专题01 图形的相似和比例线段（重难点讲义）数学新教材人教版九年级下册

专题01 图形的相似和比例线段 1．能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2．了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3．知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则=ac（b称为a、c的比例中项）． 二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是 全等； 三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 四、黄金分割 若线段AB 上一点C,把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC),且使 AC 是AB 和BC 的比例中项(即AC²=AB·BC),则称线段AB 被点C 黄金分割, 点C 叫线段AB 的黄金分割点,其中 AC=(AB ≈0.618 AB) , (BC=AB ≈0.382 AB) ，AC 与AB 的比叫做黄金比｡(注意:对于线段AB而言,黄金分割点有两个｡) 题型01成比例线段的概念 【典例】已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【变式】已知a、b、c为三角形ABC的三边长，且，，求三角形ABC三边的长． 题型02成比例线段与比例尺综合 【典例】在比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行______千米． 【变式】在比例尺为的地图上，如果A，B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是__________千米． 题型03成比例线段的实际应用 【典例】某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（　　） 文学社 篮球社 动漫社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变 C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少 【变式】将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为15厘米，如果将10本这样相同厚度的书叠起来，那么新的高度是__________厘米． 题型04利用比例的性质求字母的值 【典例】已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为__________． 【变式】已知，且，求x，y的值． 题型05利用比例的性质求代数式的值 【典例】若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 【变式】（1）若，求的值； （2）若，且，求． 题型06利用比例的性质进行证明 【典例】已知，且，求证：． 【变式】已知 (1)求： (2)求证： 题型07比例的性质在阅读理解中的应用 【典例】材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【变式】阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 题型08黄金分割的概念辨析 【典例】我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 题型09黄金分割的实际应用 【典例】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______．（结果保留根号） 【变式】如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为_____（精确到0.1）    题型10相似图形 【典例】手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式】一个矩形ABCD的较短边长为2． （1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积． 题型11相似多边形 【典例】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【变式】为了更好的发展经济，让山里的石榴走出去，某县政府决定在A、B两地之间修建一条公路，在比例尺为的地图上，A、B两地相距，它们的实际距离为（   ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 3．△ABC∽△A1B1C1， 且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2， 且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（　　） A． B． C．或 D． 4．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 5．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有(    ). A．一种 B．两种 C．三种 D．四种 6．在一张比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为（　　） A．3.5千米 B．35千米 C．350千米 D．3500千米 7．已知若，则________；若，则∶＝___． 8．判断下列长度的各组线段是不是成比例线段： (1)；(2)；(3)；(4)． 9．已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 10．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的高线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)、、、是成比例线段吗？说明理由． 【强化训练】 1．有四组线段，每组线段长度如下：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，，能组成比例的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（   ） A．或 B． C． D． 3．如图，梯形中，，、两点分别在、上．若，，，，且梯形与梯形相似，则与的长度比为何？（ ） A．1:2 B．2:3 C．2:5 D．4:9 4．如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则__________． 5．矩形中，，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点A、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积S与的函数关系式． 6．如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比． 7．如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 8．已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？ 9．已知线段a、b、c，且． (1)求的值为 ； (2)若线段a、b、c满足，求c的值． 10．小明查阅资料得知，国际标准规格纸张的长与宽之比恰好为．已知一张如图所示的规格打印纸（长方形纸片）的宽为． (1)这张规格打印纸的长为_________； (2)若一张面积为的长方形纸张的长与宽之比恰好为，求该长方形纸张的周长； (3)如图，将一张规格的打印纸（长方形纸片）对半裁剪3次后，请你通过计算判断剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比是否还为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 图形的相似和比例线段 1．能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2．了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3．知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则=ac（b称为a、c的比例中项）． 二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是 全等； 三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 四、黄金分割 若线段AB 上一点C,把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC),且使 AC 是AB 和BC 的比例中项(即AC²=AB·BC),则称线段AB 被点C 黄金分割, 点C 叫线段AB 的黄金分割点,其中 AC=(AB ≈0.618 AB) , (BC=AB ≈0.382 AB) ，AC 与AB 的比叫做黄金比｡(注意:对于线段AB而言,黄金分割点有两个｡) 题型01成比例线段的概念 【典例】已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得， 则． （2）解：线段是线段、的比例中项， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则的值为． 【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 【变式】已知a、b、c为三角形ABC的三边长，且，，求三角形ABC三边的长． 【答案】，， 【分析】根据比例的性质，可得a、b、c的关系，根据a、b、c的关系，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得，， 把，代入， 得， 解得， ， ， 所以三角形ABC三边的长为：，，． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质．利用等式的性质得出，是解题关键． 题型02成比例线段与比例尺综合 【典例】在比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行______千米． 【答案】900 【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案． 【详解】解：甲乙两地的实际距离： ， （千米）， （千米）； 答：这架飞机每小时行900千米． 故答案为：900． 【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键． 【变式】在比例尺为的地图上，如果A，B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是__________千米． 【答案】5 【分析】此题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解∶∵比例尺为，，两地的距离是10厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， 故答案为：5 题型03成比例线段的实际应用 【典例】某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（　　） 文学社 篮球社 动漫社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变 C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少 【答案】A 【分析】设该班上、下学期的学生人数都为x人，然后按照该班学生上、下学期各社团的人数比例计算出该班上、下学期的文学社的学生人数，上、下学期的篮球社的学生人数，再比较大小即可． 【详解】解：设该班上、下学期的学生人数都为x人， 则该班上学期的文学社的学生人数＝x＝x，上学期的篮球社的学生人数＝x＝x； 该班下学期的文学社的学生人数＝x＝x，下学期的篮球社的学生人数＝x＝x； 故上学期、下学期文学社团的学生人数增加了，篮球社团的学生人数不变． 故选：A． 【变式】将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为15厘米，如果将10本这样相同厚度的书叠起来，那么新的高度是__________厘米． 【答案】25 【分析】根据题意可求出一本书的厚度，然后再求出10本书的厚度． 【详解】解：由题意可知一本书的厚度为：15÷6＝cm， ∴10本这样相同厚度的书叠起来高度为：10×＝25cm， 故答案为：25． 【点睛】本题考查分数的乘除法，解题的关键是熟练运用乘除运算法则，本题属于基础题型． 题型04利用比例的性质求字母的值 【典例】已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键． 根据题意得出，，，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ 即， 当时，， 当时，． 故答案为：或． 【变式】已知，且，求x，y的值． 【答案】x=6，y=10 【分析】设，则x=3k，y=5k，z=6k，由可求得k的值，从而可求得x与y的值． 【详解】设，则x=3k，y=5k，z=6k ∵ ∴ 解得：k=2 ∴x=3×2=6，y=5×2=10 即x、y的值分别为6、10 【点睛】本题考查了比例的性质，若几个比相等，即，常常设其比值为k，则有a=kb，c=kd，e=kf，再根据题目条件解答则更简便． 题型05利用比例的性质求代数式的值 【典例】若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】解： 由， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 【变式】（1）若，求的值； （2）若，且，求． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）先设，得到，然后代入计算即可； （2）先设，得到，再根据求出，最后进行比较即可． 【详解】解：（1）设， ∴， ∴； （2）设， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值． 题型06利用比例的性质进行证明 【典例】已知，且，求证：． 【答案】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【变式】已知 (1)求： (2)求证： 【答案】(1)； (2)证明：由(1)得，=， ∴ 【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解. (2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可得证. 【详解】(1)解：由 可设a=2k，b=3k ∴. (2)略． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键. 题型07比例的性质在阅读理解中的应用 【典例】材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）略 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 【变式】阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且a≠b，c≠d，证明． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据计算即可； （2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可； 【详解】（1）∵， ∴； （2）略 【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键． 题型08黄金分割的概念辨析 【典例】我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：设BC=a， ∵矩形ABCD为黄金矩形， ∴AB=a， ∴BE=a-a=a， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键． 【变式】如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义得，即可解决问题． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ，， A、C、D选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为，近似值为，即为黄金分割． 题型09黄金分割的实际应用 【典例】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，直接利用其建立等式求解即可． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， 解得， 故答案为：． 【变式】如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为_____（精确到0.1）    【答案】4.3cm 【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为列式计算即可． 【详解】解：设蝴蝶身体的长度为xcm， 由题意得：＝， 解得：x＝≈4.3， 故答案为：4.3cm． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解题的关键． 题型10相似图形 【典例】手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案． 【详解】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求； B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求； C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求； D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例． 【变式】一个矩形ABCD的较短边长为2． （1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积． 【答案】（1）；（2）2. 【分析】（1）设它的另一边长为2x，则AM=DM=x，根据相似多边形的性质得=，即=，然后解方程求出x则可得到矩形ABCD的另一边长； （2）设DF=a，根据相似多边形的性质得=，即=，然后利用比例性质求出DF，再利用矩形面积公式计算矩形EFDC的面积. 【详解】解：由已知得，， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形与矩形相似，， ∴，即， ∴，即它的另一边长为； ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比. 题型11相似多边形 【典例】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【答案】 设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 即宽度为0米的小路不存在， ∴做不到． 【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解． 【详解】略 【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）． 【变式】为了更好的发展经济，让山里的石榴走出去，某县政府决定在A、B两地之间修建一条公路，在比例尺为的地图上，A、B两地相距，它们的实际距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比的应用，根据比例尺的定义，将地图上的长度转换为实际距离，并进行单位换算即可． 【详解】解：∵比例尺为， ∴A、B两地相距时，它们的实际距离为： ， 故选：B． 【巩固训练】 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题关键． 由，可设，再代入求值即可． 【详解】解：由题意设， ∴， 故选：A． 2．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 3．△ABC∽△A1B1C1， 且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2， 且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为 ， △A1B1C1∽△A2B2C2 ，相似比为 ， ∴△ABC与△A2B2C2的相似比为 ， 故选A． 4．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】A 【详解】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边； ②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定； ③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件； ④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件； ⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件； ⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件； 所以正确的有③⑥． 故选A． 5．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有(    ). A．一种 B．两种 C．三种 D．四种 【答案】B 【分析】以30cm的一根为一边，利用相似三角形对应边成比例求出另两边的长度，计算它们的和，小于50cm就是可以的． 【详解】解：取30cm为一边，另两边设为xcm、ycm； （1）30cm与20cm对应，即== 解得x=75，y=90； 75+90＞50，不可以． （2）30cm与50cm对应，即== 解得x=12，y=36； 12+36=48＜50，可以． （3）30cm与60cm对应，即== 解得x=10，y=25； 10+25＜50，可以． 所以有两种不同的截法． 故答案选B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质．选取30cm较短的为一边是解本题的突破口．另外“相似三角形对应边成比例”是本题要考查的知识点． 6．在一张比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为（　　） A．3.5千米 B．35千米 C．350千米 D．3500千米 【答案】C 【详解】设甲、乙两地的实际距离为xmm，根据题意得1：5000000＝70：x，解得x＝350000000．350000000mm＝350千米，即甲乙两地的实际距离为350千米．故选C． 7．已知若，则________；若，则∶＝___． 【答案】 【分析】根据比例的性质进行计算，即可求出答案； 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题． 8．判断下列长度的各组线段是不是成比例线段： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是成比例线段 (2)是成比例线段 (3)不是成比例线段 (4)是成比例线段 【分析】判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积． 【详解】（1）解：最短线段，最长线段，则， 另两条，则，故不是成比例线段； （2）解：最短线段，最长线段，则， 另两条，则，故是成比例线段； （3）解：最短线段，最长线段，则， 另两条，则，故不是成比例线段； （4）解：最短线段，最长线段，则， 另两条，则，故是成比例线段． 9．已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设，表示出a，b，c，然后代入求解； （2）根据的周长求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，，， ∴； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴，，． 10．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的高线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)、、、是成比例线段吗？说明理由． 【答案】(1)如图所示 (2)解：、、、是成比例线段．理由如下： ∵在中，是斜边上的高， ， ， ， ∴、、、是成比例线段． 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据线段成比例进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【强化训练】 1．有四组线段，每组线段长度如下：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，，能组成比例的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】只要将各组线段按照从大到小的顺序排列，计算中间两项的积以及两边两数的积，判断是否相等，相等即成比例． 【详解】①线段从小到大排列，因为1×2＝×＝2，线段成比例，故①正确； ②线段从小到大排列，因为2×6＝3×4＝12，线段成比例，故②正确； ③线段从小到大排列，因为×≠1×，线段不成比例，故③不正确； ④线段从小到大排列，因为1×7≠3×5，线段不成比例，故④不正确． 所以①②正确，③④不正确，成比例的有2组． 故选B． 【点睛】本题考查线段成比例．解决本类问题只要判断最大最小两个数的积是否等于中间两个数的积即可．相等即成比例，不相等不成比例． 2．如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查黄金分割，设，则，，整理得，然后解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 整理得 ，， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 3．如图，梯形中，，、两点分别在、上．若，，，，且梯形与梯形相似，则与的长度比为何？（ ） A．1:2 B．2:3 C．2:5 D．4:9 【答案】D 【分析】根据两个梯形相似，则对应边的比成比例，即可求解． 【详解】解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3， ∴AD：EF=EF：BC=2：3， ∴AD=EF，BC=EF， ∴AD：EF：BC=：1：=4：6：9， ∴AD：BC=4：9． 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键． 4．如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则__________． 【答案】 【分析】先按照黄金分割比例依次计算出、、，然后按照规律即可得到． 【详解】解：设，， 点C是线段的黄金分割点， ， 即，整理得， 解得或（舍去）， ∴，， 是线段的黄金分割点， ，， 是线段的黄金分割点， ，， 、、， 以此类推，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割、规律探究表达，求出黄金分割比，并按照规律表示出是解题关键． 5．矩形中，，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点A、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积S与的函数关系式． 【答案】． 【分析】根据题意作图，然后由相似多边形的性质得出，确定，再由面积公式即可确定函数解析式，再由边的取值范围即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意作图如下：    ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】考查简单的函数对应关系，相似多边形的性质，找准线段关系是解题关键． 6．如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识．根据相似得到，则，用公式法解一元二次方程得到，根据矩形的长和宽均为正数即可得到答案． 【详解】解：设原矩形的长是a，宽是b（，且），则剩下矩形的长为b，宽为． 由题意可得，所以． 将的两边同除以，得， 所以． 因为矩形的长和宽均为正数，所以． 故原矩形的长和宽的比为． 7．如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 【答案】纵向木质边框的宽度为． 【分析】本题考查了相似图形的性质． 设纵向木质边框的宽度为，根据相似图形的性质列等式求解即可． 【详解】解：设纵向木质边框的宽度为， 边框的内外边缘所成的矩形相似， ， 解得， 答：纵向木质边框的宽度为． 8．已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？ 【答案】三、四 【分析】分两种情况分别求出的值，得到各自经过的象限，取公共象限即可． 【详解】解：（1）当时，根据比例的等比性，此时一次函数经过一、三、四象限； （2）当时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限； 综上所述，函数必经过三、四象限． 9．已知线段a、b、c，且． (1)求的值为 ； (2)若线段a、b、c满足，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用比例的性质进行求解即可； （2）设比例系数为，用表示、、，结合三线段长度和求解，进而得的值. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设（），则，，， ∵， ∴，解得， ∴. 10．小明查阅资料得知，国际标准规格纸张的长与宽之比恰好为．已知一张如图所示的规格打印纸（长方形纸片）的宽为． (1)这张规格打印纸的长为_________； (2)若一张面积为的长方形纸张的长与宽之比恰好为，求该长方形纸张的周长； (3)如图，将一张规格的打印纸（长方形纸片）对半裁剪3次后，请你通过计算判断剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比是否还为． 【答案】(1) (2) (3)还是 【分析】（1）根据长与宽的比可得答案； （2）设长方形纸张的长为，宽为，再根据面积相等列出方程，求出解可得长方形纸张的长，宽，然后根据周长公式得出答案； （3）根据图形确定裁剪后的长，宽，进而判断即可． 【详解】（1）解：； 这张规格打印纸的长为，根据题意，得 ， 解得， 所以这张规格打印纸的长为； （2）解：设长方形纸张的长为，宽为， ， 解得（舍去）， ∴长方形纸张的长为，宽为， ∴长方形纸张的周长为； （3）解：由对半裁剪可得，， ， ∴剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比还为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $