精品解析：广东惠州市合生实验学校2026-2027学年第一学期九年级学情自测（一）数学试卷

合生实验学校2026-2027学年第一学期数学九年级月测（一）试卷 考试用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、1 B. 4、2、 C. 4、、 D. 4、2、1 3. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 5. 已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，下列描述错误的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 当时，y有最小值2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共4小题） 11. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 12. 若是关于的二次函数，则的值为______． 13. 若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值：_______． 14. 抛物线的顶点坐标为________． 15. 年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动同学人数为______． 三、解答题（一）（每题7分，共3小题，共21分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 18. 如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： （1）的长为___________米；（用含有的代数式表示） （2）围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 四、解答题（二）（每题9分，共3小题，共27分） 19. 已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是________，对称轴是直线____； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当的取值范围为_________时，． 20. 中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． （1）若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率； （2）为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 21. 在平面直角坐标系中，二次函数（都是常数）的图象经过点和． （1）求的值； （2）当时，求的取值范围； （3）已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标． 五、解答题（三）（22题13分，24题14分，共27分） 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）是“差根方程”的是__________．（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求函数解析式和点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合生实验学校2026-2027学年第一学期数学九年级月测（一）试卷 考试用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、1 B. 4、2、 C. 4、、 D. 4、2、1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“一元二次方程，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”进行求解即可． 【详解】解：由方程可知：二次项系数、一次项系数、常数项分别为4、、1； 故选A． 3. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：A． 4. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接比较得出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 移项得． 配方：， 即． ∴ 比较 ，得：； 故选B． 5. 已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 6. 关于二次函数的图象，下列描述错误的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 当时，y有最小值2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 7. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，正确理解变化率问题及降低率公式是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意得， 故选：C． 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向判断的符号，结合对称轴公式直线判断的符号，根据点纵坐标的范围判断的符号，再判断的符号． ②利用抛物线与轴交点代入解析式得到，结合得到与的关系，结合的范围推导的取值范围以及判断和的大小关系． ③把代入，可得a的取值范围． ④利用抛物线的对称性得到与对应的函数值相等，结合时的取值范围判断的符号． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵抛物线过点， ∴代入解析式得， ∵， ∴； 抛物线与y轴交于，且 ①： ∵抛物线开口向上， ∴； ∴，，可知，①错误． ②： ∵， ∴， ∵， ∴，②正确． ③： 把代入， 得， 解得，③正确． ④： ∵是时的函数值， 根据抛物线对称性，关于对称轴的对称点是， 因此处的函数值等于处的函数值， 即，④错误． 综上，正确的结论有②③，共2个． 二、填空题（共4小题） 11. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 12. 若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 13. 若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值：_______． 【答案】 1（答案不唯一，只要满足即可） 【解析】 【分析】抛物线与轴没有交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于的不等式，求解得到的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可． 【详解】解： 抛物线与轴没有交点， 一元二次方程没有实数根，即， 将，，常数项为代入，得 ， 解得， ∴一个符合条件的c的值可以取1．(答案不唯一) 14. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的一般形式转化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为． 15. 年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动同学人数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加此次活动同学人数有人，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设参加此次活动同学人数有人， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 三、解答题（一）（每题7分，共3小题，共21分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择适当的方法是解题关键． （1）利用十字相乘法求解方程即可； （2）先移项，再利用提公因式法求解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得，． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用判别式列不等式求解m的取值范围； （2）利用根与系数的关系将转化为含m的代数式，结合已知等式列方程求解，再根据（1）中m的范围取舍结果． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， 且， ∴， 整理得， 解得，， 由（1）知， ∴不符合题意，舍去， ∴． 18. 如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： （1）的长为___________米；（用含有的代数式表示） （2）围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，的长为20米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）用篱笆长加上门宽，减去和的长即可； （2）由长方形面积列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：围成的矩形试验田的面积能为240平方米， ∴， 整理得到， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（符合题意）， 的长为20米． 四、解答题（二）（每题9分，共3小题，共27分） 19. 已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是________，对称轴是直线____； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当的取值范围为_________时，． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：列表得： 建立平面直角坐标系并描点连线后得到该抛物线的简图略； 【小问3详解】 解：根据图象可得：当的取值范围为或时，． 20. 中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． （1）若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率； （2）为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 【答案】（1）销售量的每期平均增长率为 （2）每套灯笼的义卖价格应定为元 【解析】 【分析】（1）设销售量的每期平均增长率为x，根据第一期和第三期的销售关系，利用增长后的量增长前的量，列方程求解即可； （2）设每套灯笼的义卖价格为y元，根据利润售价成本销售量，结合条件列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设销售量的每期平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：销售量的每期平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套灯笼的义卖价格为y元， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：每套灯笼的义卖价格应定为元． 21. 在平面直角坐标系中，二次函数（都是常数）的图象经过点和． （1）求的值； （2）当时，求的取值范围； （3）已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）y的取值范围是 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）利用二次函数增减性得出即可； （3）根据题意得出，联立方程，解方程即可求得． 【小问1详解】 解：把和代入得： ， 解得：． 【小问2详解】 解：这个函数关系式为， 对称轴为，在范围内， 当时，有最小值， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 当时，函数有最大值， ． 【小问3详解】 解：在的图象上， ， ， ， 解得， ， 点的坐标为． 五、解答题（三）（22题13分，24题14分，共27分） 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）是“差根方程”的是__________．（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算方程两根差的绝对值，判断是否符合“差根方程”的定义； （2）先求出方程的两根，根据差根方程的定义列绝对值方程，求解的值； （3）设直角边长为方程的两根，结合勾股定理与差根方程的条件，利用完全平方公式变形求两根之和与两根之积，进而得到方程． 【小问1详解】 解：①， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴ ①是“差根方程”； ②， 由根与系数的关系得，， ∵ ， ∴， ∴ ②不是“差根方程”． 故填①． 【小问2详解】 方程， 因式分解得， 解得，， ∵ 方程是“差根方程”， ∴，即， ∴， 解得． 【小问3详解】 设、（，），二者为该“差根方程”的两个实数根， ∵是直角三角形，斜边的长为， ∴． ∵ 方程是“差根方程”， ∴， ∴，即 ． 将代入，得， 解得． ∵，且 ， ∴ ． ∵ 方程的二次项系数为1， ∴ 该方程为，即． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求函数解析式和点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）面积的最大值为4，此时点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据二次函数的对称性可得点的坐标，再利用待定系数法即可得函数解析式； （2）连接，交直线于点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得点即为所求，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入求解即可得； （3）过点作轴于点，交于点，设，则，利用三角形的面积公式可得面积与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴函数解析式为． 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， 如图，连接，交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得， 由两点之间线段最短可知，，此时点即为所求， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴． ∵，， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为4， 此时， 所以面积的最大值为4，此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $