4.1数列的概念（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.1数列的概念 目录 知识点01 数列的概念及辨析 知识点02 根据规律填写数列中的某项 知识点03 判断或写出数列中的项 知识点04 观察法求数列的通项公式 知识点05 根据数列递推公式求通项或项 知识点06 利用an与sn关系求通项或项 知识点07 判断数列的增减性 知识点08 确定数列中的最大（小）项 知识点09 根据数列的单调性求参数 知识点10 数列周期性的应用 知识点11 递推数列的实际应用 知识点01 数列的概念及辨析 1．（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 知识点02 根据规律填写数列中的某项 4．（26-27高一上·河南平顶山·开学考试）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为_________. 5．（25-26高二下·湖北·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第7个数为（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 6．（2026高三·全国·专题练习）如图，这是一个正六边形的序列： 则第个图形的边数为________． 知识点03 判断或写出数列中的项 7．（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 8．（4.1数列的概念第二课归纳核心考点）若一数列为1，，，，…，则（    ） A．不在此数列中 B．是这个数列的第13项 C．是这个数列的第14项 D．是这个数列的第15项 9．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的通项公式为. (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)20是不是该数列的项？如果是，是第几项？若不是，说明理由. 知识点04 观察法求数列的通项公式 10．（25-26高二下·陕西汉中·期中）数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高二上·全国·课后作业）写出下列数列的一个通项公式： (1)……； (2)……； (3)……； (4)…….. 知识点05 根据数列递推公式求通项或项 13．（2026·河南信阳·一模）数列满足，若，则__________． 14．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 15．（26-27高二上·全国·课堂例题）（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 知识点06 利用an与sn关系求通项或项 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）数列的前项和为，且．则_______________． 17．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________． 18．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 知识点07 判断数列的增减性 19．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 20．（2027高三·全国·专题练习）已知函数，设，则是________数列（填“递增”或“递减”）． 21．（2026高三·全国·专题练习）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点08 确定数列中的最大（小）项 22．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 23．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 24．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 知识点09 根据数列的单调性求参数 25．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·重庆·期末）已知数列 是严格递增数列，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点10 数列周期性的应用 28．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 29．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 30．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点11 递推数列的实际应用 31．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（    ） A．7 B．16 C．14 D．21 32．（25-26高二上·福建福州·期末）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（   ） A．324 B．243 C．256 D．168 33．（25-26高二下·陕西·阶段检测）韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 一、单选题 1．设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式为，则“为单调递增数列”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对于任意，，且，则（   ） A．2026 B．2027 C．4053 D．4054 4．若数列满足，，则该数列的前20项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 5．已知数列中各项均为正数，且（，，，…），给出下列四个结论： ①对任意的，都有； ②数列可能为常数列； ③若，则当时，； ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（     ） A．59 B．60 C．61 D．62 二、多选题 7．下列数列中，为递增数列的是（     ） A． B． C． D． 8．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知数列的通项为，则下列表述正确的有（   ） A．最大项为0 B．最大项不存在 C．最小项为 D．最小项为 三、填空题 10．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 11．已知数列满足： ，数列是递增数列，则实数的取值范围为______. 12．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），，若，则的最小值为__________． 四、解答题 13．已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 14．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数. （1）； （2）； （3）. 15．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 1．已知数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数列的前项和为，若，当，且时，，则的整数部分为__ ． 3．（多选）已知数列满足：，，则下列说法正确的是（   ） A．当且仅当或或时，数列为常数列 B．当且仅当或时，数列单调递增 C．存在，使得数列在第2项时恰好变为常数列 D．存在，使得数列在第3项时恰好变为常数列 4．设无穷数列满足：，，且对任意，有． (1)若，，求前项的和； (2)求证：对任意，有； (3)问：是否存在常数，使得对任意，均存在互不相同的，使得？并给出证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1数列的概念 知识点01 数列的概念及辨析 1． 【答案】A 2． 【答案】BC 3． 【答案】D 知识点02 根据规律填写数列中的某项 4． 【答案】 5． 【答案】C 6． 【答案】 知识点03 判断或写出数列中的项 7． 【答案】A 8． 【答案】D 9． 【答案】(1)第3项为，第8项为. (2)20是数列的项，是第10项，理由如下. 令，即，解得或， 因为是正整数，所以，所以20是数列的项，是第10项. 【分析】（1）求指定项，只需把项数代入通项公式直接计算； （2）判断一个数是不是数列的项，令解方程，看有没有正整数解. 【详解】（1）由，得 ，， 所以第3项为，第8项为. （2）略 知识点04 观察法求数列的通项公式 10． 【答案】A 11． 【答案】D 12． 【答案】(1) (2) (3) (4) 知识点05 根据数列递推公式求通项或项 13． 【答案】 14． 【答案】C 15． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意，， 则，，，…，， 以上各项相加得，所以. 因为也适合上式，所以. （2）由，得，得， 所以当时，,, ， 满足上式，所以数列的通项公式为. 知识点06 利用an与sn关系求通项或项 16． 【答案】9 17． 【答案】 18． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，符合上式，所以． （2）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，不符合上式，所以． 知识点07 判断数列的增减性 19． 【答案】A 20． 【答案】递增 21． 【答案】D 知识点08 确定数列中的最大（小）项 22． 【答案】 23． 【答案】B 24． 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 知识点09 根据数列的单调性求参数 25． 【答案】D 26． 【答案】C 27． 【答案】B 知识点10 数列周期性的应用 28． 【答案】A 29． 【答案】A 30． 【答案】C 知识点11 递推数列的实际应用 31． 【答案】D 32． 【答案】B 33． 【答案】A 1． 【答案】A 2． 【答案】B 3． 【答案】A 4． 【答案】D 5． 【答案】D 6． 【答案】A 7． 【答案】AD 8． 【答案】BC 9． 【答案】AD 10． 【答案】 11． 【答案】 12． 【答案】 13． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的通项公式，然后利用二次函数的性质求出最小值即可. （2）利用求解的通项公式. 【详解】（1）由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为 因为，所以当或时，取得最小值. ，. 故的最小项为. （2）当时，. 当时，. 验证时，，故通项公式为： 14． 【答案】（1） 通项公式为，第项的点数为； （2） 通项公式为，第项的点数为； （3） 通项公式为，第项的点数为 【详解】（1）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （2）设第项的点数为， 因为，，，， 所以该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （3）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： 15． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 1． 【答案】B 2． 【答案】 【分析】由条件可得（），由此判断单调性，证明，结合求结论. 【详解】因为， 当时，可得， 所以，所以数列单调递增， 因为，解得， 所以， 所以， 所以， 则的整数部分为． 3． 【答案】ACD 4． 【答案】(1) (2)依题意，显然可得对任意，有， 若，则，则， 所以； 若，则，则， 所以， 综上，对任意，有，证毕． (3)存在，证明如下： 将拆成组，第组为， 结合（2）有，若，有，则； 若，有，则， 所以对任意，有， 这意味着每组连续三项的和，一定等于本组内某一项的倍， 即可适当选取，使得， 所以，即， 所以存在，使得等式成立，证毕． 【分析】（1）根据递推公式，逐一代入求出，，，，，，，进而即可求出前项的和； （2）先根据题意得到对任意，有，再分和两种情况分析即可证明； （3）将拆成组，第组为，再结合（2）得到，从而适当选取即可求出，进而得证． 【详解】（1）依题意，若，， 则，，，，，，， 所以前项的和为． （2）略 （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1数列的概念 目录 知识点01 数列的概念及辨析 知识点02 根据规律填写数列中的某项 知识点03 判断或写出数列中的项 知识点04 观察法求数列的通项公式 知识点05 根据数列递推公式求通项或项 知识点06 利用an与sn关系求通项或项 知识点07 判断数列的增减性 知识点08 确定数列中的最大（小）项 知识点09 根据数列的单调性求参数 知识点10 数列周期性的应用 知识点11 递推数列的实际应用 知识点01 数列的概念及辨析 1．（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数列的定义与性质来判断即可 【详解】数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项， 例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错， 因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个. 2．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 【答案】BC 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A正确； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】根据数列的定义及通项公式的概念，依次判断每个选项的正确性即可. 【详解】选项A：数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列 与 的顺序完全不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 选项B：集合中的元素具有互异性，而数列的项可以重复。 例如常数列 就是一个合法的数列，B选项错误； 选项C：数列 的通项公式为 （）， 而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 选项D：函数 是指数函数，底数 ，故 单调递增， 数列 是该函数在正整数点上的取值，所以是递增数列，D 选项正确. 故选：D. 知识点02 根据规律填写数列中的某项 4．（26-27高一上·河南平顶山·开学考试）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为_________. 【答案】 【分析】分别观察已知式子的数字系数与的指数，归纳各自的变化规律，再整合得到第个式子即可. 【详解】第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为. 5．（25-26高二下·湖北·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第7个数为（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 【答案】C 【分析】根据题图及前4个三角形数找到规律，即可得第7个数. 【详解】由题图及三角形数知：后一个数与前一个数的差依次为2，3，4，5，6，， 所以三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，即第7个数为28. 6．（2026高三·全国·专题练习）如图，这是一个正六边形的序列： 则第个图形的边数为________． 【答案】 【详解】第 1 个图形（1 个正六边形），边数是 ， 第 2 个图形（2 个拼接正六边形），总边数是， 第 3 个图形（3 个拼接正六边形），总边数是 ， 第个图形（n 个拼接正六边形），总边数是. 知识点03 判断或写出数列中的项 7．（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 【答案】A 【详解】令，得 ，解得 ，或（舍去）. 8．（4.1数列的概念第二课归纳核心考点）若一数列为1，，，，…，则（    ） A．不在此数列中 B．是这个数列的第13项 C．是这个数列的第14项 D．是这个数列的第15项 【答案】D 【分析】根据数列的项得出通项公式，再根据数列通项计算得出项数. 【详解】因为，，，， 所以符合题意的一个通项公式为． 由，解得，所以是这个数列的第15项． 故选：D． 9．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的通项公式为. (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)20是不是该数列的项？如果是，是第几项？若不是，说明理由. 【答案】(1)第3项为，第8项为. (2)20是数列的项，是第10项，理由如下. 令，即，解得或， 因为是正整数，所以，所以20是数列的项，是第10项. 【分析】（1）求指定项，只需把项数代入通项公式直接计算； （2）判断一个数是不是数列的项，令解方程，看有没有正整数解. 【详解】（1）由，得 ，， 所以第3项为，第8项为. （2）略 知识点04 观察法求数列的通项公式 10．（25-26高二下·陕西汉中·期中）数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 11．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 12．（26-27高二上·全国·课后作业）写出下列数列的一个通项公式： (1)……； (2)……； (3)……； (4)…….. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）观察可知，各项都可以化成分母为2，分子为对应项的序号的平方的形式， 所以该数列的一个通项公式为. （2）因为数列……的一个通项公式是， 所以可将题中数列各项分别改写为……， 所以该数列的一个通项公式为. （3）观察可知，各项取绝对值后，分母组成的数列……的通项公式为， 分子组成的数列……的通项公式为. 因为奇数项的符号为正，偶数项的符号为负， 所以该数列的一个通项公式为. （4）这个数列的奇数项为……，每一个奇数项与其对应的序号的关系是； 它的偶数项为……，每一个偶数项与其对应的序号的关系是， 所以该数列的一个通项公式为. 知识点05 根据数列递推公式求通项或项 13．（2026·河南信阳·一模）数列满足，若，则__________． 【答案】 【分析】分别将，代入递推式即可得结果. 【详解】已知，， 时，，， 时，，. 14．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【详解】观察可得，，， 所以，又， 所以． 15．（26-27高二上·全国·课堂例题）（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意，， 则，，，…，， 以上各项相加得，所以. 因为也适合上式，所以. （2）由，得，得， 所以当时，,, ， 满足上式，所以数列的通项公式为. 知识点06 利用an与sn关系求通项或项 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）数列的前项和为，且．则_______________． 【答案】9 【详解】由 ，得. 当 时，. 因此. 所以. 17．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】利用求解. 【详解】时，； 时，， 时，不满足上式，所以. 18．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，符合上式，所以． （2）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，不符合上式，所以． 知识点07 判断数列的增减性 19．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 20．（2027高三·全国·专题练习）已知函数，设，则是________数列（填“递增”或“递减”）． 【答案】递增 【分析】利用函数的单调性研究数列的单调性即可. 【详解】因为在上是增函数， 故是增函数， 所以是递增数列． 21．（2026高三·全国·专题练习）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】要判断是递增数列与是递增数列的条件关系，需分别验证充分性和必要性． 【详解】解：数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 知识点08 确定数列中的最大（小）项 22．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 【答案】 【分析】根据题设求出前5项，即可得到答案. 【详解】由，得， 则数列的前5项中的最大值是. 故答案为：. 23．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分，两种情况，结合数列单调性求解即可. 【详解】当时，，是递减数列，则的最小项为； 当时，，是递减数列，则的最大项为. 故选：B. 24．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 知识点09 根据数列的单调性求参数 25．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合数列单调性的定义运算求解即可. 【详解】因为， 若数列是递增数列，则， 则，即. 故选：D. 26．（25-26高二上·重庆·期末）已知数列 是严格递增数列，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列的单调性令，解不等式可得. 【详解】由题意可得， 解得， 因为，所以. 故选：C. 27．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 知识点10 数列周期性的应用 28．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以 ， 所以 . 所以. 又，， 所以 . 29．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 30．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断数列的周期性，结合周期性求解即可. 【详解】，， ，， 则数列是周期为4的数列， 所以. 知识点11 递推数列的实际应用 31．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（    ） A．7 B．16 C．14 D．21 【答案】D 【分析】5个圆环数量较少，依次直接代入求解即可. 【详解】由题意，，即解下5个圆环需移动的最少次数为21. 32．（25-26高二上·福建福州·期末）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（   ） A．324 B．243 C．256 D．168 【答案】B 【分析】根据“三分损益法”的规律可得出数列中各项的关系，代入计算即可. 【详解】由损益规律可知， 解得. 故选：B 33．（25-26高二下·陕西·阶段检测）韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 【答案】A 【分析】根据题意写出从顶层起每层灯数构成的数列的递推式，求出各项再求和即可. 【详解】依题意，不妨取该灯塔的顶层灯数为， 因从顶层向下数，第二层起每层灯数是上一层的平方加1， 故从第二层起各层灯数构成的数列满足， 则第二层灯数为；第三层灯数为； 第四层灯数为. 故整座塔共悬挂的灯有（盏）. 一、单选题 1．设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 因为数列单调递增，所以对任意恒成立， ， 即为恒成立， 设，， 在上单调递增， 当时，取得最小值，故，即实数的取值范围是. 2．已知数列的通项公式为，则“为单调递增数列”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断. 【详解】根据题意，已知数列的通项公式为， 若数列为单调递增数列，则有 （）， 所以，因为，所以， 所以当数列为单调递增数列时，无法推出， 当时，则对任意正整数，，所以， 所以数列为单调递增数列， 所以“为单调递增数列”是“”的必要而不充分条件. 3．对于任意，，且，则（   ） A．2026 B．2027 C．4053 D．4054 【答案】A 【分析】利用数列递推思想，结合裂项相消法和累加法来求出即可. 【详解】因为，所以， 所以， 以上各式相加可得 ， 所以 ，所以 ． 4．若数列满足，，则该数列的前20项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由，可进行递推得到，再将与的关系代入即可得到，然后再递推一项即可得到数列是周期为4的一个周期数列，然后计算 ，，，先计算，然后再求前项的乘积即可. 【详解】因为，所以，则， 所以数列是以为首项，周期为4的一个周期数列， 因为，所以，，， 所以，所以 5．已知数列中各项均为正数，且（，，，…），给出下列四个结论： ①对任意的，都有； ②数列可能为常数列； ③若，则当时，； ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】对于①，求出一元二次方程的解，判断其取值范围，可得答案；对于②，将数列每一项设成未知量，根据等式建立方程，可得答案；对于③④，由题意作函数与函数的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案. 【详解】对于①，将等式看作关于的一元二次方程， 即，解得 ， 因为数列中各项均为正数，所以， 所以不符合题意舍去， 所以，①正确； 对于②，令，由题意可得，解得（舍去）或， 所以常数列满足，故②正确； 由题意作函数与函数的图象如下： 由，则点在函数的图像上， 易知在函数的图像上， 对于③，若，由在函数图像上，则， 由在函数的图像上，则， 当时，，由在函数的图像上，则， 由在函数的图像上，则， 综上所述，若，当时，，故③正确； 对于④，当时，由在函数图像上，且在函数的图像上， 则， 当时，由在函数的图像上，且在函数的图像上， 则，所以数列为递减数列,故④正确； 所以①②③④均正确，故正确结论共4个. 6．已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（     ） A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】A 【分析】通过递推公式求值可以发现，从第7项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为，即可求出答案. 【详解】由，，，得，， ，，，， ，，，， 从第7项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为， 所以，， 所以. 二、多选题 7．下列数列中，为递增数列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用与零作比较判断数列单调性即可. 【详解】对于A， , 所以为递增数列，A正确. 对于B，，所以，所以不是递增数列，B错误. 对于C，，所以，所以不是递增数列，C错误. 对于D，当时，，所以当时为递增数列， 当时，，所以当时为递增数列， 又因为，所以是递增数列，D正确. 8．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据递推公式，由依次求出数列的前几项，观察数列的周期性，进而判断各选项. 【详解】因为，， 所以，，，，故A错误，B正确； 由，依次代入推导： ， ， 所以，对任意，都有，故数列是周期为的周期数列. 于是，故C正确； ，故D错误. 9．已知数列的通项为，则下列表述正确的有（   ） A．最大项为0 B．最大项不存在 C．最小项为 D．最小项为 【答案】AD 【分析】根据数列的首项与项的符号易判断A，B两项；再由赋值与作差法判断函数的单调性即可判断C，D两项. 【详解】由题意得， 当时，，∴， 则的最大项为，故A正确，B错误； 因， ， ， 即， 由 ， 可知当时，，即； 当时，，即； 即的最小项为．即C错误，D正确. 三、填空题 10．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数列第项与前项和的关系分段求解. 【详解】数列中，，当时，； 当时，，两式相减得 ， 整理得，而不满足上式。 所以. 11．已知数列满足： ，数列是递增数列，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意，由数列单调性的定义可得，解可得答案. 【详解】 ， 若为递增数列，则有，即，所以， 解得，即的取值范围为. 12．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），，若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】已知，采用逆推法，分两类反向求前一项：偶数逆推为后一项的倍，奇数逆推需满足结果是正奇数，依次求出，得到所有可能的值，选出最小值． 【详解】由，，， 得逆运算规则： 若为偶数，则； 若为奇数，则，且必须是正奇数，否则舍去， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以， 若为偶数，则， 若为奇数，则， 所以或， 当时， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 当时， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以或，即可取， 所以的最小值为． 四、解答题 13．已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的通项公式，然后利用二次函数的性质求出最小值即可. （2）利用求解的通项公式. 【详解】（1）由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为 因为，所以当或时，取得最小值. ，. 故的最小项为. （2）当时，. 当时，. 验证时，，故通项公式为： 14．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） 通项公式为，第项的点数为； （2） 通项公式为，第项的点数为； （3） 通项公式为，第项的点数为 【详解】（1）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （2）设第项的点数为， 因为，，，， 所以该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （3）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： 15．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 1．已知数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，由已知条件可得，又即可判断选项A；选项B和选项C，只需比较与大小，易推，递推可得，化简整理可得，从而判断选项B和选项C；选项D，由，根据递推关系，逐步化简可得，从而可判断选项D. 【详解】由题可得，由于，所以A错误； 因为，，所以，故， 当时，， 所以， 所以，又， 所以，可得时，， 因此，得，故D错误； 关于B和C，只需比较与大小， 易知，所以， 所以，，， 所以，所以，可得，所以，B正确，C错误． 2．已知正实数列的前项和为，若，当，且时，，则的整数部分为__ ． 【答案】 【分析】由条件可得（），由此判断单调性，证明，结合求结论. 【详解】因为， 当时，可得， 所以，所以数列单调递增， 因为，解得， 所以， 所以， 所以， 则的整数部分为． 3．（多选）已知数列满足：，，则下列说法正确的是（   ） A．当且仅当或或时，数列为常数列 B．当且仅当或时，数列单调递增 C．存在，使得数列在第2项时恰好变为常数列 D．存在，使得数列在第3项时恰好变为常数列 【答案】ACD 【分析】解方程，根据方程的解可判断A的真假；利用特例，可判断BCD的真假. 【详解】对A，由 ，所以数列中若有某一项等于2或4或6，那么该数列后面的项都是这个常数. 所以当且仅当或或时，数列为常数列.故A正确； 对B，当， ，由A可知，从第二项开始，各项均为6，所以数列不是单调递增数列，故B错误； 对C，由B选项分析可得，当时，数列在第2项时恰好变为常数列.故C正确； 对D，取，则数列在第3项时恰好变为常数列， 且 . 因为，，， 且三次方程一定有解. 即一定存在，使得.故D正确. 4．设无穷数列满足：，，且对任意，有． (1)若，，求前项的和； (2)求证：对任意，有； (3)问：是否存在常数，使得对任意，均存在互不相同的，使得？并给出证明． 【答案】(1) (2)依题意，显然可得对任意，有， 若，则，则， 所以； 若，则，则， 所以， 综上，对任意，有，证毕． (3)存在，证明如下： 将拆成组，第组为， 结合（2）有，若，有，则； 若，有，则， 所以对任意，有， 这意味着每组连续三项的和，一定等于本组内某一项的倍， 即可适当选取，使得， 所以，即， 所以存在，使得等式成立，证毕． 【分析】（1）根据递推公式，逐一代入求出，，，，，，，进而即可求出前项的和； （2）先根据题意得到对任意，有，再分和两种情况分析即可证明； （3）将拆成组，第组为，再结合（2）得到，从而适当选取即可求出，进而得证． 【详解】（1）依题意，若，， 则，，，，，，， 所以前项的和为． （2）略 （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $