29.1.2 过三点的圆 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

29.1.2过三点的圆 第二十九章 圆 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？ 作圆的关键是什么？ 　　作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小． 导入新知 2. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 1. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法. 3. 了解反证法的证明思想. 素养目标 问题1 经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ · · · · · 以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 探究新知 过不共线三点作圆 知识点 1 问题2 经过两个点A，B能不能作圆？这样的圆能作出多少个？所作圆的圆心的位置有什么特点？ · · · · A B 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这一点和点A或点B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆. 圆心在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 问题3： 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ A B C D E G F ●o 经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置. 经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 位置关系 有且只有 定理： 不在同一直线上的三个点确定一个 圆. A B C D E G F ●o 归纳总结 例 已知：不在同一直线上的三点A，B，C. 求作： ⊙O，使它经过点A，B，C. 作法：1. 连接AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2. 连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； 3. 以O为圆心，OB为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆. O N M F E A B C 利用尺规法作圆 素养考点 探究新知 问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 方法: 1. 在圆弧上任取三点A，B，C; 2. 作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心; 3. 以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 探究新知 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ A B C D O ∵A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等， 又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴圆心在CD所在的直线上，因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点为圆心. 巩固练习 解: 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆. A B C O 探究新知 三角形的外接圆及外心 知识点 2 1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心： 定义： ●O A B C 外接圆　 内接三角形 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边垂直平分线的交点. 性质： 自主探究 三角形与圆的关系 通过以上的活动探究发现过不在同一条直线上的三点可以作圆,说明圆与三角形存在对应关系. 【练一练】 判断下列说法是否正确. （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆.( ) （2）任意一个圆有且只有一个内接三角形.( ) （3）经过三点一定可以确定一个圆. ( ) （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( ) √ × × √ 探究新知 ●O ●O ●O 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点 钝角三角形的外心位于三角形外 A B C A B C C A B ┐ 例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 变式 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°， AB＝4，求⊙O的半径为______． 例题解析 D 活动4:探究反证法 思考:通过以上的活动探究发现过不在同一条直线上的三点可以作圆,那么过在同一条直线上的三点能作一个圆吗? l1 l2 A B C P 自主探究 如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． 反证法的定义 要点归纳 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∠A+∠B+∠C>180° △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 例题解析 ∠A+∠B+∠C=180° 1. （江苏南京中考）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A.（4，） B.（4，3） C.（5， ） D.（5，3） 2.（四川内江中考） 已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径=　　． A 链接中考 1.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径为 . 5 2.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． 70° 当堂检测 3.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A．点P B．点Q C．点R D．点M B 4.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块 D C B A O 5.如图，已知 Rt△ABC 中 ，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径. 解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，则O是斜边AB 的中点， 连接OC，则OA=OB=OC. ∵∠C=90°，AC=12 cm，BC=5 cm， ∴ 则OA=6.5 cm. 6.如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点， ∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°； (2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中，∠DOA＝90°，∠DAO＝30° ∴OA＝ OD ＝ ,AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 一个三角形的外接圆是唯一的. 注意：同一直线上的三个点不能作圆 课堂小结 $