迁移练6- 2(25-26高-一下辽宁菩口阶段检0记坐标原点为0，已知=(62)，C(0,1),若4,8， C三点共线，则OA的最小值为() √10 V10 3V10 2W10 A.10 B.5 C.10 D.5 迁移练6-3(25-26高一下·河北邯郸期中)如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600m,河水的 速度为向东2km/h.一镀小货船准备从河岸边A地出发，航行到河对岸的B处，(AB与河的方向垂直)， 16/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25km/h,过河需要的时间为 (min 己知船的速度 ,船的行驶方向与水流方向的夹角为日，则() B 北 A sin0=2V5 5,t=6 sin0=5 B 5,t=9 C.sin0=2V5 5,t=9 D.sin0=5 5,1=6 ■迁移练64(25-26高一下·青海西宁·期末)在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情 景，若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为，万，且同=闪，万与夹角为9，当两人拾起行 李包时，下列结论正确的是() A.-+国 B.当B角越大时，用力越省 c.当9-t同-G D.当同-3时，0= 6 ■迁移练6-5(25-26高一下·山东威海期末)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河， 小船航行速度的大小为16kmh,方向为北偏西30°，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向， 则河水速度为向东 km/h 破难点方法聚焦透析 17/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平面向量中的新定义问题 解决平面向量新定义问题，关键在于“现场学习”与“知识迁移”。首先，要精准剖析题目给出的新 运算或新概念，通过特例代入或几何直观，透彻理解其代数特征与几何意义。其次，善于将新定义向己有 知识靠拢，把陌生的符号转化为熟悉的向量坐标运算、数量积或共线定理等经典模型。最后，保持严谨的 逻辑推理，严格按照新定义的规则进行推导，切忌主观臆断或套用旧公式。解题时，耐心读懂题意是破题 的第一步。 难点精练 1.(26-27高一上广东深圳开学考试)对于任意实数“，b,c,d,定义有序数对a,6)与cd)之间的 运算“△”为： (a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc) 如果对于任意实数“，"，都有 u,)A(x,=(u,,那 么x叭为() A(0) B.(L0) c.1,0) D.(0,-) 2.(2526高一下陕西威阳期末)已知对任意平面向量B=(:,）,把AB绕其起点沿逆时针方向旋转0 AP=(xcos0-ysine,xsin0+ycos0) 角得到向量 叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转P角得到点P.己知 平面内点A(1,2),点B,把点B绕点A沿顺时针方向旋转2后得到点P(4,-),则点B的坐标为() A.(4,-5) B.(5,-6) c.(4,5) D (5,4) AB=(x,y 3.(25-26高一下·山西晋中·阶段检测)已知对任意平面向量 ，把绕其起点沿逆时针方向族转 日角得到向量 P=(xcose-ysine,xsin0+ycose) 叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P己知平 面内点AL,2),点B1+√2,2-2√2)把点B绕点A沿顺时针方向旋转4后得到的点P的坐标为 18/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高一下·河南郑州·期末)规定平面向量旋转变换规则：将向量 B=(伍，》绕起点A沿逆时针方 向旋转°角，得到向量 B'=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos) 绕起，点顺时针旋转角，等价于逆时针旋转 2m-0角. 在平面直角坐标系中，己知点A,2),点B1+22,2-2√2)，记点g绕点A顺时针旋转4得到点P,点B 绕点4逆时针旋转3得到点C,点C绕点4顺时针旋转6得到点D: (1)求点P和点D的坐标： (②设点N为平面内任一点，且PN=PA+0-PD(AeR).若am=4,求值 5。(25-2ó高一下上海黄浦期末)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，对任意两个向量m=(:,）, =:,）.作：OM=m,ON=元，当m,”不共线时，记以0M,ON为邻边的平行四边形的面积为 Sm,司-y-x:当m,n共线时，规定m=0 已知m=(,2）,n=(24),求sm,): ②若向量P=m+n(元，4eR,+W≠0)，求证：S(D,m+SD,=(+)s(mm） 6.(25-26高一下上海阶段检测)把由平面内夹角成3的两条数轴Ox,0y构成的斜坐标系称为“广义 坐标系”如图1,6,6分别为0x,0正方向上的单位向量：若向量OP=G+%,则把实数对K刀叫 作向量0P的“广义坐标”， 记0P-[k,小若以0为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系0 19/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以 以 e e 0 图1 图2 (①)求9,8在平面直角坐标系中的坐标； (②)若向量m在平面直角坐标系中的坐标为(4,2√5) 求向量m的“广义坐标”. 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、单选题 1.(25-26高一下·广东汕尾·期末)下列各组物理量中，全部为向量的是() A.质量、位移、温度 B.速度、弹力、加速度 C.路程、重力、压强 D.功、速率、摩擦力 2.(25-26高一下·山东泰安·期末)下列选项正确的是（) A.若>瓦. 则a>i B.a=b的充要条件是网=月且a6 C.若 a,ie,则ac D.若平面内不共线的四个不同的点A,B,C,D满足AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形 3.(25-26高一下陕西西安·期中)如图，矩形ABCD中，M、N分别是AB与CD边的中点，则与向量 DM 相等的向量为() 20/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N C M A.MD B.MC C.NB D.AD 4.(2526商一下湖南后阳期末)在△BC中，D-号BC,设石=a:AC=万：则D用a:6表示 为() 1a+36 A.44 3a+6 B.44 1 36 3. c.4-4 a-6 D.404 5.(25-26高一下北京期末)已知向量石，6，c是两两不平行的向量，。 (a+36)u(6+d且 (2a+kd)川(6+©)，是“k=6”的（O A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(25-26高一下湖北襄阳期末)在△ABC中，D是线段AC的中点，E是BD上的动点，满足 AE=mAB+nAC 则m+n 的最小值为() 1 1 1 A.5 B.8 C.10 D.4 7.(25-26病-下重庆期中)已知在△M6C中，点D在线段BC的延长线上，考C=3CD BC .0 点在线段 CD上， A0=1B+(1-)AC,则实数'的取值范国（） 1 ≤t≤0 1 A.3 C.4s/50 1 0sis1 D 4 8.(25-26高一下·天津西青·期末)在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图)，假设 21/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某同学所受重力为C,两臂拉力分别为5，F,若=，与5的夹角为9，则以下五个结论中：D 因为4@0-号t.小-号9,8当0智.附-4，ocH号 ”2；⑤在单 杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力.以上结论中，正确的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 二、多选题 9.(25-26高一下湖南期未)设9,6是平面内一组不共线向量，向量m=心+%，下列说法正确的是 () A.者术y=0 m=0 ,则 ，则必有=0 B.若m= C.若x+y=1,则向量m的终点在9,6终点的连线上 D.若x=2,y=,则m,6,9一定能构成三角形三边对应的向量 10.(25-26高一下贵州遵义期中)已知△ABC中，0是BC边上靠近B的三等分点，Q为A0的中点，过 点的直线分别交直线 B,AC 点M,W,设 AB=mAM,AC=nAN 于不同的两点 ,其中m>0n>0 ,则下列 结论正确的是() A.A0-24B-1AC 3 3 B.现=号丽+c 6 22/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.2m+n=3 1+ b.mm的最小值为33+22 a双当-2+ 3取等号 1。(②S26高一下重庆期末)如网，在A1C中D-DC,点E是线段D上一点，直线e交线段 2 AC于点F下列选项中正确的有() B.若E是线段D的中点，则31+2B丽+BC=0 C.若E是线段BF的中点，那么F是线段AC的中点 1,1 D.若BE=元BA+BC,则24的最小值为4+2V5 三、填空题 12,（256商一下上海期中)已知平面上A、B两点的坐标分别是2)，（亿0，P是直线B上的一点， 且AP=PB,则点P的坐标为 AB 1B,(25-26商-下贵州贵阳阶段检测）已知30C-201=0B则4d 14.(25-26高-下广东韶关期末)已知向量”与”不共线，向量0=m+4切，6=-2m+m,a/历 ,则 x= 四、解答题 15.(25-26高-下河北承德期末)已知两个不共线的向量9,6，设0=6+26,6=26-6， 23/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c=3e+4e2 (若C=a+ 6,求实数，'的值： ②没m=2五+6，且4,8，C三点共线，其中01=0,0B=6,0C=m,0为坐标原点，求实数2的 值 26高一下新疆和田期末)如图，在AMBC中，D,F分别是边C,4C的中点，业 AB=d,AC=b B 1)用a,6表示向量 D,BE,BF (2)求证：B,E,F三点共线 能力进阶 一、单选题 1.(25-26高一下·山西吕梁·期末)为缅怀革命先烈，传承红色精神，学校组织学生前往刘胡兰纪念馆开 展研学活动，研学路线可抽象为平面几何图形，如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点， 3DE=2ME,以BA,BC为基底，则BE=（) E D A. 2BA+2BC C 15 B. 2BA+ 0 24/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3BA+2BC BA+BC 1 c. D. 5 (25-26高一下北京期中)已知在A4BC中，BD=2DC,4E=2EC,p是线段D与BE的交 2 若MP=mAB+nA ,则m的值是←) 8 12 A.49 B.49 c.7 0.1 3。(25-26高一下江西景德镇期末)已知平面上不共线的四点0,1,8，C,满足01-40丽+30C-0, SOAB 则Sao4c等于() B.2 D. 4.(25-26高一下·江西九江·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD边上的两个三等分 点，则下列说法错误的是() D C A.EF-1AB 3 B. DF-CE=4EF CB-CE=BE D.AD+DC=AB+BC 5.(25-26高一下·广东茂名·期末)在△ABC中，点D满足AD=2DB,且线段DB上存在一点E,使得 CE=ACA+uCD ,则2“的取值范围为() c.o D.【-1,川 二、多选题 25/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26高一下·广东梅州期末)如图，在梯形ABCD中，ABI1CD,AB=2CD,EB=2CE,则 () D E B.BD=AD-AB Q.丽=}丽-而 D.正-而+号而 3 7。.2526商一下江苏苏州期末)设M是△4BC所在平面内一点，记=孤+yC,eR)， 则() A当号，时，则-c 1 2 B.当x=2,y=-l时，C是线段BM的中点 11 C.当x=3,y=3时，M是aABC的重心 3 D.当x+)y=4时，AMBC的面积是。ABC面积的( 三、填空题 8.(25-26高一下山东东言期末)已知点0是△1BC A+OB+20C=0△B0C 内部一点，并且满足 的 面积为S,△AOB的面积为S2,则S 9.(25-26高一下天津期末)已知9,6是平面内两个不共线的非零向量，MB=26+6, 3 BE=-日-28，EC=g+6,且4，E,C三点共线，则实数= 26/26 第6章 平面向量初步单元复习 复习要点 1．理解向量的定义、表示方法，区分零向量、单位向量，掌握平行（共线）与相等向量的概念； 2．熟练掌握向量的加减、数乘运算及坐标运算，牢记共线向量的坐标条件； 3．会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理中的合成、分解问题。 复习重难点 重点：向量的概念与线性运算、坐标运算，共线向量的判定； 难点：向量运算的几何意义理解，几何问题向向量问题的转化。 知识点 向量的概念 一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2） 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 二、平行向量与相等向量 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 要点速测 1.（25-26高一下·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（    ） A．①④⑤ B．①⑤⑥ C．④⑤ D．④⑥ 【答案】C 【详解】对于①，表示的模长相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，两个向量相等的充要条件是它们方向相同，模长相等，起点与终点不一定相同，故②错误； 对于③，如果四点共线，则不为四边形，当然也不是平行四边形，故③错误； 对④，因为四边形是平行四边形，则，且， 而方向也相同，故，故④正确； 对于⑤，若，故为相等向量，故，故⑤正确； 对于⑥，若，则都成立，但不一定为共线向量，故⑥错误. 知识点 向量的加减、数乘运算 一、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 二、向量的减法 1.相反向量 （1）定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, （2）性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 2.向量的减法 （1）向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. （2）运算法则:在平面内取一点O,作,则. （3）几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. （4）向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 三、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 要点速测 2．（25-26高一下·山东潍坊·开学考试）化简_____________． 【答案】 【分析】利用向量加减法的三角形法则，合并首尾相接的向量即可完成化简. 【详解】 由题，， ， 代入原式得： . 知识点平面向量的坐标及其运算 一、直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得，此时，称为向量的坐标． (2)向量的模和方向与x的关系 为单位向量)． 当时，的方向与的方向相同； 当时，是零向量； 当时，的方向与的方向相反． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以的方向为正方向，的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量，如果我们把它的始点平移到原点O，那么的终点对应的数就是向量的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量的坐标分别为 （1）的充要条件是. （2）的坐标为，的坐标为，的坐标为. （3）设是数轴上的两点，是线段AB的中点，则 二、平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 模 3．平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 要点速测 3．（25-26高一下·甘肃庆阳·期末）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程进行求解； （2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组进行求解. 【详解】（1）由题得， 因为与共线，， 所以，解得． （2），即， 则，解得． 知识点平面向量线性运算的应用 一、向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 二、向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 要点速测 4．（25-26高一下·江苏苏州·期中）飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地速对应的向量为，则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：）（   ） A．400 B．450 C．560 D．630 【答案】B 【分析】根据题意设出，，得到，代入向量坐标，求得，利用向量的模的公式计算即得. 【详解】设飞行器飞行中的地速向量为，飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为， 由已知可得，且，， 所以， 故. 题型01 平面向量的基本概念 ▌例1 （25-26高一下·四川绵阳·期末）下列命题正确的是（   ） A．，则 B．没有方向 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于选项A：因为，则的方向可能相反， 所以不一定相等，故A错误； 对于选项B：的方向是任意的，故B错误； 对于选项C：若，对任意向量，均有， 此时不一定共线，故C错误； 对于选项D：若，则； 若，则的方向相同，可得； 综上所述：若，则，故D正确. 解题技巧 解答平面向量基本概念问题，需紧扣“大小与方向”两大核心要素。解题时首先要精准辨析零向量、单位向量、相等与共线向量等特殊概念，尤其警惕零向量方向任意这一易错陷阱。其次，牢记向量是自由向量，与起点位置无关，解题时可灵活平移。最后，注重数形结合，将有向线段的几何直观与代数运算相统一，从而快速准确破题。 ▌迁移练1-1 （25-26高一下·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 【答案】B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. ▌迁移练1-2 （25-26高一下·上海浦东新·期中）是 或的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为只说明向量的长度相等，并不知方向的关系，推不出或； 而由或知两向量为相等向量或负向量，故必有， 所以是 或的必要不充分条件. ▌迁移练1-3 （多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列说法中错误的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】BCD 【分析】由向量的概念进行求解． 【详解】对于A项，显然正确； 对于B项，单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故B项错误； 对于C项，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C项错误； 对于D项，共线向量都是平行向量，则都可以平移在同一条直线上，故D项错误． ▌迁移练1-4 （多选）（25-26高一下·湖南长沙·期末）下列关于平面向量描述正确的是（    ） A．平面中相反向量的长度一定相等 B． C．若，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】本题考查平面向量的基本概念、三角不等式及平行向量的性质，结合向量相关定义逐一判断选项即可 【详解】选项A：根据相反向量的定义，相反向量是长度相等、方向相反的向量，因此其长度一定相等，该选项正确； 选项B：该式为平面向量的三角不等式，对任意平面向量均成立，当且仅当与同向时取等号，该选项正确； 选项C：向量是既有大小又有方向的量，方向无法比较大小，因此向量之间不能直接比较大小，仅向量的模长可比较大小，该选项错误； 选项D：若为零向量，由于零向量和任意向量都平行，此时即使满足、，与也不一定平行，该选项错误. ▌迁移练1-5（多选）（25-26高一下·陕西榆林·期中）下列说法中正确的有（    ） A．零向量没有方向 B．零向量方向任意 C．相等向量的长度一定相等 D．共线向量不一定在同一条直线上 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义判断. 【详解】根据零向量的定义知A错，B正确； 由相等向量的定义知C正确； 由共线向量的定义知D正确. 题型02 平面向量的线性运算 ▌例2 （25-26高一下·福建福州·期末）如图，平行四边形中，，，为线段上的点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以. 解题技巧 解决平面向量线性运算问题，核心在于熟练掌握三角形法则与平行四边形法则。解题时，应优先将未知向量转化为已知基向量的线性组合，充分利用共线向量定理与平面向量基本定理。同时，要善用几何性质，如三角形重心、中位线等，将几何关系转化为向量等式。最后，注意运算的封闭性与方向性，确保首尾相接，避免符号错误。 ▌迁移练2-1 （25-26高一下·山西大同·阶段检测）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的三角形法则，将首尾相接的向量先合并，再进行向量减法． 【详解】由向量加法的三角形法则， 又 ，所以 ▌迁移练2-2 （25-26高一下·河南省直辖县级单位·期末） 等于（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】. ▌迁移练2-3 （25-26高一下·北京·期末）在平面四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在平面四边形中， . ▌迁移练2-4 （25-26高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量加法、减法的几何意义、平面向量共线的性质，结合平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项运算不正确； B：因为，所以本选项运算不正确； C：因为四边形是平行四边形，所以，因此本选项运算正确； D：因为四边形是平行四边形，所以，所以本选项运算不正确. ▌迁移练2-5（多选）（25-26高一下·陕西西安·期末）下列各式计算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 题型03 平面向量的共线定理 ▌例3 （25-26高一下·安徽芜湖·期中）设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，， 所以，又， 所以，又，，三点共线， 所以， 解得，故选A． 解题技巧 平面向量共线定理（即若a≠0，则a与b共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b=λa）的应用技巧主要有：一是判断共线，将向量用基向量表示后验证是否满足该关系；二是求参数，在共线条件下建立关于λ的方程求解；三是几何转化，将三点共线、线段比例等问题转化为向量共线处理；四是结合坐标运算，利用x1y₂-x₂y₁=0快速判定。关键是合理选取基底，将几何条件代数化，注意零向量的特殊情况。 ▌迁移练3-1 （25-26高一下·湖北恩施·期末）已知向量，不共线，若与共线，则实数的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由向量共线即可求解. 【详解】因为向量，不共线，且与共线，所以， 所以，所以，解得. ▌迁移练3-2 （25-26高一下·湖北随州·期末）设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于向量，共线，则存在实数，使得， 由于，是两个不共线的向量，故且，故 ▌迁移练3-3 （25-26高一下·北京·期末）向量，共线当且仅当（   ） A．存在使 B．存在，使 C．存在不均为零的，使 D．存在均不为零的，使 【答案】C 【详解】对A，若，，则向量，共线，但不存在使.故A错误； 对B，当时，不管向量，共不共线，恒有，故B错误； 对C，先证充分性：当时， 若，均为，则对任意，，恒成立； 若，只有一个为，不妨设，当，时，成立； 若，都不是，则存在，使得，当，时，成立. 再证必要性：存在不均为零的，使， 若，则，则；若，则，则. 故C正确； 对D，当，时，，但此时不存在均不为零的，使.故D错误. ▌迁移练3-4 （25-26高一下·贵州安顺·期末）已知，是不共线的两个向量，，，若，则k的值为（ ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】与共线，则存在唯一实数，使得， . 由于是两个不共线的向量，，得. ▌迁移练3-5（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 【答案】 【分析】由三点共线推出与共线，结合共线向量定理和平面向量基本定理列方程组求解即可. 【详解】因为三点共线，所以. 根据共线向量定理，存在实数，使得， 即 ，整理得：. 由于，是不共线的向量，所以， 解得. 故实数的值为. 题型04 平面向量的基本定理 ▌例4 （多选）（25-26高一下·广东广州·期中）已知六边形为正六边形，且，，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正六边形的特征求出,，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解. 【详解】如图，设 因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以，且. 又是等腰三角形，所以， 从而可有， 则， 所以,同理有. 所以，所以选项A正确； ，所以选项B正确； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 解题技巧 求解平面向量基本定理问题，核心在于“基底化”。首先，选取不共线的两个向量作为基底，将平面内所有相关向量均用这组基底唯一线性表示。其次，利用向量相等的充要条件，将向量等式转化为基底系数的二元一次方程组求解。最后，结合几何图形特征，将几何条件转化为向量关系。解题时需注意基底选取的合理性，并牢记表示的唯一性。 ▌迁移练4-1 （25-26高一下·陕西西安·期中）已知为所在平面内的一点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算，直接利用基底来表示向量. 【详解】由题得， .    ▌迁移练4-2 （26-27高一上·浙江·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在中, 因为所以,在中， 故. ▌迁移练4-3 （25-26高一下·云南昭通·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，通过将转化为，利用，，三点共线建立关于的方程求解即可. 【详解】由，得，则， 所以． 因为是上的一点，即，，三点共线， 根据共线向量定理的推论则有，即，解得 ▌迁移练4-4 （25-26高一下·云南丽江·期末）在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得. 【详解】由题意， 故, 根据平面向量基本定理可知，，则. ▌迁移练4-5（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）在中，，点是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得 . 题型05 平面向量的坐标运算 ▌例5 （25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】依题建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算求出即得. 【详解】如图以的起点为坐标原点，沿着网格水平向右与竖直向上分别为轴正方向建立平面直角坐标系. 设每个网格边长为1，则易得， 由可得， 解得，故. 解题技巧 平面向量坐标运算的核心是“数形转化”。解题时，首先需熟记向量的加减、数乘的坐标公式，将几何问题直接转化为代数运算。其次，灵活运用共线条件（x₁y₂-x₂y₁=0）来建立方程求解参数。应结合坐标公式与函数思想，将几何特征代数化，从而简化计算过程，提高解题效率。 ▌迁移练5-1 （25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，则，， 若，则，解得. ▌迁移练5-2 （25-26高一下·甘肃白银·期末）已知向量，，实数x，y满足，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量的坐标运算求解． 【详解】由题可得， 则解得 ▌迁移练5-3 （25-26高一下·山东威海·期末）已知向量，，且，则（   ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】A 【详解】， ，， 解得. ▌迁移练5-4 （25-26高一下·广西南宁·期末）已知点，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以， 又因为，所以点的坐标为. ▌迁移练5-5（25-26高一下·湖北随州·期末）已知在平面中，点的坐标为，向量，，点P是线段的中点，则点P的坐标为_________． 【答案】 【详解】由，，得，. 因是线段的中点，由中点坐标公式得，， 故点的坐标为. 题型06 平面向量的应用举例 ▌例6 （25-26高一下·河南驻马店·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.    (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)左侧，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）求出沿河岸方向的分速度方向与大小即可. （2）利用沿河岸方向的分速度大小等于，再求出夹角的余弦及航行时间. （3）求出垂直河岸及沿河岸方向的航程，再利用勾股定理求解. 【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为， 所以游船航行到达北岸的位置是在的左侧. （2）要能到达处，则在反方向上的分速度为， 解得，即，而，则， 因此垂直河岸方向上的速度为， 所以当时，游船能到达处，用时. （3）由（1）知，垂直河岸方向的航行速度为，则航行时间为， 因此水平方向航行距离， 所以游船航行到达北岸的实际航程. ▌迁移练6-1 （25-26高一下·四川凉山·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设船垂直河岸实际渡河速度的大小为，， 所以，解得， . ▌迁移练6-2 （25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）记坐标原点为，已知，，若，，三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由三点共线得关系，进而将表示为的二次式，由二次函数性质求最值. 【详解】不妨设，则， 由三点共线可得，即，， 此时， 当且仅当时等号成立． 即的最小值为． ▌迁移练6-3 （25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】设船速为，水速为，船的合速度为， 则，即，解得， 因为，所以， 则船的合速度为， 则过河需要的时间为. ▌迁移练6-4 （25-26高一下·青海西宁·期末）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（   ） A． B．当角越大时，用力越省 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】由题意可知，行李包处于平衡状态，则 ， 所以， 故A错误； 又 ,所以其中， 当角越大时，越小，越大，越费力，故B错误； 当时， ，故 C 正确； 时，，故D错误. ▌迁移练6-5（25-26高一下·山东威海·期末）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速度为向东________． 【答案】8 【分析】将小船静水速度正交分解，利用实际航向正北、东西向合速度为 的条件，由船速西向分速度直接得到向东的水流速度大小. 【详解】 小船本身航行速度大小为，方向北偏西，将其分解为东西、南北分量, 东西方向的速度分量的大小为，方向向西， 小船实际航行方向为正北，说明东西方向合速度为. 设河水向东的速度为，根据速度合成：,即 所以。 即河水速度向东为. 平面向量中的新定义问题 解决平面向量新定义问题，关键在于“现场学习”与“知识迁移”。首先，要精准剖析题目给出的新运算或新概念，通过特例代入或几何直观，透彻理解其代数特征与几何意义。其次，善于将新定义向已有知识靠拢，把陌生的符号转化为熟悉的向量坐标运算、数量积或共线定理等经典模型。最后，保持严谨的逻辑推理，严格按照新定义的规则进行推导，切忌主观臆断或套用旧公式。解题时，耐心读懂题意是破题的第一步。 难点精练 1．（26-27高一上·广东深圳·开学考试）对于任意实数，，，，定义有序数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，，都有，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据运算“”的定义可得 ， 由题设可得到方程组 ，整理为 ， 因为上述等式对任意实数均成立，所以各项系数均为0， 即， 解得，即. 2．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点坐标为，已知，因此， 顺时针旋转，等价于逆时针旋转， 代入，，得到旋转后的向量： 横坐标， 纵坐标， 已知，因此， 对应坐标相等得方程组： 解得，，即. 3．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点.把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P的坐标为__________ 【答案】 【分析】先求出，结合题意，可得x，y，的值，代入求解，分析即可得答案. 【详解】由题意，则， 因为点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P，所以， 所以， ，即， 又，所以. 4．（25-26高一下·河南郑州·期末）规定平面向量旋转变换规则：将向量绕起点沿逆时针方向旋转角，得到向量；绕起点顺时针旋转角，等价于逆时针旋转角． 在平面直角坐标系中，已知点，点，记点绕点顺时针旋转得到点，点绕点逆时针旋转得到点，点绕点顺时针旋转得到点． (1)求点和点的坐标； (2)设点为平面内任一点，且．若，求值． 【答案】(1) ，. (2) 或 【分析】（1）先求得向量的坐标，再依据题目给出的旋转变换规则，分别计算旋转后对应向量、的坐标，结合点的坐标即可得到的坐标. （2）由可知点在直线上，结合三角形面积公式列出关于的方程，求解即可得到的取值. 【详解】（1）∵ 点，，∴ . 点绕顺时针旋转得到，等价于绕逆时针旋转得到， 因为，， 故 的横坐标为， 纵坐标为， 即，故可得. 点绕逆时针旋转得到，绕顺时针旋转得到，等价于逆时针旋转得到， 因为，， 故 的横坐标为， 纵坐标为， 即，故. （2）∵ ，，∴ 点在直线上. 由得，且直线的方程为， 设点横坐标为，则的面积， ∵ ，∴ ，得. 又，，， 得， ∴ ，解得， 所以或 【点睛】方法归纳：本题属于向量新定义运算题型，解题核心为准确理解旋转变换规则，旋转不改变向量模长，可先合并旋转角度简化计算；对于共线向量的线性组合，可直接判断在直线上，结合几何性质求参数. 5．（25-26高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，．作：，，当不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定． (1)已知，，求； (2)若向量（，，），求证：； 【答案】(1)0 (2)证明：当不共线时，； 当共线时， ， 因为向量，共线，所以， 所以共线时，关系依然成立， 因为向量，，且向量， 则， 所以， ， 所以. 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明. 【详解】（1）因为，，可得，即共线， 所以 ； （2）略 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）把由平面内夹角成的两条数轴，构成的斜坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.若以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求，在平面直角坐标系中的坐标； (2)若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据直角坐标系的定义求解； （2）根据“广义坐标”的定义，结合（1）的结果，即可求解. 【详解】（1）在直角坐标系中的坐标还是， 设与轴同向的单位向量为， 根据平行四边形法则，以及，所以，所以在直角坐标系中的坐标为； （2）设，因为向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，所以， 所以向量的“广义坐标”为. 基础达标 一、单选题 1．（25-26高一下·广东汕尾·期末）下列各组物理量中，全部为向量的是（     ） A．质量、位移、温度 B．速度、弹力、加速度 C．路程、重力、压强 D．功、速率、摩擦力 【答案】B 【详解】对于A，质量和温度只有大小没有方向，属于标量，故A错误； 对于B，速度、弹力、加速度均同时具有大小和方向，属于向量，故B正确； 对于C，路程和压强只有大小没有方向，属于标量，故C错误； 对于D，功和速率只有大小没有方向，属于标量，故D错误. 2．（25-26高一下·山东泰安·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件是且 C．若，，则 D．若平面内不共线的四个不同的点满足，则四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】依据向量的基本概念、相等向量和平行向量的性质，逐一判断各选项的正误. 【详解】选项A：向量是同时具有大小和方向的量，方向无法比较大小， 因此向量之间不存在大小关系，仅模长可进行大小比较，故A错误； 选项B：向量相等的充要条件是模长相等且方向相同；若，两向量方向可能相反， 此时即使，也无法推出，故B错误； 选项C：规定零向量与任意向量平行，若， 则满足、时，和不一定平行，故C错误； 选项D：由可得，且与方向相同， 即且，结合是平面内不共线的四个不同点， 可知四边形有一组对边平行且相等，因此是平行四边形，故D正确. 3．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，矩形中，、分别是与边的中点，则与向量相等的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，又因为、分别是与边的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，因此，， 又因与的方向相同，所以与向量相等的向量为. 4．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）在△ABC中，，设＝，＝，则用，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四则运算化简即得. 【详解】 如图，. 5．（25-26高一下·北京·期末）已知向量，，是两两不平行的向量，“且”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性验证：若且. 根据共线向量定理，存在，满足：① ② 由①整理得，代入②得： 整理得. 因为不共线，根据平面向量基本定理，对应系数相等：， 联立消去得，充分性成立. 必要性验证：若，取，满足两两不平行， 此时，，显然，两向量不平行，无法推出题设的两个平行关系，必要性不成立. 综上，题设条件是的充分不必要条件. 6．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用中点将换成，结合共线得到，把用代换，转化为关于的二次函数，配方求出的最小值． 【详解】因为是线段的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 7．（25-26高一下·重庆·期中）已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算将用和表示，对比系数得到与参数的关系，结合参数范围求解的取值范围. 【详解】设，由点在线段上，得. 由，得，所以. 又，， 所以. 又，所以. 因为，所以. 8．（25-26高一下·天津西青·期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】做出受力分析图，根据题意对结论逐一判断即可. 【详解】画出受力分析图，如图所示：    平衡状态时，受重力 和两臂拉力 、 作用， 根据平衡条件可得 ，即 . 因为 ，设 ，  可得 ，即 ，其中 . 对于①，当 时， 取得最大值，此时 取得最小值 ，故①正确； 对于②，当 时，， 则 ，故②正确； 对于③，当 时，， 则 ，故③正确； 对于④，由平衡条件可知 ，结论中缺少系数 ，故④错误； 对于⑤，由 可知，当 增大时，其中， 增大， 减小， 分母减小，则 增大，即两臂夹角越大越费力，故⑤错误. 综上所述，正确的结论有①②③，共 个. 二、多选题 9．（25-26高一下·湖南·期末）设，是平面内一组不共线向量，向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则必有 C．若，则向量的终点在，终点的连线上 D．若，，则，，一定能构成三角形三边对应的向量 【答案】AB 【详解】选项A：若，则，A正确. 选项B：不共线，由平面向量基本定理，若，则必有，B正确. 选项C：未指明向量起点相同，无法推出终点共线，C错误. 选项D：由条件得，故共面，若三个向量起点相同，的终点在终点的连线上，三点共线，不能构成三角形，D错误. 10．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为，当且仅当取等号 【答案】BC 【详解】，故A错误； ，故B正确； 因为，且三点共线， 所以，即，故C正确； ， 等号成立时，故D错误. 11．（25-26高一下·重庆·期末）如图，在中，点是线段上一点，直线交线段于点下列选项中正确的有（    ） A． B．若是线段的中点，则 C．若是线段的中点，那么是线段的中点 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】A利用向量的加减运算；B设，利用基底表示向量即可；C设，利用基底表示；D利用共线，以及基本不等式可求. 【详解】因为， 所以，故A错误； 设，则， 因为是线段的中点，所以， ，， 则，故B正确； 设， 若是线段的中点，则， 则，得，则，故是线段的中点，故C正确； 由，以及共线， 则，则， 等号成立时，即， 则的最小值为，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【答案】/ 【详解】设，因为平面上两点的坐标分别是，，且， 即，所以，解得，即的坐标为. 13．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，则______. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以，故. 14．（25-26高一下·广东韶关·期末）已知向量与不共线，向量，，，则_________. 【答案】 【详解】因为，则存在实数，使得， 则， 且向量与不共线，可得，解得. 四、解答题 15．（25-26高一下·河北承德·期末）已知两个不共线的向量，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 【答案】(1) , . (2) . 【分析】（1）根据向量的运算以及平面向量基本定理运算求解即可； （2）根据三点共线的推论结合平面向量基本定理运算求解即可. 【详解】（1）由已知得 结合与不共线，得， 解得，. （2）由 三点共线，存在实数使， 即. 因不共线，得，故. 16．（25-26高一下·新疆和田·期末）如图，在中，分别是边的中点，，    (1)用表示向量； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)，， (2)由（1）知， 所以．又因为有公共点， 所以三点共线． 【分析】（1）由向量的线性运算法则求解； （2）用表示向量、，证明它们共线即可得证． 【详解】（1）如图，延长到点，使，连接， 则四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， （2）略. 能力进阶 一、单选题 1．（25-26高一下·山西吕梁·期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，学校组织学生前往刘胡兰纪念馆开展研学活动，研学路线可抽象为平面几何图形，如图所示，在中，点是线段的中点，，以，为基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知： 2．（25-26高一下·北京·期中）已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比较系数列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 由题意得三点共线，三点共线， 所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以有，解得， 则， 所以，. 3．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得，可得三点共线，从而到的距离等于到的距离，将问题转化为求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，则， 则三点共线，所以到的距离等于到的距离， 所以. 4．（25-26高一下·江西九江·期末）如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：因为，，所以，故D正确. 5．（25-26高一下·广东茂名·期末）在中，点D满足，且线段DB上存在一点E，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，结合平面向量基本定理得到，再由二次函数单调性即可求解. 【详解】不妨设，，， 则， 则， 即， 则， 由平面向量基本定理得： 则，由二次函数性质可知，其在单调递减， ∴． 二、多选题 6．（25-26高一下·广东梅州·期末）如图，在梯形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量基本定理，利用向量的加法、减法及共线向量性质，将目标向量用基底向量表示出来. 【详解】 ，，所以，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C正确； ，， 选项D错误. 7．（25-26高一下·江苏苏州·期末）设是所在平面内一点，记（，），则（   ） A．当，时， B．当，时，是线段的中点 C．当，时，是的重心 D．当时，的面积是面积的 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基本定理的应用，结合向量线性运算、三角形重心性质、共线向量等知识点，逐一验证各选项即可求解. 【详解】选项A，当时，可得， 则， ，得到，故A正确； 选项B，当时，， 则， 即是线段的中点，不是中点，故B错误； 选项C，若是的重心，则， 设的中点为，则，重心分中线为， 因此， 所以当时，是的重心，故C正确； 选项D，由题意得与具有同底，则面积比等于对应高的比值， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立平面直角坐标系，      设，，，，得到， ，， 因为，所以，解得， 而的高为，的高为， 则与的面积比为， 当时，面积比为， 即的面积是面积的，故D正确. 三、填空题 8．（25-26高一下·山东东营·期末）已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则__________． 【答案】/ 【分析】取线段的中点，连接，可得出，代入等式，推导出为线段的中点，据此可求得的值. 【详解】因为点是内部一点，并且满足， 取线段的中点，连接，如下图所示： 因为为的中点，所以，即，所以， 所以，即，故为线段的中点， 所以，，故. 9．（25-26高一下·天津·期末）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 【答案】 【详解】，已知，， 所以， 已知三点共线，则与共线， ，且，不共线，所以存在一个实数，使得：， 即，则，故. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $