29.1.2 过三点的圆 第1课时课件2026-2027学年人教版 数学九年级上册

第1课时 第二十九章 圆 理解过一点、两点、三点作圆的规律；掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论，认识三角形的外接圆、外心. 能够利用尺规作出不在同一直线上三点的圆，会确定三角形的外心，解决与外接圆半径有关的简单计算问题. 经历分层作图的探究过程，体会把作圆问题转化为确定圆心的思路，感受转化、分类讨论的数学思想，发展几何直观. 对比直线与圆的确定条件，感受几何知识的内在联系；在动手作图中养成严谨求实、勤于探究的学习习惯. 确定一个圆需要哪两个要素？ 圆心和半径，圆心确定位置，半径确定大小. 如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，这个点会在哪里？ 这个点一定在线段的垂直平分线上. 如果有一个点，它到线段 AB 两个端点距离相等，同时到线段 BC 两个端点距离相等，该如何找到这个点？ 分别作出两条线段的垂直平分线，它们的交点就是满足条件的点. 1 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？ (1)经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ A ①作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小. ②对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题. 活动：探究过已知点作圆 1 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？ (1)经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ · · · · · A 经过一个点 A 作圆，只要以点 A 以外任意一点为圆心，以这一点与点 A 的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个. 活动：探究过已知点作圆 1 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？ · · · · A B 经过两个点 A，B 作圆，由于所作圆的圆心到 A，B 两点的距离相等，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个. 活动：探究过已知点作圆 (2)经过两个点A，B能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ 1 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？ A B C 如果只经过A，B两个点，所有过A，B的圆，它们的圆心位置有什么规律？ 过A，B两点的圆的圆心，一定在线段AB的垂直平分线上. 活动：探究过已知点作圆 (3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 活动：探究过已知点作圆 A B C 要画一个圆，同时经过A，B，C三个点，这个圆心需要同时满足哪两个条件？你怎样找到这个圆心？ ①圆心要在线段AB的垂直平分线上； ②圆心同时也要在线段BC的垂直平分线上； 两条垂直平分线的交点O，就是同时满足两个条件的圆心. O 活动：探究过已知点作圆 A B C 以交点O为圆心，OA为半径画圆，B、C两点会落在这个圆上吗？经过不在同一直线上的三点A、B、C一共可以画出多少个圆？ 因为OA=OB=OC，所以点B、点C一定在这个圆上； 两条直线只有唯一交点，圆心唯一、半径唯一，因此只能画出 1 个圆. O (3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 活动：探究过已知点作圆 尺规作图 作法：(1)连结 AB，BC. l₁ D E A B C 活动：探究过已知点作圆 (4)同理，作线段 BC的垂直平分线l₂，交 l₁于点 O. (5)以 O 为圆心，以 OA(或 OB，OC)的长为半径作圆. ⊙O 就是经过A，B，C三点的圆. l₁ D E G F A B C O l₂ (3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 活动：探究过已知点作圆 由作法可知，线段AB，BC的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的.因此，经过A，B，C三点可以作一个并且只可以作一个圆.这就得到：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. l₁ D E G F A B C O l₂ (3)经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 活动：探究过已知点作圆 不能忽略这个前提条件 有且只有 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O到三个顶点中任意一点的距离为半径画圆，该圆同时经过这三点. 唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个. B A C O l₁ l₂ 活动：探究过已知点作圆 D E G F A B C O 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 三角形的外接圆 三角形的外心 ①一个三角形有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形. ②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径. 活动：探究过已知点作圆 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点. 钝角三角形的外心位于三角形外. 在平面直角坐标系中，若A(1,1)，B(3,3)，C(5,n)三点可以确定一个圆，求n需要满足的条件. 由外心可知，点O可能在三角形内部，也可能在三角形外部，首先进行分类讨论：①点O在△ABC内部(图1)；②点O在△ABC外部(图2)；分别求出△ABC底边BC上的高，即可计算△ABC面积. E A C O B 图1 图2 E A C O B 在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，且BOC=60°，底边BC=2，求△ABC的面积. 在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，且BOC=60°，底边BC=2，求△ABC的面积. E A C O B 图1 图2 E A C O B 在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，且BOC=60°，底边BC=2，求△ABC的面积. 1.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ 解：使点A，B落在圆上，沿CD画一条直线，用同样的方法，将工具换个位置沿CD画一条直线(两条直线不重合)，两条直线的交点O就是圆形工件的圆心. C D A B C D A B O 2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. A C B D O A C B D O 2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. 任务 生活中有不少圆形物品破损后，仅留存一段圆弧，例如破碎圆盘、残损圆镜、圆形杯垫碎片。请选取一段圆弧实物(也可以在纸上手绘一段圆弧代替实物)，运用本节课所学知识复原这个圆形物件，记录完整作图步骤，并保留作图痕迹。 圆形的复原 1.如果只在圆弧上取 2 个点，能确定唯一的圆吗？最少需要在弧上取几个点？为什么？ 2.结合本次复原实践，写下你的体会.说一说，“不在同一直线上的三点确定一个圆”还能应用在哪些生活场景？ 探究 $