2.5.1 直线与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 从“形”的直观到的“数”精确 人教A版 · 选择性必修第一册 1.7.2013 同学们好，今天我们学习第二章第五节第一课时——直线与圆的位置关系。 初中我们已经从图形直观上认识了直线和圆的三种位置关系，今天我们要学习如何用方程来精确判断它们的位置关系，实现从"形"到"数"的跨越。 这节课我们要掌握两种判定方法：代数法和几何法，还要学会解决弦长问题。 ‹#› 学习目标 1 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）；掌握代数法（判别式）与几何法（圆心距）两种判定路径。 2 经历将初中几何判定"代数化"的过程，体会坐标法思想；通过弦长与切线问题的求解，提升运算求解能力。 3 感悟"数形结合"在解析几何中的核心价值。 1.7.2013 这节课我们要达成三个目标。 第一，知识与技能层面：学会用方程判断直线和圆的位置关系，掌握代数法和几何法两种路径。 第二，过程与方法层面：我们要把初中学过的几何判定"翻译"成代数语言，体会坐标法的威力。 第三，素养层面：通过这节课，大家要深刻体会数形结合思想在解析几何中的核心价值。 ‹#› 思考：海上生明月，位置如何变？ 月亮（圆）与海天交线（直线）的公共点从 ，位置关系不断变化。 从图形能直观看出，但——能“算”出来吗？ 同桌讨论 30 秒 不画图，只给你圆的方程和直线的方程，你打算怎么判断它们有几个公共点？ 1.7.2013 "海上生明月，天涯共此时。"同学们看这幅图，月亮从海平面上升起的过程中，它和海平线的位置关系在不断变化。 最开始月亮还在海平线以上很远，这是相离；然后月亮刚好碰到海平线，这是相切；最后月亮升出海面，穿过海平线，这是相交。 初中我们是从图形直观上认识这三种关系的。现在我们学习了直线和圆的方程，能不能用代数的方法来精确判断它们的位置关系呢？这就是我们这节课要解决的问题。 ‹#› 初中我们是怎么判断的？（自主填空） 位置关系 公共点个数 d 与 r 图形特征 相交 相切 相离 2个 1个 0个 直线穿过圆 只有一个接触点 直线与圆分开 关键一步 · 请你自己“翻译” 现在圆有方程、直线有方程——“公共点”在方程里是什么？“d”（圆心到直线的距离）又该怎么算？ 1.7.2013 我们先回顾一下初中所学的知识。直线和圆有三种位置关系：相交、相切、相离。 相交的时候，直线和圆有两个公共点；相切的时候，只有一个公共点；相离的时候，没有公共点。 初中我们还学过用圆心到直线的距离d和半径r的大小关系来判断：d<r相交，d=r相切，d>r相离。 现在我们学习了直线和圆的方程，能不能用代数的方法——也就是解方程、算判别式——来判断它们的位置关系呢？这就是我们接下来要学习的内容。 ‹#› 方法一 · 代数法：解方程，看什么？ 探究：判断直线 与圆 的位置关系。 ① 动手联立消元，得到一个一元二次方程。它的实数解个数由什么决定？ ② 的符号与交点个数怎么对应？在草稿上写出你的对应。 ③ 这个方法有什么优点？又麻烦在哪？ 1.7.2013 第一种方法是代数法，也叫判别式法。 操作分三步：第一步，把直线方程和圆的方程联立起来；第二步，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；第三步，计算判别式Δ。 判定规则很简单：Δ大于0，说明有两个不同的实数解，也就是两个交点，对应相交；Δ等于0，说明有两个相同的实数解，也就是一个切点，对应相切；Δ小于0，说明没有实数解，对应相离。 代数法的优点是普适性强，还能直接求出交点坐标；缺点是计算量比较大，容易算错。 ‹#› 方法二 · 几何法：为什么 d 与 r 一比就知道？ 画图说理：画出 、、 三种图，说出各自的位置关系——这就是数形结合。 圆心到直线的距离公式 ① 用距离公式前，为什么圆要先化成标准方程？ ② 几何法只算一个距离——它给你什么？又不给你什么？ 1.7.2013 ‹#› 两种方法，什么时候用哪个？ 题A（只判位置）： 直线 与圆 。 题B（要求交点）： 直线 与圆 。 做完问自己：哪道用几何法快？哪道必须用代数法？为什么？ 做完题，自己填这张对比表（先填，再对答案） 方法 关键量 能直接得到 需额外算 适用 几何法 代数法 d 与 r 交点 只判位置/求弦长 求交点/复杂含参 弦长 交点坐标 联立看 Δ 位置＋弦长(垂径定理) 1.7.2013 ‹#› 例1 · 一题两做，谁更快？ 直线 与圆 。判断位置关系；若相交，求弦长。 代数法 几何法 （学生作答区） （学生作答区） 限时 3 分钟：左边用代数法，右边用几何法，看哪边先做完、哪边算得巧。 1.7.2013 我们来看例1：判断直线3x+y-6=0和圆x²+y²-2y-4=0的位置关系，如果相交的话求弦长。 先用几何法。第一步，把圆的方程化成标准式：x²+(y-1)²=5，圆心是(0,1)，半径是√5。 第二步，算圆心到直线的距离d，等于|3×0+1-6|除以√10，算出来是√10/2。 第三步，比较d和r：√10/2小于√5，所以d小于r，直线和圆相交。 第四步，求弦长。根据垂径定理，弦长等于2倍的根号下r²减d²，算出来等于√10。 我们用代数法对照一下：联立消去y，得到x²-3x+2=0，判别式Δ=1大于0，确实相交。两个交点是(2,0)和(1,3)，两点之间的距离也是√10。 两种方法结果一致，但几何法明显更简洁。 ‹#› 例2 · 一条动直线的三种位置 直线 与圆 。当 为何值时，直线与圆相切、相交、相离？ ① 找定点：把方程变形，让 “现形”——直线恒过哪个定点？ ② 化圆：把圆化成标准方程，读出圆心和半径。 ③ 相切开刀：相切满足 ，列方程解 。 ④ 相交、相离：分别由 、，写对应不等式。 关键思维点：先找到“雷打不动”的定点，含参讨论就有了抓手；相切“成双”，注意要验两条切线。 回望：定点在圆内还是圆外？它解释了什么？ 1.7.2013 抛出问题，先不急着联立：问学生这条动直线有没有一个“雷打不动”的点。 ① 变形：mx−y−m−1=0 → m(x−1)−(y+1)=0，令 x−1=0、y+1=0 → 恒过定点 (1,−1)。 ② 化圆：x²+y²−4x−2y+1=0 → (x−2)²+(y−1)²=4，圆心 C(2,1)，r=2。 ③ 相切：d=|2m−1−m−1|/√(m²+1)=|m−2|/√(m²+1)，令 d=2 → |m−2|=2√(m²+1)，平方得 3m²+4m=0 → m=0 或 m=−4/3。 ④ 相交：d<r ⟺ (m−2)²<4(m²+1) ⟺ 3m²+4m>0 ⟺ m<−4/3 或 m>0；相离：−4/3<m<0。 回望：定点 (1,−1) 距圆心 √5>2，在圆外，故可作两条切线——这解释了相切为什么有两个 m。 ‹#› 课堂练习（分层） 基础层 1. 判断直线 与圆 的位置关系。 2. 若直线 与圆 相切，求 。 提高层 3. 过点 作圆 的切线，求切线方程。 提示：注意斜率不存在的情形！ 1.7.2013 现在我们来做课堂练习，分基础层和提高层。 基础层第1题：判断直线x+y-1=0和圆x²+y²=4的位置关系。大家用几何法口答一下。 基础层第2题：直线y=x+b和圆x²+y²=2相切，求b的值。请一位同学上来板演。 提高层第3题：过点P(2,3)作圆x²+y²=4的切线，求切线方程。这道题有个易错点，大家注意斜率不存在的情形，也就是垂直于x轴的直线。 给大家3分钟时间先独立思考第3题，然后小组讨论一下，最后我们一起来展示。 ‹#› 今天的“排雷清单” ① 圆要先化成标准方程，才能读出圆心和半径——距离公式需要圆心。 ② 相切成双：相切常对应两个值 / 两条切线，先猜个数再算。 ③ 斜率不存在：过点作切线，先想清楚有几条，别漏掉竖直线 。 ④ 含参直线：先找“恒过定点”，再谈位置讨论。 1.7.2013 收束易错点：让学生说出今天容易错的地方，教师记录成“排雷清单”。 ① 圆要化成标准方程；② 相切成双；③ 斜率不存在（过点作切线）；④ 含参先找定点。 引导学生把这四条写进错题本，作为下次自查清单。 ‹#› 课堂小结 直线与圆的位置关系 判定方法 · 代数法：联立 → Δ 符号 · 几何法：圆心距 d 比 r 核心思想 · 数形结合：几何条件代数化 · 坐标法：用方程研究几何 常见题型 · 位置判断 · 弦长计算 · 切线方程 1.7.2013 最后我们来小结一下这节课的内容。 中心主题是直线与圆的位置关系。我们从三个方面来梳理： 第一，判定方法。我们学了两种：代数法，就是联立方程算判别式Δ；几何法，就是算圆心距d和半径r比较。判断位置关系优先用几何法。 第二，核心思想。这节课我们深刻体会了数形结合的思想——把几何条件翻译成代数语言，用坐标法来研究几何问题。 第三，常见题型。主要有三类：位置判断、弦长计算（要结合垂径定理）、切线方程。 希望大家课后好好复习，把这两种方法真正掌握。 ‹#› 作业布置 基础题 教材第 93 页 练习 第 1、2、3 题 选做题 已知圆 ，直线 。 当 为何值时， 与 相交、相切、相离？ 若相交，求弦长关于 的表达式。 1.7.2013 今天的作业分必做和选做两部分。 必做题是教材第93页练习的第1、2、3题，大家一定要独立完成，巩固今天学的位置判断和几何法。 选做题是一道综合题：已知圆C是x²+y²=1，直线l是y=kx+2。问当k为何值时，直线和圆相交、相切、相离？如果相交的话，求弦长关于k的表达式。 这道题把今天学的含参讨论和弦长计算结合起来了，有兴趣的同学可以挑战一下。 好，今天的课就上到这里，下课。 ‹#› Lavf59.27.100 $