5.4反函数（2）课件-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

授课教师 XXX中学 XXX * 5.4 反函数（2） 沪教版 《普通高中教科书 数学 必修第一册》 数学 高一年级 第一学期 函数的概念、性质及应用单元 1 * 5.4 2 反函数 反函数的图像 2 （一）复习旧知 温故求新 （二）推理论证 理解辨析 4 （二）推理论证 理解辨析 5 （二）推理论证 理解辨析 6 （二）推理论证 理解辨析 7 （二）推理论证 理解辨析 8 （二）推理论证 理解辨析 9 （二）推理论证 理解辨析 10 （二）推理论证 理解辨析 11 （二）推理论证 理解辨析 12 （三）例题讲解 应用巩固 13 （三）例题讲解 应用巩固 14 （四）课堂练习 迁移深化 解：不存在. 取 （四）课堂练习 迁移深化 （四）课堂练习 迁移深化 解：不一定互为反函数. 于是=， 两函数相同，而的反函数是 （五）课堂小结 布置作业 直观想象 逻辑推理 反函数 的图像 反函数 的定义 （五）课堂小结 布置作业 （五）课堂小结 布置作业 结 束 语 函数的概念、性质及应用 函数 函数 函数的表示方法 函数的基本性质 函数的奇偶性 函数的单调性 函数的最值 函数的应用 函数关系的建立 用函数观点求解方程与不等式 用二分法求函数的零点 反函数* 反函数的概念 反函数的图像 函数的概念、性质及应用 函数 函数 函数的表示方法 函数的基本性质 函数的奇偶性 函数的单调性 函数的最值 函数的应用 函数关系的建立 用函数观点求解方程与不等式 用二分法求函数的零点 反函数* 反函数的概念 反函数的图像 函数的概念、性质及应用 函数 函数 函数的表示方法 函数的基本性质 函数的奇偶性 函数的单调性 函数的最值 函数的应用 函数关系的建立 用函数观点求解方程与不等式 用二分法求函数的零点 反函数* 反函数的概念 反函数的图像 函数的概念、性质及应用 函数 函数 函数的表示方法 函数的基本性质 函数的奇偶性 函数的单调性 函数的最值 函数的应用 函数关系的建立 用函数观点求解方程与不等式 用二分法求函数的零点 反函数* 反函数的概念 反函数的图像 结 束 语 迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推． ——祖冲之 谢谢观看 指数函数与对数函数互为反函数． 函数与函数 点关于直线的对称点是． 在同一坐标系中，指数函数的图像与对数 函数的图像关于直线成轴对称． 互为反函数． 命题 在平面直角坐标系中，点与点关于直线成轴对称． 分析 当时，点与重合，且在直线上，结论成立． 分析 定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两 个端点的距离相等．逆定理 和一条线段两个端点距离 相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 中与线段的垂直平分线有关的一个定理及其逆定理． 组成线段的垂直平分线的所有点和、两 命题 在平面直角坐标系中，点与点关于直线成轴对称． 点的距离都相等，即． 距离相等的所有点组成线段的垂直平分线． 反之，和、两点 即线段的垂直平分线是直线，请说出初中教材 分析 当时，点与重合，且在直线上，结论成立． 当时，点与点是不重合的两点． [问题1] “、两个点关于直线成轴对称”， [问题2] 如何用集合语言表示“线段的垂直 平分线上的所有点”？ 直平分线即点集． 命题 在平面直角坐标系中，点与点关于直线成轴对称． 分析 当时，点与重合，且在直线上，结论成立． 当时，点与点是不重合的两点． 如果设点的坐标为，那么线段的垂 证明 当时，点与重合，且在直线上，结论成立． 线段的垂直平分线即点集． 及之间的距离公式， 即． 因，故该集合为． 因此，线段的垂直平分线是直线． 由两点 该集合也 要证明它们关于直线成轴对称， 可以表示为， 综上所述，点与点关于直线成轴对称． 命题 在平面直角坐标系中，点与点关于直线成轴对称． 即证直线是线段的垂直平分线． 当时，点与点是不重合的两点， 在同一坐标系中，指数函数的图像与对数函数的图像关于直线成轴对称． 互为反函数的两函数的图像是否关于直线成轴对称？ 反函数的图像 的图像上． [问题4] 如何利用“两个函数互为反函数”来完成证明？ 如果函数，存在反函数，，那么函数 ，的反函数就是，，也就是及 是互为反函数的． 只需证明原来函数图像上的任意一点在其反函数的图像上，反之，则是同样 的理由． [问题3] 如何证明两个函数的图像关于直线成轴对称？ 证明：互为反函数的两函数的图像关于直线成轴对称． 只需证明每一个函数图像上任意一点关于直线对称的点在另一个函数 反函数的图像 如果，那么． 那么点一定在该函数的图像上； 证明：互为反函数的两函数的图像关于直线成轴对称． 反之，如果点在该函数的图像 上，那么必有，且． 对于函数，，如果是定义域中的实数，并且， 反函数的图像 [问题5] 如何转化为代数问题进行证明？ 综上所述，互为反函数的两函数的图像关于直线成轴对称． 这样，， 的对称点在函数的图像上． 因此关于直线 上任一点关于直线的对称点在函数的图像上． 且根据反函数的定义，， 证明：互为反函数的两函数的图像关于直线成轴对称． 若为函数图像上任取的一点，则必有，且． 另一方面，因为的反函数是，同样可得，的图像 反函数的图像 证明 设函数，的反函数为，． 反函数的定义 对于函数，，记其值域为．如果对中的任意给定的一个值，在中满足的值只有一个，那么由此得到的关于的函数叫做，的反函数，记作，．由于自变量习惯上常用表示，而函数值常用表示，因此通常把该函数改写为，． 性质 互为反函数的两函数的图像关于直线成轴对称． 反函数的图像 [问题6] 能否从反函数的定义中解释互为反函数的两个函数的图像为什么关 于直线成轴对称？ 解 的值域是． 同一坐标系中，的图像与的图像如图，它们关于直线对称． [思考] “如果一个幂函数存在反函数，那么其反函数也是一个幂函数．”是否 正确？请说明理由． 例1 求函数的反函数，并在同一坐标系中作出函数和它的反函数的图像． 因此其反函数为． 解关于的方程，得． 函数的图像经过点． 此外，其反函数的图像经过点， 可知． 故． 例2 已知函数的图像经过点，而其反函数的图像经过点，求实数、的值． 解 由的图像经过点， 由此解得、的值分别为、． [思考] 函数与其反函数的性质之间还有哪些联系呢？ 教材P140 练习5.4（2） 教材P140 练习5.4（2） 教材P140 练习5.4（2） 性质 互为反函数的两函数的图像 关于直线成轴对称． [基础练习] 教材P140 习题5.4 A组5，补充题1，2． 补充题 1．已知常数且，若函数的反函数的图像经过点，则 ． 2．已知函数的图像经过点，设的反函数为，那么函数的图像必经过点（ ）． A． B． C． D． [能力拓展]（选做） 1．设函数的反函数为，若函数的图像与的图像关于直线成轴对称，则的值为 ． 2． 设函数的图像与其反函数的图像的交点所组成的集合为．以下结论： ① 集合可能是空集； ② 集合中最多只有一个元素； ③ 若集合，则一定有； ④ 集合中可以有无穷多个元素． 其中，所有正确结论的序号是 ． $