期中讲义03 期中综合压轴突破（有理数+有理数运算+代数式+整式加减） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

期中讲义03期中综合压轴突破（有理数+有理数运算+代数式+整式加减） （10大考点专练） 【考点一】数轴与绝对值综合（|x−a|+|x−b|） 【考点六】列代数式·应用型压轴 【考点二】绝对值·分类讨论 【考点七】代数式的值·整体代入与化简求值 【考点三】有理数混合运算与程序框图 【考点八】整式的加减·化简求值综合 【考点四】新定义运算（跨章节） 【考点九】整式加减中的无关型问题 【考点五】数字与图形规律探究（跨章节） 【考点十】整式加减与数轴、绝对值综合 【考点一】有理数 知识块 要点 常见易错 有理数分类 整数与分数统称有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数（有限小数与无限循环小数都可化成分数，属有理数）。 把有限小数、循环小数误当非有理数；忽略“0”既不是正数也不是负数 数轴三要素 原点、正方向、单位长度。数轴上右边的数总比左边的数大；原点表示 0。 画数轴漏要素；单位长度不统一 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数。0 的相反数是 0。a 与 −a 互为相反数，且 a＋(−a)＝0。 误以为相反数是“符号相反”；忘记“互为” 绝对值 数轴上表示数 a 的点到原点的距离，记作 |a|。 把绝对值当成“把负号去掉”；丢“距离非负” 大小比较 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 两个负数比较时误判；在数轴上定位出错 【考点二】有理数的运算 运算 法则要点 常见易错 加法 同号相加：取相同符号，绝对值相加；异号相加：取绝对值较大者的符号，绝对值相减；互为相反数相加得 0。 异号相加时符号取错；忘了加 0 减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a−b＝a＋(−b)。减法统一转化为加法。 减负号时符号处理错（如 a−(−b) 误写成 a−b） 乘法 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数乘 0 得 0。 “负负得正”在多个负因数时数错符号 除法 除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数；同号得正，异号得负。 除以 0 出错；符号错 乘方 a 的 n 次幂 aⁿ＝a·a·…·a（n 个 a 相乘）。负数的奇次幂为负、偶次幂为正；(−a)ⁿ 与 −aⁿ 含义不同。 把 (−2)² 误当 −4；混淆 (−a)ⁿ 与 −aⁿ 运算律（在混合运算中灵活运用可简化计算）：加法交换律 a＋b＝b＋a、加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；乘法交换律 a·b＝b·a、乘法结合律 (a·b)·c＝a·(b·c)、分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c。 【考点三】代数式 知识块 要点 常见易错 列代数式 把文字语言中的数量关系用含字母的式子表示。注意：数字与字母相乘省略乘号、数字写在前面；除法写成分数形式；带单位时加括号。 乘法省略号位置错；除法用“÷”而非分数形式 代数式的值 用数值替换代数式中的字母，按运算顺序计算所得结果。代入时必须还原省略的乘号。 代入时忘加乘号；运算顺序错误 整体思想 把某个式子看成一个整体代入计算，可简化求值，是压轴题的常用技巧。 不能识别整体、代错数值 【考点四】整式的加减 知识块 要点 常见易错 单项式 表示数或字母的积的式子叫单项式，单独的数或字母也是单项式。系数：单项式中的数字因数；次数：所有字母的指数的和。 漏系数中的负号；次数只数一个字母或把数字也计入 多项式与整式 几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数。单项式与多项式统称整式。 把常数项当次数最高的项；混淆次数与项数 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项。 只比字母不比指数；把不同字母的项也当同类项 合并同类项 把同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。 系数相加时漏符号；漏合并或把字母乘在一起 去括号 括号前是“＋”直接去括号；括号前是“−”去括号后括号内各项都要变号。 括号前是“−”时只变第一项符号；分配律漏乘 整式的加减 先去括号，再合并同类项；结果通常写成降幂排列，系数化为最简。 去括号与合并步骤颠倒；结果未按次数排列 整式加减的实质：把整式看作“字母的运算式”，类比数的运算进行化简——先去括号、再合并同类项。化简求值时先化简再代入，可避免计算量大且易错。 【考点一】数轴与绝对值综合（|x−a|+|x−b|） 1．（2026七年级上·全国·专题练习）当取得最小值时，x的值为_______． 【答案】1 【知识点】绝对值的几何意义 【详解】解：根据题意可得，表示数x的点与表示数的点，与表示数的点，与表示数的点的距离之和，且表示数的点在表示数的点和表示数的点之间， 根据两点之间线段最短可知， 当x的值为1时，取得最小值为． 2．（25-26七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 【答案】8 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】将理解为数轴上点到三点的距离之和.当位于这三个数对应的点的中间位置时，距离之和最小． 【详解】解：原式可变形为， 根据绝对值的几何意义，该式表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离之和， ， 当时，该距离之和最小，最小值为． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 4．（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 5．（25-26七年级上·湖南常德·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，若将数轴上点表示的数记为，点表示的数记为，那么两点之间的距离（或者），反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．例如：数轴上表示与的两点间的距离为；而，所以表示数与两点间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______； (2)数轴上点用数表示，若，那么的值为______； (3)数轴上点用数表示： ①若，那么的值是______； ②利用数轴求出的最小值，并写出此时的所有整数值． 【答案】(1)； (2) (3)①或；②最小值为；此时的所有整数值为：；；；；． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的化简，绝对值的几何意义，数轴上点的距离，熟练掌握绝对值的化简运算是解题的关键． （1）根据距离的运算方式运算即可； （2）化简绝对值运算即可； （3）①化简绝对值运算即可；②分类讨论的取值，化简绝对值式子比较出最小时的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， 解得：或； 故答案为：或； ②∵表示数轴上数表示的点到表示的点的距离，表示数轴上数到表示的点的距离， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴当时，的值最小，此时的所有整数值为：；；；；． 6．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 【考点二】数轴与绝对值·分类讨论 7．（26-27七年级上·江苏·期中）已知有理数a，b满足，，且，化简 _______． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、合并同类项 【分析】先根据已知条件判断每一个绝对值内部代数式的正负，正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值符号，再合并同类项． 【详解】解：∵，且， ，，， ， ∴ ． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知，，且，则的值为_______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查带有字母绝对值化简，代数式求值等．根据绝对值的性质求出和的可能值，再根据判断和的符号关系，最后计算的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴和异号． 当时，，则； 当时，，则， 故的值为， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·福建莆田·期中）如果，那么 的值为______． 【答案】0 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故答案为：0． 10．（25-26七年级上·四川泸州·期中）计算： (1)已知 ，且，求的值． (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) 或 (2)8 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查绝对值的计算，非负性，相反数的计算，掌握绝对值的性质是关键． （1）根据绝对值的性质化简计算即可； （2）根绝对值，平方数的非负性，相反数的定义，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，的值为或； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 11．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、有理数四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查有理数的运算及代数式的值，解题的关键是理解题中所给新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算可直接进行求解； （2）先根据绝对值与偶次幂的非负性得出，然后根据题中所给新定义运算进行化简，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ ． 【考点三】有理数混合运算与程序框图 12．（26-27七年级上·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除即可得出结果； （2）先计算乘除，再计算加法即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 14．（2026七年级上·全国·专题练习）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）原式 ． （4）原式 ． 15．（26-27七年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)107 (3) (4)19 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 16．（26-27七年级上·天津·期中）计算（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据有理数的加减法进行计算； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 17．（26-27七年级上·河南·期中）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先把小数化成分数，然后利用加法交换律进行简便运算即可； （2）先把小数化成分数，然后再化成假分数，再利用有理数乘除混合运算计算即可； （3）先计算绝对值，再利用有理数四则混合运算法则计算即可； （4）直接利用乘法分配律进行简便运算即可； （5）直接利用含乘方的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 18．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入两个数时，则两次输出的结果分别是_________、_________； (2)你认为当输入_________数时（写出两个即可），其输出结果是0 (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出_________数 【答案】(1)； (2)，（答案不唯一，如，均可） (3)负 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数加法运算、倒数、程序流程图与有理数计算 【分析】（1）把代入转换器，判断不大于 2，算出相反数 3，3 为正，取倒数得到；把代入转换器，判断不大于 2，算出相反数，非正，取绝对值得到． （2）根据输出为 0 倒推，只有绝对值能得到 0，可得输入 0 或者 5 这类 5 的正整数倍的数字，经过转换器运算后输出 0． （3）分析转换器两条输出线路，输出只能是正数或者 0，判断这个有理数转换器不可能输出负数． 【详解】（1）解：当输入： ∵， ∴的相反数为， ，取倒数， ∴输出． 当输入： ∵，， ∴的相反数为， ∵，取绝对值， ∴输出． （2）解：输出结果为 0： 输出为 0，只能由 “相反数非正，取绝对值” 得到，即相反数为 0，原数为 0． ①输入：，相反数是，非正，，输出 0． ②输入：，；，相反数是，非正，，输出 0． 可填写：，（答案不唯一，如均可）． （3）解：情况一：相反数为正，输出倒数，结果是正数； 情况二：相反数非正，输出绝对值，结果是非负数． 因此输出只能是正数或 0，不可能输出负数． 19．（26-27七年级上·广东深圳·期中）如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)你认为当输入什么数时，其输出结果是？ (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ (3)当小明输入；；这三个数时，这三次输出的结果分别是：___________． (4)有一次，小明在操作的时候，输出的结果是，你判断一下，小明可能输入的是什么数？ 【答案】(1)（为自然数） (2)不可能输出负数 (3)，， (4)或（为自然数） 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】（1）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以当输入的倍数时输出； （2）由程序可知，输出的数应为非负数，不可能输出负数； （3）先判断出、、与的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （4）设输入的数为，分两种情况：最后一步是求倒数，最后一步是求绝对值，按程序进行倒推即可解答． 【详解】（1）解：输出数为，的相反数及绝对值均为， 当输入小于等于时，输入，其输出结果为， 当输入大于时，输入的倍数时输出， 应输入（为自然数）时，其输出结果是； （2）由程序可知，输出的数应为非负数，不可能输出负数； （3）， 输入时的程序为， 的相反数是，的倒数是， 当输入时，输出； 当输入时， 其相反数是，其绝对值是， 当输入时，输出； 当输入时，， 的相反数是，其倒数是， 当输入时，输出； （4）设输入的数为， 情况一：最后一步是求倒数， 设倒数前的数为，则， 解得， 走的为正分支， 为某数的相反数，即， 解得， 此时，符合“否”分支条件， 考虑循环减的情况，输入数满足（为自然数）， 即； 情况二：最后一步是求绝对值， 设绝对值前的数为，则， 走的是“非正”分支， 必须是非正数，即， 是某数的相反数，即， 解得， 此时，符合“否”分支条件， 考虑循环减的情况，输入数满足（为自然数）， 即； 综上所述，小明可能输入的是或（为自然数）． 【考点四】新定义运算（跨章节） 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）定义运算，如．若，则_______；若，且，则b的值为_______． 【答案】 或 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查新定义下的有理数运算，根据新定义规定的运算法则可得，再利用绝对值的性质求解可得． 【详解】解：当，时，． 当时，， 所以或， 解得或． 故答案为：；或． 21．（26-27七年级上·吉林长春·期中）对于有理数，定义一种新运算，表示大于的最小整数，例如：，，下列结论正确的是________． ①；②；③若，那么；④若，都是整数，且，那么． 【答案】 ①②③ 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】根据新定义“为大于的最小整数”，逐一验证每个结论，通过计算运算结果、推导取值范围判断正误． 【详解】解：根据定义，是大于的最小整数，逐一分析如下： ①大于的最小整数是，故，①正确； ②大于的最小整数是，大于的最小整数是，故，②正确； ③ 若，说明是大于的最小整数 ∴， ∵若，则大于的最小整数会是，与矛盾， ∴， ∴的取值范围是，③正确； ④若为整数，则大于的最小整数是，大于的最小整数是， ∴， ∵， ∴，即，④错误， 故正确的有①②③． 22．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为：②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，时，其“C运算”如下： 若， 则第2026次“C运算”的结果是_____________． 【答案】4 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化类，计算出时第一、二、三、四、五、六、七次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：若，第一次结果为13， 第2次结果为：， 第3次“C运算”的结果是：， 第4次结果为：， 第5次结果为：， 第6次结果为：， 第7次结果为：1， … 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数是奇数时，结果是1， 而第2026次是偶数，结果是4， 故答案为：4． 23．（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若的值与m互为相反数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相反数的定义、有理数四则混合运算 【分析】（1）根据新运算规则直接运算即可； （2）先根据新运算规则得出的值，再根据相反数定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵的值与m互为相反数， ∴． 24．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】化简多重符号、绝对值非负性、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 25．探究规律，完成相关题目．薛老师说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”薛老师写出了一些按照※运算法则进行运算的式子： ； ； ； ； ； ． 请你按照薛老师的运算法则计算：______． 【答案】4043 【知识点】求一个数的绝对值、数字类规律探索 【分析】根据题意可以得到可以得到的运算法则为：两数进行运算时，同号得负，异号得正，0和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与0进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解：，，，，，， 由此可以得到的运算法则为：两数进行运算时，同号得负，异号得正，0和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与0进行运算都等于这个数的相反数， ∴， 故答案为：4043． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律问题，解题的关键在于能够根据题意找到的运算法则． 26．（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【答案】(1) (2) (3) 满足交换律 ， ， ， 故满足交换律． 【知识点】有理数加法运算律、含乘方的有理数混合运算、列代数式 【分析】（1）观察题目给出的算式，归纳出的通用运算公式； （2）先计算括号内的，再将结果代入外层算式计算最终结果； （3）根据交换律的定义，分别计算与，验证二者是否相等． 【详解】（1）解：根据题意可知，． （2）解：， ． （3）略 27．（25-26七年级上·全国·期末）定义新运算：，． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号）； ①，；②，． (2)计算：； (3)已知由两个连续的非零整数，组成的数对是一个“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查分数的计算，理解“隔一数对”运算的法则，掌握分数的计算是关键． （1）根据“隔一数对”计算方法判定即可； （2）根据“隔一数对”计算方法展开，结合分数的混合运算法则计算即可； （3）根据“隔一数对”计算方法转换成分数的混合运算，进行计算即可． 【详解】（1）解：，，若，则称有理数，为“隔一数对”， ∴①，， ，， ∴①是“隔一数对”； ②，， ∴，， ∴②不是“隔一数对”； 故答案为：①． （2）解： ． （3）解： ． 28．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 正；负；平方；平方 (2) (3) 存在，， 【知识点】含乘方的有理数混合运算、新定义下的实数运算、归纳与类比 【分析】 （1）根据题干信息进行总结； （2）按照题干的运算法则，先计算的结果，结果为4，再根据同样的运算法则计算即可； （3）两个数的平方和为0，则这两个数都为0，即可计算出m，n的值． 【详解】（1） 解：略 （2） ； （3） 存在有理数m，n，使得； ； ， ，； 解得：，． 29．（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了新运算的定义、指数运算、数字规律、整式运算等知识点，熟练掌握新运算的理解和相关运算法则是解题的关键． （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将根据不同的n值运算展开发现规律，据此确定，满足的关系； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，然后列举验证，找出正整数的解即可． 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． 【考点五】数字与图形规律探究（跨章节） 30．（25-26七年级上·天津静海·期中）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有_______个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查规律探索，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，根据此规律计算第7个图形中的三角形个数即可； （2）把找到的规律用代数式表示出来即可． 【详解】解：第一个图案正三角形个数为； 第二个图案正三角形个数为； 第三个图案正三角形个数为； ； 第7个图案正三角形个数为； 第个图案正三角形个数为． 故答案为：，． 31．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题． ； 现有一列数：（为正整数），规定，则的值为__________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律探索，有理数混合运算，根据题干信息得出一般规律是解题的关键．通过观察递推关系，得出，进而将 转化为 ，利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：由，，，，，可得： ， ， ， ， …… ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 32．（25-26七年级上·广东汕头·期中）将一列有理数，，，，，，，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，应排在A、B、C、D、E中 __ 的位置． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化归纳出每个峰需要5个数，且第奇数个峰是正数，第偶数个峰是负数是解题的关键． 由图形的变化可知，每个峰需要5个数，且第奇数个峰是正数，第偶数个峰是负数，根据此规律即可得出答案． 【详解】解：由图形的变化可知，每个峰需要5个数，且第奇数个峰是正数，第偶数个峰是负数， ∵， ∴是“峰”的第4个数，应排在A、B、C、D、E中的D的位置． 故答案为：D． 33．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，小亮根据○中的三个数按照规律给自己的日记本设置了一个六位数的开锁密码a，根据提供的信息可以推断出小亮给自己的日记本设置的密码a是___________． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的密码，探索出密码与数字之间的关系是解题的关键． 根据所给密码可知，第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积，第3、4个数字为下面的两个数的积，第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的积，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的积． ∵， ∴日记本设置的密码a是， 故答案为：． 34．（24-25七年级上·山西临汾·期中）观察下面的几个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据上述规律填空： (1)第5个等式为________，第17个等式为________； (2)用含的代数式表示第个等式：________； (3)． 【答案】(1)， (2) (3)103 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （1）根据规律可得第5个等式和第17个等式； （2）根据前几个等式可得规律，进而可得第个等式，再按照等式的运算得出结果； （3）根据，再根据解析（2）可得：，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… ∴第5个等式：； 第17个等式：； （2）解：第n个等式：； （3）解： 根据解析（2）可得：， ∴． 35．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为__________，第n个等式为__________（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：； (3)拓展计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算中规律问题，理解题意，找出规律是解题的关键． （1）观察等式，得出规律，即可求解； （2）根据找到的规律，将每个式子拆成，然后合并即可得解； （3）根据找到的规律，将每个式子拆成，然后合并由此可求解． 【详解】（1）解：（1）第5个等式为：， 第个等式为：， 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 36．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①，② 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）由（1）的结论可知是 个连续奇数的和，得出结果； （4）① 是连续个奇数的和，直接得出结果； ② 是连续个奇数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由图片知： 第1个图案所代表的算式为： ， 第 2 个图案所代表的算式为： ； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； 依此类推：第5个图案所代表的算式为： 故答案为：． （2）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； 当 、4 时分别为： 、； 故当 ， 即 时， （3）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； （4）①； ② 【考点六】列代数式·应用型压轴 37．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某农机租赁公司共有台联合收割机，其中甲型台、乙型台．现将这台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中台派往A地区，台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 元 元 B地区 元 元 (1)设派往A地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为y（元），用含的式子表示； (2)分别求出当等于28，29，30时租金的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据题意可知，派往地区的甲型收割机为台，派往地区的乙型收割机为台，派往地区的甲型收割机为（台），再根据表格求解y即可； （2）将，，代入y中求解即可． 【详解】（1）解：若派往地区的乙型收割机为台，则派往地区的甲型收割机为台，派往地区的乙型收割机为台，派往地区的甲型收割机为（台）， ∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，． 38．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，某小区有一块长为、宽为的长方形空地，物业计划在空地中修建一条横向和一条纵向的小路，两条小路的宽均为，其余部分铺草坪． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)当，时，求铺草坪的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）把两条小路分别平移到空地的边上，剩下的草坪就能拼成一个长方形，它的长为，宽为，再结合长方形面积公式计算即可得出结果． （2）将，代入（1）中的式子计算即可得出结果 【详解】（1）解：把横向小路平移到空地上边、纵向小路平移到空地右边，剩下铺草坪的部分合起来是一个长为、宽为的长方形， 所以铺草坪的面积为； （2）解：当，时，． 故铺草坪的面积是． 39．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示． (1)用含a、b、c的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求S的值． 【答案】(1) (2)28 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）把，，，代入求值即可． 【详解】（1）解： 由题意得：； （2）解：当，，时， ∴． 40．（26-27七年级上·四川·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)解：①A网店更合算，理由： A网店：元； B网店：元． ∵， ∴A网店更合算； ②在A网店买60支钢笔（送60个笔袋），在B网店买个笔袋最合算，理由： 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总费用：元． ∵， ∴在A网店买60支钢笔，在B网店买30个笔袋最合算． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据A，B两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）①把代入两个代数式计算，即可得出结论；②先去A网店买60支钢笔，再去B网店买30个笔袋最合算． 【详解】（1）解：A网店：买60支钢笔送60个笔袋，需额外购买个笔袋， 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总付款：元， B网店：钢笔和笔袋均按付款． 总费用： 元； （2）①略； ②略． 41．（26-27七年级上·全国·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如下表： 月用量 不超过180 超过180，不超过280的部分 超过280的部分 收费标准/[元] (1)如果恒恒家每月缴电费y元，每月用电量为，用含x的代数式表示电费y： ①当时，______； ②当时，______； ③当时，______． (2)若恒恒家6月份缴电费138元，求恒恒家6月份的用电量． 【答案】(1)①．②．③ (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的代数式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费元可知在第二段，代入代数式可得用电量． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时， ． （2）解：当时，（元）； 当时，（元）； ， 故用电量处于第二段， 由时，得到， 解得：． 恒恒家6月份用电． 42．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图，将边长为a的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形（无重叠、无缝隙）． (1)用含a、b的代数式分别表示拼成的长方形的长和宽； (2)分别计算剪拼前后图形的面积（用含a、b的代数式表示），并根据结果写出一个关于a、b的等式； (3)利用（2）中的等式，计算的值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)剪拼前的面积为，剪拼后的面积为；等式为 (3)4049 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）原图形是边长为的正方形剪去边长为的小正方形，剩余部分拼接后，长方形的长为大、小正方形的边长和，宽为大、小正方形的边长差； （2）由图可得剪拼前后图形的面积，再根据剪拼前后面积不变，可得等式； （3）把2025和2024代入（2）中的等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，拼成的长方形的长为，宽为； （2）解：由图可得，剪拼前的面积为， 剪拼后的面积为， ∴得到的等式为； （3）解：由（2）得： ． 【考点七】代数式的值·整体代入与化简求值 43．（25-26七年级上·福建泉州·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)若代数式的值为15，求代数式的值． (2)若时，代数式的值为19，当时，求代数式的值． 【答案】(1)23 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键： （1）由题意，得到，整体代入法求出代数式的值即可； （2）由题意，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）由题意，， ∴当时，． 44．（25-26七年级上·广东广州·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：把代入得：， ， ∴把代入得： ． 45．（25-26七年级上·广西来宾·期中）【阅读理解】 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为7． 【方法运用】 （1）若代数式的值为6，求代数式的值． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）2；（2）；（3）． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，整体思想的运用是解题的关键． （1）由条件得，再把所求代数式变形得，整体代入即可； （2）由条件得，再把所求代数式变形得，整体代入即可； （3）代数式变形得，然后整体代入即可． 【详解】解：（1）， ， ， ∴代数式的值为2． （2）， ， ， ∴代数式的值为． （3），， ， ∴代数式的值为． 46．（25-26七年级上·河南信阳·期中）【问题呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值中应用极为广泛．若代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小勤的方法：由题意得，，则，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）已知，那么代数式的值是______；若，则代数式的值为______； （2）当时，代数式的值为11，当时，求代数式的值； 【拓展延伸】 已知：，直接写出代数式的值． 【答案】（1），2027；（2）；拓展延伸：． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查整体代入求值等知识，熟练掌握整体代入思想是解决问题的关键． 【方法运用】（1）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）将代入，得到；再将代入化简求值，整体代入即可得到答案； 【拓展延伸】根据，可得，再把原式变形为，然后代入，即可求解． 【详解】【方法运用】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时，， ∴， ∴当时：； 【拓展延伸】解：∵， ∴， ． 47．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单的问题． 【尝试应用】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含、的式子表示） （2）若，则______； 【拓展应用】 （3）若代数式的值为6，求代数式的值； （4）已知，的值是最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，掌握“整体思想”的运用是解题的关键． （1）求出的结果，再把代入化简后的结果计算即可求解； （2）由题意得到，再把代数式转化为，利用“整体思想”代入计算即可求解； （3）由题意得到，再把代数式转化为，利用“整体思想”代入计算即可求解； （4）由的值为最大的负整数得，再把代数式转化为，把、代入计算即可求解． 【详解】解：（1）把“”看成一个字母， ∴原式， ∴， 故答案为：； （2）若，则； 故答案为：； （3）∵代数式的值为6， ∴， ∴； （4）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 48．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再根据，整体代入，即可求解； （3）先将代入得出，再根据，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴当时，代数式； （3）当时，， ∴， ∴当时，代数式． 【考点八】整式的加减·化简求值综合 49．（26-27七年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】解： ， 当，时， 原式． 50．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）小明在解数学题时，由于粗心，把原题“已知两个多项式A和B，其中，试求”中的“”看成“”，结果求出的答案是，请你帮他纠错，正确算出． 【答案】（1）（2） 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把，代入计算即可求出值； （2）先根据被减数减数差，列式求得，然后再求． 【详解】解：（1）原式， ， ， ， 当，时， 原式， ； （2）根据题意，得， ， ， ， 故正确算出为． 【点睛】本题考查整式的加减与整式的化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是解题的关键． 51．（24-25七年级上·山东济宁·期末）按要求解答问题： (1)化简： (2)化简求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 代入，得：原式． 52．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)化简结果为，值为 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）先去括号再合并同类项，最后将，代入计算即可； （2）先去括号再合并同类项，再根据非负性求出，最后代入计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 解得 原式． 53．（24-25七年级·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 【考点九】整式加减中的无关型问题 54．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知多项式合并同类项后不含x的三次项和一次项，则的值为________． 【答案】48 【知识点】合并同类项、整式加减中的无关型问题 【分析】首先把看成已知数合并同类项，利用不含的三次项和一次项列出方程，求出的值，再代入求值即可． 【详解】， ， . 不含的三次项和一次项， ，， ，， 当，时， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是合并同类项，代数式求值的有关知识，理解“不含x的三次项和一次项”是解本题的关键． 55．（25-26七年级·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 56．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），． (1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值； (2)当，时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据多项式与取值无关的条件，令含的项系数为0，列方程求解； （2）先化简多项式，代入m、n的取值后，结合的表达式计算； （3）将看作整体，利用已知方程求整体值，代入计算． 【详解】（1）解：先化简多项式： ， ∵多项式的值与的取值无关， ∴项与项的系数均为0，即， 解得； （2）解：当，时， 代入的表达式得：， ∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴． 57．（26-27七年级上·四川·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，回答下列问题： (1)将下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ___________， ___________， ___________； (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据绝对值的性质，可得答案； （2）根据绝对值的性质，化简绝对值得，结合整式的加减运算法则，得出，再根据代数式的值与字母的取值无关，得出，最后求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ∴，， ∴，，； （2）解： ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：． 58．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号法则、合并同类项法则以及代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，以及代数式的值与某字母取值无关时，该字母的系数为0这一性质是解题的关键． （1）先对进行去括号、合并同类项化简，再将、的表达式代入，整理得到含、的式子． （2）根据（1）中化简结果与取值无关的条件，求出的值，再将所求式子变形为与相关的形式，代入计算． 【详解】（1）解：，， ． ； （2）解：由（1）可知：， （）中式子的值与字母的取值无关， ， 解得， ， ． 59．（25-26七年级上·福建福州·期中）已知代数式． (1)当，时，求的值． (2)若的值与的值无关时，求的值． 【答案】(1)19 (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查代数式的化简求值以及代数式与字母取值无关的问题，解题的关键是先化简，再根据已知条件代入计算． （1）先化简，将其转化为含和的形式，再代入已知值计算； （2）根据与无关，得出的系数为0，求出的值，再代入计算． 【详解】（1）解： ， 将代入上式： ； （2）解：由，因为其值与无关， 所以的系数， 解得：， 将代入， 原式． 60．（25-26七年级上·福建厦门·期中）定义：若，则称x是y关于m的相关数． (1)若6是a关于2的相关数，则_______； (2)若A是B关于m的相关数，，B的值与m无关，求B的值． 【答案】(1)4 (2)7 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减无关类型，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义列出式子求解即可； （2）根据新定义求得B，进而根据题意B的值与m无关，令含m项的系数为0即可求解． 【详解】（1）解：∵6是a关于2的相关数， ∴ 解得； 故答案为：4； （2）解：∵A是B关于m的相关数，， ∴， ， B的值与m无关， ∴，得， ． 61．（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 【考点十】整式加减与数轴、绝对值综合 62．（25-26七年级上·四川成都·期中）解答下列各题 (1)七年级某班李同学做了一道题：已知两个代数式、，，计算，他误将写成了，结果得到答案，请你帮助他求出正确的答案． (2)有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示． 化简值为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的绝对值、整式的加减运算 【分析】（1）根据和可以求出，计算出正确的即可得到正确结果； （2）有理数，，表示的点在数轴上的位置，可知，，，根据绝对值的性质去掉绝对值符号、合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， ， 解得：， ； （2）解：由数轴可知，， ，，， ． 63．已知，且满足，，，. (1)请将、、填入下列括号内； (2)若，试求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值、去括号、整式的加减运算 【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解； （2）根据绝对值的性质，先求出x的值，再代入计算即可. 【详解】（1）解：，，， ，，， ， ， 则； 、、填入括号内略； （2）解：由题可知，，， ， 原式. 64．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，有理数a，b在数轴上所对应的点分别是A，B两点，且a，b满足：多项式是关于x的二次二项式； (1)请直接写出a、b的值： ， ． (2)若数轴上点A、B之间有一动点P，且点P对应的数为y，化简． 【答案】(1)2，5 (2)12 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、带有字母的绝对值化简问题、多项式的项、项数或次数、整式的加减运算 【分析】此题考查了多项式，利用数轴比较大小，整式的加减运算，化简绝对值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据二次二项式的定义求解即可； （2）首先得到，然后判断出，，然后去绝对值合并即可． 【详解】（1）∵多项式是关于x的二次二项式 ∴， ∴； （2）∵数轴上点A、B之间有一动点P，且点P对应的数为y， ∴ ∴， ∴ ． 65．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较，，，的大小，并用连接起来． ____________________________________________________________； (2)用“”或“”填空． ____________；____________；____________； (3)化简：． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数大小比较、整式的加减运算 【详解】（1）解：由图可得，，， ，， ， ． （2）解：， ． ， ，， ，． （3）解：， ， ． 原式． 66．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． 【初步探究】 （1）点表示的数是________，点表示的数为________； （2）若点是数轴上的点，且点到点的距离为6，求点表示的数及，两点之间的距离； 【深度拓展】 （3）若点是数轴上的点，点到点与点到点的距离相等．若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，经过秒，求，两点之间的距离．（用含的代数式表示） 【答案】（1），2；（2）当点表示的数为时，，两点间的距离为8；当点表示的数为8时，，两点间的距离为20；（3） 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上动点问题，两点间距离，有理数加减运算，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度，得出答案即可； （2）分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求出点表示的数，然后再求出点和点之间的距离即可； （3）先求出点表示的数，然后求出秒后点和点所表示的数，再用点表示的数减去点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度， ∴点表示的数是，点表示的数为2； 故答案为：，2． （2）当点在点左侧时，点表示的数为， 此时，两点间的距离为； 当点在点右侧时，点表示的数为， 此时，两点间的距离为． 综上所述，当点表示的数为时，，两点间的距离为8；当点表示的数为8时，，两点间的距离为20． （3）因为点到，两点的距离相等， 所以点表示的数为． 因为点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动， 所以经过秒后点表示的数为，点表示的数为． 所以，两点之间的距离为． 67．（25-26七年级上·新疆·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是： ， ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (3)在（2）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为 (3)不变，其值为12 【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴，列代数式，整式的加减，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （3）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为， 点A与C之间的距离为， 点B与C之间的距离为． （3）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 68．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12，1；（2）①；②存在，，定值为18 【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查列代数式，整式加减中的无关型问题，有理数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式，是解题的关键： （1）根据倒数和相反数的定义求出，根据两点间的距离公式，中点公式，进行求解即可； （2）①表示出点表示的数，中点公式列出代数式即可； ②根据两点间的距离公式表示出，根据，得到的值与无关，进而得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，， ∴，线段的中点表示的数为； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为； ②存在， 当点在点左侧时，点在点的左侧， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴， ∴， ∴． 69．（25-26七年级上·山东临沂·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”．当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P、Q在数轴上分别表示有理数p、q，P、Q两点之间的距离表示为．阅读以上材料，回答以下问题： 如图，在数轴上有A、B两点，A、B两点所表示的有理数分别是和，其中k为最大的负整数． (1)求A、B两点之间的距离； (2)若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，相向而行，点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为4个单位/秒，运动t秒后，用含t的代数式分别表示点P和点Q在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，t为何值时，并求此时的． 【答案】(1)14 (2)点P表示的数是，点Q表示的数是； (3)或时，；当时，；当时， 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、列代数式、整式的加减运算 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离、绝对值方程、整式的加减运算及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，则有，，然后根据数轴上两点距离可进行求解； （2）由（1）知，点A所表示的数是，点B所表示的数是8，由题意得，，然后根据数轴上有理数的表示可进行求解； （3）由（2）得，点Q表示的数为，点P表示的数为，则有，然后可得或，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵k为最大的负整数， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，点A所表示的数是，点B所表示的数是8， 根据题意可得，，， 所以t秒后点P表示的数是， t秒后点Q表示的数是； （3）解：由（2）得，点Q表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 当时，点P表示的数：，点B表示的数：8， 所以， 当时，点P表示的数：，点B表示的数：8， 所以， 综上所述当时，；当时，． 70．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）阅读下面的材料并解决问题： 如图，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点A到点B的距离记为线段的长，那么A、B两点之间的距离为：，若点B在点A的右边，则． 若，，． (1) ______； (2)若将数轴折叠，使得A与C点重合． ①点B与数______表示的点重合； ②若此数轴上P、Q两点之间的距离为2026（P在Q的左侧），且当A点与C点重合时，P、Q两点也恰好重合，则点P表示的数是______； (3)若数轴上有一点M，且点M表示数m，则的最小值为______； (4)若点A、B、C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)2 (2)①3；② (3)6 (4)的值不随时间t的变化而改变，其值为18 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的翻折 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）①先根据折叠后点A与C重合可得折痕点所表示的数，再根据数轴的定义即可得； ②先求出折痕点到点P的距离为1013，再根据数轴的定义即可得； （3）根据表示数轴上点m到和4的距离之和，当时，距离之和最小求解即可； （4）先根据时间和速度分别求出运动t秒后，点A、B、C所表示的数，从而可得的值，再根据整式的加减法则进行化简，由此即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）解：折叠使A与C重合，中点为， ①∵点B关于2的对称点：， ∴点B与数3表示的点重合． ②∵P、Q关于2对称， ∴设，， ∵P在Q的左侧， ∴，解得， ∴， ∴点P表示的数是． （3）解：表示数轴上点m到和4的距离之和， ∵当时，距离之和最小， ∴最小值为． （4）解：t秒后：A点位置：， B点位置：， C点位置：， ， ， ， ∴的值不随时间t的变化而改变，其值为18． 71．（25-26七年级上·全国·期中）已知关于，的多项式，．（为常数） （1）若多项式是三次三项式，则的值是______． （2）若多项式的值为10，则 的值为______． （3）若单项式与 的和仍是单项式， ①单项式 为几次单项式； ②求多项式的值． （4）若一个多项式减去多项式，小明误当成了加法计算，得到的结果是 ，请你帮助小明求出正确的计算结果． （5）在（1）的基础上，解决下列问题： ①化简； ②若化简的结果与的取值无关，求 的值． （6）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，且 为最大的负整数．化简：______； （7）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，其中a，b，m分别是这个三位数百位、十位、个位上的数字．若 可以被3整除，则这个数就能被3整除．例如，三位数108，因为，9可以被3整除，所以108就能被3整除． 【发现】 将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数 就能被7整除． 【验证】 例如，三位数364，因为 ，28可以被7整除，所以364就能被7整除． ①用上述方法判断455能否被7整除？____．（填“能”或“不能”） 【探究】 ②请用含，，的代数式表示_____； ③结合②论证【发现】中的结论正确． 【答案】（1）2； （2）2； （3）①为五次单项式；②多项式的值为17； （4）正确的计算结果为； （5）①；②； （6）； （7）【验证】①能； 【探究】②； ③由题意，得三位数 ， 因为 能被7整除， 所以设 为正整数)， 所以 ， 所以 ， 所以三位数 能被7整除． 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、整式加减的应用 【分析】本题考查多项式，多项式求值，整式加减中的无关型问题，同类项，含字母的绝对值的化简等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据多项式是三次三项式，得到，进行求解即可； （2）求出，整体代入法进行计算即可； （3）①根据题意，得到单项式与是同类项，求出的值，再根据单项式的次数为所有字母的指数和进行求解即可；②将字母的值代入，计算即可； （4）将错就错，求出多项式，再进行减法运算即可； （5）①利用整式的加减法则进行计算即可；②根据化简的结果与的取值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可； （6）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可； （7）根据给定的方法，判断，列代数式，论证即可． 【详解】（1）因为多项式是三次三项式，所以，所以 ． （2）因为， 所以 ， 所以； （3）①因为单项式与 的和仍是单项式， 所以单项式与是同类项，所以， ， 所以， ． 因为单项式的次数为 ， 所以 为五次单项式． ②由①知：， ， ∴； （4）多项式为 ， 所以正确的计算结果为 ． （5）①由(1)知，， 所以 ， 所以． ②由得 ． 因为化简的结果与的取值无关，所以 ， 所以 ． （6）因为为最大的负整数，所以 ．由题中数轴可知，，， 所以，，， 所以 ． （7）①能，因为 ，35可以被7整除，所以455就能被7整除． ②用含，，的代数式表示， 故答案为：， ③略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义03期中综合压轴突破（有理数+有理数运算+代数式+整式加减） （10大考点专练） 【考点一】数轴与绝对值综合（|x−a|+|x−b|） 【考点六】列代数式·应用型压轴 【考点二】绝对值·分类讨论 【考点七】代数式的值·整体代入与化简求值 【考点三】有理数混合运算与程序框图 【考点八】整式的加减·化简求值综合 【考点四】新定义运算（跨章节） 【考点九】整式加减中的无关型问题 【考点五】数字与图形规律探究（跨章节） 【考点十】整式加减与数轴、绝对值综合 【考点一】有理数 知识块 要点 常见易错 有理数分类 整数与分数统称有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数（有限小数与无限循环小数都可化成分数，属有理数）。 把有限小数、循环小数误当非有理数；忽略“0”既不是正数也不是负数 数轴三要素 原点、正方向、单位长度。数轴上右边的数总比左边的数大；原点表示 0。 画数轴漏要素；单位长度不统一 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数。0 的相反数是 0。a 与 −a 互为相反数，且 a＋(−a)＝0。 误以为相反数是“符号相反”；忘记“互为” 绝对值 数轴上表示数 a 的点到原点的距离，记作 |a|。 把绝对值当成“把负号去掉”；丢“距离非负” 大小比较 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 两个负数比较时误判；在数轴上定位出错 【考点二】有理数的运算 运算 法则要点 常见易错 加法 同号相加：取相同符号，绝对值相加；异号相加：取绝对值较大者的符号，绝对值相减；互为相反数相加得 0。 异号相加时符号取错；忘了加 0 减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a−b＝a＋(−b)。减法统一转化为加法。 减负号时符号处理错（如 a−(−b) 误写成 a−b） 乘法 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数乘 0 得 0。 “负负得正”在多个负因数时数错符号 除法 除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数；同号得正，异号得负。 除以 0 出错；符号错 乘方 a 的 n 次幂 aⁿ＝a·a·…·a（n 个 a 相乘）。负数的奇次幂为负、偶次幂为正；(−a)ⁿ 与 −aⁿ 含义不同。 把 (−2)² 误当 −4；混淆 (−a)ⁿ 与 −aⁿ 运算律（在混合运算中灵活运用可简化计算）：加法交换律 a＋b＝b＋a、加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；乘法交换律 a·b＝b·a、乘法结合律 (a·b)·c＝a·(b·c)、分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c。 【考点三】代数式 知识块 要点 常见易错 列代数式 把文字语言中的数量关系用含字母的式子表示。注意：数字与字母相乘省略乘号、数字写在前面；除法写成分数形式；带单位时加括号。 乘法省略号位置错；除法用“÷”而非分数形式 代数式的值 用数值替换代数式中的字母，按运算顺序计算所得结果。代入时必须还原省略的乘号。 代入时忘加乘号；运算顺序错误 整体思想 把某个式子看成一个整体代入计算，可简化求值，是压轴题的常用技巧。 不能识别整体、代错数值 【考点四】整式的加减 知识块 要点 常见易错 单项式 表示数或字母的积的式子叫单项式，单独的数或字母也是单项式。系数：单项式中的数字因数；次数：所有字母的指数的和。 漏系数中的负号；次数只数一个字母或把数字也计入 多项式与整式 几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数。单项式与多项式统称整式。 把常数项当次数最高的项；混淆次数与项数 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项。 只比字母不比指数；把不同字母的项也当同类项 合并同类项 把同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。 系数相加时漏符号；漏合并或把字母乘在一起 去括号 括号前是“＋”直接去括号；括号前是“−”去括号后括号内各项都要变号。 括号前是“−”时只变第一项符号；分配律漏乘 整式的加减 先去括号，再合并同类项；结果通常写成降幂排列，系数化为最简。 去括号与合并步骤颠倒；结果未按次数排列 整式加减的实质：把整式看作“字母的运算式”，类比数的运算进行化简——先去括号、再合并同类项。化简求值时先化简再代入，可避免计算量大且易错。 【考点一】数轴与绝对值综合（|x−a|+|x−b|） 1．（2026七年级上·全国·专题练习）当取得最小值时，x的值为_______． 2．（25-26七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 4．（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 5．（25-26七年级上·湖南常德·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，若将数轴上点表示的数记为，点表示的数记为，那么两点之间的距离（或者），反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．例如：数轴上表示与的两点间的距离为；而，所以表示数与两点间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______； (2)数轴上点用数表示，若，那么的值为______； (3)数轴上点用数表示： ①若，那么的值是______； ②利用数轴求出的最小值，并写出此时的所有整数值． 6．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【考点二】数轴与绝对值·分类讨论 7．（26-27七年级上·江苏·期中）已知有理数a，b满足，，且，化简 _______． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知，，且，则的值为_______． 9．（25-26七年级上·福建莆田·期中）如果，那么 的值为______． 10．（25-26七年级上·四川泸州·期中）计算： (1)已知 ，且，求的值． (2)若与互为相反数，求的值． 11．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【考点三】有理数混合运算与程序框图 12．（26-27七年级上·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 13．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1)； (2)． 14．（2026七年级上·全国·专题练习）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) (3) (4) 15．（26-27七年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（26-27七年级上·天津·期中）计算（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； 17．（26-27七年级上·河南·期中）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 18．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入两个数时，则两次输出的结果分别是_________、_________； (2)你认为当输入_________数时（写出两个即可），其输出结果是0 (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出_________数 19．（26-27七年级上·广东深圳·期中）如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)你认为当输入什么数时，其输出结果是？ (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ (3)当小明输入；；这三个数时，这三次输出的结果分别是：___________． (4)有一次，小明在操作的时候，输出的结果是，你判断一下，小明可能输入的是什么数？ 【考点四】新定义运算（跨章节） 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）定义运算，如．若，则_______；若，且，则b的值为_______． 21．（26-27七年级上·吉林长春·期中）对于有理数，定义一种新运算，表示大于的最小整数，例如：，，下列结论正确的是________． ①；②；③若，那么；④若，都是整数，且，那么． 22．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为：②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，时，其“C运算”如下： 若， 则第2026次“C运算”的结果是_____________． 23．（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若的值与m互为相反数，求m的值． 24．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 25．探究规律，完成相关题目．薛老师说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”薛老师写出了一些按照※运算法则进行运算的式子： ； ； ； ； ； ． 请你按照薛老师的运算法则计算：______． 26．（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 27．（25-26七年级上·全国·期末）定义新运算：，． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号）； ①，；②，． (2)计算：； (3)已知由两个连续的非零整数，组成的数对是一个“隔一数对”． 计算：． 28．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 29．（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【考点五】数字与图形规律探究（跨章节） 30．（25-26七年级上·天津静海·期中）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有_______个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为_______（用含的代数式表示）． 31．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题． ； 现有一列数：（为正整数），规定，则的值为__________． 32．（25-26七年级上·广东汕头·期中）将一列有理数，，，，，，，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，应排在A、B、C、D、E中 __ 的位置． 33．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，小亮根据○中的三个数按照规律给自己的日记本设置了一个六位数的开锁密码a，根据提供的信息可以推断出小亮给自己的日记本设置的密码a是___________． 34．（24-25七年级上·山西临汾·期中）观察下面的几个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据上述规律填空： (1)第5个等式为________，第17个等式为________； (2)用含的代数式表示第个等式：________； (3)． 35．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为__________，第n个等式为__________（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：； (3)拓展计算：． 36．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 【考点六】列代数式·应用型压轴 37．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某农机租赁公司共有台联合收割机，其中甲型台、乙型台．现将这台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中台派往A地区，台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 元 元 B地区 元 元 (1)设派往A地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为y（元），用含的式子表示； (2)分别求出当等于28，29，30时租金的值． 38．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，某小区有一块长为、宽为的长方形空地，物业计划在空地中修建一条横向和一条纵向的小路，两条小路的宽均为，其余部分铺草坪． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)当，时，求铺草坪的面积． 39．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示． (1)用含a、b、c的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求S的值． 40．（26-27七年级上·四川·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 41．（26-27七年级上·全国·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如下表： 月用量 不超过180 超过180，不超过280的部分 超过280的部分 收费标准/[元] (1)如果恒恒家每月缴电费y元，每月用电量为，用含x的代数式表示电费y： ①当时，______； ②当时，______； ③当时，______． (2)若恒恒家6月份缴电费138元，求恒恒家6月份的用电量． 42．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图，将边长为a的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形（无重叠、无缝隙）． (1)用含a、b的代数式分别表示拼成的长方形的长和宽； (2)分别计算剪拼前后图形的面积（用含a、b的代数式表示），并根据结果写出一个关于a、b的等式； (3)利用（2）中的等式，计算的值． 【考点七】代数式的值·整体代入与化简求值 43．（25-26七年级上·福建泉州·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)若代数式的值为15，求代数式的值． (2)若时，代数式的值为19，当时，求代数式的值． 44．（25-26七年级上·广东广州·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． 45．（25-26七年级上·广西来宾·期中）【阅读理解】 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为7． 【方法运用】 （1）若代数式的值为6，求代数式的值． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 46．（25-26七年级上·河南信阳·期中）【问题呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值中应用极为广泛．若代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小勤的方法：由题意得，，则，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）已知，那么代数式的值是______；若，则代数式的值为______； （2）当时，代数式的值为11，当时，求代数式的值； 【拓展延伸】 已知：，直接写出代数式的值． 47．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单的问题． 【尝试应用】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含、的式子表示） （2）若，则______； 【拓展应用】 （3）若代数式的值为6，求代数式的值； （4）已知，的值是最大的负整数，求的值． 48．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【考点八】整式的加减·化简求值综合 49．（26-27七年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，． 50．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）小明在解数学题时，由于粗心，把原题“已知两个多项式A和B，其中，试求”中的“”看成“”，结果求出的答案是，请你帮他纠错，正确算出． 51．（24-25七年级上·山东济宁·期末）按要求解答问题： (1)化简： (2)化简求值：，其中 52．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 53．（24-25七年级·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【考点九】整式加减中的无关型问题 54．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知多项式合并同类项后不含x的三次项和一次项，则的值为________． 55．（25-26七年级·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 56．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），． (1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值； (2)当，时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 57．（26-27七年级上·四川·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，回答下列问题： (1)将下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ___________， ___________， ___________； (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 58．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 59．（25-26七年级上·福建福州·期中）已知代数式． (1)当，时，求的值． (2)若的值与的值无关时，求的值． 60．（25-26七年级上·福建厦门·期中）定义：若，则称x是y关于m的相关数． (1)若6是a关于2的相关数，则_______； (2)若A是B关于m的相关数，，B的值与m无关，求B的值． 61．（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【考点十】整式加减与数轴、绝对值综合 62．（25-26七年级上·四川成都·期中）解答下列各题 (1)七年级某班李同学做了一道题：已知两个代数式、，，计算，他误将写成了，结果得到答案，请你帮助他求出正确的答案． (2)有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示． 化简值为多少？ 63．已知，且满足，，，. (1)请将、、填入下列括号内； (2)若，试求的值. 64．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，有理数a，b在数轴上所对应的点分别是A，B两点，且a，b满足：多项式是关于x的二次二项式； (1)请直接写出a、b的值： ， ． (2)若数轴上点A、B之间有一动点P，且点P对应的数为y，化简． 65．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较，，，的大小，并用连接起来． ____________________________________________________________； (2)用“”或“”填空． ____________；____________；____________； (3)化简：． 66．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． 【初步探究】 （1）点表示的数是________，点表示的数为________； （2）若点是数轴上的点，且点到点的距离为6，求点表示的数及，两点之间的距离； 【深度拓展】 （3）若点是数轴上的点，点到点与点到点的距离相等．若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，经过秒，求，两点之间的距离．（用含的代数式表示） 67．（25-26七年级上·新疆·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是： ， ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (3)在（2）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 68．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 69．（25-26七年级上·山东临沂·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”．当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P、Q在数轴上分别表示有理数p、q，P、Q两点之间的距离表示为．阅读以上材料，回答以下问题： 如图，在数轴上有A、B两点，A、B两点所表示的有理数分别是和，其中k为最大的负整数． (1)求A、B两点之间的距离； (2)若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，相向而行，点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为4个单位/秒，运动t秒后，用含t的代数式分别表示点P和点Q在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，t为何值时，并求此时的． 70．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）阅读下面的材料并解决问题： 如图，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点A到点B的距离记为线段的长，那么A、B两点之间的距离为：，若点B在点A的右边，则． 若，，． (1) ______； (2)若将数轴折叠，使得A与C点重合． ①点B与数______表示的点重合； ②若此数轴上P、Q两点之间的距离为2026（P在Q的左侧），且当A点与C点重合时，P、Q两点也恰好重合，则点P表示的数是______； (3)若数轴上有一点M，且点M表示数m，则的最小值为______； (4)若点A、B、C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 71．（25-26七年级上·全国·期中）已知关于，的多项式，．（为常数） （1）若多项式是三次三项式，则的值是______． （2）若多项式的值为10，则 的值为______． （3）若单项式与 的和仍是单项式， ①单项式 为几次单项式； ②求多项式的值． （4）若一个多项式减去多项式，小明误当成了加法计算，得到的结果是 ，请你帮助小明求出正确的计算结果． （5）在（1）的基础上，解决下列问题： ①化简； ②若化简的结果与的取值无关，求 的值． （6）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，且 为最大的负整数．化简：______； （7）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，其中a，b，m分别是这个三位数百位、十位、个位上的数字．若 可以被3整除，则这个数就能被3整除．例如，三位数108，因为，9可以被3整除，所以108就能被3整除． 【发现】 将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数 就能被7整除． 【验证】 例如，三位数364，因为 ，28可以被7整除，所以364就能被7整除． ①用上述方法判断455能否被7整除？____．（填“能”或“不能”） 【探究】 ②请用含，，的代数式表示_____； ③结合②论证【发现】中的结论正确. 1 学科网（北京）股份有限公司 $