第六章 平面向量初步 章末综合提升-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

类型1　基底向量表示其他向量

一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量均可写成它的线性表达式，且表达式是唯一的．

【例1】　(1)已知D是△ABC的边BC上的点，且＝3，则向量＝(　　)

A． B．

C． D．

(2)设e1，e2是平面内的不共线向量，已知a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．

①证明：a，b可以组成一组基底；

②以{a，b}为基底，表示向量c＝3e1－e2．

(1)C　[如图所示，由＝3，则＝，

＝＝＝)＝．

故选C．]

(2)①证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．

由e1，e2不共线，得无解，

所以λ不存在，故a与b不共线，可以组成一组基底．

②解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，

则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2，

所以解得

所以c＝2a＋b．

类型2　平面向量的线性运算

1．向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．

2．共线向量基本定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．

3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．

【例2】　已知△ABC中，过重心G的直线l交边AB于P，交边AC于Q，若＝p＝q，其中p，q为非零常数．求证：

(1)＝0；

(2)为定值．

[证明]　(1)由题意，延长AG交BC于D，则D为BC中点，可得＝2，

因为G是重心，可得＝－2，所以＝－2＋2＝0．

(2)设＝a，＝b，

因为＝p＝q，可得＝a，＝b，＝＝)＝(a＋b)，

又因为P，G，Q三点共线，所以存在λ，

使得＝λ，即＝λ()，

即b－a＝λ＝a＋b，

可得整理得λ＝＝，即＝，

即2－＝＋1，所以＝1(定值)．

类型3　向量的坐标运算

1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．

2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．

3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模及平行问题．

【例3】　已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．

(1)求线段BD的中点M的坐标；

(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．

[思路导引]　(1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；

(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．

[解]　(1)设点B的坐标为(x1，y1)．

∵＝(4，3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，

∴∴