第5章 函数的概念、性质及应用（复习课件）数学沪教版必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的概念、性质及应用，通过单元知识图谱将函数定义、三要素、单调性、奇偶性、零点、反函数等核心内容串联，构建“概念-性质-应用”逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层模式，如用定义法判断奇偶性、配方法求二次函数值域，培养逻辑推理与数学应用能力。针对不同题型设计变式练习，让学生逐步提升，教师可借此精准把握学情，高效推进复习。

单元复习课件 第五章 函数的概念、性质及应用 沪教版必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解函数的定义，掌握函数的三要素.掌握函数表示方法及单调性、奇偶性等关键性质熟练运用定义域、值域及解析式的常用求解方法.能够构建合适的函数模型解决实际问题. 3.能够运用数形结合、分类讨论等数学思想，提升抽象概括、逻辑推理和数学应用能力. 2.深度理解函数三要素的辨析与应用，熟练掌握函数单调性、奇偶性的定义判断方法及性质的实际应用.能够绘制函数图象，尤其是分段函数、含参数函数的图象，从而解决有关问题. 单元学习目标 单元知识图谱 1.函数的概念 设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合D中的____________，都有_________________和它对应，那么就称对应关系为集合D上一个函数，记作_____________. 考点一 函数的概念 任意给定的 唯一确定的实数 y＝f(x)，x∈D 2.函数的三要素 函数中，叫做_________， ____________叫做函数的定义域， 函数值的集合________叫做函数的值域， f（x）是函数符号，f表示对应关系. 的取值范围 自变量 考点串讲 考点一 函数的概念 3.函数概念的几点说明 对数集的要求：集合A，B为非空数集． 任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性． 对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． 一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值． 函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可． 考点串讲 考点二 函数的表示方法 1.函数的表示方法 2.分段函数　 如果函数，根据自变量在D中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数 考点串讲 考点二 函数的表示方法 3.函数三种表示法的优缺点比较 考点串讲 考点三 函数的奇偶性 1.偶函数 偶函数：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有且_____________，那么函数就叫做偶函数. 前提条件：，都有，即定义域要关于原点对称. 图象特征：图像关于y轴对称 符号语言：∀x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=f(x) 常见的偶函数有 等等 定义理解： 考点串讲 考点三 函数的奇偶性 2.奇函数 奇函数：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有且_____________，那么函数就叫做奇函数. 前提条件：，都有，即定义域要关于原点对称. 图象特征：图像关于原点轴对称 符号语言：∀x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=－f(x) 常见的偶函数有等等 定义理解： 考点串讲 考点三 函数的奇偶性 3.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. ①是偶函数； ②是奇函数； ③是非奇非偶函数； ④ 既是奇函数，又是偶函数. （2）图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称. 考点串讲 考点四 函数的单调性 1.函数的单调性 设函数的定义域为D，区间I⊆D，任意给定， 都有在区间I是上_____________. 设函数的定义域为D，区间I⊆D，任意给定， 都有在区间I是上_____________. < > 严格增函数 严格减函数 2.函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的___________． 单调区间 考点串讲 考点四 函数的单调性 3.函数单调性的几点说明 函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. 单调区间I⊆定义域D. 遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 考点串讲 考点四 函数的单调性 4.常见的函数单调性定义的等价形式(对于任意的 ) 在D上为增函数； 在D上为减函数； 在D上为增函数； 在D上为减函数. 即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数； 考点串讲 考点五 函数的最值 函数的最值 函数在处的函数值是如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式___________,那么就叫做的最小值. 如果不等式___________,那么就叫做的最大值. 考点串讲 考点六 函数的零点 1.函数的零点 对于函数如果存在实数，当时，___________就把叫做函数的零点． 方程f (x) = 0有实数解 函数y = f (x)有零点 函数y = f (x)图象与x轴有交点 数 形 考点串讲 考点六 函数的零点 () 两个不等实根 () 两个相等实根 没有实数根 {} {} R {} ∅ ∅ 2.首项系数时，二次不等式与相应二次函数的联系 考点串讲 考点七 函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 为常数，) 反比例函数模型 (为常数且) 二次函数模型 为常数， 指数型函数模型 为常数， 对数型函数模型 为常数，且 幂函数型模型 为常数， 几类已知函数模型 考点串讲 考点八 二分法求函数的零点 1.给定精确度ε ,二分法求函数的零点近似值的步骤 (1)确定零点 x0 的初始区间[a，b]，验证 (2)求区间(a，b)的中点 c (3)计算 ，并进一步确定零点所在的区间： ①若 ，则 c 就是函数的零点； ②若 (此时 x0∈(a，c))，则令 bc； ③若 (此时 x0∈(c，b))，则令 ac ． (4)判断是否达到精确度 ε：若 ，则得到零点近似值 a(或b)；否则重复步骤(2)~(4)． 选定初始区间 取区间的中点 中点函数值为0 得到新区间 新区间的长度 结束 选取区间内任意一个数 是 是 否 否 考点串讲 考点八 二分法求函数的零点 初始区间是一个两端点函数值异号的区间； 新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号． 初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小． 若方程 有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值． 2.应用二分法求方程近似解的几点说明 考点串讲 考点九 反函数 1.反函数 对于函数记其值域为.如果对中任意一个值，在D中总有唯一确定的值与它对应，且满足，那么得到的关于的函数叫做的反函数.记作由于习惯上，自变量用表示，而函数值常用表示，因此把该函数改写为 考点串讲 考点九 反函数 2.反函数的几点说明 在定义上严格单调的函数存在反函数. 与互为反函数 的定义域就是的值域，的值域就是的定义域 互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称 考点串讲 题型一 函数的概念 A 题型剖析 题型一 函数的概念 练习.若集合，，则下图给出的对应能构成从M到N的函数：的是(　　) D 针对训练 题型一 函数的概念 A 针对训练 题型二 函数的定义域 D 针对训练 题型二 函数的定义域 B 针对训练 题型二 函数的定义域 A 针对训练 题型三 求函数的值与函数的值域 针对训练 题型三 求函数的值与函数的值域 例6.求下列函数的值域： ①y＝x＋1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y＝； ④y＝2x－. 解：①(观察法)∵x∈R，∴x＋1∈R，即函数值域是R.②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∵x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)． 针对训练 题型三 求函数的值与函数的值域 针对训练 题型三 求函数的值与函数的值域 针对训练 题型四 函数的解析式 针对训练 题型四 函数的解析式 针对训练 题型五 函数的奇偶性 针对训练 题型五 函数的奇偶性 针对训练 题型六 函数的单调性与最值 例11.求函数单调区间 针对训练 题型六 函数的单调性与最值 针对训练 题型七 二分法与函数的零点与 B 针对训练 题型七 二分法与函数的零点与 针对训练 解:设, 零点所在的区间为, 方程有解的区间是. 练习：用二分法求方程在区间内的解,取区间的中点为,那么下一个有解的区间是 . 题型七 二分法与函数的零点与 针对训练 题型八 函数的应用与反函数 C 针对训练 题型八 函数的应用与反函数 C 针对训练 1.函数的概念 集合法和图象两种类型判断是否为函数.同一函数：定义域与对应关系相同. 2.函数的定义域、值域与解析式 函数定义域需关注偶次根式、分母不为零，对数函数真数大于零等限制条件； 函数值域常见的几种求法：利用单调性；分式型分离常数；换元法等方法； 函数的解析式常见的几种求法：待定系数法；配凑法与换元法；方程组法；利用函数奇偶性等方法. 3.函数的奇偶性、单调性与最值 利用定义法判断函数的奇偶性、单调性 利用奇偶性与单调性解决求参数、解不等式等问题. 课堂总结 4.二分法与零点 二分法求零点的步骤 数形结合求零点的个数、求参数等问题 5.反函数 根据反函数的定义与性质解决实际问题 课堂总结 感谢聆听! 例1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是（ ） A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 解：选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件； 选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一函数值的要求； 选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义． 只有选项A符合函数定义．　 解：①中，因为在集合M中，当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有2个函数值与之对应，所以②是； ③中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以③不是． ④中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，只有④是， 故选D. 例2.下列两组函数中，表示同一函数的是（    ） （1）和；（2）和. A．仅（1）是 B．仅（2）是 C．（1）（2）都是 D．（1）（2）都不是 解：对于（1），两个函数定义域都为，化简后两个函数都为， 所以（1）中两个函数是同一个函数； 对于（2），的定义域是， 的定义域为或，定义域不一致，所以不是同一个函数. 故选：A 例3.函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为（ ） A. B. C. D.∪ 解：由题意知解得x<1且x≠， 即f(x)的定义域是∪. 故选：D 练习：函数f(x)＝eq \r(1－4x2)＋ln(3x－1)的定义域为（ ） A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) 解：要使函数f(x)＝eq \r(1－4x2)＋ln(3x－1)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－4x2≥0，,3x－1>0))⇒eq \f(1,3)<x≤eq \f(1,2). ∴函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))). 故选B. 　 例4.已知f（x）＝ ，则f（3x-2）的定义域为 （　　） A. B. C.［-3，1］ D. 解：对于函数f（x）＝ ，-x2+2x+3≥0， 即x2-2x-3≤0， 解得-1≤x≤3，所以函数y＝f（x）的定义域为［-1，3］. 对于函数y＝f（3x-2），由-1≤3x-2≤3，解得 ≤x≤ . 因此，函数y＝f（3x-2）的定义域为 .故选A. 例5.已知f(x)＝eq \f(1,2－x)(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． （1）求f(1)，g(1)的值； （2）求f[g(x)]； 解：（1）f(1)＝eq \f(1,2－1)＝1，g(1)＝1＋4＝5； （2）f[g(x)]＝f(x＋4)＝eq \f(1,2－(x＋4))＝eq \f(1,－2－x)＝－eq \f(1,x＋2)(x∈R，且x≠－2)； ③(分离常数法)y＝eq \f(3x－1,x＋1)＝eq \f(3x＋3－4,x＋1)＝3－eq \f(4,x＋1). ∵eq \f(4,x＋1)≠0，∴y≠3， ∴值域为{y|y∈R且y≠3}． ④(换元法)设t＝eq \r(x－1)，则t≥0且x＝t2＋1， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)). 例7.已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为___________________． 解:设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝eq \f(m,x)(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋eq \f(m,x)(x≠0)． 由＝16，F(1)＝8，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k＋3m＝16，,k＋m＝8，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3，,m＝5，))所以F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)． 例8.(1)已知f(+1)=x+2,求f(x); (2)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x). 解：(1)(法一:配凑法)因为f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1). (法二:换元法)令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2(t≥1), 所以f(t)=(t-1)2+2=t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)f(x)+2f=x, 令x=,得f+2f(x)=. ∴解得f(x)=(x≠0). 解：令u＝－x2＋4x＋5，则f(x)＝ ∵u>0，∴f(x)定义域为－1<x<5 当x∈(－1，2]时，u单调递增；当x∈(2，5)时，u单调递减． 又y＝在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数同增异减的性质， 故f(x)的单调递增区间为(2，5)，单调递减区间为(－1，2]． $