专题02 向量基本定理、坐标运算及向量的应用（专项训练）数学人教B版高一必修第二册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02向量基本定理、坐标运算及向量的应用 内容概览 目常考题型精准突破 题型01用基底表示向量 题型02用基底表示向量（高频） 题型03利用平面向量基本定理求参数 题型04向量的坐标运算 题型05向量共线的坐标判断 题型06利用向量共线（平行）求参数（重） 题型07向量的线性运算应用一几何 题型08向量的线性运算应用—物理 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 题型01基底概念辨析 1.(25-26高一下新疆伊犁期中)若%，8是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底 的是() A.e+e2和e-e B.3e-2e2和-6e+4e2 c.g+3e2和3e+e2 D.e2和+e2 2.(25-26高一下四川宜宾期末)向量ā=(-1，)，b=(m,2),若{a,b}可以构成一个基底，则m不可能 是() A.2 B.1 C.-1 D.-2 3.(25-26高一下江苏准安·阶段检测)下列各组向量中，可以作为基底的是() A.g=(0,0),8=(1,2) B.6=(2,-3),8=(-2,3) C.g=(3,4),e2=(6,-8) D.g=(-2,1),6=(1,2) 4.(多选)(25-26高一下·湖北武汉期末)设%，%是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中， 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不能作为基底的是() 1→1 A.g-6’8 B.2g+6,29+49 C.3e-6,8-38 D.g-2e2,-6+2e2 5.（多选)(25-26高一下·山东潍坊阶段检测)设%，2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量 中，不能作为基底的是() A.e+e2和g-32 B.+6e2和e+e2 1 C.3e-4e,和6g-8e2 D.g+2g和29+8 题型02用基底表示向量 1.(2526高-下陕西西安期中)已知M为。MBC所在平面内的一点，MW-号B,C正=2EM,则 AE=() B+2AC 2 A.3 4B+1AC 5 B.5 c.4+4c 5 D. 2.(26-27高一上·浙江开学考试)在△ABC中，若BC=7BD,则AD=() A+94C B,9a+号4C C.8 8 2526高下湖南岳附期末)在△4BC中，D=8C,改。，4C三=5，则0用。，方表 为() A. 1a-36 a-16 3 c.404 D.4 4 4.(2526商一下四川泸州期末)在。MBC中，BM-MC,记=a:C-6则-〈) 2 2_16 3 3 C.3a-3 1a-26 D.3a-3 5.（多选)(25-26高一下广东广州期中)己知六边形ABCDEF为正六边形，且AC=a,BD=b,以下 正确的是() 2/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D A B e.BC-1a+1 3 3 3 c.f=-2a+26 D.BE=-2a+46 3 3 3 3 6.(26-27高一上·上海杨浦开学考试)在△ABC中，点D是边BC上一点且BD=2CD,若AB=b, BC=d,则AD=一 (用d、b表示). 题型03利用平面向量基本定理求参数 1.(2526商一下云南丽江期末)在。BC中，N-NC,p是BN上家近N的一个三等分点：若 AP=mAB+nAC,则实数m+n的值为() A B 2 A.3 6.1 4 c.5 J D. 2.(2526高一下北京期中)已知在A1BC巾，D-DC,E-2ECp是线段AD与BE的交点，若 AP=mAB+nAC,则mn的值是() 8 12 A.49 B.49 6 D.1 3.(25-26高一下内蒙古赤峰：期末)在△ABC中，D为AC边上靠近点A的三等分点，BD=入AB+4AC, 则2+“=() 3111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 A.-3 1 B.2 c 4.(25-26高一下·北京·期末)青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1是一个青花瓷圆盘， 该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径为2V2,小圆半径为2，点A在大圆上，点B在小 圆上，OA.OB=4,动点C满足0C=A0A+u0B(2,4∈R),且0C=32,则1+u的最大值为(） 图1 图2 A.2 83 2 D.3N2 5.(25-26高一下四川泸州期末)在△ABC中，点D满足BC=3BD,若AD=xAB+yAC,则x+2y= 6.(25-26高一下山东青岛期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，0是AD的中点，过0点的直 线与边AB,AC分别相交于点P,Q.设AP=mAB(m>0),A0=nAC(n>0), B (1)若BD=2DC,A0=xAB+yAC,求2x+y的值. (2)在(1)的条件下，求2m+n的最小值. 题型04向量的坐标运算 1.(25-26高一下浙江温州期末)己知向量AB=(0,-),0B=(3,4)则0A=() A.（3,3) B.(3,5) c.(-3,-5) 2.(25-26高-下福建泉州期末)已知向量ā=(-2,1)，b=(（1,3),则ā+2b=() A.(0,7) B.(0,-5) c.(4,-5) D.(4,7) 4111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2526高-下矿西南宁期未)已知点0Q0),01-(亿，).05=(63)-号P历，则p的坐标为 () 143 A.(4,0) c传 D.32 4.(25-26高一下甘肃白银期末)已知向量ā=(1,2)，万=(2,3)，实数x,y满足xa+b=(3,4),则 () A.x=-1,y=2 B.x=1,y=-2 C.x=-1,y=-2 D.x=1,y=2 5,(25-26高一下广东梅州期末)已知点A(0,),B(3,4),若点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则 点P的坐标为() A.(1,2) B.(2,2) c.(2,3) D.(1,3) 6.(25-26高一下上海期末)已知平面上两点A(2,3),B(4,-3),P为直线AB上一点，且AP=3PB,则 点P的坐标为 题型05向量共线的坐标判断 1,(25-26高一下河北石家庄期中)已知A(1,3),B(4,-),下列与B方向相同的是() A.（-3,4) B.（-3,3) c.(6,-8) D.（-6,8) 2.(25-26高一下江苏淮安阶段检测)下列各组向量中，可以作为基底的是() A.g=(0,0),6=(1,2) B.8=(2,-3),6=(-2,3) c.g=(3,4),e2=（-6,-8) D.g=(-2,1),6=(1,2) 3.(多选)(25-26高一下·福建福州期中)在下列向量中，与向量=（山，2）可以构成一组基底的是 () A.(1,3) B.(2,4) c.(3,5) D.(4,8) 4.(多选)(25-26高一下北京顺义期中)已知向量ā=(2，-)，5=(-1,3)，则下列向量与2a+6平行的 是() A.(0,2) B.(-1,3) c(2 D.(6,2) 5/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(多选)(25-26高一下广西玉林阶段检测)已知向量à=(-2，)，万-=(4，-)，万=(-山，-)，则下 列说法正确的是() A.c=(2,0) B.b+c=(2,-1) C.al/(b+c) D.b=-a+c 6.(24-25高一下上海奉贤期中)已知A,B,C三点的坐标分别为(1,0)，(3，-)，(1,2)，且点E满足 AF=1AC 3 (1)求点E的坐标： 2若点6满足F-BC，判断向量厅与向显B是否共线，并证明你的结论， 题型06利用向量共线（平行）求参数 1.(25-26高一下江苏苏州-阶段检测)已知平面向量ā=(，2)，6=(m,-l)若（ā-b)/(a+b),则m=( 1 A.1 B.2 C.2 0.-2 2.(25-26高一下陕西榆林期末)已知向量ā=(6,3)，b=(-2,m),若ā∥6，则实数m的值为() A.1 B.-1 C.4 D.-4 3.(2026广东深圳模拟预测)已知a=(1,2),b=(k,k2-3),若a和6方向相同，则k=() A.-1 B.3 c.-1或3 D.1或-3 4.(25-26高一下新疆喀什期末)已知平面向量à=(m,),b=(2,-),=(-1,3),(ā-)1b,则m= () A.3 B.2 C.-5 D.1 5.(25-26高一下广东肇庆期末)已知平面向量ā=(1,0)，万=(1,1)，若ā+6与a+6共线，则2= () A.0 B.1 C.-1或1 D.0或1 6.(2526高一下天津期末)已知AB=(7,6,BC=(-3,m,CD=（-1,2m),若A,B,D三点共线， 则m=() 8 A.7 8 B.-7 c D.-8 6/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26高一下河南信阳期末)若0A=(1,),0B=(3,k),0C=(-2,4),且A,B,C三点共线，则实 数k的值为 题型07向量的线性运算应用一几何 1.已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△BD:SABD:SAcD=5:4:3,AD=xAB+yAC,则 x+y=() 3 B. 7 c.2 D.1 2已如是6c内点、-写元.设，4By的制为g1C的积为s,测则- BECF 3.如图，在△ABC中，点B为边AB上一点，点F为线段AC延长线上一点，且ABAC,连接EF交BC 于点D,求证：ED=DF. 4.如图，在△OAB中，点C分OA为l:3,点D为OB中点，AD与BC交于P点，延长OP交AB于E,求 证：AE=3EB 题型08向量的线性运算应用—物理 1,(25-26高一下·黑龙江哈尔滨阶段检测)向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行V3 km”,则向量a+b表示() A.向东北方向航行1+V3)km B.向北偏东60°方向航行2km 7111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.向北偏东30°方向航行2km D.向北偏东30°方向航行(1+V5)km 2.(25-26高一下·河北唐山期中)已知物体放在一个倾角为30°的斜面上处于静止状态，则它所受到的重 力和摩擦力的大小之比为() A.1:1 B.2:1 C.2:V5 D.V3:1 3.(25-26高一下江苏苏州期中)飞行器飞行中的地速(GS)是指飞行器相对于地面的实际速度，它由 飞行器相对于周围空气的空速(TAS)向量加减风速(WS)向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减已知 某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为(45,25)，地速对应的向量为(315,245)，则飞行器在该 时刻的空速大小约为（单位：km/h)() A.400 B.450 C.560 D.630 4.(安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题(4卷))飞行器飞行中的 地速(GS)是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速(AS)向量加减风速 (S)向量得出，其中顺风为加，逆风为减.已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空 速对应的向量如图所示（单位：kmh),则飞行器在该时刻的地速大小为(） 200 175 150 速 125 100 75 50 风速 25 255075100125150175200225x A.300km/h B.375km/h C.380km/h D.525km/h 5.(25-26高一下全国课堂例题)己知三个力F=(3,4),F2=(2,-5),F=(x,)的合力 F1+F2+F3=0,则F3的坐标为 6.(25-26高一下山东威海期末)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行 速度的大小为16kmh,方向为北偏西30°，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速 度为向东」 km/h 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 8111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高一下贵州遵义期中)△ABC中，AD是边BC上的中线，G为AD中点，则GB=() A.4-C 3AB-1AC 4 4 c. 4 D.4 4 2.(25-26高一下黑龙江期末)在△ABC中，D,E均在BC上， W-号4N-=4C0+=M+aeR),则2x+y-() A.3 B.6 c.7 D.9 3.(25-26高一下江西景德镇期末)已知平面上不共线的四点0，A,B,C,满足0A-40B+30C=0, SOAB 则S.OAC 等于( ) 1 A.4 3 B. 4。(2526有下河南南用期未)如图.在人18C中，D-号C.为线段C上的点。 CF AFOBD=E:若B为AF的中点，则FB() A.3 C.Z 5.(26-27高一上广东深圳开学考试)对于任意实数a,b,c,d,定义有序数对(a,b)与(c,d)之间的 运算“△”为：(a,b)A(c,d)=(ac+bd,ad+bc).如果对于任意实数u,v,都有(u,)△(x,)=(u,),那 么(xy)为() A.(0,) B.(1,0) c.（-1,0) D.(0,-1) 6.(25-26高一下北京阶段检测)已知数集X={x,x,x}(其中x>0,i=1,2,…,n,n≥3)，若 对任意的x∈X(k=1,2,n),都存在x,x,∈X(:≠x),使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量 (:,x)与向量（x,x):②向量(x,x)与向量，x):③向量(x,x)与向量(，x),则称X具有性质P,例 9111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如1,2,4}具有性质卫，若数集1,3，x,x}具有性质卫，则满足条件的x,x的组数是() A.21 B.20 C.19 D.18 二、多选题 7.(25-26高一下湖南期末)设%，是平面内一组不共线向量，向量m=xe+吧，下列说法正确的是 () A.若x=y=0,则m=0 B.若m=0,则必有x=y=0 C.若x+y=1,则向量m的终点在e,e2终点的连线上 D.若x=2,y=-1,则m,只，B一定能构成三角形三边对应的向量 8.(25-26高一下广东深圳期末)设0为△ABC内一点，己知30A+0B+20C=0,E,F分别为AB, AC中点，则下列说法正确的是() A.E,O,F三点共线 B.O为E,F的中点 S.=1 C.S,e2 S40B+S40c=} D. Γ2 9.(25-26高一下·贵州遵义·期中)已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为AO的中点，过 点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=nAN,其中m>0,n>0,则下列 结论正确的是() A0-号6-4c B.BO--24B+1AC 3 6 C.2m+n=3 11 D. 的最为对6+2，且议当m-。24 3取等号 三、填空题 10.(25-26高一下河北张家口期末)在△ABC中，AB=BC=3,AC=2,N为△ABC的内心，且 BN=2BA+uBC,则2+=一 1(2526商-下天津滨海名区赞术)已知8C是边K为2的等边三角形，仙=写C,丽-写BM。 设AB=a,AC=b, 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)AH= (用a和b表示)： (2)已知点O是△ABC所在的平面内的动点，且满足A0=元AB+μAC,+4叫≤2，元ER,L∈R则动点 O运动所形成的区域面积为 11/11函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02向量基本定理、坐标运算及向量的应用 常考题型精准突破 题型01基底概念辨析 1. 【答案】B 【详解】因为向量%，e2为平面内不共线的向量，所以向量%，e2是平面内的一组基底， 1=λ 对于A中，设+g,=(g-6)=g-g,可得1=-1此时方程组无解， 所以向量+和%-6不共线，可以作为平面的一组基底： [3=62 对于8中，设3G-2g=2(-6e+4)=-6G+4g,可得292：解得1= 所以向量3-28，和6%+46，为共线向量，不能作为平面的一组基底： [1=3 对于C中，设g+3%=(3g+6)=3g+6,可得13=元，此时方程组无解， 所以向量名+38和38+6不共线，可以作为平面的一组基底： 0=2 对于D中，设g=2(g+g)=g+g,可得1=元，此时方程组无解 所以向量2和%+6不共线，可以作为平面的一组基底， 则选项B不能作为一组基底， 2. 【答案】D 【详解】由于{ā，b}可以构成一个基底，故向量ā与b不共线， 故()×2-1×m0,解得m≠-2 3. 【答案】D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】对于A,因为9=(0,0），6=(12)，所以0×2-0×1=0，则日，8共线，故A错误： 1/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B,因为%=(2，-3)，马=(-2,3)，所以2×3-(-3列×(-2)=0，则%，6共线，故B错误： 对于C,因为只=(3,4)，6=(-6，-8)，所以3×(-8)-4×(-6)=0，则g,6共线，故C错误： 对于D,因为%=(-2，)，8=（山，2），所以(-2)×2-1×1=-5≠0，则名，8不共线，故D正确。 4. 【答案】BD 【分析】根据基底的定义判断即可 【详解】对于A,设日-g=1g,则1-2)%-6=0，因为9，马不共线， 所以不存在实数入满足条件，故-，%不共线，可以作为基底 对于8，设2运+6=行9+.则2-9+-=0， 因为6,6不共线，所以1=4，所以2g+马，28+49共线，不能作为基底。 对于c,设36-6=2(-30)，则(3-2)6+(32-1)6-0，因为，6不共线， 所以不存在实数入满足条件，故38-6，只-36，不共线，可以作为基底。 对于D,设9-28=(-8+2e),则1+2)g-21+2)%=0, 因为？，2不共线，所以1=-1，所以e-2e2,-+22共线，不能作为基底， 【答案】CD 【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断两向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于e,是平面内所有向量的一组基底，故，e2不共线， 对于A,若g+8与g-38共线，则存在∈R,使得9+6=2G-3g). 1= 因为，6不共线，所以1=-3，无解，故g+6与g-36不共线，可以作为一组基底： 对于B,若日+6g,与6+6共线，则存在1eR,使得9+6g=元(g+8), 1=元 因为g,6不共线，所以6=2：无解，故g+6配与g+6不共线，可以作为一组基底： 对于C,因为3G-46-6c-8g),即36-46和6-83共线，不能作为基底 2125 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 对于D, 因为%+2e,=2 29+g 1 即6+2g和29+6共线，不能作为基底： 题型02用基底表示向量 1. 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算，直接利用基底来表示向量 【详解】由题得，征=M+E=-EM-B-CW 号4-(M-4C)--G6-AC-号+54C M 2. 【答案】B 【详解】 BD 在△ABD中AD=AB+BD, 因为BC-7BD所以D-号BC,在ABC中BC-AC-: 故D-)4C-)→D=ǖ+)4C-)-9+)4C 3. 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四则运算化简即得， 【详解】 3/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 如图，而=B+0=B+8c=+c-=+4c-a6 4 4 4. 【答案】B 【详解1：BM=)MC,:BM=BC, 3 即=店+M=B+号BC +ac-4+4c 2a+6】 3 5. 【答案】ABD 【分打】根新正六边形的待征求出MC-a仙-子aB则-青点，D一子五，丹由向m法的三角形铁则以 3 及向量的减法即可求解。 【详解】如图，设AC∩BD=M E D B 因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以∠ABC=∠BCD=I20°，且△ABC=△DCB. 又△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA=30°， 从而可有∠ACD=∠DBA=90°， 4/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则CM=BM=AM sin30=24M, 所以wC-点W-a同理有点0-五 所以DE=BA=M-M=-2a+五， 3 3 所以选项A正确； BC-BM+MC-6+5a,所以选项B正确： 3 3 12 =CD=CM+MD=一a+b,所以选项C错误： BE=2AF=- 2-.4 a+36, 所以选项D正确. 6. 【答案】 3+6 【分析】结合图形，利用向量的加减与数乘运算即得 【详解】 B D 由愿感n是边BC上一点，且D-2CD:则BD-号8C- 3 故D=AB+BD=2ā+6」 3 题型03利用平面向量基本定理求参数 1. 【答案】D 【分析】结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得 【详解】由题意AN={AC 3 5/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故-原-+号丽+号w--面+非c-小+号c 2 1.25 根据平面向量基本定理可知，m= g,则m+n= 3991 2. 【答案】A 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比 较系数列方程组求解即可。 【详解1因为D-DC.所以40=B+D=+号C=B+4C-网-号+写4C. 因为花=2EC,所以4E-号4C, 3 由题意得A,P,D三点共线，B,P,E三点共线， 所以存在实数使得P=而=仔B+d+子C, 存在实数4使得P=(-)AB+uA正=(1-川B+2AC, 2-1-” 所以有 2_24 ,解得 3 33 μ=7 则P-名×9B+片x54C=号B+ 37 37 7 4 7,mn= 4、28 所以m=7n 7×号=9 B 【答案】A 6125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意得BD=BA+AD=-AB+AC」 3 所以元=-山=3，因此+H=子 B 4 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算律将已知等式两边平方，得到关于入，“的方程，再利用换元法结合一元 二次方程有解的条件（判别式）求解九+“的取值范围. 【详解】由题意可知，o=25,o6=2,OA.OB=4,0C=32.因为0c=0A+u0B, 所以0c2=(20A+u0B=2oi+2u0A.0B+20B2. 代入数值可得：(32=2(22+2：4+2.22， 即18=822+8+4d,化简得9=422+4+2. 令t=元+4，则元=1-4，代入上式得：9=4-+4t-四)u+22, 整理得9=4-21μ+2)+41-42+2，即9=42-8μ+42+4μ-2， 化简整理为关于“的一元二次方程：22-44+42-9=0. 因为元，4∈R，所以该方程必有实数解，故判别式△=(41)'-4×2×(42-9)≥0， 即16-动47220：解得1s7n,时2s号 所服华19，点A份品大方9 2 5. 【答案】3 【详解1~0=孤+而=+C=+(C--号+兮4C, 7/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 4 .X= 3t+2y= 3 3 6. 2 【答案】() a 【分析】(1)由平面向量基本定理可得： (2)由p0:Q三点共线可得2m+n 1+=3,再结合基本不等式可得 【详解】(a)因为D=20C,所以D=B+BD=+(4C-)}+号4C, 3 因为0是4D的中点，所以40-D-名+兮4C, 6 3 又AO=xAB+yAC. 所以x名，，所以2x+y子： 1 (2)因为AP=mAB(m>0）,A0=nAC(n>0), 由4知40-B+54C=p+0. 6 3 6m 3n 1 +1=3, 1 又p0:Q三点共线，所以6mnl,即2m+ 一+ 2 当且仅当2m=n=3时等号成立， 故2m+n的最小值为3 题型04向量的坐标运算 1. 【答案】B 【详解】由题意得，0A=0B+BA=0B-AB=(3,4)-(0,-)=(3,5) 2. 【答案】A 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】因为=(-2,1)，6=(1,3)，所以à+26=(0,7) 3. 【答案】B 【详解】因为4P=PB,所以2O-04-(Oi-0m）,所以30-0i+204 所以on=oB+号0i-6-3)+子2，)-(（g 又因为O00,所以点p的坐标为（号】 4. 【答案】A 【分析】由平面向量的坐标运算求解. 【详解】由题可得xa+yb=(x,2x)+(2y,3y)=(x+2y,2x+3y)=(3,4), 「x+2y=3, x=-1, 则2x+3y=4,解得y=2. 5. 【答案】A 【分标】先由已知点得出向量坐标：再应用比例得出-号=L),进而得出点的坐标 【详解】因为点A(0,1),B(3,4),所以AB=3,3), 因点P是线段AB上靠近A的三等分点， 故P=写B=). 则点P坐标为(0+1,1+)=(，2)： 6 【容案1仔引 【分析】设P(:,),由题设及向量坐标运算可得答案 9125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 -2-功=0x户0 2 【详解】设 ,因 P(x,y) AP=3PB 从而r仔》 题型05向量共线的坐标判断 1. 【答案】c 【详解】因为A1,3),B(4,-),所以AB=(3,-4), 所以与B方向相同的向量坐标为2(3,4)，入>0， 又(6，-8)=2(3，-4)，故c正确. 2. 【答案】D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可， 【详解】对于A,因为9=(0,0)，6=(1,2)，所以0×2-0×1=0，则日，6共线，故A错误； 对于B,因为9=(2，-3)，6=（-2,3)，所以2×3-(-3)×(-2)=0，则，8共线，故B错误： 对于C,因为只=(3,4)，马=(6,8)，所以3×(-8)-4×(-6)=0，则，6共线，故c错误： 对于D,因为=(-2,1)，6=(1,2)，所以(-2)×2-1x1=-5≠0，则g,6不共线，故D正确 3. 【答案】AC 【详解】不存在元使（山3）=（山，2）或(3,5)=（山，2）成立，所以4，c正确： 可知(2,4)=2(1,2)，(4,8)=4(1,2)，所以B,D错误 4. 【答案】CD 【分析】先根据向量线性运算的坐标法则求出2ā+b的坐标，再利用平面向量共线的充要条件逐一验证选 项即可 【详解】已知向量ā=(2，-l),b=(-1,3),则向量2+b=2×(2,-1)+(-1,3)=(3,1), 10/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于A,计算3×2-1x0=6≠0，因此向量(0,2)与2a+b不平行，故A错误： 对于B,计算3×3-1×(-)=10≠0，因此向量(-1,3)与2ā+b不平行，故B错误： 对打C计算3号-12-0，因此向2到与2a+6平行，酸c正确 对于D,计算3×2-1×6=0，因此向量(6,2)与2a+6平行，故D正确 5. 【答案】BC 【详解】对于A,设向量=(x,y),由向量6-=（4，-)，b=（-1,-),得（-1-x,-1-y)=(（4,-), -1-x=-4 则-1-y=-1,解得x=3”y=0:因此c=(3,0)A错误： 对于B,b+=(-1,-)+3,0)=(2,-1),B正确： -21 对于C,由b+=(2,-),得2=，则ā116+©)，C正确： 对于D,-d+c=(5,-l),则6≠-a+c,D错误， 6. (2) 向量EF与向量AB共线，证明如下： 设F(x,%),因为B(3,-1),C(1,2), 所以F=k-3%+).2C=(2,3),因为F=号BC。 则(6-3%+0=3（-2,3). 即53=子解 3 %+1=1 %=0 所以压-得引孤=4-片以乐-号孤，收乐与B共线 【分析】(1)设出点E的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； 11/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)利用向量共线定理即可证明. 【详解】1)设E(x,y),因为A(-1,0),C1,2),则AE=(x+1,y),AC=(2,2), +1=2 3 因为 A-x ,所以 ,即2 1 x=- 所 3 y=3 (2)略 题型06利用向量共线（平行）求参数 1. 【答案】D 【详解】因为a=(1,2),b=(m,-),所以d-b=(1-m,3),a+6=(m+1,), 又因为(a-b)/(a+b),所以3(m+l)=1-m, 1 解得m=一2 2. 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标运算直接求解即可 【详解】由ā∥6，可得6×m-3×(-2)=0, 解得m=-1. 3. 【答案】B 【详解】已知ā=(1,2)，6=(k,k2-3列，若a和6方向相同，得：1x(k2-3)-2xk=0, 整理得：k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1, 当k=3时，b=(3,6)=3ā，此时元=3>0，两向量方向相同，符合条件： 当k=-1时，b=(-1,-2)=-ā，此时1=-1<0，两向量方向相反，不符合条件，舍去， 综上，k=3 12/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. 【答案】A 【详解】a-c=(m+l,-2),又（ā-c)16,=(2,-l), ∴.(m+1)×(-1)-(-2)×2=0」 解得m=3, 5. 【答案】C 【详解】因为平面向量à=(1,0)，6=(，)， 则d+5=(2+1,),a+b=(2+l,), 若ā+26与a+6共线，则2+1=(2+)，解得2=±1. 6. 【答案】B 【详解】己知AB=(7,6,BC=(-3,m）,CD=(-1,2m), 则BD=BC+CD=(4,3m), 由A,B,D三点共线， 则AB=(7,6,BD=（4,3m)共线，故7×3m-（-4)×6=21m+24=0, 解得m二、8 7 7. 【答案】-1 【分析】先求出AB,AC,由三点共线得到AB/AC,再结合平行的坐标表示求解. 【详解】因为向量0A=(1,1),0B=(3,k),0C=（-2,4), :.AB=0B-0A=(2,k-1),AC=0C-0A=(-3,3). :A,B,C三点共线， AB∥AC, .2×3-(k-1)×(-3)=0 ∴k=-1 题型07向量的线性运算应用一几何 13/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1. 【答案】A 【分析】 【详解】如图，连接AD并延长交BC与点M D C M 设点B到直线AD的距离为dB,点C到直线AD的距离为dc, 因为SAABD:S&BCD:SAc4D=5:4:3, 所以设S△MBD=5k,S△BCD=4k,SAc4D=3k, 因为AM与向量AD共线， AM AAD=AxAB+AyAC,BM uBC, .AM=AB+BM =AB+uBC =AB+u(AC-AB)=(1-u)AB+uAC, 2x=1-4 所以y=4 即x+y=1-L+41 元=AM=AD+DM AD AD _(AD+DM)x(dn+dc) AD×(dB+dc) .1 ADxdn+ADxde+-DMx(da+d)k+3+4k3 ADxd+Dxde 5k+3k2 2 1_2 所以x+y=元3 故选：A 2. 14/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】日 【详解】过点M作EF∥AB,交BC于点E,交AC于点F,连接CM并延长交AB于点H,作MO L AB,垂足为Q, 作CP⊥AB,垂足为P, 因为-写+衣，EF4B 3 4 AF 1 HM 所以AC4HC1 因为M0⊥AB,CP⊥AB∴MQ/CP,:.2M_HM=1 PC HC 4' S2-1B-MO 1 所以S, AB.CP 4 2 故答案为：4 3. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设BC=1 5=C=元，c.0,4a,b'pd,0)'则Eaa,b’AC=0-a,三 所以CF=AC=(1-a,-b),所以F(1-a)+l,-b). B(O 所以ED=(d-a,-b),DF=(0-a)+1-d,-b). 因为E,D,F共线， 所以ED/DF, 所以-bd-a)=-b[1-a)+1-d] 化简得2d=1+1. 因为ED-DF=(d-a,-b)-(-1a+1-d,-b)=(2d-元-1,0)=(0,0)=0， 15/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以ED=DF 所以ED=DF. 4. 【答案】证明见解析 【详解】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 B D Aa+1 Ab 设4,0Ba,):Pm,m):E=E丽则 (1+元1+元 因为点c分o4为1：3所以c-oi-得0 因为点D为o8的中点，所以00-号0丽-0】 因为点A,P,D共线，所以AP∥AD 又P=(m- 而传-)所以-小m-6 同理南点，只，c类线，可得a)m》 Ab Aa+1 由点0，P,E共线，可得m1+元=n:1+元解得=3所以AB=3EB =n. 题型08向量的线性运算应用—一物理 1. 【答案】C 【详解】 16/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 b a+b 东 南 如图，向=km-5mG+6=2km,tma=不=5 5 3； 所以a=30°，即向北偏东30°方向航行2km. 2. 【答案】B 【详解】设物体所受重力大小为G,斜面倾角0=30 G 309 ,·物体处于静止状态，即平衡状态，沿斜面方向合力为0， ·静摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力，即F,=Gsi血6. 代入g=30,可得f=G-sin30°=1 2 GG=2:1 ·重力与摩擦力的大小之比为F, G 2 3. 【答案】B 【分析】根据题意设出元，，%，得到立=Y-%,代入向量坐标，求得=(360,270)，利用向量的模的 公式计算即得， 【详解】设飞行器飞行中的地速向量为ò，飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为，， 由已知可得=4-2，且=(315,245)，2=(45,25) 所以4=币+2=(360,270). 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故=V3602+2702=V202500=450. 4 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念、加法运算及平面向量的模求解即可. 【详解】设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为”， 2: 由题意可得v=Y+%,且4=(225,200)，=(75,25)，所以v=4+%=(300,225), 故=V302+2S=375,即飞行器在该时刻的地速大小为375km/h 5. 【答案】（-5，) 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可 【详解】由万+下2+万=0，则F=-(后+F), 因为F=(3,4),F2=(2,-5),所以F1+F2=(5,-1),即F3=(-5,). 故答案为：(-5，) 6. 【答案】8 【分析】将小船静水速度正交分解，利用实际航向正北、东西向合速度为0的条件，由船速西向分速度直 接得到向东的水流速度大小： 【详解】小船本身航行速度大小为16kmh,方向北偏西30°，将其分解为东西、南北分量， 东西方向的速度分量的大小为=l6sin30=8kmh,方向向西， 小船实际航行方向为正北，说明东西方向合速度为0 设河水向东的速度为立，根据速度合成：Y+=0,即= 所以问==8kmh。 即河水速度向东为8kmh 18/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1. 【答案】B 【详解】如图所示，因为AD是边BC上的中线，G为AD中点， 则=-G=B-号0=6亚+40--}c, 22 4 B 2. 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理可设AD=mAB+nAC,m+n=1,AE=元AB+4AC,入+4=1，再结合己知 条件即可求解。 【详解】 AD mAB+nAC,m+n=1,AE=AB+uAC,+=1, 3 四D+正+B+a+aC++3+w购+ 3(n+)=y 21 所以m+2+n+业=3x+3=2,即2x+y=6,故B正确 3 3. 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【分析】根据已知条件求得AB=3BC,可得A,B,C三点共线，从而O到AB的距离等于O到AC的距离， AB 将问题转化为Soc 求解即可 AC 【详解】由0A-40B+30c=0,得01-0B=3(0B-0C),即BA=3CB, 所以AB=3BC,则AC=4BC, 则4，B,C三点共线，所以O到AB的距离等于O到AC的距离， AB 所以S.OAC AC 4. 【答案】C 【分析】根据向量的加减运算与平面向量基本定理，找定一组基底，通过向量的转化计算比值. 【详解】设不=A0F,因为8为A的中点，则正=F, 银照向量加法运算可知F-4C+G=C+子历=C+产B-40)产：6+中74C, 1+2 所以AE=。 AB+1 -AC 2(1+)2(1+2 由B,D,E三点共线，则AE=xAB+(1-x)AD 因为0-号4C,放征=x+号0-)4C。 t=-1 2(1+) 1，整理得 20+刀 5，解得 =1 2(1+2)4(1+2) 九= CF 1 故FB2· 5. 【答案】B 【详解】根据运算“△”的定义可得(u,)△（化，）=(+y,少+x), 20125 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题设可得到方程组+y=4 u(x-1)+y=0 整理为 uy+vx=v y+v(x-1)=0 因为上述等式对任意实数“，'均成立，所以各项系数均为0， x-1=0 即 y=0，解得x=1,y=0,即（化，）=，0) 6. 【答案】D 【分析】本题为新定义的题，考查向量共线的综合应用.根据新定义，利用向量共线的条件列出等量关系， 先求出，再依次求出，去除不满足条件的值，即可解决问题 【详解】解：由题意知，若，3，x}具有性质P,则根据定义有： (1,3)与(3x),(1,x)与(x,3),(3,)与(1，x)表示的向量中恰有一组共线， 当(1,3)与(3，x)表示的向量共线时，可得×=9，此时另外两个向量不共线，符合题意： 当(，x)与(x,3)表示的向量共线时，可得x=V3或x=-3(舍)，此时另外两组不共线，符合题意； 当(3,1)与山，x)表示的向量共线时，可得=3，此时两外两个向量不共线，符合题意， 所以，x的取值为3或√5或9 当写时.数类3,55为九3写巧小，市其具有性质p可知。 ①若(1,3)与(3，)，(1，x)与(x,3),(3,)与(1，x)表示的向量中恰有一组向量共线， 可得x,=9或x,=3或：=-3（舍）或=3（舍）： ®写》（后小）与引（得与）*前哈有银向关线， 可得5g或5 1 V3 3 (舍)或x,=3(舍)： ©者(3)与行)6)与司写引.（后列与6西）表示的向量中怡有组向显共线， 可得3=27或x,=27或，2=士1（舍)， 所以.私3对只有城p可物5的取值为分·)5，店g27 21/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,1V3 同理，当x=5时，{1,3，V3,x}具有性质p可得x的取值为3,3,5,27,35,9 11 同理，当x=9时，{红，3,9，x}具有性质p可得x的取值为g,3’V5,33,27'81 因此，数集L3,,x}具有性质P时，满足条件的为，五的组数为6+6+6=18组。 二、多选题 7. 【答案】AB 【详解】选项A:若x=y=0,则m=0g+0g=0,A正确。 选项B:,马不共线，由平面向量基本定理，若x阳+%，=0，则必有x=y=0,B正确. 选项C:未指明向量m,e,e起点相同，无法推出终点共线，C错误 选项D:由条件得m=2-巳，故m,%,6共面，若三个向量起点相同，m的终点在？，终点的连线上，三 点共线，不能构成三角形，D错误. 8. 【答案】AD 【分析】根据向量的线性运算可得0E=-20F,放可判断A8的正误，根据OE=-20F可得l06=号引E、 OF=}BF1,从而可得诸面积关系，故可判断CD的正误 【详解】因为30A+OB+20C=0,并且E,F分别为AB,AC中点， 所以0A+0B=20E,0A+0C=20F, 则301+0B+20C=2(o1+0C)+(01+0B)=40F+20E=0,所以0E=-20F, 所以OE/OF,又O为公共点，所以E,O,F三点共线但O不是E、F的中点， 故A正确；B错误； 对于c,由0O6-20F,得l0-号r1,0m=E, 1 1 32 61 S0=2,故C错误： 所以S。AoC 22/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 对于D,由选项C得S4om+S4oc=3 C+6SC1,故D正确。 2 C 9. 【答案】BC 【详解】A0=A0+B0=B+(4C--号0+写4C,故A错误， 3 0=40-瓜=40-6-46+64C-4B=-号4+64C,故8正确： 6 因为40-号B+4C-0W+号孤，且M,0N三点关线， 20+背1，即2m+n=3妆C正确： 所以33 +女知+》+小-+0++， 等号成立时m=6-3V2 2,n=32-3,故D错误 B M 三、填空题 10. 【答案】410.75 【分析】根据等腰三角形的特征和角平分线定理，即可求解. 【详解】如图，BA=BC,点O是AC的中点，点N在BO上， 23/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BN 根据角平分线定理可知，AONO 则N-0-(团+a网，所以2-a+a-身 4 B 11. 【答案】 16V5 【分析】(1)利用向量的线性运算即可求解；(2)分类讨论风+4≤2，元∈R,∈R中元，4的取值范围， 找出点O运动所形成的区域，再求出面积， 【详解14)ǖ-历+所=+=亚+(-=+4c-瓜 =+c-号+兮c-号a+g 3 9 (2)因为风+4≤2，∈R,eR: 当2≥0，≥0时，元+μ≤2，由于A0=1AB+μAC,那么取BC中点D,延长至E,使AE=2AD,作 EGIIBC交AB,AC延长线于点F,点G,则AF=2AB,AG=2AC,那么此时点O的运动区域为△MFG, 理由如下： E=2AD=2×24B+AC）=B+AC,此时元+4=2： 若点O在线段FG上运动时，由于O,F,G三点共线， 那么A0=4AF+0-4)AG(>0,4∈R),即A0=2,AB+21-4)AC, 此时九+M=2,若点O在△AFG内部运动时，0≤元+M<2: 当元>0，<0时，1-≤2，反向延长AC至点1，使A=2AC,连接F,则AEIF,则点O的运动区域为 △AFI,理由如下：A=-2AC,此时元-4=2， 若点O在线段FI上运动时，由于O,F,I三点共线， 24125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 那么A0=5AF+(1-)Ai4,>0,5∈R),即A0=24,AB-2(1-)AC, 此时1-1=2，若点O在△AF1内部运动时，0≤元-4<2； 当<0，>0时，-元+≤2，反向延长AB至点J,使AJ=2AB,连接JG,则AEWG 则点O的运动区域为△AG,理由如下：A=-2AB,此时-元+4=2， 若点O在线段G1上运动时，由于0，G,J三点共线， 那么A0=44I+(1-4)AC4>0,4∈R),即A0=-24,AB+21-43)AC, 此时-1+μ=2，若若点O在△AG内部运动时，0≤-元+4<2； 当<0，u<0时，-元-u≤2，点O的运动区域为△AW,理由如下： A万=-2AB，此时-元-4=2， 若点O在线段W上运动时，由于O,1,J三点共线， 那么A0=4AJ+(1-4)Ai,>0,4∈R),即A0=-24AB-2(1-4)AC, 此时-九-4=2，若若点O在△AW内部运动时，0≤-元-4<2： 由于△ABC是边长为2的等边三角形， 故AE⊥BC,BCIIFG,所以AE⊥FG,同理可得W⊥F,F⊥FG,FG⊥GH, 所以，动点0运动所形成的区域为矩形FG,S=F-FG=41D.2BC=8x2sin×2=165】 A 个M D F E 25/25 专题02 向量基本定理、坐标运算及向量的应用 常考题型·精准突破 题型01用基底表示向量 题型02 用基底表示向量（高频） 题型03利用平面向量基本定理求参数 题型04向量的坐标运算 题型05向量共线的坐标判断 题型06利用向量共线（平行）求参数（重） 题型07向量的线性运算应用——几何 题型08向量的线性运算应用——物理 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 基底概念辨析 1．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】因为向量，为平面内不共线的向量，所以向量，是平面内的一组基底， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解. 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 则选项B不能作为一组基底. 2．（25-26高一下·四川宜宾·期末）向量，，若可以构成一个基底，则不可能是（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由于可以构成一个基底，故向量与不共线， 故，解得． 3．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】对于A，因为，，所以，则，共线，故A错误； 对于B，因为，，所以，则，共线，故B错误； 对于C，因为，，所以，则，共线，故C错误； 对于D，因为，，所以，则，不共线，故D正确. 4．（多选）（25-26高一下·湖北武汉·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】对于A，设，则，因为，不共线， 所以不存在实数满足条件，故，不共线，可以作为基底. 对于B，设，则， 因为，不共线，所以，所以，共线，不能作为基底. 对于C，设，则，因为，不共线， 所以不存在实数满足条件，故，不共线，可以作为基底. 对于D，设，则， 因为，不共线，所以，所以，共线，不能作为基底. 5．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断两向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线， 对于A，若与共线，则存在，使得， 因为不共线，所以，无解，故与不共线，可以作为一组基底； 对于B，若与共线，则存在，使得， 因为不共线，所以，无解，故与不共线，可以作为一组基底； 对于C，因为，即和共线，不能作为基底； 对于D，因为，即和共线，不能作为基底； 题型02用基底表示向量 1．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知为所在平面内的一点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算，直接利用基底来表示向量. 【详解】由题得， .    2．（26-27高一上·浙江·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在中, 因为所以,在中， 故. 3．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）在△ABC中，，设＝，＝，则用，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四则运算化简即得. 【详解】 如图，. 4．（25-26高一下·四川泸州·期末）在中，，记，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， 即 = =. 5．（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）已知六边形为正六边形，且，，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正六边形的特征求出,，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解. 【详解】如图，设 因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以，且. 又是等腰三角形，所以， 从而可有， 则， 所以,同理有. 所以，所以选项A正确； ，所以选项B正确； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 6．（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）在中，点是边上一点且，若，，则________（用､表示）． 【答案】 【分析】结合图形，利用向量的加减与数乘运算即得． 【详解】 由题意,是边上一点,且，则 故. 题型03利用平面向量基本定理求参数 1．（25-26高一下·云南丽江·期末）在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得. 【详解】由题意， 故, 根据平面向量基本定理可知，，则. 2．（25-26高一下·北京·期中）已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比较系数列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 由题意得三点共线，三点共线， 所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以有，解得， 则， 所以，. 3．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）在中，为边上靠近点的三等分点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以，因此. 4．（25-26高一下·北京·期末）青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径为，小圆半径为2，点在大圆上，点在小圆上，，动点满足，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算律将已知等式两边平方，得到关于 的方程，再利用换元法结合一元二次方程有解的条件（判别式）求解 的取值范围. 【详解】由题意可知，，，，. 因为 ， 所以 . 代入数值可得：， 即 ， 化简得 . 令 ，则 ，代入上式得： ， 整理得 ， 即 ， 化简整理为关于 的一元二次方程：. 因为 ，所以该方程必有实数解， 故判别式 ， 即 ， 解得 ，即 ， 所以 ，故 的最大值为 . 5．（25-26高一下·四川泸州·期末）在中，点满足，若，则________． 【答案】 【详解】， . 6．（25-26高一下·山东青岛·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量基本定理可得； （2）由，，三点共线可得，再结合基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 又因为是的中点，所以， 又， 所以，，所以； （2）因为，， 由（1）知，， 又，，三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 题型04向量的坐标运算 1．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 2．（25-26高一下·福建泉州·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解． 【详解】因为，所以. 3．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知点，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以， 又因为，所以点的坐标为. 4．（25-26高一下·甘肃白银·期末）已知向量，，实数x，y满足，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量的坐标运算求解． 【详解】由题可得， 则解得 5．（25-26高一下·广东梅州·期末）已知点，，若点是线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知点得出向量坐标，再应用比例得出，进而得出点的坐标 【详解】因为点，，所以， 因点P是线段AB上靠近A的三等分点， 故， 则点P坐标为； 6．（25-26高一下·上海·期末）已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】设，由题设及向量坐标运算可得答案. 【详解】设，因，则， 从而. 题型05向量共线的坐标判断 1．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知，下列与方向相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以与方向相同的向量坐标为， 又，故C正确. 2．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】对于A，因为，，所以，则，共线，故A错误； 对于B，因为，，所以，则，共线，故B错误； 对于C，因为，，所以，则，共线，故C错误； 对于D，因为，，所以，则，不共线，故D正确. 3．（多选）（25-26高一下·福建福州·期中）在下列向量中，与向量可以构成一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】不存在使或成立，所以A，C正确； 可知，，所以B，D错误. 4．（多选）（25-26高一下·北京顺义·期中）已知向量 ，则下列向量与 平行的是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先根据向量线性运算的坐标法则求出的坐标，再利用平面向量共线的充要条件逐一验证选项即可. 【详解】已知向量 ，则向量， 对于A，计算，因此向量与不平行，故A错误； 对于B，计算，因此向量与不平行，故B错误； 对于C，计算，因此向量与平行，故C正确； 对于D，计算，因此向量与平行，故D正确. 5．（多选）（25-26高一下·广西玉林·阶段检测）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，设向量，由向量，，得， 则，解得，，因此，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，，则，D错误. 6．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【答案】(1) (2) 向量与向量共线，证明如下： 设，因为，， 所以，，因为， 则， 即，解得，所以， 所以，，所以，故与共线. 【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）设，因为，，则，， 因为，所以，即， 解得，所以； （2）略 题型06利用向量共线（平行）求参数 1．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知平面向量，若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 解得． 2．（25-26高一下·陕西榆林·期末）已知向量，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标运算直接求解即可. 【详解】由，可得， 解得. 3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，，若和方向相同，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】已知，，若和方向相同，得： ， 整理得：，解得或， 当时，，此时，两向量方向相同，符合条件； 当时，，此时，两向量方向相反，不符合条件，舍去， 综上，. 4．（25-26高一下·新疆喀什·期末）已知平面向量，，，，则（    ） A．3 B．2 C．-5 D．1 【答案】A 【详解】，又，， ， 解得． 5．（25-26高一下·广东肇庆·期末）已知平面向量，，若与共线，则（    ） A．0 B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【详解】因为平面向量，， 则，， 若与共线，则，解得. 6．（25-26高一下·天津·期末）已知，，，若，，三点共线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，， 则， 由，，三点共线， 则，共线，故， 解得． 7．（25-26高一下·河南信阳·期末）若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____. 【答案】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， . 题型07向量的线性运算应用——几何 1．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】 【详解】如图，连接AD并延长交BC与点M, 设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为, 因为， 所以设， 因为AM与向量AD共线， 设,, 所以， 即， , 所以 故选：A 2．已知是内一点，，设的面积为的面积为，则 ． 【答案】 【详解】过点作,交于点,交于点连接并延长交于点,作,垂足为,作,垂足为 因为，, 所以 因为, 所以. 故答案为： 3．如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，，则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线， 所以， 所以 化简得. 因为， 所以. 所以. 4．如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 【答案】证明见解析. 【详解】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，，则. 因为点C分为，所以 因为点D为的中点，所以. 因为点A，P，D共线，所以. 又，，所以. 同理由点B，P，C共线，可得， 由点O，P，E共线，可得.解得.所以. 题型08向量的线性运算应用——物理 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（   ） A．向东北方向航行km B．向北偏东方向航行2km C．向北偏东方向航行2km D．向北偏东方向航行km 【答案】C 【详解】 如图，，，，， 所以，即向北偏东方向航行2km. 2．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知物体放在一个倾角为的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力的大小之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设物体所受重力大小为，斜面倾角. ∵ 物体处于静止状态，即平衡状态，沿斜面方向合力为0， ∴ 静摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力，即. 代入，可得. ∴ 重力与摩擦力的大小之比为. 3．（25-26高一下·江苏苏州·期中）飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地速对应的向量为，则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：）（   ） A．400 B．450 C．560 D．630 【答案】B 【分析】根据题意设出，，得到，代入向量坐标，求得，利用向量的模的公式计算即得. 【详解】设飞行器飞行中的地速向量为，飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为， 由已知可得，且，， 所以， 故. 4．（安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题（A卷））飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念、加法运算及平面向量的模求解即可. 【详解】设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为，， 由题意可得，且，，所以， 故，即飞行器在该时刻的地速大小为． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三个力，，的合力，则的坐标为____________． 【答案】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由，则， 因为，，所以，即． 故答案为： 6．（25-26高一下·山东威海·期末）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速度为向东________． 【答案】8 【分析】将小船静水速度正交分解，利用实际航向正北、东西向合速度为 的条件，由船速西向分速度直接得到向东的水流速度大小. 【详解】 小船本身航行速度大小为，方向北偏西，将其分解为东西、南北分量, 东西方向的速度分量的大小为，方向向西， 小船实际航行方向为正北，说明东西方向合速度为. 设河水向东的速度为，根据速度合成：,即 所以。 即河水速度向东为. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）中，是边上的中线，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，因为是边上的中线，为中点， 则.    2．（25-26高一下·黑龙江·期末）在中，均在上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理可设，，再结合已知条件即可求解. 【详解】 设，， 则，则， 所以，即，故B正确. 3．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得，可得三点共线，从而到的距离等于到的距离，将问题转化为求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，则， 则三点共线，所以到的距离等于到的距离， 所以. 4．（25-26高一下·河南南阳·期末）如图，在中，，F为线段上的一点，，若E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减运算与平面向量基本定理，找定一组基底，通过向量的转化计算比值． 【详解】设，因为E为的中点，则， 根据向量加法运算可知， 所以； 由B，D，E三点共线，则， 因为，故； 故，整理得，解得； 故． 5．（26-27高一上·广东深圳·开学考试）对于任意实数，，，，定义有序数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，，都有，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据运算“”的定义可得 ， 由题设可得到方程组 ，整理为 ， 因为上述等式对任意实数均成立，所以各项系数均为0， 即， 解得，即. 6．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知数集（其中，，，），若对任意的（），都存在，使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量与向量；②向量与向量；③向量与向量，则称X具有性质P，例如具有性质P，若数集具有性质P，则满足条件的，的组数是（   ） A．21 B．20 C．19 D．18 【答案】D 【分析】本题为新定义的题，考查向量共线的综合应用. 根据新定义，利用向量共线的条件列出等量关系， 先求出，再依次求出，去除不满足条件的值，即可解决问题. 【详解】解：由题意知，若具有性质，则根据定义有： 与，与，与表示的向量中恰有一组共线， 当与表示的向量共线时，可得，此时另外两个向量不共线，符合题意； 当与表示的向量共线时，可得或（舍），此时另外两组不共线，符合题意； 当与表示的向量共线时，可得，此时两外两个向量不共线，符合题意， 所以，的取值为或或. 当时，数集为，由其具有性质可知， ①若与，与，与表示的向量中恰有一组向量共线， 可得或或（舍）或（舍）； ②若与，与，与表示的向量中恰有一组向量共线， 可得或或（舍）或（舍）； ③若与，与，与表示的向量中恰有一组向量共线， 可得或或（舍）， 所以，具有性质可得的取值为，，，，，. 同理，当时，具有性质可得的取值为，，，，，； 同理，当时，具有性质可得的取值为，，，，，， 因此，数集具有性质P时，满足条件的，的组数为组. 二、多选题 7．（25-26高一下·湖南·期末）设，是平面内一组不共线向量，向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则必有 C．若，则向量的终点在，终点的连线上 D．若，，则，，一定能构成三角形三边对应的向量 【答案】AB 【详解】选项A：若，则，A正确. 选项B：不共线，由平面向量基本定理，若，则必有，B正确. 选项C：未指明向量起点相同，无法推出终点共线，C错误. 选项D：由条件得，故共面，若三个向量起点相同，的终点在终点的连线上，三点共线，不能构成三角形，D错误. 8．（25-26高一下·广东深圳·期末）设O为内一点，已知，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（   ） A．E，O，F三点共线 B．O为E，F的中点 C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的线性运算可得，故可判断AB的正误，根据可得、，从而可得诸面积关系，故可判断CD的正误. 【详解】因为，并且E，F分别为AB，AC中点， 所以，， 则，所以， 所以，又O为公共点，所以E，O，F三点共线但O不是E、F的中点， 故A正确；B错误； 对于C，由，得，， 则，， 所以，故C错误； 对于D，由选项C得，故D正确． 9．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为，当且仅当取等号 【答案】BC 【详解】，故A错误； ，故B正确； 因为，且三点共线， 所以，即，故C正确； ， 等号成立时，故D错误. 三、填空题 10．（25-26高一下·河北张家口·期末）在中，，，N为的内心，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据等腰三角形的特征和角平分线定理，即可求解. 【详解】如图，，点是的中点，点在上， 根据角平分线定理可知，， 则，所以， 11．（25-26高一下·天津滨海新区·期末）已知是边长为2的等边三角形，，，设，， （1）__________（用和表示）； （2）已知点是所在的平面内的动点，且满足，则动点运动所形成的区域面积为__________. 【答案】 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解；（2）分类讨论中的取值范围，找出点运动所形成的区域，再求出面积. 【详解】（1） ; （2）因为， 当时，，由于，那么取中点,延长至，使,作交,延长线于点，点，则,那么此时点的运动区域为，理由如下： ,此时， 若点在线段上运动时，由于三点共线， 那么，即, 此时,若点在内部运动时，； 当时，，反向延长至点，使,连接,则,则点的运动区域为,理由如下：,此时， 若点在线段上运动时，由于三点共线， 那么，即, 此时，若点在内部运动时，； 当时，，反向延长至点，使,连接,则 ,则点的运动区域为,理由如下：,此时， 若点在线段上运动时，由于三点共线， 那么，即, 此时，若若点在内部运动时，； 当时，,点的运动区域为,理由如下： ，此时, 若点在线段上运动时，由于三点共线, 那么,即, 此时，若若点在内部运动时，； 由于是边长为2的等边三角形， 故,,所以,同理可得, 所以，动点运动所形成的区域为矩形,. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $