第六章 平面向量初步 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

该高中数学单元复习讲义围绕平面向量初步，按“概念-运算-应用”逻辑构建知识体系，通过知识框架图呈现基底向量表示、线性运算、坐标运算及应用四大模块，清晰梳理重难点分布与内在联系，帮助学生形成系统认知。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向，基础例题如基底表示向量（例1）夯实概念理解，综合题如重心性质证明（例2）、坐标法证线段相等（例4）培养逻辑推理与数学建模素养，章末测评覆盖选择填空解答，适配不同学生提升需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

类型1　基底向量表示其他向量 一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量均可写成它的线性表达式，且表达式是唯一的． 【例1】　(1)已知D是△ABC的边BC上的点，且＝3，则向量＝(　　) A． B． C． D． (2)设e1，e2是平面内的不共线向量，已知a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2． ①证明：a，b可以组成一组基底； ②以{a，b}为基底，表示向量c＝3e1－e2． (1)C　[如图所示，由＝3，则＝， ＝＝＝)＝． 故选C．] (2)①证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线，得无解， 所以λ不存在，故a与b不共线，可以组成一组基底． ②解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2， 所以解得 所以c＝2a＋b． 类型2　平面向量的线性运算 1．向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面． 2．共线向量基本定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题． 3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等． 【例2】　已知△ABC中，过重心G的直线l交边AB于P，交边AC于Q，若＝p＝q，其中p，q为非零常数．求证： (1)＝0； (2)为定值． [证明]　(1)由题意，延长AG交BC于D，则D为BC中点，可得＝2， 因为G是重心，可得＝－2，所以＝－2＋2＝0． (2)设＝a，＝b， 因为＝p＝q，可得＝a，＝b，＝＝)＝(a＋b)， 又因为P，G，Q三点共线，所以存在λ， 使得＝λ，即＝λ()， 即b－a＝λ＝a＋b， 可得整理得λ＝＝，即＝， 即2－＝＋1，所以＝1(定值)． 类型3　向量的坐标运算 1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一． 2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现． 3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模及平行问题． 【例3】　已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值． [思路导引]　(1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标； (2)由向量相等转化为y与λ的方程求解． [解]　(1)设点B的坐标为(x1，y1)． ∵＝(4，3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， ∴∴ ∴B(3，1)．同理可得D(－4，－3)． 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1， ∴M． (2)由(1)所求及已知得＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 又＝λ，∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)， 则∴ 类型4　平面向量的应用 1．根据向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间的联系，距离问题等，可知用向量方法可以解决平面几何中的相关问题． 2．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题． 【例4】　已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P．求证：AP＝AB． [证明]　如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)． 设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，∵∥， ∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2， 同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2， 解得x＝，∴y＝，即P． ∴＝＋＝4＝， ∴||＝||，即AP＝AB． 章末综合测评(三)　平面向量初步 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量a＝，2a＋3b＝(5，－3)，则b＝(　　) A．(－3，2) B．(3，－2) C．(3，0) D．(9，6) B　[由题意得b＝[(2a＋3b)－2a]＝[(5，－3)－(－4，3)]＝(3，－2)．故选B．] 2．若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　) A．2　　　　　　 B．2 C．2 D．2 A　[(法一)　因为D是AB的中点，所以＝2 ，所以＝＝＋2 ＝＋2()＝2 ，故选A． (法二)　因为D是AB的中点，所以＝)，即2 ＝，所以＝2 ，故选A．] 3．如图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量a，b，c代表．若用向量d代表整条手臂，则(　　) A．|a|＋|b|＋|c|＝|d| B．|a|＋|b|＝|c|＋|d| C．a＋c＝d－b D．a＋b＝c－d C　[根据题意得a＋b＋c＝d，所以a＋c＝d－b，a＋b＝d－c， 所以由于各向量间的夹角未知，故|a|＋|b|＋|c|＝|d|，|a|＋|b|＝|c|＋|d|均不一定成立． 故选C．] 4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a＋b|＝(　　) A．5 B．5 C．3 D． C　[∵a∥b，∴－4－2x＝0，∴x＝－2，∴b＝(－2，4)，∴a＋b＝(－3，6)，∴|a＋b|＝3，故选C．] 5．在重600 N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　) A．300 N，300 N B．150 N，150 N C．300 N，300 N D．300 N，300 N C　[如图，作矩形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°． 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，所以||＝||cos 30°＝300 N，||＝||sin 30°＝300 N，||＝||＝300 N．故选C．] 6．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则(　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 D　[∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb成立，∴e1＋λe2＝k·2e1，∵e1≠0，∴e1∥e2，或λ＝0，故选D．] 7．如图，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于(　　) A．a＋b B．a＋b C．a－b D．－a＋b B　[＝2＝2 ＝＝a＋b．] 8．已知点O是△ABC内部一点，且满足＋2＋3＝0，△BOC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则＝(　　) A． C． A　[因为＋2＋3＝0，所以＝－2()．分别取AC，BC的中点D，E，连接OD，OE，BD，如图所示，则＝2＝2，所以＝－2，即O，D，E三点共线，且||＝2||，所以S1＝S△DBC．由于D为AC的中点，所以S△DBC＝S2，所以S1＝S2，即＝．故选A．] 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝0 ABD　[在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知＝，所以结论中错误的是C．A、B、D均正确．] 10．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2(k∈R)，则下列结论中正确的是(　　) A．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2 B．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2 C．存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 D．不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 AD　[若e1与e2不共线，a与b共线，则存在实数λ，使得λa＝b，即2λe1－λe2＝ke1＋e2，解得λ＝－1，k＝－2，故A正确，B错误；若e1与e2共线，可设e1＝me2(m∈R)，则a＝2e1－e2＝(2m－1)e2，b＝ke1＋e2＝(km＋1)e2，所以a与b一定共线，故D正确，C错误．故选AD．] 11．如图，在△ABC中，＝，点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则下列结论中正确的是(　　) A．λ＝2μ B．μ＝2λ C．λ2－2μ的最小值为－ D．λ2－2μ的最小值为－4 AC　[在△ABC中，由＝，得＝)，即＝． 因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设＝x(0＜x＜1)． 所以＝，对比＝λ＋μ可得λ＝，μ＝． 代入λ＝，μ＝，得＝＝2，即λ＝2μ． 代入λ＝，μ＝可得λ2－2μ＝－2×＝(0＜x＜1)，根据二次函数性质知当x＝－＝时，(λ2－2μ)min＝－＝－．故选AC．] 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________． －1　[∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)， ∴a＋b＝(1，m－1)． ∵(a＋b)∥c，c＝(－1，2)， ∴2－(－1)·(m－1)＝0，∴m＝－1．] 13．已知向量a，b不共线，且＝3a＋5b，＝4a＋7b，＝a＋mb，若A，B，C三点不能构成三角形，则m＝________． 1　[因为A，B，C三点不能构成三角形，则A、B、C三点共线，则∥， 设＝λ＝＝a＋2b，＝＝－2a＋(m－5)b， 所以－2a＋(m－5)b＝λa＋2λb， 则有解得m＝1．] 14．过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D，E．若＝x＝y，xy≠0，则＝________，4x＋y的最小值为________． 3　3　[设△ABC的重心为M，由题意可知D，E，M三点共线，∴存在实数λ使得＝λ＋(1－λ)． ∵＝x＝y且＝)＝，∴整理得＝1，即＝3． 由题意知，x，y∈， ∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋2＝3，当且仅当＝，即x＝，y＝1时取等号． 故4x＋y的最小值为3．] 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)如图，平行四边形ABCD中，已知＝3＝4，设＝a，＝b． (1)用向量a和b表示向量； (2)若＝x＝y，求实数x和y的值． [解]　(1)＝＝＝a－b，＝＝＝a＋b． (2)因为＝＝＝y－x＝y－x＝a＋b＝b．即a＋b＝0，因为a与b不共线，从而 解得 16．(本小题满分15分)已知a＝(－1，0)，b＝(－2，－1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b平行？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． [解]　(1)ka－b＝k(－1，0)－(－2，－1)＝(2－k，1)， a＋2b＝(－1，0)＋2(－2，－1)＝(－5，－2)． 因为ka－b与a＋2b平行，所以－2(2－k)－(－5)×1＝0，解得k＝－． (2)因为A，B，C三点共线， 所以＝λ(λ∈R)，即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 又因为a与b不共线，a与b可作为平面内所有向量的一组基底， 所以解得m＝． 17．(本小题满分15分)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(－2，－1)，B(2，2)，C(1，3)，且A，B，C，D按逆时针方向排列． (1)求D点的坐标； (2)在①b＝，②b＝这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 问题：已知a＝(1，2)，________，且ka＋b与平行，求k的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解]　(1)设D(x，y)，＝(2，2)－(－2，－1)＝(4，3)， ＝(1，3)－(x，y)＝(1－x，3－y)， 因为＝，所以解得 故D(－3，0)． (2)选择①，则b＝(4，3)，ka＋b＝(k，2k)＋(4，3)＝(k＋4，2k＋3)， ＝(－3，0)－(2，2)＝(－5，－2)， 由题意得－2(k＋4)＝－5(2k＋3)，解得k＝－． 选择②，则b＝(－1，1)，ka＋b＝(k，2k)＋(－1，1)＝(k－1，2k＋1)， ＝(－3，0)－(2，2)＝(－5，－2)， 由题意得－2(k－1)＝－5(2k＋1)，解得k＝－． 18．(本小题满分17分)已知e1，e2是平面内一对不共线的向量，且a＝3e1＋e2，b＝－2e1＋2e2，c＝λe1－3e2． (1)若2a－c与b＋2c共线，求实数λ的值； (2)若c＝a＋μb，求λ＋μ的值． [解]　(1)因为a＝3e1＋e2，b＝－2e1＋2e2，c＝λe1－3e2，所以2a－c＝(6－λ)e1＋5e2，b＋2c＝(2λ－2)e1－4e2． 因为2a－c与b＋2c共线，所以存在唯一的实数n，使得2a－c＝n(b＋2c)，(6－λ)e1＋5e2＝(2λ－2)ne1－4ne2，即解得λ＝－． (2)因为a＝3e1＋e2，b＝－2e1＋2e2，c＝λe1－3e2， 且c＝a＋μb，所以λe1－3e2＝e1＋e2－2μe1＋2μe2＝e1＋e2， 所以 解得λ＝5，μ＝－， 所以λ＋μ＝5－＝． 19．(本小题满分17分)平面内有四边形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中点． (1)试用a，b表示； (2)AB上有点P，PC和BM的交点Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM． [解]　(1)＝) ＝＋2)＝a＋b． (2)设＝t，则＝＝＝2)＝t＝(a＋tb)． 设＝λ＝a＋b， 由于不共线，则有 解方程组，得λ＝，t＝． 故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $