期中讲义03 期中综合压轴突破（有理数+代数式）（8大考点专练）2026-2027学年苏科版七年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项

期中讲义03 期中综合压轴突破（有理数+代数式）（8大考点专练） 【考点一】数轴上的综合问题 【考点五】代数式求值（整体代入） 【考点二】绝对值综合问题 【考点六】规律探索（跨章节综合） 【考点三】有理数混合运算的简便运算 【考点七】新定义运算 【考点四】整式加减中的“无关”问题 【考点八】数轴·绝对值·代数式综合解答题（期中压轴） 【考点一】有理数 模块 核心内容 期中要求 正数与负数 用正、负数表示相反意义的量；0 既不是正数也不是负数 会用正负数表示实际情境中的量 数轴 三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上的点与有理数（实数的子集）对应；右边点表示的数大 能画数轴、标点、比较大小，理解距离 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数；a 的相反数是 -a；互为相反数的两数之和为 0 会求相反数，会在数轴上观察对称性 绝对值 |a| 表示数 a 到原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0 掌握化简规则与几何意义，会解与距离相关的题 有理数的大小比较 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 会用数轴和绝对值法则比较大小 有理数的运算 加法、减法（减去一个数等于加上它的相反数）、乘法、除法（除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数） 熟练准确运算，掌握符号法则 乘方 aⁿ 表示 n 个 a 相乘；底数、指数、幂；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 区分“-3²”与“(-3)²”等符号问题 混合运算 先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内；运算律（交换、结合、分配） 能按顺序并运用运算律简便计算 科学记数法、近似数 a×10ⁿ（1≤|a|<10）；近似数按精确度取值 会用科学记数法表示大数，说明精确度 【考点三】用字母表示数（代数式） 模块 核心内容 期中要求 字母表示数、代数式 用字母表示数；代数式是由数、字母与运算符号组合成的式子；代数式的值 会列代数式、读代数式、求代数式的值 单项式 数字因数与字母因式的积；系数（数字因数）、次数（所有字母指数的和） 会指出系数、次数，处理字母系数问题 多项式 几个单项式的和；项、常数项、次数（次数最高项的次数） 会识别项与次数，能按字母升幂、降幂排列 整式 单项式与多项式统称整式 能判断一个式子是否为整式 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同 会准确判断同类项（不看系数与顺序） 合并同类项 系数相加，字母及其指数不变 熟练合并，注意“系数和为 0 时该项消失” 去括号 括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“-”，去括号后各项都变号 准确变号，防止漏乘与漏变号 整式的加减 先去括号，再合并同类项 会化简含括号的多项式，解决“与某字母无关”等综合问题 【考点一】 数轴上的综合问题 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，周长为的长方形，其顶点、在数轴上，且点对应的数为，，若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过次翻滚后到达数轴上的点，则点所对应的数为______． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图1，在一条可以折叠的数轴上有A，B，C三点，其中点A，点B表示的数分别为－8和＋5，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图2，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边．若，B两点之间的距离为1，设B，C两点之间的距离为x，则x＝________． 3．（2024七年级上·江苏无锡·期中）（1）先画出数轴，并将下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排序． ． （2）在你所画的数轴上标出表示数2的点A，直接写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数是 ． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知一组数：  ，   ， ，  ，   (1)把这些数在下面的数轴上表示出来：    (2)请将这些数按从小到大的顺序排列． ． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）数轴上，点A，B，C表示的数分别为a，b，c，请利用刻度尺或圆规完成下列画图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，若，在数轴上画出原点O的位置； (2)如图②，若，在数轴上画出原点O的位置． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）综合与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 【考点二】绝对值综合问题 7．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）已知，，且，则______． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为____. 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，且，求的值． 11．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，数的绝对值记为，读作“的绝对值”． （1）若数轴上的点，，表示的数分别为、、，则表示________之间的距离，表示________之间的距离． （2）若，，则________． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和鹿鸣学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现： ，，， （3）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当，满足________时，；当，满足________时，． 【拓展应用】 （4）若，，则的值为多少？（友情提示：①无过程不得分；②用超出已学知识解答不得分） （5）当、、满足什么条件时，．（请直接写出结果，不需过程） 12．（23-24七年级上·江苏南通·期中）阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【考点三】有理数混合运算的简便运算 14．（25-26七年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2) 15．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 19．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算下列各题： (1) (2) (3)； (4)； (5)． 【考点四】整式加减中的“无关”问题 22．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）多项式的值与x的取值无关，则的值为___________． 23．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与 x 的取值无关，求 y 的值． 24．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a为字母，b为常数，且的值与字母a的取值无关，求常数b的值． 25．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与b的取值无关，求a的值． 26．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知代数式，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若（1）中的代数式的值与y的取值无关，求x的值． 27．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 28．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 29．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）已知代数式：，； (1)若，求代数式； (2)在（）的条件下，若，，求代数式的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【考点五】代数式求值（整体代入、非负性） 30．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若当时，代数式的值为，当时，求代数式的值为_____． 31．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）当x的值分别为，0，1，2时，代数式的值如下表： x 0 1 2 则代数式中c的值为_________________  ． 32．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知有下列3个代数式：①；②；③． (1)当，时，从①、②或①、③选一组代数式，求所选的两个代数式的值； (2)再选一组你喜欢的a，b的值，求所选的两个代数式的值：通过计算你发现所选两个代数式的关系是：______； (3)已知，，，根据（2）中发现的结论，求的值． 33．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小明与小聪一起合作学习，计算下列两个代数式：； (1)小明将，代入计算，算得代数式的值是______，代数式的值是______； (2)小聪将，代入计算，算得代数式的值是______，代数式的值是______； (3)请再代入一些数进行计算研究，试写出代数式和之间的关系：______． (4)请你用（3）中的结论，计算． 34．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已知5a+3b＝﹣4，求代数式2（a+b）+4（2a+b）的值？ 小颖同学提出了一种解法如下： 原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b，把式子5a+3b＝﹣4两边同时乘以2，得10a+6b＝﹣8． 仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题： （1）如果a+b＝2，则a+b+1＝　 　； （2）已知a﹣b＝﹣2，求3（a﹣b）﹣2a+2b+5的值； （3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求4a2+7ab+b2的值． 35．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）关于x的算式，当x取任意一组相反数m与-m时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下算式中，是“偶代数式”的有______，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ (2)当时，=______，当时，=______； (3)当（m为常数）时，，则当时，=______； (4)若时，代数式的值为19，当时，求代数式的值． (5)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和为______． 36．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）求代数式的值，其中， 某学习小组在合作探究时采用如下的方法，解答如下： 当，时， 所以原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值． (2)已知当时，代数式的值是10，求当时，求代数式的值． (3)如图所示，将边长为6的小正方形和边长为的大正方形放在同一水平面上（），学习小组在用代数式表示不同图形面积时，发现不同图形面积之间都存在数量关系，若已知的面积与的面积之差为8，请你尝试求图中阴影部分的面积． 【考点六】规律探索（跨章节综合） 37．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】 我们知道，，那么结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第n行n个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：______，因此，______． 【解决问题】根据以上发现，计算的结果为______． 38．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）观察算式： ①； ②； ③； ④． 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5个算式：______； (2)写出第n个算式：______； (3)计算：． 39．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 40．观察以下等式（参考数据：）： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请观察以上等式，写出第5个等式：________； (2)根据以上等式发现的规律，用含字母的式子表示第个等式：________； (3)请利用上述规律计算：． 41．（25-26七年级上·江苏南通·期中）观察下面三行数，请你发现规律，并据此回答问题： ，，，，，；① ，，，，，；② ，，，，，；③ (1)第①行中的第7个数是________，第个数是________； (2)设第②行中某个位置对应的数为，取第①③行中相应的数，计算这三个数的和； (3)第②行中存在连续三个数的和等于吗？若存在，请求出它们；否则，请说明理由． 42．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）材料：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 计算公式 各项的系数 各项系数和    1 2 4 8 16 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； (2)利用展开式规律计算：_____； (3)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，记，则_____；_____（用表示）；_____． 43．（25-26七年级上·江苏南京·期中）一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 m 5 7 … … 7 6 5 4 3 2 n … … 11 6 3 2 3 6 11 … (1) ______，______； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：______．的值随着x的变化而变化的规律是：______． (3)下列结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 45．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1，2行的“点阵”规律，按要求填写： ①__________； ②__________； ③__________（用含的代数式表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，兴趣小组的学生进一步发现： ， ， ， …… 据此归纳： 对任意正整数，有． 设（且为正整数），若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律： __________（用含的代数式表示）；__________（用含，的代数式表示）． 【考点七】新定义运算 46．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：① 当n为奇数时，结果为；② 当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，如图，若，则第2024次“F运算”的结果是_________． 47．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 48．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； 49．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算： ；；； ； (1)归纳：用代数式表示的结果为：______． (2)若，请计算的值． 50．（24-25七年级上·江苏常州·期中）用“”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如： (1)求的值； (2)若（x为有理数），用x的代数式表示_______， _______； (3)大胆猜测：在（2）的条件下，小军猜测：无论x为何值，m_______n始终成立： (4)小心验证：请证明小军猜测的结论． 【考点八】数轴·绝对值·代数式综合解答题（期中压轴） 51．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b的相反数是，且a、c满足． (1)_______；_____； (2)若数轴上有一点D为线段的三等分点（点D在线段内），求点D表示的数是多少？ (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，是否存在常数k，使为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 52．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为10．点表示的数为，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 【解决问题】 (1)填空：两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)若点从点开始运动时，另一点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．求当为何值时，？ 53．（25-26七年级上·湖北随州·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含m，的代数式表示） ②探究：若的值不随着时间t的变化而改变，求值． ③在②的条件下，若M点与A，B，C三点同时开始在数轴上运动，点M从点1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上运动，请含的式子表示． 54．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的． 【探究发现】式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离． （1）若式子，则x的值为________； （2）当有最小值时，x可以取整数________（请写全符合条件的答案）； （3）当时，则x的值为________． （4）如图，三个居民区A、B、C和市民广场O在同一条直线上．其中A在O左侧处，B在O左侧处，C在O右侧处．现要在该直线上建一个便民服务点P，请问P建在何处，能使P到A、B、C的总路程最短？最短路程是多少？请说明理由． 55．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图1．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． (1)____，____，____； (2)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． 请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 探究：若点，向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 56．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【问题背景】：的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离；如图，在数轴上，点，，，，的位置如图所示，则；；． 【问题解决】 （1）计算________． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，，则________． 【关联运用】 （3）代数式的最小值为________． （4）当是________时，代数式 （5）若点表示的数，点与点的距离是10，且点在点的右侧，动点、同时从、出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，、、三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点? 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义03 期中综合压轴突破（有理数+代数式）（8大考点专练） 【考点一】数轴上的综合问题 【考点五】代数式求值（整体代入） 【考点二】绝对值综合问题 【考点六】规律探索（跨章节综合） 【考点三】有理数混合运算的简便运算 【考点七】新定义运算 【考点四】整式加减中的“无关”问题 【考点八】数轴·绝对值·代数式综合解答题（期中压轴） 【考点一】有理数 模块 核心内容 期中要求 正数与负数 用正、负数表示相反意义的量；0 既不是正数也不是负数 会用正负数表示实际情境中的量 数轴 三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上的点与有理数（实数的子集）对应；右边点表示的数大 能画数轴、标点、比较大小，理解距离 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数；a 的相反数是 -a；互为相反数的两数之和为 0 会求相反数，会在数轴上观察对称性 绝对值 |a| 表示数 a 到原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0 掌握化简规则与几何意义，会解与距离相关的题 有理数的大小比较 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 会用数轴和绝对值法则比较大小 有理数的运算 加法、减法（减去一个数等于加上它的相反数）、乘法、除法（除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数） 熟练准确运算，掌握符号法则 乘方 aⁿ 表示 n 个 a 相乘；底数、指数、幂；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 区分“-3²”与“(-3)²”等符号问题 混合运算 先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内；运算律（交换、结合、分配） 能按顺序并运用运算律简便计算 科学记数法、近似数 a×10ⁿ（1≤|a|<10）；近似数按精确度取值 会用科学记数法表示大数，说明精确度 【考点三】用字母表示数（代数式） 模块 核心内容 期中要求 字母表示数、代数式 用字母表示数；代数式是由数、字母与运算符号组合成的式子；代数式的值 会列代数式、读代数式、求代数式的值 单项式 数字因数与字母因式的积；系数（数字因数）、次数（所有字母指数的和） 会指出系数、次数，处理字母系数问题 多项式 几个单项式的和；项、常数项、次数（次数最高项的次数） 会识别项与次数，能按字母升幂、降幂排列 整式 单项式与多项式统称整式 能判断一个式子是否为整式 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同 会准确判断同类项（不看系数与顺序） 合并同类项 系数相加，字母及其指数不变 熟练合并，注意“系数和为 0 时该项消失” 去括号 括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“-”，去括号后各项都变号 准确变号，防止漏乘与漏变号 整式的加减 先去括号，再合并同类项 会化简含括号的多项式，解决“与某字母无关”等综合问题 【考点一】 数轴上的综合问题 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，周长为的长方形，其顶点、在数轴上，且点对应的数为，，若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过次翻滚后到达数轴上的点，则点所对应的数为______． 【答案】 【知识点】数轴上的规律探究、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴和图形规律，代数式，找出翻滚规律是解题的关键． 根据长方形的周长及的长求出、的长，再找出翻滚规律：每翻滚次的和为，即最小周期为，再计算，最后计算点所对应的数即可． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴，， ∵点对应的数为， ∴点对应的数为，翻滚次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚次后到达数轴上的点所对应的数为； ∴每翻滚次的和为，即最小周期为， ∴， ∴翻滚次有个周期，余一次翻滚， ∴， ∴点所对应的数为， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图1，在一条可以折叠的数轴上有A，B，C三点，其中点A，点B表示的数分别为－8和＋5，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图2，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边．若，B两点之间的距离为1，设B，C两点之间的距离为x，则x＝________． 【答案】6 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】由折叠得，，根据，B两点之间的距离为1，得出，再根据BC=求解即可． 【详解】解：由折叠得：， ∵，B两点之间的距离为1， ∴， ∵A表示-8，B表示+5， ∴AB=5-(-8)=5+8=13， ∴， ∴， ∴BC=， ∴x=6 故答案为：6． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键． 3．（2024七年级上·江苏无锡·期中）（1）先画出数轴，并将下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排序． ． （2）在你所画的数轴上标出表示数2的点A，直接写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数是 ． 【答案】 （1）在数轴上表示各数，如图： （2）点在数轴上的位置如图所示： 或6 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查用数轴表示有理数，有理数比较大小，数轴上点的移动． （1）画出数轴，表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可； （2）分向左和向右两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）． 由图可知：； （2）∵点表示的数为2， ∴将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数是或； 故答案为：或6 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知一组数：  ，   ， ，  ，   (1)把这些数在下面的数轴上表示出来：    (2)请将这些数按从小到大的顺序排列． ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】（1）把各数在数轴上表示出来即可； （2）根据各数在数轴上的位置从左到右用“＜”连接起来． 【详解】（1）， ， 所以，  ，， ，，在数轴上表示为：    （2）由图可知， 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）数轴上，点A，B，C表示的数分别为a，b，c，请利用刻度尺或圆规完成下列画图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，若，在数轴上画出原点O的位置； (2)如图②，若，在数轴上画出原点O的位置． 【答案】(1)如图， (2)如图， 【知识点】线段的和与差、数轴上找原点、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上找原点，线段的和差计算等知识点． （1）以为圆心，长为半径画弧，在点右侧交数轴于点，则点即为原点，此时即可得到； （2）以为圆心，为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点即为原点．首先确定点在点左侧，由得到，而，则，即可作图． 【详解】（1）解：原点即为所求，以为圆心，长为半径画弧，在点右侧交数轴于点，则点即为原点； （2）解：原点即为所求，以为圆心，为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点即为原点． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）综合与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 【答案】(1)； (2)，或； (3)或． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】（）根据题意可知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，据此求解即可； （）先求出数轴甲上表示的数与的距离，再根据数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲上距离的距离即可得到答案； （）要求乙轴对应甲轴的数，即要先求出乙轴上到对齐点的距离在甲轴上表示的是多少，同理，要求甲轴对应乙的数，即要先求出甲轴上到对齐点的距离在乙轴上表示多少，据此求解即可； 此题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐， ∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度， ∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐， 故答案为： ； （2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐， ∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐； ∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示： 的点对齐， 的点对齐， 故答案为；；或； （3）由题意得： 当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数； 当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 【考点二】绝对值综合问题 7．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）已知，，且，则______． 【答案】或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值的意义和代数式的求值．根据绝对值的定义，和各有两种可能值，再根据推出，从而确定和的取值组合，最后计算的值． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 当时，若，，不符合条件；若，，不符合条件． 当时，若，，符合条件；若，，符合条件． 因此，，或，． 当，时，； 当，时，． 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 【答案】18或27 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为____. 【答案】225 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，且，求的值． 【答案】（1）8；（2）或 【知识点】绝对值的其他应用、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值、平方的非负性以及绝对值和平方的定义，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再代入计算； （2）根据绝对值和平方的定义求出、的值，再代入计算． 【详解】（1）∵，且，， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，． 11．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，数的绝对值记为，读作“的绝对值”． （1）若数轴上的点，，表示的数分别为、、，则表示________之间的距离，表示________之间的距离． （2）若，，则________． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和鹿鸣学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现： ，，， （3）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当，满足________时，；当，满足________时，． 【拓展应用】 （4）若，，则的值为多少？（友情提示：①无过程不得分；②用超出已学知识解答不得分） （5）当、、满足什么条件时，．（请直接写出结果，不需过程） 【答案】（1）、，、；（2）；（3）同号或者，中有一个为；异号；（4）的值为或；（5）、、满足两负一正或两正一负或其中一个数为，另外两个数为异号 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质和读懂材料． （1）根据绝对值的定义求解即可； （2）分当，时，和当，时，两种情况求出，即可求解； （3）根据材料即可求解； （4）根据题意可得、异号，分情况讨论：当，时，当，时，结合绝对值的性质即可求解； （5）结合材料即可求解． 【详解】解：（1）表示、之间的距离，表示、之间的距离， 故答案为：、，、； （2），且， 当或时，，， 当或时，，， 当，时， ， ， ， ； 当，时， ， ， ， ， ； 综上所述，， 故答案为：； （3）根据题意可得：当，满足同号或者，中有一个为时，； 当，满足异号时，； 故答案为：同号或者，中有一个为；异号； （4），，即， 、异号， 当，时，，或， 或， 解得：或， 当，时，，或， 或， 解得：或， 综上所述，的值为或； （5）当、、满足两负一正或两正一负或其中一个数为，另外两个数为异号时，． 12．（23-24七年级上·江苏南通·期中）阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 【答案】(1)15； (2)0或6 (3)6 (4)或 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算； （1）根据两点间距离公式计算； （2）根据数轴上两点间距离公式的定义，结合数轴求解； （3）由数轴上两点间距离公式，可判断x在与3之间，即可； （4）由数轴上两点间距离公式，由题意得当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是； 数轴上表示x与2的两点之间的距离是． 故答案为：15； （2）解：表示x与3的距离为3， ∴或6． 故答案为：0或6 （3）解：表示x与的距离与它与3的距离之和为5， ∴x在与3之间， ∴这样的整数x有，共6个． 故答案为：6 （4）解：的值为“表示x的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和． 当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值． ∴表示的点与表示的点的距离为3． 若，即， 则， ∴． 若，即， 则， ∴． 综上，当a取或时，原式的最小值是3． 故答案为：或 13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的应用，熟练掌握点到线段距离的定义以及绝对值的性质是解题的关键． [简单应用] （1）根据两点之间的距离公式即可解答； （2）利用题中定义即可解答； （3）分类讨论，即点在左边或点在右边 [关联应用] （1）根据两点之间距离公式即可解答； （2）求出每个因式的最小值，即可得到的取值范围，求得最大值即可； [实际应用]由题意可得得落在间才会得到距离之和，再计算即可． 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时， ，解得； 当点在右边时， ，解得， 综上，或； 故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为， 故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为， 在时，取最小值为， ， ，，， ，，， 的最大值为； [实际应用] 解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小， 设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值， 在时，取最小值， 的最小值为， 综上，距离之和最小值为． 【考点三】有理数混合运算的简便运算 14．（25-26七年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解题关键是掌握运算法则与运算顺序． （1）先去括号，再将同号的两数相加，最后再将求得的两数相加即可求解； （2）先计算乘方、乘法，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ， ． 16．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)2 (3)1 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，有理数的乘除混合运算，含乘方的有理数混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减运算法则求解即可； （3）先计算绝对值，再计算乘除法即可得到答案； （4）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2)26 (3) (4)0 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），合理运用运算律简化计算． （1）将减法转化为加法，再按有理数加法法则计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （3）利用乘法分配律展开计算； （4）先算乘方与绝对值，再算加减． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 18．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方和括号里的减法，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 19．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8； (2)； (3)； (4)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、去括号、有理数的加减混合运算、合并同类项 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减运算，解题的关键是掌握有理数运算的符号规则与运算顺序，以及整式加减的合并同类项法则． （1）去括号后按有理数加减运算计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （3）合并同类项化简整式； （4）去括号后合并同类项化简整式． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 20．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （3）先计算绝对值，再根据有理数混合运算法则进行计算即可； （4）先计算乘方，再根据有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 21．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算下列各题： (1) (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)18 (4) (5) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题个关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）先计算乘方，在将除法改写为乘法，即可解答； （3）先将除法改写为乘法，再用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后计算加减即可； （5）先算乘方和绝对值，在算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ； （4）解： ； （5）解： ． 【考点四】整式加减中的“无关”问题 22．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）多项式的值与x的取值无关，则的值为___________． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值． 先化简多项式，再根据“值与x的取值无关”求出，，最后代入计算即可． 【详解】解： ． ∵多项式的值与x的取值无关， ∴，， ∴，， 即． 故答案为：． 23．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与 x 的取值无关，求 y 的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果； （2）先把结果整理成“含的项常数项”的形式，再令含的项的系数为 0． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 因为它的值与的取值无关， 所以含的项的系数为 0， 即， 解得． 24．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a为字母，b为常数，且的值与字母a的取值无关，求常数b的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减． （1）将，代入计算即可； （2）根据（1）中结果结合的值与字母a的取值无关计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， ∵的值与字母的取值无关， ∴， 解得． 25．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与b的取值无关，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，整式加减中的无关型问题，正确运算是解题的关键． （1）将，代入中，然后去括号，合并同类项化简，然后代值求解即可； （2）根据（1）求出的的化简式子，先把b提出来，再根据的值与b的取值无关，可求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时， 原式； （2）解：， ∵的值与b的取值无关， ∴， ∴． 26．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知代数式，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若（1）中的代数式的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简-去括号、合并同类项，整数的求值及与字母取值无关的问题． （1）根据去括号和合并同类项法则先化简，再代入式子求值即可； （2）先分析与y取值无关的条件，再求解x的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 当，时，原式． （2）解：由（1）知化简结果为，变形为， ∵该式的值与y的取值无关， ∴，解得． 27．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)26 (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了代数式的化简求值及多项式与字母取值无关的条件，解题的关键是先化简，再根据题意计算或分析的系数． （1）先化简，再代入，计算其值； （2）将化简后的整理为关于的整式，令的系数为0，求解的值． 【详解】（1）解： 代入，：． 答：的值为26． （2）解：由（1）知， 因与的取值无关，故， 解得． 故答案为：． 28．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)23 (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则计算，然后代入求值； （2）将含x的项合并，令其系数为0，即可求出y的值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）由（1）可知： 由于的值与的取值无关， 则， 所以． 29．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）已知代数式：，； (1)若，求代数式； (2)在（）的条件下，若，，求代数式的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题 【分析】（）由已知得，再把代入计算即可求解； （）把，代入（）中的结果计算即可； （）求出的值，再根据的值与的取值无关得到关于项的系数为，列出关于的方程解答即可求解； 本题考查了整式的加减化简求值，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时， 原式 ； （3）解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 【考点五】代数式求值（整体代入、非负性） 30．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若当时，代数式的值为，当时，求代数式的值为_____． 【答案】/ 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后把代入得，进而利用整体思想可进行求解． 【详解】解：由题意得：当时，，则有 当时， ； 故答案为． 31．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）当x的值分别为，0，1，2时，代数式的值如下表： x 0 1 2 则代数式中c的值为_________________  ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用时的代数式值直接确定的值． 当时，代入，此时、，代数式的值即为，结合表格中对应的代数式值可得的值． 【详解】解：由表格知，当时，，即． 故答案为：． 32．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知有下列3个代数式：①；②；③． (1)当，时，从①、②或①、③选一组代数式，求所选的两个代数式的值； (2)再选一组你喜欢的a，b的值，求所选的两个代数式的值：通过计算你发现所选两个代数式的关系是：______； (3)已知，，，根据（2）中发现的结论，求的值． 【答案】(1)①、②；两个代数式的值为5，5 (2) (3)5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）直接选取一组将，代入计算即可； （2）任选a，b的值代入计算即可； （3）由（2）中结论作答即可． 【详解】（1）选①、②： ①， ②； 选①、③： ①， ③． （2）当，时， 选①、②： ①， ②， 即， 故答案为； 选①、③： ①， ③， 即， 故答案为． （3），，， 选①、②： ； 选①、③： ． 【点睛】本题考查了代入求值，解题的关键是能够通过计算得到或． 33．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小明与小聪一起合作学习，计算下列两个代数式：； (1)小明将，代入计算，算得代数式的值是______，代数式的值是______； (2)小聪将，代入计算，算得代数式的值是______，代数式的值是______； (3)请再代入一些数进行计算研究，试写出代数式和之间的关系：______． (4)请你用（3）中的结论，计算． 【答案】(1)7，7 (2)， (3) (4) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值、列代数式，解决本题的关键是求出两个代数式之间的关系． （1）将，代入两个代数式，分别求值即可； （2）将，代入两个代数式，分别求值即可； （3）任意将a、b取值，代入两个代数式，发现两个代数式的值相等，从而得出代数式的关系； （4）根据两个代数式相等的关系，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：当，时， ， ， 故答案为：7，7； （2）解：当，时， ； ； 故答案为：，； （3）解：当，时， ， ， 可得：； 故答案为：； （4）解： ． 34．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已知5a+3b＝﹣4，求代数式2（a+b）+4（2a+b）的值？ 小颖同学提出了一种解法如下： 原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b，把式子5a+3b＝﹣4两边同时乘以2，得10a+6b＝﹣8． 仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题： （1）如果a+b＝2，则a+b+1＝　 　； （2）已知a﹣b＝﹣2，求3（a﹣b）﹣2a+2b+5的值； （3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求4a2+7ab+b2的值． 【答案】（1）3；（2）3；（3）－4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）将a+b+1变形为（a+b）+1，然后将a+b＝2代入计算； （2）将3（a﹣b）﹣2a+2b+5变形为3（a﹣b）﹣2（a﹣b）+5，再将a﹣b＝﹣2的值代入即可； （3）将4a2+7ab+b2变形为4（a2+2ab）﹣（ab﹣b2），再将a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4代入计算． 【详解】解：（1）∵a+b+1＝（a+b）+1， ∴当a+b＝2时， 原式＝2+1＝3， 故答案为：3； （2）∵3（a﹣b）﹣2a+2b+5 ＝3（a﹣b）﹣2（a﹣b）+5， ∴当a﹣b＝﹣2时， 原式＝3×（﹣2）﹣2×（﹣2）+5 ＝﹣6+4+5 ＝3； （3）∵4a2+7ab+b2 ＝（4a2+8ab）+（﹣ab+b2） ＝4（a2+2ab）﹣（ab﹣b2）， ∴当a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4时， 原式＝4×（﹣2）﹣（﹣4） ＝﹣8+4 ＝﹣4． 【点睛】此题考查了运用整体思想求代数式的值的能力，关键是能将原代数式准确变形为能整体代入求值的形式． 35．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）关于x的算式，当x取任意一组相反数m与-m时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下算式中，是“偶代数式”的有______，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ (2)当时，=______，当时，=______； (3)当（m为常数）时，，则当时，=______； (4)若时，代数式的值为19，当时，求代数式的值． (5)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和为______． 【答案】(1)①③；② (2)；7 (3)9 (4) (5)69 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查有理数的混合运算和整式，属于中档题． （1）根据“偶代数式”和“奇代数式”的定义，代入判断式子值的变化； （2）直接代入和计算式子值； （3）利用“偶代数式”的性质，先将，代入求得，再将，代入求值； （4）利用“奇代数式”的性质，先将，代入求得，再将，代入求值； （5）将整式分为奇代数式部分和偶代数式及常数项部分，奇代数式部分为 0 ，偶代数式部分为 ，代入求值． 【详解】（1）解：当和时， ①，值相等，故为偶代数式； ②，值互为相反数，故为奇代数式； ③，值相等，故为偶代数式， 故答案为：①③；②； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：； （3）解：当时，，则，得； 当时，， 故答案为： 9 ； （4）解：当时，，得， 当时，， 故答案为： ； （5）解：将整式分为奇代数式部分和偶代数式及常数项部分，每对相反数与的奇代数式部分和为 0 ， 偶代数式及常数项部分和为，， 总和为，加上时的值 1 ， 总和为， 故答案为： 69 ． 36．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）求代数式的值，其中， 某学习小组在合作探究时采用如下的方法，解答如下： 当，时， 所以原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值． (2)已知当时，代数式的值是10，求当时，求代数式的值． (3)如图所示，将边长为6的小正方形和边长为的大正方形放在同一水平面上（），学习小组在用代数式表示不同图形面积时，发现不同图形面积之间都存在数量关系，若已知的面积与的面积之差为8，请你尝试求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，正确表示出对应图形的面积公式是解题的关键． （1）整体代入即可解答； （2）先将代入，可得，再将代入，即求，将前面计算的结果整体代入即可； （3）表示出阴影部分的面积，再利用的面积与的面积之差为8，可得，即可解答． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时，， ， 当时，； （3）解：由题意可得阴影部分的面积为 的面积与的面积之差为8， ， 阴影部分的面积为 【考点六】规律探索（跨章节综合） 37．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）【阅读理解】 我们知道，，那么结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第n行n个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：______，因此，______． 【解决问题】根据以上发现，计算的结果为______． 【答案】规律探究：；，；解决问题： 【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】规律探究： 将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的，从而得出答案； 解决问题： 运用以上结论，将原式变形为，化简计算即可得． 【详解】规律探究： 由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为， ∴这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ， ∴； 故答案为：；， 解决问题： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察找到规律是解题的关键． 38．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）观察算式： ①； ②； ③； ④． 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5个算式：______； (2)写出第n个算式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查的是有理数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律解题”是关键． （1）根据题意，①；②；③；④，发现规律，左边第一个因数是序号数，第二个因数是序号数加2，结果是底数为序号数加1的平方，解答即可； （2）根据上面的规律，一般化结论即可； （3）先通分，后化简计算，确定规律，再约分计算即可． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ④； ∴第5个算式为：； （2）解：根据规律，左边第一个因数是序号数，第二个因数是序号数加2，结果是底数为序号数加1的平方幂， 得第个算式为：； （3）解： ． 39．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②8432 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算法则和数字规律探索，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）先对式子提一个，再运用所得规律即可求解； （3）①根据题意即可得出结果；②先将原式变为，再提一个4，最后运用所得规律求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 40．观察以下等式（参考数据：）： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请观察以上等式，写出第5个等式：________； (2)根据以上等式发现的规律，用含字母的式子表示第个等式：________； (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】根据所列式子得出规律． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 41．（25-26七年级上·江苏南通·期中）观察下面三行数，请你发现规律，并据此回答问题： ，，，，，；① ，，，，，；② ，，，，，；③ (1)第①行中的第7个数是________，第个数是________； (2)设第②行中某个位置对应的数为，取第①③行中相应的数，计算这三个数的和； (3)第②行中存在连续三个数的和等于吗？若存在，请求出它们；否则，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不存在，理由： 设第一个数为，则第二个数为，第三个数为， 依题意，， ∴ 即 ∴ ∵，， ∴不存在整数满足题意，故不存在连续三个数的和等于． 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算、用代数式表示数、图形的规律、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，整式的化简求值，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）从前面几个数中发现变化规律，可得第个数和第个数． （2）将第①行各项的数即得第②行的数，第③行数等于第①行数相应的数除以，设第②行中某个位置对应的数为，则第①③行中相应的数分别为，； （3）设第一个数为，则第二个数为，第三个数为，依题意，，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，…… ∴第个数是，第个数是． （2）依题意， 第②行数等于第①行数相应的数减去， 第③行数等于第①行数相应的数除以， 设第②行中某个位置对应的数为，则第①③行中相应的数分别为， ∴ （3）解：略． 42．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）材料：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 计算公式 各项的系数 各项系数和    1 2 4 8 16 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； (2)利用展开式规律计算：_____； (3)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，记，则_____；_____（用表示）；_____． 【答案】(1)6，32 (2) (3)36，， 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】（1）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为， （2）令中，，由展开式得，从而即可得解； （3）总结规律得，，从而代入求解即可． 【详解】（1）解：多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； ∴多项式展开式共有项，各项系数和为； （2）解：由（1）知，多项式展开式各项系数为， 则中，， ∴， ， ∴原式； （3）解：， ， ， … ∴； ∴， . 43．（25-26七年级上·江苏南京·期中）一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 m 5 7 … … 7 6 5 4 3 2 n … … 11 6 3 2 3 6 11 … (1) ______，______； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：______．的值随着x的变化而变化的规律是：______． (3)下列结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】(1)3，1 (2)x的值每增加1，的值就减小1；当时，的值随着x的增大而减小；当时，的值随着x的增大而增大，的最小值为2 (3)②④ 【知识点】数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，整式的性质，熟练掌握求代数式的值是解题的关键． （1）根据代数式求代数式的值解答即可； （2）根据代数式的值的变化规律解答即可． （3）根据代数式的值的变化特点，判断解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，1． （2）解：根据代数式的值变化规律是：x的值每增加1，的值就减小1， 时，的值随着x的增大而减小， 时，的值随着x的增大而增大， 的最小值为2． 故答案为：x的值每增加1，的值就减小1；时，的值随着x的增大而减小；时，的值随着x的增大而增大，的最小值为2． （3）解：①当时，解得，故本题错误； ②当时，解得，故本题正确； ③当时，解得或，故本题错误； ④当时，解得，故本题正确． 故答案为：②④． 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 【答案】 （1）正确，证明：设三位数的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则这个三位数可表示为： ， ∵， 则上式变为， ∵是9的整数倍， 能被9整除，小明的观点正确； （2）或； （3）①；②或；③任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了数的整除特性的证明与应用，涉及3、9、11 的整除规律推导及实际运用．熟练掌握“用代数表示数并拆分变形，结合整除定义分析数字和与数的关系”是解题关键． （1）通过代数表示三位数，拆分变形为9 的倍数与数字和的组合，利用“数字和为9”推导其是9 的倍数，验证观点正确性； （2）根据能被9 整除的数的数字和规律，结合五位数的数字和，确定其为9 的倍数，进而求的值即可； （3）将数拆分为11 的倍数与数字组合的形式，通过整除条件推导不同位数下数字需满足的关系，归纳通用规律即可． 【详解】解：（1）略 （2）的各位数字和为， 由（1）的证明过程类比可知，若一个自然数各数位数字之和能被9整除，则该数能被9整除， 因此若五位数能被9整除，则能被9整除， 由题意可知， ∴或， ∴或； （3）①两位数，若能被11整除，则（k为整数）， ∵，， ∴，即； ②三位数 若能被11整除，则或11的倍数， 即或； ③根据②可得：若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件为（k为整数）， 四位数 ， 若能被11整除，则（k为整数）， 同理可得：若五位数能被11整除，则（k为整数）， 若六位数能被11整除，则（k为整数）， … 则任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数． 45．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1，2行的“点阵”规律，按要求填写： ①__________； ②__________； ③__________（用含的代数式表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，兴趣小组的学生进一步发现： ， ， ， …… 据此归纳： 对任意正整数，有． 设（且为正整数），若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律： __________（用含的代数式表示）；__________（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）①15；②；③；（2）10；（3）， 【知识点】数字类规律探索、归纳与类比、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字的规律探索，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律及加法交换律得，，则即可求解；③同②的方法计算即可； （2）由可得，，再作差计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】（1）①； ②， ， ， ； ③， ， ， ； 故答案为：①15；②；③； （2）由（1）知，，， 则，， ， 所以的值为10； （3）， ， ， ； 由，，， 根据规律知． 【考点七】新定义运算 46．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：① 当n为奇数时，结果为；② 当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，如图，若，则第2024次“F运算”的结果是_________． 【答案】31 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键．根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2024次“F运算”的结果． 【详解】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算， 当为奇数应先进行F①运算，即（偶数）， 再进行F②运算，得到（奇数）， 再进行F①运算，即（偶数）， 再进行F②运算，即（奇数）， 再进行F①运算，得到（偶数）， 再进行F②运算，即（奇数）， …， 可以发现第6次运算结果为19，则6次一循环， ， 则第2024次“F运算”的结果是31． 故答案为：31． 47．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【答案】(1)23 (2)与的值不相等． 理由：∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴与的值不相等． 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴； （2）略 48．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，按照给定的运算规则代入数值计算即可． （1）根据新定义直接计算； （2）先计算内层运算，再计算外层运算． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ． 49．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算： ；；； ； (1)归纳：用代数式表示的结果为：______． (2)若，请计算的值． 【答案】(1) (2)36 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查新定义运算，整式的加减运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察所给式子，找出规律即可求解； （2）根据得出，再利用新定义计算，最后将作为整体代入求值． 【详解】（1）解：由题意知， 故答案为：； （2）解：， ， ， ． 50．（24-25七年级上·江苏常州·期中）用“”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如： (1)求的值； (2)若（x为有理数），用x的代数式表示_______， _______； (3)大胆猜测：在（2）的条件下，小军猜测：无论x为何值，m_______n始终成立： (4)小心验证：请证明小军猜测的结论． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 证明：由（2）得，， ∴ ． ∵ 对于任意有理数成立， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 因此，小军的猜测成立． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、整式的加减运算 【分析】本题考查新运算的定义和代数式的化简与比较． （1）根据新运算规则直接计算； （2）根据新运算规则直接计算； （3）根据新运算规则，得到代数式后比较和的大小关系， （4）根据新运算规则通过代数推导证明中的猜测． 【详解】（1）解：根据新运算定义，， 代入，， ． （2）对于，代入，， ． 对于，代入，， ． 通分后，． 所以，． 故答案为：；． （3）由（2）知，， ∵， ∴， ∴始终成立． 故答案为：． （4）略 【考点八】数轴·绝对值·代数式综合解答题（期中压轴） 51．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b的相反数是，且a、c满足． (1)_______；_____； (2)若数轴上有一点D为线段的三等分点（点D在线段内），求点D表示的数是多少？ (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，是否存在常数k，使为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，8； (2)D表示的数为或 (3)存在，，理由如下： ∵b的相反数为， ∴，即B点表示数为1， 设运动时间为t秒， ∵点A表示的数是，向左的速度为每秒1个单位长度，点B表示的数是1，向右的速度为每秒2个单位长度，点C表示的数是8，向右的速度为每秒4个单位长度， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴． 【知识点】相反数的定义、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a，c的值； （2）由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， （2）解：由（1）可知，点A表示的数是，点C表示的数是8， , D为线段的三等分点， 当点是靠近点的三等分点时，；当点是靠近点的三等分点时，， ∴点D表示的数为或． （3）略 52．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为10．点表示的数为，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 【解决问题】 (1)填空：两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)若点从点开始运动时，另一点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．求当为何值时，？ 【答案】(1)14，3 (2)不发生变化， (3)或 【知识点】绝对值方程、整式加减的应用、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示与两点距离、绝对值方程及整式加减的应用，熟练掌握数轴上有理数的表示与两点距离、绝对值方程及整式加减的应用是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离及中点可进行求解； （2）由题意得：秒后，点表示的数为，则有的中点M所表示的数为，的中点N所表示的数为，然后问题可求解； （3）由题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：两点间的距离，线段的中点表示的数为； 故答案为14，3； （2）解：不发生变化，理由如下： 由题意得：秒后，点表示的数为， ∴的中点M所表示的数为，的中点N所表示的数为， ∴； （3）解：由题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 综上所述：当或时，． 53．（25-26七年级上·湖北随州·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含m，的代数式表示） ②探究：若的值不随着时间t的变化而改变，求值． ③在②的条件下，若M点与A，B，C三点同时开始在数轴上运动，点M从点1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；②③,或 【知识点】单项式的系数、次数、整式的加减运算、列代数式、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的有关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从1出发以每秒4个单位长度的速度运动，秒过后，表示出各点的数在表示出线段长解答即可． 【详解】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 的值不变， ∴ 解得：这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上运动，分为向左和向右运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为1，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是或，分点M在点A的左侧和右侧和M在点C的左侧和右侧四种情形解答即可． M从点1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴ M从点1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右运动 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 综上所述：或或． 54．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的． 【探究发现】式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离． （1）若式子，则x的值为________； （2）当有最小值时，x可以取整数________（请写全符合条件的答案）； （3）当时，则x的值为________． （4）如图，三个居民区A、B、C和市民广场O在同一条直线上．其中A在O左侧处，B在O左侧处，C在O右侧处．现要在该直线上建一个便民服务点P，请问P建在何处，能使P到A、B、C的总路程最短？最短路程是多少？请说明理由． 【答案】【探究发现】（1）或5；（2）；（3）或． （4）P建在B处，P到A、B、C的总路程最短，最短路程为 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）利用绝对值的几何意义（表示数轴上两点距离），由得，求解得； （2）根据的几何意义（到、的距离和），当在与之间时和最小，找出此区间内的整数； （3） 分、、三类讨论，去掉绝对值符号解方程，得到的值． （4）点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为，总路程对应（是的位置），根据绝对值几何意义，当取中间点（，即处）时，距离和最小，计算此时的和即为最短路程． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或． （2）可以理解为数轴表示点到和到的距离之和， 当时，取最小值，最小值为， x可以取整数 （3）当时，有， 解得：； 当时，有，方程无解； 当时，有， 解得：； 综上所述，的值为或． （4）建在处，能使到A、B、C的总路程最 短，最短路程是．理由如下： 设O原点，便民服务点P对应的数为， 则点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为， 总路程为， 根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示有理数的点到表示有理数的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 当时，； 当时，． 所以当时，有最小值，最小值为，即最短路程为． 所以建在处，能使到A、B、C的总路程最短，最短路程是． 55．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图1．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． (1)____，____，____； (2)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． 请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 探究：若点，向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)①不变，值为；②当时，的值随时间的变化而变化；当时，的值为 【知识点】整式的加减运算、列代数式、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、非负数的性质、代数式的化简求值，熟练掌握用含的式子表示运动后点的位置，结合数轴上的距离公式进行计算，是解题的关键． （1）根据“最大的负整数”确定，利用非负数的性质（平方与绝对值互为相反数则均为）求、； （2）①先表示出秒后、、的数，计算、，代入化简判断是否含；②分情况表示出运动后、、的数，计算、，代入化简判断． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，． （2）解：①秒后，表示的数：，表示的数：，表示的数：． ∴，， ∴ ， ∴的值不变，值为； ②秒后，表示的数：，表示的数：，表示的数：． 、的相遇时间为， 当时，，， ∴ ； ∴当时，的值随时间的变化而变化； 当时，，， ∴ ， ∴当时，的值不变，值为． 56．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【问题背景】：的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离；如图，在数轴上，点，，，，的位置如图所示，则；；． 【问题解决】 （1）计算________． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，，则________． 【关联运用】 （3）代数式的最小值为________． （4）当是________时，代数式 （5）若点表示的数，点与点的距离是10，且点在点的右侧，动点、同时从、出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，、、三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点? 【答案】（1）5；（2）1或；（3）5；（4）或3；（5）运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点 【知识点】绝对值方程、整式加减的应用、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，列代数式，整式加减的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间的距离并运用数形结合思想是解题的关键． （1）直接计算即可得出答案； （2）由数轴上两点之间的距离公式得出，解方程即可直接得出答案； （3）代数式表示点x与1的距离与点x与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）由（3）知当时取最小值3，已知，然后分情况讨论，得到答案； （5）先求出运动秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为，再分三种情况讨论，根据线段中点的定义，分别列方程求解． 【详解】解：（1）； （2）由题意得：， 或， 或； （3）代数式表示点x与1的距离与点x与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为5； （4）由（3）知，当时，取最小值为3， ，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当是或3时，代数式； （5）∵点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点在点的右侧， ∴点B所表示的数是9， 运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为， ①当B是的中点时，， ∴， 解得； ②当P是的中点时，则， ∴， 解得； ③当Q是的中点时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $