专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 系统掌握有理数概念、混合运算与绝对值数轴的综合应用 · 掌握整式概念判断、科学记数法与代数式求值的综合技巧 · 能从数字、图形中发现规律并用代数式表示 · 熟练求解一元一次方程并解决古代、行程、销售等应用问题 · 能结合数轴、绝对值、动点解决压轴综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念 有理数定义与分类：整数、分数；正、零、负 相反数、倒数、绝对值三概念结合运算 带“非”字的有理数：非负数、非正数、非零数 正负数的实际应用：相反意义的量、基准 多重符号化简：奇负偶正；科学记数法a×10n 概念辨析例题：已知a与b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=2，求(a+b)3-的值 答案：-或 解析：a+b=0，cd=1，m=±2，代入得-或 ☆ 2.有理数的混合运算 运算顺序：乘方→乘除→加减，括号优先 运算律：交换、结合、分配律简化 实际应用：正负数加减混合、分段计费 含乘方混合运算先定符号再计算 概念辨析例题：计算：(-2)3×+(-)2×8 答案：0 解析：-8×=-2，×8=2，-2+2=0 ☆ 3.绝对值与数轴 绝对值非负：|a|≥0，非负性和为0则各项为0 数轴：右边的数大，两点距离=大数减小数 带字母绝对值化简：借助数轴判断符号 绝对值方程：分情况讨论，注意中点对称 概念辨析例题：数轴上表示数a的点到表示3的点的距离为5，求a的值 答案：a=8或a=-2 解析：|a-3|=5，a-3=5得a=8，a-3=-5得a=-2 ☆ 4.整式与科学记数法 单项式系数、次数；多项式项、次数 同类项判断：字母相同且指数相同 合并同类项、去括号、整式加减 科学记数法表示大数：a×10n，1≤a<10 列代数式表示数量关系与图形规律 概念辨析例题：若3amb2与-abn是同类项，求m+n的值 答案：3 解析：同类项字母指数相同：m=1，n=2，m+n=3 ☆ 5.代数式求值 先化简再代入，减少错误 整体代入：观察所求式子与已知的关系 非负性与乘方结合求字母的值 添括号技巧与求值结合 概念辨析例题：已知x2+3x=5，求2x2+6x-7的值 答案：3 解析：2x2+6x=2(x2+3x)=10，10-7=3 ☆ 6.规律探索 数字规律：找差、比、平方、周期 图形规律：数个数、找增量 用代数式表示第n个，代入验证 概念辨析例题：观察：-1，2，-4，8，-16，…，第n个数是多少？ 答案：(-1)n×2n-1 解析：符号交替(-1)n，绝对值2n-1，相乘得通项 ☆ 7.一元一次方程 方程的解：代入使两边相等；已知解求参数 解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化1 古代问题：鸡兔同笼、盈亏问题设未知数列方程 行程：相遇、追及；销售：利润=售价-进价 和差倍分：设未知数找等量关系 概念辨析例题：把一些图书分给某班学生阅读，每人3本则剩余20本，每人4本则还缺25本，这个班有多少名学生？ 答案：45名 解析：设学生x名：3x+20=4x-25，解得x=45 ☆ 8.数轴动点综合 动点坐标：起点±速度×时间 两点距离：|x-y|，分左右讨论 结合绝对值非负性、线段中点列方程 多情况分类讨论，画图辅助 概念辨析例题：点A表示-2，点B表示6，动点P从A出发向右每秒3个单位，几秒后P到B的距离为2？ 答案：秒或秒 解析：P坐标-2+3t，|-2+3t-6|=2，解得t=或 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数/倒数 和为0/积为1 0没有倒数 绝对值 |a|≥0，负数取相反数 化简先判符号 混合运算 乘方→乘除→加减 括号优先、用运算律 同类项 字母相同且指数相同 合并系数相加 科学记数法 a×10n，1≤a<10 n=位数-1 一元一次方程 五步求解 去分母分子加括号 动点问题 位置=起点±速度×时间 分类讨论距离 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念（第1-7题） · 相反数、倒数、绝对值三量结合求值 · 带“非”字有理数与正负实际应用 · 多重符号奇负偶正、科学记数法 1．（23-24七年级上·江苏常州·期中）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正负号的应用，正负号表示一对相反意义的量，由此可直接得出答案． 【详解】解：若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作， 故选：B． 2．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） ①一个数的绝对值一定是正数或0；②当时，a一定是正数或0；③任何有理数都有倒数；④若，则a，b异号且正数的绝对值大于负数的绝对值； A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、倒数、两个有理数的乘法运算 【分析】由倒数的性质判定③错误，排除含③的选项后验证剩余说法． 【详解】解：①任意数的绝对值为非负数，即正数或0，故①正确； ②当时，，即为正数或0，故②正确； ③0是有理数，但0没有倒数，故③错误； ④，，异号． ， 正数的绝对值大于负数的绝对值，故④正确． 综上，正确的是①②④． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，且为最大的负整数时，则的值为_____． 【答案】 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数及负整数，代数式求值，根据相反数、倒数及负整数的定义可得，，，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，且为最大的负整数时， ∴，，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为__________． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的化简，多个有理数的乘法法则等知识，判断出a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个，结合的特点分情况讨论是解题关键．先根据，,进而得到．根据得到a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个，结合的特点得到当时，的最大值为，当时，的最小值为，即可求出乘积为． 【详解】解：∵， ∴, ． ∵， ∴a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个， 又∵， ∴a、b、c三个数必有1个负数，2个正数， ∴当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， 故的最大值为8，,最小值为， ∴乘积为． 故答案为： 5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）把下列各数分类，并填在表示相应的大括号内： ，，0，，，11，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负数：{ …}． (4)正数：{ …}． 【答案】(1)，，； (2)，，， (3)，，，， (4)，11，， 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的定义 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数定义是解题的关键． （1）根据题意将整数填入括号内即可； （2）根据题意将分数（包括小数与百分数）填入括号内即可； （3）将不是负数的数填入括号内即可； （4）将正数填入括号内，即可求解． 【详解】（1）解：整数集合：； 故答案为： ，，； （2）分数集合：； 故答案为：，，，； （3）非负数集合：，，，， ； 故答案为：，，，，； （4）正数集合：{，11，， …}； 故答案为：，11，，． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把下列各数表示的点画在数轴上（请标注原数），并用“”把这些数连接起来：，，，，， (1) (2)用“”把这些数连接起来：______． 【答案】(1) 在数轴上表示如下： (2) 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了有理数的大小比较法则，数轴，绝对值和相反数等知识点，先根据相反数、绝对值和平方进行计算，再在数轴上表示出各个数，最后比较即可，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】（1）解：，，， （2）解：由数轴可知：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段检测）中秋小长假中，高速公路交通管理处使用无人机协助交通管理．15日早晨8时从A地出发，沿南北方向的路段协助交通指挥，中午11时到达B地．约定向南为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：）： ． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少？ (2)若无人机每千米耗油，油箱容量为，求无人机上午工作过程中至少还需补充多少油？ 【答案】(1)地位于地的南边，距离地； (2)无人机上午工作过程中至少还需补充油． 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加减混合运算的应用、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法和乘法，绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以路程，可得总耗油量，根据有理数的减法，可得答案． 【详解】（1）解：， ∴地位于地的南边，距离地； （2）解：， ， ， ∴无人机上午工作过程中至少还需补充油． 【考点2】有理数的混合运算（第8-18题） · 乘方→乘除→加减，括号优先 · 运算律简化，先定符号 · 正负数实际应用与简便运算结合 8．（2025·江苏南京·二模）据统计，我省2024年“五一”假期接待的旅游人数为，2025年“五一”假期接待的旅游人数增加了，用科学记数法表示我省2025年“五一”假期接待的旅游人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算、科学记数法等知识点，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 先求出我省2025年“五一”假期接待的旅游人数，然后再写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：我省2025年“五一”假期接待的旅游人数为， 又． 故选C. 9．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念，如图是一个简单的二阶幻圆模型，将1、2、3、4、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将1、2、、这四个数填入了圆圈，则下列描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、整式加减的应用、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，关键是由条件得到横、竖以及内外两圈上的个数字之和是． 【详解】， ∴横、竖以及内外两圈上的个数字之和是， ， ， ， ， , ， 故选: ． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的点时数）： 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 如果北京时间是10月12日21时，那么伦敦的当地时间是___________． 【答案】10月12日13点 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，联系现实生活认清正数与负数所代表的实际意义是解题关键．根据题意可知，正数表示在北京时间向后推几个小时，即加上这个正数；负数表示向前推几个小时，即加上这个负数，据此解答即可． 【详解】解：， 表示向前推8个小时， 北京时间是10月12日21时， 那么伦敦的当地时间是10月12日13点． 故答案为：10月12日13点． 11．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）某天温度最高是，最低是，这一天日温差是________． 【答案】11 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法，掌握温差的意义和有理数的减法法则是解决本题的关键． 根据日温差日最高气温日最低气温先列出算式，再算减法． 【详解】解：， 故答案为：11． 12．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）某地上午气温为6℃，下午上升3℃，到半夜又下降10℃，则半夜的气温为 _______℃． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】根据有理数的加、减法法则处理． 【详解】解：； 故答案为： 【点睛】本题考查正负数的意义，有理数的加减法；掌握运算法则是解题的关键． 13．（25-26七年级上·江苏常州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如； ．则当时，的值为__________． 【答案】 1 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据定义，，。当 时，若 不是整数，则 ，因此 ；若 是整数，则 ．由于题干中包含非整数，且 时通常考虑非整数情况，因此值为 1． 【详解】解：由定义，，， 所以 ， 当 且 不是整数时， 设 ，其中 为整数，，则 ，， 故 ， 于是 ， 所以 ， 当 是整数时，，， 所以 ， 于是 ， 从题干可知，已考虑非整数情况，且 时通常关注非整数， 因此值为 1， 故答案为 1． 14．（23-24七年级上·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2)96 (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）把加法转化为加法，再按加法法则计算； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）先算乘方，再算括号，并把除法转化为乘法，最后算加减即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某工厂计划每天每人生产某种口罩100包以便投入市场进行销售，但由于各种原因，实际每天生产口罩数与计划每天生产口罩数相比有出入，如下表是该工厂某职工小飞某月（30天）的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 天数 每天产量（包） 差值（包） (1)则值为________． (2)计算该月小飞生产的口罩的总产量． (3)该工厂实行每日计件工资制，每生产一包口罩可得2元，若超额完成任务，则超过部分每包口罩另外奖励元，少生产一包口罩扣元，那么生产口罩最多的一天和最少的一天一共可得工资_____元． 【答案】(1) (2) (3)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，有理数的混合运算的应用； （1）根据正负数表示两种具有相反意义的量进行判定即可得出答案； （2）先计算出这一个月生产是总量是增产还是减产，，再算出平均每天的增产或减产量，再加上每天计划生产量即可得出答案； （3）根据题意，工资总额等于生产量工资加上奖励性或扣除性工资，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，生产量为，不足包，， ∴的值为． 故答案为：． （2）解：根据题意可得，， 该月小飞生产的口罩的总产量为（包）， 答：该月小飞生产的口罩的总产量为包． （3）解：根据题意可得，生产最多的一天时（包）， （元）． 生产最少的一天时9（包） ∴生产口罩最多的一天和最少的一天一共可得工资 故答案为：． 16．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 17．（23-24七年级上·山东青岛·阶段检测）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 【答案】(1)①，② (2)第2023次爬行后蚂蚁在原点处 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）根据题目所给计算方法进行计算即可； （2）将向右爬行记为正，向左爬行记为负，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； ① ； ② 故答案为：，； （2）解：将向右爬行记为正，向左爬行记为负， ， ∴第2023次爬行后蚂蚁在原点处． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意正确列出算式． 18．（22-23七年级上·江苏常州·期中）计算． (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照省略括号的加法进行计算即可； （2）把除法变为乘法，按照多个有理数相乘的法则计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）先计算乘方和乘法，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【考点3】绝对值与数轴（第19-28题） · 非负性和为0：各项为0 · 带字母绝对值借助数轴判符号 · 绝对值方程分情况讨论 19．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 20．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，根据点在数轴的位置判断式子的正负，越在数轴的右边的数越大，据此逐项分析，即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、根据数轴可知，，，， ∴，原选项符合题意； 、根据数轴可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、根据数轴可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、根据数轴可知，， ∴原选项不符合题意； 故选：． 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知满足，则式子的值是_____． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数的性质和有理数的乘方运算，熟知几个非负数的和为0时，每个非负数都是0是解题的关键； 根据非负数的性质可求出，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以， 所以， 所以； 故答案为：． 22．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 【答案】18或27 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 23．（22-23六年级下·上海虹口·期中）a，b，c在数轴上的位置如图所示：则__________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴，绝对值，整式加减； 根据数轴可得，且，然后利用有理数加减的运算法则判断出绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴得：，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 【答案】5或9 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查绝对值的应用，数轴，掌握知识点是解题的关键． 由，，得到b是a和c的中点，，，由，得到，即，设x表示点E的数，当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有，分类进行分析计算；当点D在点A的左侧时，分类进行分析计算，即可解答． 【详解】解：由，， ∴b是a和c的中点，，， 由，得 ，即， 设x表示点E的数， 当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有， ①当点E在点A的左侧时，如图 ， ②当点E在点C的右侧时，如图 ， ③当点E在点C上时，如图 ， ④当点E在点A上时，如图 ， ⑤当点E在之间时，如图 ， ⑥当点E在之间时，如图 ⑦当点E在之间（包括点C，D）时，如图 ， ∴的最小值为5． 当点D在点A的左侧时，同理可得， 当点E在之间时，取得最小值，如图 ∴． 综上所述，的最小值为5或9． 25．（2023七年级上·全国·竞赛）设由1到6的六个自然数写成的序列是，则的最大值是 _______． 【答案】18 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练应用数轴将绝对值具象化是解题的关键．画出数轴，依次让，，，，，最大，那么可知，，，，，，从而算得答案． 【详解】解：如图所示：依次让，，，，，最大， 那么 故答案为：18． 26．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求的值． 【答案】或/或1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、绝对值的几何意义、倒数、相反数的应用 【分析】根据、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求出，分两种情况代入原式计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为， ， 时，原式， 时，原式， 综上所述：的值为或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的加减混合运算，掌握混合云算的顺序，相反数、倒数、绝对值性质的熟练应用是解题关键． 27．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）探究规律： (1)计算： ______ ；  ______． (2)归纳：表示数轴上，两点间的______． (3)应用：的最小值是______，此时 ______． 求的最小值． 【答案】(1)；； (2)距离； (3)，；． 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了绝对值，解决本题的关键是根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号，再利用不等式的基本性质求代数式的最小值． （1）根据绝对值的几何意义分别求出两个式子的值即可； （2）根据绝对值的几何意义，可知表示数轴上，两点间的距离； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值； 根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：；， 故答案为：；； （2）解：表示数轴上，两点间的距离， 故答案为：距离； （3）解：的最小值是， 当时， 可得：， 解得：， 故答案为：，； 解：表示数轴上表示x的数到1的距离加上表示x的数到2的距离加上表示x的数到3的距离， ∴当时，有最小值， ∴此时． 28．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 【考点4】整式与科学记数法（第29-36题） · 单项式、多项式概念与同类项判断 · 合并同类项、去括号运算 · 科学记数法a×10n 29．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）一个大长方形纸片剪去一个小长方形纸片后得到如图的形状，根据图中标注的长度，该图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 用大长方形面积减去小长方形的面积列式求解即可． 【详解】解：大长方形面积为， 小长方形面积为 ∴该图形的面积为． 故选：B． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员江新林、汤洪波、唐胜杰将与神舟十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为，用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 31．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数减法的实际应用、列代数式 【分析】根据题意列式化简即可． 【详解】解：由题意得晚上9时温度为． 32．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）写出单项式的一个同类项________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义即可得解． 【详解】解：单项式的一个同类项为：， 故答案为：（答案不唯一）． 33．（23-24七年级上·四川自贡·阶段检测）单项式的系数是________，次数是________． 【答案】 / 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的相关概念，数与字母的积叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，由此即可得出答案，熟练掌握单项式的相关概念是解此题的关键． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 34．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）东风洲际导弹，最大射程约为公里，从中国本土发射可打击全球任意地点，实现“无死角全球覆盖”．数据用科学记数法表示是_____． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 35．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，正方形和长方形的周长公式，解题关键是通过利用正方形和长方形周长相等这一条件，建立等式关系，进行代数运算和推理的能力．设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③．然后根据①+③的周长和②+③的周长之差为6，列出等式，化简得到．再由正方形和长方形周长相等，即，变形为．最后通过和这两个式子，能够求出（即）与（即）的差，从而确定答案为C选项，而其他选项仅根据现有条件无法求出具体数值． 【详解】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③ ①+③的周长为：， ②+③的周长为：， 已知①和②的周长之差为6， ①+③的周长和②+③的周长之差为6， 即， 化简可得， 则， 因为正方形和长方形周长相等， 所以，可得， 又因为， 可通过这两个式子求出的值， 所以与的差可求． 与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值． 答案选C． 36．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图，将边长为a的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形（无重叠、无缝隙）． (1)用含a、b的代数式分别表示拼成的长方形的长和宽； (2)分别计算剪拼前后图形的面积（用含a、b的代数式表示），并根据结果写出一个关于a、b的等式； (3)利用（2）中的等式，计算的值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)剪拼前的面积为，剪拼后的面积为；等式为 (3)4049 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）原图形是边长为的正方形剪去边长为的小正方形，剩余部分拼接后，长方形的长为大、小正方形的边长和，宽为大、小正方形的边长差； （2）由图可得剪拼前后图形的面积，再根据剪拼前后面积不变，可得等式； （3）把2025和2024代入（2）中的等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，拼成的长方形的长为，宽为； （2）解：由图可得，剪拼前的面积为， 剪拼后的面积为， ∴得到的等式为； （3）解：由（2）得： ． 【考点5】代数式求值（第37-43题） · 先化简再代入 · 整体代入观察结构 · 非负性与乘方结合求字母 37．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学上把关于x的代数式用记号来表示。当时，代数式的值用表示。例如代数式，当时，代数式的值为．已知代数式，若，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式的求值问题，解题的关键是化简代数式，整体代入．把代入计算即可确定出的值． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：． 38．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数．例如，表格中的；．若，，，…，都是系数为的关于，的单项式，则的次数为________．若多项式★为，其中，，为个不同的正整数，且多项式的值为，则的最大值为________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、单项式的系数、次数、整式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据，即可求得的次数；再根据题意和★所处表格位置可得，由，，为个不同的正整数，可得的值，从而得出的值，然后代入中，即可得最大值． 【详解】解：根据题意可得， ∴，即的次数为， 根据题意和★所处表格位置，可得多项式★：中的， ∴将代入中，即为 ∵为其中，，为个不同的正整数， ∴求的最大值时，最小即可， ∴， 又∵多项式的值为，即， ∴， 解得：， ∴的最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，代数式的值，单项式，整式的加减运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．（24-25七年级下·四川成都·期中）对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”． 例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式的项、项数或次数、有理数的乘方运算 【分析】当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：∵将展开得到多项式， 即，且， 当时，得：， ∴， 选择与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，即个和， …… 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项为， ∴“换系数操作”的所有多项式的常数项和为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，多项式的系数，求代数式的值等知识，解题的关键是理解新定义． 40．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则，把所求式子化简． 去括号，合并同类项把所求式子化简，再将x，y的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 41．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于 200元 不予优惠 低于500 元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500 元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物550元， 他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付 元(用含x的代数式表示)． (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示两次购物王老师实际付款多少元？ 【答案】(1) (2)，； (3)两次购物实际付款元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，列代数式，整式的加减，理解题意是解题的关键． （）根据题意列出算式计算即可； （）根据题意列出代数式即可； （）由第一次购物的货款为元，可得王老师第二次购物的货款为元， 且第二次购物的货款超过元， 再分别表示出第一次和第二次实际付款，再相加即可求解； 【详解】（1）解：， ∴王老师一次性购物550元，他实际付款元， 故答案为：； （2）解：当小于元但不小于时，他实际付款元，当大于或等于元时，他实际付款元， 故答案为：，； （3）解：∵王老师两次购物货款合计800元，且第一次购物的货款为元， ∴王老师第二次购物的货款为元， 且第二次购物的货款超过元， ∴王老师第一次实际付款为元，第二次实际付款为元， ∴王老师两次购物实际付款金额为元 ． 42．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、整式的加减运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值； （2）直接去括号，用合并同类项得出答案． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 43．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和1位校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即： 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即： 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即： 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算“步骤3”中的值和校验码的值： (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则用含有的代数式表示上述步骤中的为_____，此时的值为_____； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是2，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出_____． 【答案】(1)55，5 (2)，3 (3)6，4或0，2或5，7 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，正确理解题意、探究规律并利用规律是解题的关键． （1）根据特定的算法代入计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a、b、c，然后再确定d，最后求校验码即可； （3）根据校验码为8，结合两个数字的差是2即可求解； 【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤3”中的c的值为， ∴d的值为60， ∴校验码的值为， 故答案为：55，5； （2）解：根据题意得：，， ∴， ∵校验码为6， ∴， ∵d为10的整数倍， ∴的个位数字必须是9， ∴， ∴． 故答案为：，3. （3）解：设两个数字从左到右分别是p、q， 由题意得：，， ∴， ∵校验码为8， ∴， ∵或 ∴或， ∴或， 当时， ∵d为的整数倍， ∴的个位数字为4， ∴或6， ∴（不合题意舍去）或； 当时， ∵d为的整数倍， ∴的个位数字为0， ∴或5， ∴或； ∴这两个数字从左到右分别是6，4或0，2或5，7． 故答案为：6，4或0，2或5，7． 【考点6】规律探索（第44-48题） · 数字规律找差、比、周期 · 图形规律找增量 · 通项代入验证 44．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 解题的关键是根据题意找出规律． 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 45．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据图形变化规律可知： 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， ， ∴当为奇数时，黑色正方形的个数为， 当为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第个图形中黑色正方形的数量是， 故选：． 46．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线．设切8刀可以把鸡蛋饼最多分成块，最少分成块，则等于（　　） A．28 B．26 C．24 D．22 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形的变化规律．本题需分别确定切8刀时鸡蛋饼最多和最少分成的块数，再计算差值，核心是掌握直线分圆面的最多、最少块数规律． 【详解】解：∵求最少块数时，每一刀均平行，每切一刀仅增加1块，初始为1块， ∴； ∵求最多块数时， 切1刀可将鸡蛋饼分成的块数为：； 切2刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为：； 切3刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为：； …， 所以切刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为：， 切8刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为：，即； ∴． 故选：A． 47．（23-24七年级下·河南信阳·期末）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：，，，，，现有等式 表示正奇数 是第 组第 个数（从左往右数），如 ，，则 ________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题；根据题意可以发现题目中的数据都是奇数，从第一组开始，每组中的奇数都是奇数个．再根据2025是第个奇数，从而即可得出2025是第32组第个数，即得出答案． 【详解】解：由题意可知：第一组有1个奇数，第二组有3个奇数，第三组有5个奇数，…，则第n组有个奇数， ∴前n组共有个奇数． ∵2025是第个奇数， ∴可令， ∴， ∴2025在第32组，即； ∵前31组共有个奇数， ∴2025是第32组第个数，即． ∴故． 故答案为： 48．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是______________．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可得第1个图形中有朵梅花，第2个图形中有朵梅花，第3个图形中有朵梅花，第4个图形中有朵梅花，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图形中含有的梅花朵数是， 第2个图形中含有的梅花朵数是， 第3个图形中含有的梅花朵数是， 第4个图形中含有的梅花朵数是， 归纳类推得：第个图形中含有的梅花朵数是，（其中为正整数） 故答案为：． 【考点7】一元一次方程的解法（第49-53题） · 五步求解，去分母分子加括号 · 已知解求参数：代入 · 解后检验 49．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列方程 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 50．（23-24七年级上·福建泉州·期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图是一个三阶幻方，它的规则如下：不管是把横着的个数相加还是把竖着的个数相加，或者把斜着的个数相加，其和都相等，则图中的值为_____． 【答案】 【知识点】等式的性质、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，等式的应用和一元一次方程的应用，设其中个方框中的数分别为、、、，根据题意即可列出方程，再整理，即可解出的值，理解题意，列出等式是解答本题的关键． 【详解】如下表，设其中个方框中的数分别为、、、， 根据题意可知：，， ∴，，， ∴，解得：， 故答案为：． 51．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 52．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）方程去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． （2）方程去分母，去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：； （2）解： 两边同时乘以，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：． 53．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求解即可． 【详解】（1）解： ∴； （2） ∴． 【考点8】一元一次方程的应用（第54-58题） · 古代问题设未知数列方程 · 行程、销售套公式 · 和差倍分找等量关系 54．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段检测）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（  ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设壶中原来有酒x升，根据“遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设壶中原来有酒x升， 根据题意得：， 解得：， ∴壶中原来有酒升． 故选：B． 55．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队， ∴借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人． 根据题意得：． 故选：B． 56．（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列方程、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 57．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一辆汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，行了全程的后，又往前开了1小时，这时未行路程与已行路程的比是，甲、乙两地相距_____千米． 【答案】200 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设出未知数，分别表示出已行路程与未行路程，再根据比例求解即可． 【详解】设全程为千米， 已行路程：，未行路程：， 由， 可得，解得， 故甲、乙两地相距200千米． 58．（23-24七年级下·全国·期中）轮船往返两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是_________千米/时． 【答案】15 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，逆水速度静水速度水流速度；顺水速度静水速度水流速度是船航行之类的题中的必备内容．设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为千米/时，顺水航行的速度为千米/时，根据逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，列出方程求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为千米/时，顺水航行的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：15． 【考点9】数轴动点综合（第59-60题） · 动点坐标=起点±速度×时间 · 距离|差|分情况讨论 · 结合非负性、中点列方程 59．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点在线段上（点能与点或重合），则称点与点关于线段径向对称．下图为点与点关于线段径向对称的示意图．解答下列问题：如图1，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为2． (1)①点B，C，D表示的数分别为，在B，C，D三点中，______与点关于线段径向对称； ②点E表示的数为，若点与点关于线段径向对称，则的最大值是______； (2)点是数轴上一个动点，点与点关于线段径向对称，线段的最小值是______； (3)在数轴上，点A，N，M表示的数分别是，当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为秒，则点与点关于线段径向对称，则点表示的最大数是______，最小数是______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①点和点；②5 (2) (3)， 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴，新定义． （1）①根据径向对称的定义判断即可； ②求出点是的中点时的值即可解决问题； （2）若点与点关于线段径向对称，若最小，则点和点的中点与点重合，即可求出点表示的数的最小值； （3）先求出点A，N，M三点运动后对应的数，当点与点的中点与点重合时，点所表示的数最小，当点与点的中点与点重合时，点所表示的数最大，进而可得出答案． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点B，C，D表示的数分别为． 点和点的中点表示的数为，点与点的中点表示的数为，点和点的中点表示的数为， 点为原点，点表示的数为2， 点和点与点关于线段径向对称； 故答案为：点和点； ②若点表示的数为，则点和点的中点所对应的数为：， 若最大，则点和点的中点与点重合，即， 解得． 故答案为：5． （2）解：点表示的数为，点表示的数为2， 点和点的中点所对应的数为， 若最小，则点和点的中点与点重合，此时； 故答案为：； （3）解：在数轴上，点A，N，M表示的数分别是， 由点的运动可知，运动后点所对应的点为，点所对应的点为，点所对应的点为， 设点表示的数为，则点和点的中点表示的数为， 点与点关于线段径向对称， ∴当点与点的中点与点重合时，点所表示的数最大，此时 解得； 当点与点的中点与点重合时，点所表示的数最小，此时 解得； 故答案为：，． 60．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【知识点】绝对值非负性、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：三量结合、非字有理数、科学记数法 · 运算过关：混合运算用运算律，先定符号 · 整式过关：同类项、去括号变号、求值整体代 · 方程过关：五步解法完整，应用建模找等量 · 压轴突破：动点坐标表示+距离分类讨论 【作业1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列一组数：，其中有理数的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数，根据有理数是整数、有限小数或无限循环小数，可得答案． 【详解】解：是有理数，共5个． 故选：B． 【作业2】．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）为了迎接体育节，温州市某小学买了8个足球和11个篮球共花费了1152元，如果买16个足球和6个篮球所花费的钱一样多，那么一个篮球的价格是（   ） A．70元 B．71元 C．72元 D．73元 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．先根据8个足球和11个篮球的花费与16个足球和6个篮球的花费一样多，得出8个足球的价格等于5个篮球的价格，再列式计算即可． 【详解】解：∵8个足球和11个篮球的花费与16个足球和6个篮球的花费一样多， ∴8个足球的价格等于5个篮球的价格， ∴一个篮球的价格为： （元）， 故选：C． 【作业3】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，故此选项不符合题意； B、缺少正方向，故此选项不符合题意； C、和标错了，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意． 故选：D． 【作业4】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）下列几组单项式中是同类项的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项．同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，只需比较每个选项中两个单项式的字母及其指数是否一致，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、和不是同类项，故该选项不符合题意； B、和不是同类项，故该选项不符合题意； C、和不是同类项，故该选项不符合题意； D、和是同类项，故该选项符合题意； 故选：D． 【作业5】．（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则代数式的值为（   ） A．11 B．7 C． D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．将已知等式作为整体代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【作业6】．（24-25七年级上·云南红河·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的判断，由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．方程含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B．，是一元一次方程，故该选项正确，符合题意； C．方程的未知数次数不是1，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； D．是等式，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【作业7】．（24-25七年级上·北京·期中）写出一个比大的负有理数，这个数可以是______． 【答案】（不唯一） 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比较以及负有理数的定义即可得到答案． 【详解】解：比大的负有理数，这个数可以是， 故答案为：（不唯一）． 【作业8】．（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 【答案】C 【知识点】有理数加减中的简便运算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定答案，再同法求解即可． 【详解】解： ；故甲运算正确； ∵嘉嘉不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 而； ∴错误的符合一定是把“”错写成“” 设写错符号的数为， ∴， 解得， ∴写错符号的数为，故乙错误；丙正确； ∵ ，故丁正确； 故选：C 【作业9】．（23-24七年级上·广东东莞·阶段检测）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是的中点，如果，则原点O的大致位置在（    ） A．A的左边 B．A与C之间 C．C与B之间 D．B的右边 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了中点的定义与绝对值的意义，解题关键是利用数形结合的思想，正确化简绝对值并判断．本题先化简绝对值得到 ，再进行判断即可求解． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴与异号，且， ∴原点O的大致位置在A与C之间 故选： B． 【作业10】．（22-23七年级下·江苏常州·期中）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．如图，由四个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个边长为c的正方形拼成．用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：______（结果为最简）． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，用两种不同的方法表示出图形的面积，然后根据两者的面积相等即可得出关系式，变形即可得出答案． 【详解】解：∵图中是一个边长为的正方形， ∴它的面积为 又∵该图形可看成一个边长为c的正方形和四个直角三角形拼接而成， ∴它的面积为． ∴ 整理得：． 故答案为：． 【作业11】．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如果，那么代数式的值是________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．由题意得，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【作业12】．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需根火柴，…，依此规律，第个图案需______根火柴．    【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律，根据图形发现规律，找到数量与顺序的规律直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 第1个图形需根火柴； 第2个图形需根火柴； 第3个图形需根火柴； 第4个图形需根火柴； …… 观察发现一般规律，第个图形的火柴数量为：， ∴第个图形的火柴数量为：， 故答案为：． 【作业13】．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，关键是分情况讨论的取值；先将方程的解用含的式子表示，再根据为整数、为整数的条件，确定是的约数，进而找出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：∵， ∴去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵是整数，是整数， ∴是的整数约数，即， ①当时，，解得（整数，符合条件）； ②当时，，解得（非整数，舍去）； ③当时，，解得（非整数，舍去）； ④当时，，解得（整数，符合条件）； ∴满足条件的值为和，其和为， 故选：C． 【作业14】．（23-24七年级下·河南南阳·阶段检测）甲、乙两列火车从相距60千米的两站同时出发，同向而行，甲车在后，每小时行驶70千米，乙车在前，每小时行驶50千米，则经过____________小时后两车相距20千米． 【答案】2或4/4或2 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．经过小时后两车相距20千米，分相距20千米时，甲车在乙车前和甲车在乙车后两种情况列出方程，解方程求解即可． 【详解】解：设经过小时后两车相距20千米，则： 或， 解得或， 综上分析可知，经过2小时或4小时后两车相距20千米． 故答案为：2或4 【作业15】．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及求一个数的绝对值，乘方运算，乘法对加法的分配律，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先算乘方、绝对值，再算乘法，后算加减； （2）利用乘法对加法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业16】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图1，点、、是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为、、，且、满足．某同学将刻度尺按图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)________，________； (2)在图1的数轴上，________个单位长度；在图2中，________；在图1的数轴上点所对应的数________；（注：表示、两点之间的距离，下同） (3)左右移动刻度尺，使数轴上表示的点与刻度尺上表示的点对齐．（，） ①刻度尺上表示的点与数轴上表示________的点对齐；（用代数式表示） ②数轴上距离原点个单位长度的点与刻度尺上表示什么数的点对齐？请求出这个数．（用代数式表示） 【答案】(1)， (2)；； (3)①；②这个数为或． 【知识点】绝对值非负性、整式的加减运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离； （1）利用非负数的性质求解即可； （2）根据图1和图2中的数据可直接得出；求出在数轴上的距离，即可得出答案； （3）①由题意得刻度尺上表示的点在表示的点右面，据此求解即可； ②分该点在原点右侧和该点在原点左侧，情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：在图1的数轴上，个单位长度； 在图2中，； 刻度尺对应数轴上个单位； 由图2得：， ∴在数轴上的距离为个单位长度， ∴在数轴上点B所对应的数； 故答案为：；；； （3）解：①∵数轴上表示的点与刻度尺上表示的点对齐， 而刻度尺上表示的点在表示的点右面， ∴其对应的数轴上的点与表示的点的距离等于个单位长度， ∴对应点为， ∴刻度尺上表示的点与数轴上表示的点对齐； 故答案为：； ②数轴上距离原点个单位长度的点，有两种情况： 该点在原点右侧，表示数为， ∵， ∴， 数轴上与表示的点的距离为， ∴对应刻度尺上的点与表示的点的距离为， ∴对应刻度尺上的点为； 该点在原点左侧，表示数为， ∵， ∴， 数轴上与表示的点的距离为， ∴对应刻度尺上的点与表示的点的距离为， ∴对应刻度尺上的点为； 综上，这个数为或． 【作业17】．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查整式的加减运算，关键是先去括号（注意符号），再将同类项的系数相加减，易错点是去括号时符号处理错误或同类项混淆． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【作业18】．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段_________条．    【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化类，熟练掌握图形变化的规律，是解题的关键， 观察图形变化规律，每个图形三角形的数目都可以写成一边上三角形个数的平方，而图中小三角形边的数目可以写成行数和的3倍，据此计算边数． 【详解】第①个图形有个三角形，共有长度为a的线段3条， 第②个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条），第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第⑤个图形有个三角形，拼成大正方形边长为，共有长度为a的线段（条）， ……， 按此规律， 则第n个图形中三角形的个数：个三角形，图中共有长度为a的线段（条）． 故答案为：． 【作业19】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）一件羽绒服的标价为进价的1.5倍，在促销活动中以8折出售，获利96元，这件羽绒服的进价是___________元． 【答案】480 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设进价为x元，根据题意列出方程并求解． 【详解】解：设这件羽绒服的进价为x元，则标价为元，根据题意得 ， 解得， 即这件羽绒服的进价是480元， 故答案为：480． 【作业20】．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 素材一：如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 素材二：动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时，速度变为初始速度的；当运动到点B与点C之间时，速度变为初始速度的3倍；经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)动点P从点A运动至点B需要________秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)15 (2) (3)13秒或17秒 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据题意，得，速度为3个单位长度，时间；得，速度为个单位长度，时间；计算解答即可； （2）根据题意，动点P在点B和点C之间运动时间为，速度为个单位长度，此时运动路程为个单位长度，点P表示的数为，解答即可； （3）当点P在之间运动时，，不符合题意；当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时点P表示的数为，根据题意，得，解答即可；当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，此时不符合题意； 当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，此时点P表示的数为，得，解答即可． 本题考查了数轴上点表示数，数轴上两点间的距离，解一元一次方程，分类思想，熟练掌握解方程，数轴上两点间距离是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，速度为3个单位长度， 故运动时间； 又，速度为个单位长度， 故时间； 故， 故答案为：15； （2）解：根据题意，动点P在点B和点C之间运动时间为，速度为个单位长度，此时运动路程为个单位长度， 故点P表示的数为，且在B，C之间运动时间为，此时， 故答案为：； （3）解：由题意得， 当点P在之间运动时，，不符合题意； 当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时， 此时运动路程为，此时点P表示的数为，，, 根据题意，得， 解得，符合题意； 当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时， 此时，此时不符合题意； 当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，此时点P表示的数为，，, 根据题意，得， 解得，符合题意； 故点P运动13秒或17秒时，满足 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 系统掌握有理数概念、混合运算与绝对值数轴的综合应用 · 掌握整式概念判断、科学记数法与代数式求值的综合技巧 · 能从数字、图形中发现规律并用代数式表示 · 熟练求解一元一次方程并解决古代、行程、销售等应用问题 · 能结合数轴、绝对值、动点解决压轴综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念 有理数定义与分类：整数、分数；正、零、负 相反数、倒数、绝对值三概念结合运算 带“非”字的有理数：非负数、非正数、非零数 正负数的实际应用：相反意义的量、基准 多重符号化简：奇负偶正；科学记数法a×10n 概念辨析例题：已知a与b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=2，求(a+b)3-的值 答案：-或 解析：a+b=0，cd=1，m=±2，代入得-或 ☆ 2.有理数的混合运算 运算顺序：乘方→乘除→加减，括号优先 运算律：交换、结合、分配律简化 实际应用：正负数加减混合、分段计费 含乘方混合运算先定符号再计算 概念辨析例题：计算：(-2)3×+(-)2×8 答案：0 解析：-8×=-2，×8=2，-2+2=0 ☆ 3.绝对值与数轴 绝对值非负：|a|≥0，非负性和为0则各项为0 数轴：右边的数大，两点距离=大数减小数 带字母绝对值化简：借助数轴判断符号 绝对值方程：分情况讨论，注意中点对称 概念辨析例题：数轴上表示数a的点到表示3的点的距离为5，求a的值 答案：a=8或a=-2 解析：|a-3|=5，a-3=5得a=8，a-3=-5得a=-2 ☆ 4.整式与科学记数法 单项式系数、次数；多项式项、次数 同类项判断：字母相同且指数相同 合并同类项、去括号、整式加减 科学记数法表示大数：a×10n，1≤a<10 列代数式表示数量关系与图形规律 概念辨析例题：若3amb2与-abn是同类项，求m+n的值 答案：3 解析：同类项字母指数相同：m=1，n=2，m+n=3 ☆ 5.代数式求值 先化简再代入，减少错误 整体代入：观察所求式子与已知的关系 非负性与乘方结合求字母的值 添括号技巧与求值结合 概念辨析例题：已知x2+3x=5，求2x2+6x-7的值 答案：3 解析：2x2+6x=2(x2+3x)=10，10-7=3 ☆ 6.规律探索 数字规律：找差、比、平方、周期 图形规律：数个数、找增量 用代数式表示第n个，代入验证 概念辨析例题：观察：-1，2，-4，8，-16，…，第n个数是多少？ 答案：(-1)n×2n-1 解析：符号交替(-1)n，绝对值2n-1，相乘得通项 ☆ 7.一元一次方程 方程的解：代入使两边相等；已知解求参数 解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化1 古代问题：鸡兔同笼、盈亏问题设未知数列方程 行程：相遇、追及；销售：利润=售价-进价 和差倍分：设未知数找等量关系 概念辨析例题：把一些图书分给某班学生阅读，每人3本则剩余20本，每人4本则还缺25本，这个班有多少名学生？ 答案：45名 解析：设学生x名：3x+20=4x-25，解得x=45 ☆ 8.数轴动点综合 动点坐标：起点±速度×时间 两点距离：|x-y|，分左右讨论 结合绝对值非负性、线段中点列方程 多情况分类讨论，画图辅助 概念辨析例题：点A表示-2，点B表示6，动点P从A出发向右每秒3个单位，几秒后P到B的距离为2？ 答案：秒或秒 解析：P坐标-2+3t，|-2+3t-6|=2，解得t=或 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数/倒数 和为0/积为1 0没有倒数 绝对值 |a|≥0，负数取相反数 化简先判符号 混合运算 乘方→乘除→加减 括号优先、用运算律 同类项 字母相同且指数相同 合并系数相加 科学记数法 a×10n，1≤a<10 n=位数-1 一元一次方程 五步求解 去分母分子加括号 动点问题 位置=起点±速度×时间 分类讨论距离 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念（第1-7题） · 相反数、倒数、绝对值三量结合求值 · 带“非”字有理数与正负实际应用 · 多重符号奇负偶正、科学记数法 1．（23-24七年级上·江苏常州·期中）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） ①一个数的绝对值一定是正数或0；②当时，a一定是正数或0；③任何有理数都有倒数；④若，则a，b异号且正数的绝对值大于负数的绝对值； A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，且为最大的负整数时，则的值为_____． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为__________． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）把下列各数分类，并填在表示相应的大括号内： ，，0，，，11，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负数：{ …}． (4)正数：{ …}． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把下列各数表示的点画在数轴上（请标注原数），并用“”把这些数连接起来：，，，，， (1) (2)用“”把这些数连接起来：______． 7．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段检测）中秋小长假中，高速公路交通管理处使用无人机协助交通管理．15日早晨8时从A地出发，沿南北方向的路段协助交通指挥，中午11时到达B地．约定向南为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：）： ． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少？ (2)若无人机每千米耗油，油箱容量为，求无人机上午工作过程中至少还需补充多少油？ 【考点2】有理数的混合运算（第8-18题） · 乘方→乘除→加减，括号优先 · 运算律简化，先定符号 · 正负数实际应用与简便运算结合 8．（2025·江苏南京·二模）据统计，我省2024年“五一”假期接待的旅游人数为，2025年“五一”假期接待的旅游人数增加了，用科学记数法表示我省2025年“五一”假期接待的旅游人数为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念，如图是一个简单的二阶幻圆模型，将1、2、3、4、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将1、2、、这四个数填入了圆圈，则下列描述正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的点时数）： 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 如果北京时间是10月12日21时，那么伦敦的当地时间是___________． 11．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）某天温度最高是，最低是，这一天日温差是________． 12．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）某地上午气温为6℃，下午上升3℃，到半夜又下降10℃，则半夜的气温为 _______℃． 13．（25-26七年级上·江苏常州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如； ．则当时，的值为__________． 14．（23-24七年级上·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 15．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某工厂计划每天每人生产某种口罩100包以便投入市场进行销售，但由于各种原因，实际每天生产口罩数与计划每天生产口罩数相比有出入，如下表是该工厂某职工小飞某月（30天）的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 天数 每天产量（包） 差值（包） (1)则值为________． (2)计算该月小飞生产的口罩的总产量． (3)该工厂实行每日计件工资制，每生产一包口罩可得2元，若超额完成任务，则超过部分每包口罩另外奖励元，少生产一包口罩扣元，那么生产口罩最多的一天和最少的一天一共可得工资_____元． 16．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 17．（23-24七年级上·山东青岛·阶段检测）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 18．（22-23七年级上·江苏常州·期中）计算． (1)； (2) (3)； (4) 【考点3】绝对值与数轴（第19-28题） · 非负性和为0：各项为0 · 带字母绝对值借助数轴判符号 · 绝对值方程分情况讨论 19．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知满足，则式子的值是_____． 22．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 23．（22-23六年级下·上海虹口·期中）a，b，c在数轴上的位置如图所示：则__________． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 25．（2023七年级上·全国·竞赛）设由1到6的六个自然数写成的序列是，则的最大值是 _______． 26．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求的值． 27．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）探究规律： (1)计算： ______ ；  ______． (2)归纳：表示数轴上，两点间的______． (3)应用：的最小值是______，此时 ______． 求的最小值． 28．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【考点4】整式与科学记数法（第29-36题） · 单项式、多项式概念与同类项判断 · 合并同类项、去括号运算 · 科学记数法a×10n 29．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）一个大长方形纸片剪去一个小长方形纸片后得到如图的形状，根据图中标注的长度，该图形的面积为（   ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员江新林、汤洪波、唐胜杰将与神舟十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为，用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 31．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）写出单项式的一个同类项________． 33．（23-24七年级上·四川自贡·阶段检测）单项式的系数是________，次数是________． 34．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）东风洲际导弹，最大射程约为公里，从中国本土发射可打击全球任意地点，实现“无死角全球覆盖”．数据用科学记数法表示是_____． 35．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 36．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图，将边长为a的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形（无重叠、无缝隙）． (1)用含a、b的代数式分别表示拼成的长方形的长和宽； (2)分别计算剪拼前后图形的面积（用含a、b的代数式表示），并根据结果写出一个关于a、b的等式； (3)利用（2）中的等式，计算的值． 【考点5】代数式求值（第37-43题） · 先化简再代入 · 整体代入观察结构 · 非负性与乘方结合求字母 37．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学上把关于x的代数式用记号来表示。当时，代数式的值用表示。例如代数式，当时，代数式的值为．已知代数式，若，则的值为______． 38．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数．例如，表格中的；．若，，，…，都是系数为的关于，的单项式，则的次数为________．若多项式★为，其中，，为个不同的正整数，且多项式的值为，则的最大值为________． 39．（24-25七年级下·四川成都·期中）对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”． 例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为______． 40．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）先化简，再求值：，其中，． 41．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于 200元 不予优惠 低于500 元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500 元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物550元， 他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付 元(用含x的代数式表示)． (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示两次购物王老师实际付款多少元？ 42．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算题 (1)； (2)． 43．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和1位校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即： 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即： 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即： 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算“步骤3”中的值和校验码的值： (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则用含有的代数式表示上述步骤中的为_____，此时的值为_____； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是2，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出_____． 【考点6】规律探索（第44-48题） · 数字规律找差、比、周期 · 图形规律找增量 · 通项代入验证 44．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 45．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线．设切8刀可以把鸡蛋饼最多分成块，最少分成块，则等于（　　） A．28 B．26 C．24 D．22 47．（23-24七年级下·河南信阳·期末）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：，，，，，现有等式 表示正奇数 是第 组第 个数（从左往右数），如 ，，则 ________． 48．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是______________．（用含n的代数式表示） 【考点7】一元一次方程的解法（第49-53题） · 五步求解，去分母分子加括号 · 已知解求参数：代入 · 解后检验 49．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级上·福建泉州·期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图是一个三阶幻方，它的规则如下：不管是把横着的个数相加还是把竖着的个数相加，或者把斜着的个数相加，其和都相等，则图中的值为_____． 51．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 52．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1) (2) 53．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2)． 【考点8】一元一次方程的应用（第54-58题） · 古代问题设未知数列方程 · 行程、销售套公式 · 和差倍分找等量关系 54．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段检测）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（  ） A．升 B．升 C．升 D．升 55．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 56．（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 57．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一辆汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，行了全程的后，又往前开了1小时，这时未行路程与已行路程的比是，甲、乙两地相距_____千米． 58．（23-24七年级下·全国·期中）轮船往返两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是_________千米/时． 【考点9】数轴动点综合（第59-60题） · 动点坐标=起点±速度×时间 · 距离|差|分情况讨论 · 结合非负性、中点列方程 59．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点在线段上（点能与点或重合），则称点与点关于线段径向对称．下图为点与点关于线段径向对称的示意图．解答下列问题：如图1，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为2． (1)①点B，C，D表示的数分别为，在B，C，D三点中，______与点关于线段径向对称； ②点E表示的数为，若点与点关于线段径向对称，则的最大值是______； (2)点是数轴上一个动点，点与点关于线段径向对称，线段的最小值是______； (3)在数轴上，点A，N，M表示的数分别是，当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为秒，则点与点关于线段径向对称，则点表示的最大数是______，最小数是______．（用含的代数式表示） 60．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：三量结合、非字有理数、科学记数法 · 运算过关：混合运算用运算律，先定符号 · 整式过关：同类项、去括号变号、求值整体代 · 方程过关：五步解法完整，应用建模找等量 · 压轴突破：动点坐标表示+距离分类讨论 【作业1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列一组数：，其中有理数的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【作业2】．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）为了迎接体育节，温州市某小学买了8个足球和11个篮球共花费了1152元，如果买16个足球和6个篮球所花费的钱一样多，那么一个篮球的价格是（   ） A．70元 B．71元 C．72元 D．73元 【作业3】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）下列几组单项式中是同类项的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【作业5】．（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则代数式的值为（   ） A．11 B．7 C． D． 【作业6】．（24-25七年级上·云南红河·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（24-25七年级上·北京·期中）写出一个比大的负有理数，这个数可以是______． 【作业8】．（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 【作业9】．（23-24七年级上·广东东莞·阶段检测）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是的中点，如果，则原点O的大致位置在（    ） A．A的左边 B．A与C之间 C．C与B之间 D．B的右边 【作业10】．（22-23七年级下·江苏常州·期中）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．如图，由四个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个边长为c的正方形拼成．用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：______（结果为最简）． 【作业11】．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如果，那么代数式的值是________． 【作业12】．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需根火柴，…，依此规律，第个图案需______根火柴．    【作业13】．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【作业14】．（23-24七年级下·河南南阳·阶段检测）甲、乙两列火车从相距60千米的两站同时出发，同向而行，甲车在后，每小时行驶70千米，乙车在前，每小时行驶50千米，则经过____________小时后两车相距20千米． 【作业15】．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1) (2) 【作业16】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图1，点、、是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为、、，且、满足．某同学将刻度尺按图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)________，________； (2)在图1的数轴上，________个单位长度；在图2中，________；在图1的数轴上点所对应的数________；（注：表示、两点之间的距离，下同） (3)左右移动刻度尺，使数轴上表示的点与刻度尺上表示的点对齐．（，） ①刻度尺上表示的点与数轴上表示________的点对齐；（用代数式表示） ②数轴上距离原点个单位长度的点与刻度尺上表示什么数的点对齐？请求出这个数．（用代数式表示） 【作业17】．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 【作业18】．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段_________条．    【作业19】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）一件羽绒服的标价为进价的1.5倍，在促销活动中以8折出售，获利96元，这件羽绒服的进价是___________元． 【作业20】．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 素材一：如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 素材二：动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时，速度变为初始速度的；当运动到点B与点C之间时，速度变为初始速度的3倍；经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)动点P从点A运动至点B需要________秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $