4.3对数函数(2)-课件-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

数学 高一年级 第一学期 幂函数、指数函数与对数函数单元 授课教师 XXX中学 XXX 4.3 对数函数（2） 上教版 《普通高中教科书 数学 必修第一册》 1 （一）复习旧知 温故知新 观察它们有什么特征？ （一）复习旧知 温故知新 观察它们有什么特征？ （二）形成概念 理解辨析 1. 对数函数的图像特征 （二）形成概念 理解辨析 1. 对数函数的图像特征 （2） （二）形成概念 理解辨析 1. 对数函数的图像特征 （二）形成概念 理解辨析 1. 对数函数的图像特征 （二）形成概念 理解辨析 2. 对数函数的单调性 从4个对数函数的图像还可以看到函 数值是如何随着自变量的增大而变化的： 当底数为2或3时，随着自变量的增大， 函数值增大； （二）形成概念 理解辨析 2. 对数函数的单调性 类比指数函数的单调性，猜测： 如何证明呢？ 类比利用幂的基本不等式证明指数函数的单调性，可利用对数的基本不等式证明对数函数的单调性 （二）形成概念 理解辨析 2. 对数函数的单调性 [思考]如何证明？ （二）形成概念 理解辨析 对数函数的图像与性质 （三）例题讲解 巩固新知 合理使用单调性 （三）例题讲解 巩固新知 （三）例题讲解 巩固新知 [思考]此处使用了不等式的什么性质？ （三）例题讲解 巩固新知 （三）例题讲解 巩固新知 本题的难点： （1）数值过大，无法用计算器求得； （2）底数不同，不能直接使用指数函数的单调性. （三）例题讲解 巩固新知 思考 能不能用其他的数作为对数的底，来比较这两个数的大小关系? （四）深入挖掘 问题探究 反之亦然， 对数运算是指数运算的逆运算 （四）深入挖掘 问题探究 （四）深入挖掘 问题探究 将在下一章证明 （五）课堂练习 迁移应用 （六）课堂小结 布置作业 对数函数的 单调性 直观想象 逻辑推理 数学运算 对数函数的图像特征 对数函数的性质 对数函数的性质 （六）课堂小结 布置作业 补充题 （六）课堂小结 布置作业 回顾4个对数函数的图像， （1）共同特征：图像均位于轴右侧，图像都经过点； （2）若底数为2或3， 当时，图像在轴上方； 当时，图像在轴下方； （3）若底数为或， 当时，图像在轴下方； 当时，图像在轴上方. 对数函数的 图像是否具有类似特征？ 回顾4个对数函数的图像， （1）共同特征：图像均位于轴右侧，图像都经过点； （2）若底数为2或3， 当时，图像在轴上方； 当时，图像在轴下方； （3）若底数为或， 当时，图像在轴下方； 当时，图像在轴上方. [问题1]归纳对数函数(且)的图像特征. （1）对数函数的图像在轴右侧，且经过点. 由于对数函数的定义域为，且， 所以对数函数的图像位于轴右侧，且都经过点（1，0）； 当时，函数值大于零，图像在轴上方； 当时，函数值小于零，图像在轴下方； [问题1]归纳对数函数(且)的图像特征. 若， 当时，函数值大于零，图像在轴上方. 若， 当时，函数值小于零，图像在轴下方； 则由指数函数的性质，得，与矛盾； 因此，，点在轴上方. [问题1]归纳对数函数(且)的图像特征. 若，则当时，函数值大于零，图像在轴上方. 当时，对于，设，则， 若， [问题1]归纳对数函数(且)的图像特征. 若，则当时，函数值大于零，图像在轴上方. 对数的基本不等式 当时，. 当底数为或时，随着自变量的增大， 函数值减小. 当时，对数函数在区间上是严格增函数； 当时，对数函数在区间上是严格减函数. 而，故， 即随的增大而增大， 即当时，对数函数在区间上是严格增函数. 求证：当时，对数函数在区间上是严格增函数. 类似可证：当时，对数函数在区间上是严格减函数. 证明 当时，设，则， 由对数的基本不等式，得， 例1 利用对数函数的单调性，比较下列各题中两个对数的大小： （1）与； （2）与（其中常数）； （3）与. 解 （1）因为时对数函数在区间上是严格增函数， 所以. 而当时，对数函数在区间上是严格增函数， 故. 例1 利用对数函数的单调性，比较下列各题中两个对数的大小： （1）与； （2）与（其中常数）； （3）与. 解 （2） 因为时对数函数在区间上是严格减函数， 故； 由在区间上是严格增函数，得， 例1 利用对数函数的单调性，比较下列各题中两个对数的大小： （1）与； （2）与（其中常数）； （3）与. 解 （3） 由换底公式，得， 故. 故. 由在区间上是严格增函数，得， 例1 利用对数函数的单调性，比较下列各题中两个对数的大小： （1）与； （2）与（其中常数）； （3）与. 若，则. 解 （3） 由换底公式，得， 例 2 比较与的大小关系. 思路：利用和， 只需比较与的大小关系. 故. 例 2 比较与的大小关系. 解 取以10为底的对数，由在区间上是严格增函数， 只需比较与的大小关系. 由于，且， 对数函数的图像与的图像关于轴对称. 由 可知，点在的图像上， [问题2]已知，那么对数函数的图像与的图像 是否关于轴对称？ 分析 任取一个正数， 考察的图像上横坐标为的点，， 从而由的任意性可知， 相应地，把对数函数称为指数函数的反函数. 可以证明， 对数函数的图像与指数函数的图像关于直线对称. [问题3]已知且，对数函数的图像与指数函数的 图像有什么关系？ 而点关于直线对称点就是， 因此，这两个函数的图像关于直线对称. [问题3]已知且，对数函数的图像与指数函数的 图像有什么关系？ 对数函数的图像与指数函数的图像关于直线对称. 若在的图像上，就有，即， 所以，必落在的图像上，反之亦然， 教材P98 练习4.3（2） [基础练习] 教材P100，习题4.3A组5-7，B组1,3. 已知，则函数与的图像 可能是(　　) [能力拓展]（选做） 1．已知，那么的取值范围是________． 2. 若，且，证明：. $