高中数学单元测试——第六章平面向量及其应用（较易版02）

高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量及其应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 2．（本题5分）已知平面向量，若，则（   ） A．1 B．-2 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示与向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，所以， 解得. 故选：D. 3．（本题5分）已知中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理可求得结果. 【详解】根据正弦定理可得：， ，解得. 因为，所以，所以. 故选：A. 4．（本题5分）下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 【答案】D 【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可. 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 5．（本题5分）已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 可得，即； 因为，为单位向量，所以，所以. 故选：A． 6．（本题5分）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理，和平面向量运算方法，用基底表示目标向量. 【详解】 如图所示，. 故选：D. 7．（本题5分）在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角转化，表示出，利用基本不等式以及三角函数有界性得唯一解，即可求面积. 【详解】由正弦定理，， 则， 则， 当且仅当取等号， 又由于，， 所以,， . 故选：B. 8．（本题5分）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量的数量积的概念及运算对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A正确； 由平面向量数量积的交换律可知，，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 10．（本题6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用平面向量数量积的定义，判断夹角的范围即可判断A选项；对于B选项，利用正弦定理进行边化角处理，化简可得到角的关系；对于C选项，利用正弦定理进行角花边处理，再利用余弦定理求得；对于D，利用角的正切值在的正负关系，直接得出结果. 【详解】对于A选项： ，则，故A选项正确； 对于B选项：， 由正弦定理可得， 则，即，故，则，故B错误； 对于C选项： 由正弦定理可得，，即， 解得 ，，故C正确； 对于D选项： 、、三个必有一个为负值 又，，，故D正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】BC 【分析】由数量积的定义及性质，得出，，由余弦定理求得BD，进一步根据几何关系得为正三角形，. 即可以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法可表示出，，讨论值域即可 【详解】由题， ，又，则， 则，为正三角形，， 故以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，设，则， 则， 则当时，取最小值；当时，取最大值3，故. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）已知，，且，则________． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得，解得. 故答案为：3 13．（本题5分）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______．    【答案】2 【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，假设小艇与轮船在点相遇，      由题意得，，． 由余弦定理得，得， 解得或4．故的最小值为2． 故答案为：2 14．（本题5分）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系. 因， 而表示在方向上的投影向量的数量， 由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点， 则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小. 易得，则的最大值为6，最小值为， 故. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知，，，试求： (1)与的夹角； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，然后利用平方的方法求得，从而求得与的夹角. （2）利用平方的方法求得. 【详解】（1）由已知得：， 所以，， 与的夹角为. （2）， 所以. 16．（本题15分）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证； （2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 17．（本题15分）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和两角差的余弦公式即可求解； （2）根据条件得出，然后利用正弦定理和勾股定理，同角三角比的关系和二倍角公式即可得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，所以. 因为，所以. （2）如图，因为，所以，所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理得， 因为， 所以，所以， 所以. 因为，所以，即. 在中，. 所以， 所以 . 18．（本题17分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的图象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函数的解析式及对称中心； （2）由，求得，由正弦定理得，得到，化简得到的周长为，结合为锐角三角形，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 19．（本题17分）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. (1)记的相伴函数为f(x)，求的最大值； (2)已知动点满足，且 的相伴函数在时取得最大值，求 的最小值； (3)已知为函数的相伴向量，在中，，且点 为的外心，求 的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和的正弦展开式化简可得，再利用三角函数性质可得答案； （2）由辅助角公式得，根据在时取得最大值求出，可得，根据在上单调递减可得答案； （3）根据求出，根据正弦定理可得外接圆的半径R，再利用可得答案. 【详解】（1）由题意得 因为，所以的最大值为； （2）由题设可得， 且  在时取得最大值， 得，则 所以     令，，设， 则， 因为，所以， 可得，， 所以在上单调递减， 故 所以 的最小值为 ； （3）由题意得 因此 设外接圆的半径为R，根据正弦定理可得 故所以 又 又 ，所以 ， 所以 所以当时，取得最大值，最大值为6. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 高中数学单元测试 第六章平面向量及其应用（较易版02） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.(本题5分)PO+OM-PM=() A.2MO B.2P0 C.2MP D.O 2.(本题5分)已知平面向量a=(1,2),b=(m,-1)若a-)1(a+),则m=() A.1 B.-2 C.2 D.±2 3.(本题5分)已知4c中，a=36=6B-年则4=（) A君 B名或阳 c D. 3 4.(本题5分)下面命题中，正确的是() A.若同=同，则a=i B.若日>，则a>i c.若d=0,则a=0 D.若a=i,则a/b 5.（本题5分)已知向量a满足同=5且单位向量e在a方向上的投影向量为a,则向量 2 a与e的夹角为() A君 B.月 C.2π D. 5π 3 6 6.(本题5分)在4B中，BE=BM,CD=CB,则DE=() A-号4cB.西+4c C.C D.17B-2C 6 3 3 7.(本题5分)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b=1,tanC= 2, 4c2+b2=4 absin C,则ABC的面积为() A. B.4 C. D.1 8.(本题5分)如图，在△ABC中，己知AB=2,AC=5,∠BAC=60°，BC、AC边上的两 条中线AM、BN相交于点P,则∠MPV的余弦值为() B 试卷第1页，共3页 B.3 C.4v3 D. 4v91 2 93 91 二、多选题 9.(本题6分)下面给出的关系式中正确的是() A.0a=0 B.a.b=b.a C.a2=ap D.(a.6}=a.6 10.(本题6分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件能判断△ ABC是钝角三角形的有() A.AB.BC>0 B.b2 sin2 C+c2sin2 B=2bccos BcosC C.a-b sinC D.tand+tanB+tanC<0 c+b sinA+sinB 11.(本题6分)在平面四边形ABCD中 B·BC=0,AD:CD=0,ABHAD1,AD.BA,若点E为线段CD上的动点，则 AE.BE的值可能为() A.1 B.21 C.2 D2 7 16 三、填空题 12.(本题5分)己知a=(4,2),6=(6,y),且a/b,则y= 13.(本题5分)如图，某港口0要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在 小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°方向且与该港口相距20 nmile的A处，并以15 nmile /h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以5√n mile/h的航行速度匀 速行驶，经过h与轮船相遇，则t的最小值为 14.(本题5分)如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正 试卷第1页，共3页 命学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP.AB的取值范围为 C 四、解答题 15.(本题13分) 己知d=1,同=5，a+i=(5,),试求： (I)a与的夹角： 2a-26 16.(本题15分)设ā，b是不共线的两个向量 (1)若0A=2a-6,0B=3a+6,0C=a-36,求证：A,B,C三点共线： (2)若8a+kb与ka+4b共线，求实数k的值 17.(本题15分)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinB=bcos (1)求角A; (2)若BC=2CD且AB·AD=0,求cosB-∠ACB)的值. 18.(本题17分)已知函数f(x)=2sin(ox+p(o>0,-元 p<孕的部分图象如图所示 2 (1)求函数(x)的解析式及对称中心： (2)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(C)=√3，c=4,求ABC周长的取 值范围. 试卷第1页，共3页 19.(本题17分)已知O为坐标原点，对于函数f(x=asinx+bcosx,称向量OM=(a,b) 为f(x)的相伴向量，同时称f(x)为向量OM的相伴函数 (1)记OM=(1,1的相伴函数为x),求f(x)的最大值； (2)己知动点M(1,b)满足b∈ 3 0, 且OM的相伴函数gx)在x=x,时取得最大值，求 3 1 tan2xo +tanx,的最小值； (3)已知OA=(O,)为函数h(x)的相伴向量，在ABC中，AB=2,cosC=h 且点G为 ABC的外心，求GC.AB+CA.CB的最大值 试卷第1页，共3页