第2章·有理数运算·满分压轴·期中复习讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册

第2章·有理数运算·满分压轴·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握数轴动点、折叠、滚动等综合题的解法，能分类讨论求值 · 理解新定义运算与特殊数的结构，能按规则推导与计算 · 掌握乘方运算规律，能解决末位数字、规律探究类压轴题 · 掌握有理数运算技巧与N进制转换方法，提高计算准确率 · 能将实际方案、水费、检修等问题转化为有理数模型并求解 📚 知识梳理 ☆ 1.数轴上的运动与距离 点运动后的位置：起点+运动距离（正方向加、反方向减） 数轴上两点距离=|a-b|，中点对应数= 折叠问题：重合点成对出现，折痕为对称轴，对应点距离相等 圆在数轴上滚动：周长确定滚动一周经过的长度，逐段推算标记点 概念辨析例题：数轴上点A表示-3，点B表示5，求AB中点对应的数 答案：1 解析：中点对应数===1。 ☆ 2.新定义运算与特殊数 新定义运算：把新符号作为运算规则，代入数值逐步计算 特殊数（各位数字平方和迭代等）：按规则重复运算观察变化 数位条件类问题：设各位数字，列方程（组）求解 图形面积类新定义：把已知量代入定义式化简求值 概念辨析例题：定义新运算a⊗b=+（a、b不为0），计算2⊗1 答案： 解析：2⊗1=+=2+=。 ☆ 3.乘方与规律探究 乘方的末位数字具有周期性：如2n末位按2,4,8,6循环 规律探究三步：列前几项→观察变化→归纳验证 图形规律：数图形个数与序号的关系，用代数式表示 数表、幻方问题：利用每行每列和相等的条件列式 概念辨析例题：求32026的末位数字 答案：9 解析：3n末位按3,9,7,1循环，周期为4；2026÷4=506余2，所以末位为第2个数字9。 ☆ 4.有理数运算与进制转换 N进制数转十进制：按位权展开，从右往左各位乘以Nk再相加 十进制数转N进制：除N取余法，余数从下往上排 乘方与混合运算：先乘方再乘除后加减，注意(-a)n与-an区别 简便运算：用运算律、凑整、裂项等方法简化 概念辨析例题：将二进制数1011(2)转化为十进制数 答案：11 解析：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=8+0+2+1=11。 ☆ 5.实际应用与方案设计 方案设计题：分别计算各方案所需成本或时间，比较取最优 分段计费（水费、电费）：明确各段单价，分区间计算 生产计划：用正负数表示实际与计划的差值，求和算总量 统筹安排：按时间先后或资源约束列出可行顺序，选最优解 概念辨析例题：某市水费标准：每月用水不超过20吨每吨2元，超过部分每吨3元，小明家上月用水25吨，应交水费多少元？ 答案：55元 解析：20吨部分：20×2=40元；超过5吨：5×3=15元；共40+15=55元。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 数轴距离 AB=|a-b| 距离非负 中点 两数之和的一半 新定义运算 按新规则代入计算 先读懂规则 乘方末位 末位数字周期循环 确定周期与余数 N进制转换 按位权展开 Nk从0次幂起 混合运算 先乘方再乘除后加减 括号优先 分段计费 各段单价分别计算 明确分段界限 方案设计 分别计算再比较 选最优方案 ⚠️ 核心考点 【考点1】数轴综合与绝对值化简（第1-7题） · 动点问题：用代数式表示运动后的位置，分类讨论方向 · 滚动问题：先算周长，按周长的整数倍与余数定位 · 折叠问题：利用对称性，重合点到折痕距离相等 · 化简含绝对值式子：先判断各数正负与大小，再去绝对值 1．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，下列判断正确的有（   ） ； ； ； ； ； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26六年级上·山东泰安·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2026的点与圆上表示________的点重合． 4．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）已知：如图所示，数轴上、、三点所对应的数分别为、、． (1)在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为______；由此可得数轴上点、之间的距离为______； (2)化简：； (3)若的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是，求：的值． 5．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 6．（25-26七年级上·广东江门·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简：． 7．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）如图1，已知点，，在数轴上，点在点的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点表示的数为，若点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则数轴上点对应的数是_____；若点到点，的距离相等，则点对应的数是_________． (2)点表示的数为，设点表示的数为，若动点沿数轴正方向移动了个单位长度到达点，试求的值． (3)如图2，若数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点（点的对应点）落在点的右侧，且，两点之间的距离为，则点表示的数是多少? 【考点2】新定义运算与特殊数（第8-17题） · 新定义运算：把定义式当公式，逐层代入计算 · 平方和迭代：按规则重复计算，注意每一步的新数 · 数位条件题：设未知数建立方程组，验证是否满足条件 · 图形面积类：用整体与部分的关系列式求值 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，，，，，…，记，比如，，，…，下列说法正确的个数是（    ） ； ，； ；若，则的最小值为16． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）对于正数，规定，例如，计算，计算 的结果是（   ） A．2017 B．2016.5 C．2018 D．2017.5 10．（25-26七年级上·重庆·期中）对于一个三位正整数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个三位数为“互异数”．将一个“互异数”的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如：，．则______；如果一个“互异数”的百位数字是，十位数字，个位数字是，其中，，、为整数，且，则数的值为______． 11．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，并满足千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，则称这个四位数为“贰叁数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为，为．记，若一个“贰叁数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当为整数时，则__________；且为完全平方数，则所有满足条件的正整数之和是__________． 12．（23-24九年级上·重庆·期中）对于一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字多5，百位数字比个位数字多3，则称为“五三数”．如：四位数6714，，，是“五三数”；四位数，，不是“五三数”，则最大的“五三数”和最小的“五三数”之差为______；一个“五三数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若能被5整除，则满足条件的的值为______． 13．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为________． 15．（25-26六年级上·上海·期中）阅读下面的材料并解答问题： 在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，点在点左侧，点在点左侧，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即，若，是最小的正整数，点到原点的距离是5．则： (1)_____． (2)若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数_____表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____． (3)点、、开始在数轴上运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出这个值． 16．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 17．（2025七年级上·江苏·专题练习），，，，计算： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值； (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？ 【考点3】乘方与规律探究（第18-26题） · 末位数字：找周期，用指数除以周期求余数 · 图形规律：写出前几个图形的个数，归纳n与个数的关系 · 数表排列：观察行、列、对角线关系，利用和相等列式 · 多说法判断：逐项验证，举反例排除错误说法 18．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 19．（25-26七年级上·全国·周测）计算的结果为（   ） A．1013 B． C．2025 D． 20．（23-24七年级上·重庆大渡口·阶段检测）下列说法①观察下列等式：则的末位数字是9②三个有理数a，b，c满足，的值为或③n是一个有理数，则的最小值是9④如果，，那么，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 22．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）如图在下列表格中，每行、每列以及每条对角线上的三位数字之和都相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．（25-26七年级上·重庆·期末）我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）将1个1，2个，3个，…，个（为正整数）排成一列：1，，，，，，…，，记，，，…，记，，，…，，则______． 26．（23-24七年级上·陕西西安·期末）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为_________． 【考点4】有理数运算与进制转换（第27-32题） · 进制转换：按位权展开求和（N进制转十进制） · 乘方运算：先定符号再算值，注意底数与指数的对应 · 简便运算：提取公因数、凑整、结合律等技巧 · 幻方（幻圆）填数：利用和相等列方程求解 27．（23-24七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 28．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 29．（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 30．（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 31．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 32．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）把分别填在图①中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是正数． （2）把分别填在图②中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是负数． 【考点5】实际应用与方案设计（第33-40题） · 分段计费：明确各段单价与用量，分段求和 · 方案比较：分别计算各方案的费用（或时间），取最小值 · 生产统计：用正负数差值累加计算实际总量 · 统筹安排：按时间顺序列出可行方案，选择最优解 33．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某校科技艺术节上有A（无人机表演）、B（机器人对抗）、C（打印文创）、D（航天模型制作）四个项目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始，一个项目彩排完毕，下一个项目彩排立即开始，无换场时间．每个项目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表： 已知每位演员只参演一个项目．一位演员的候场时间是指：从第一个彩排的项目开始，到这位演员参演的项目开始的时间间隔． 34．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）联欢会有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 35．（25-26九年级上·北京·期中）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． (2)若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为________元． 36．（2025·北京门头沟·二模）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付_______元． （1）若输入正整数进行二次变换后输出的数为，则满足条件的的值为__________； （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为，则正整数的值为__________． 37．（24-25七年级上·福建泉州·期末）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向千米处有公交专线直达公园． (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶30同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 38．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） (1)日实际产量最多为__________个，最少为__________个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个按15元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额； (3)若将题干中的“增产记为正，减产记为负”改为“比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题干中表格的数据依次转化为下表数据．直接写出下表中“？”处的数据． 39．（24-25六年级下·上海虹口·期中）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表），另有一张该商店的五一促销海报（见图） (1)如果在5月1日前，在该店购置一台价值8000元的电器，如果这是一台一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，那么在“五一”期间，可以得到的优惠率是多少？（优惠率，结果在百分号前保留1位小数） (3)如果小红家本次购置电器的消费预算在7200元以内，那么他们应该如何选择才能即不超过预算，又能得到最大的优惠率呢？（优惠率）经过计算：完成以下购置计划清单：（结果在百分号前保留1位小数） 40．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习数轴动点、折叠、滚动的模型，掌握代数式表示位置的方法 · 理解新定义运算的规则，特殊数题先按规则列式再求解 · 掌握乘方末位数字的周期规律，规律探究先列项再归纳 · 熟练N进制与十进制的互转，注意位权从0次幂开始 · 实际应用题先建立有理数模型，分段计费与方案比较要分情况 【作业1】．（25-26七年级上·重庆南川·期中）如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【作业2】．（23-24八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【作业3】．（2024八年级·全国·竞赛）乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 【作业4】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【作业5】．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【作业6】．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【作业7】．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为________． 【作业8】．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（   ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 【作业9】．（24-25七年级下·北京顺义·期末）某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： （1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募______名志愿者； （2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少______天布置完成． 【作业10】．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 ； (2)若表示一个数，且，则 ；若表示一个数，且，则 ； (3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示． ①若以为原点，写出点所对应的数 ， ，并计算的值． ②若是原点，且，求的值． 【作业11】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： ， ； ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． (4)请利用（3）的推导公式计算：． 【作业12】．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：． 【作业13】．（25-26七年级上·湖南常德·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； (2)设某用户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费多少元？（用含的整式表示） (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了24元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费．（用含的整式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·有理数运算·满分压轴·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握数轴动点、折叠、滚动等综合题的解法，能分类讨论求值 · 理解新定义运算与特殊数的结构，能按规则推导与计算 · 掌握乘方运算规律，能解决末位数字、规律探究类压轴题 · 掌握有理数运算技巧与N进制转换方法，提高计算准确率 · 能将实际方案、水费、检修等问题转化为有理数模型并求解 📚 知识梳理 ☆ 1.数轴上的运动与距离 点运动后的位置：起点+运动距离（正方向加、反方向减） 数轴上两点距离=|a-b|，中点对应数= 折叠问题：重合点成对出现，折痕为对称轴，对应点距离相等 圆在数轴上滚动：周长确定滚动一周经过的长度，逐段推算标记点 概念辨析例题：数轴上点A表示-3，点B表示5，求AB中点对应的数 答案：1 解析：中点对应数===1。 ☆ 2.新定义运算与特殊数 新定义运算：把新符号作为运算规则，代入数值逐步计算 特殊数（各位数字平方和迭代等）：按规则重复运算观察变化 数位条件类问题：设各位数字，列方程（组）求解 图形面积类新定义：把已知量代入定义式化简求值 概念辨析例题：定义新运算a⊗b=+（a、b不为0），计算2⊗1 答案： 解析：2⊗1=+=2+=。 ☆ 3.乘方与规律探究 乘方的末位数字具有周期性：如2n末位按2,4,8,6循环 规律探究三步：列前几项→观察变化→归纳验证 图形规律：数图形个数与序号的关系，用代数式表示 数表、幻方问题：利用每行每列和相等的条件列式 概念辨析例题：求32026的末位数字 答案：9 解析：3n末位按3,9,7,1循环，周期为4；2026÷4=506余2，所以末位为第2个数字9。 ☆ 4.有理数运算与进制转换 N进制数转十进制：按位权展开，从右往左各位乘以Nk再相加 十进制数转N进制：除N取余法，余数从下往上排 乘方与混合运算：先乘方再乘除后加减，注意(-a)n与-an区别 简便运算：用运算律、凑整、裂项等方法简化 概念辨析例题：将二进制数1011(2)转化为十进制数 答案：11 解析：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=8+0+2+1=11。 ☆ 5.实际应用与方案设计 方案设计题：分别计算各方案所需成本或时间，比较取最优 分段计费（水费、电费）：明确各段单价，分区间计算 生产计划：用正负数表示实际与计划的差值，求和算总量 统筹安排：按时间先后或资源约束列出可行顺序，选最优解 概念辨析例题：某市水费标准：每月用水不超过20吨每吨2元，超过部分每吨3元，小明家上月用水25吨，应交水费多少元？ 答案：55元 解析：20吨部分：20×2=40元；超过5吨：5×3=15元；共40+15=55元。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 数轴距离 AB=|a-b| 距离非负 中点 两数之和的一半 新定义运算 按新规则代入计算 先读懂规则 乘方末位 末位数字周期循环 确定周期与余数 N进制转换 按位权展开 Nk从0次幂起 混合运算 先乘方再乘除后加减 括号优先 分段计费 各段单价分别计算 明确分段界限 方案设计 分别计算再比较 选最优方案 ⚠️ 核心考点 【考点1】数轴综合与绝对值化简（第1-7题） · 动点问题：用代数式表示运动后的位置，分类讨论方向 · 滚动问题：先算周长，按周长的整数倍与余数定位 · 折叠问题：利用对称性，重合点到折痕距离相等 · 化简含绝对值式子：先判断各数正负与大小，再去绝对值 1．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的加减混合运算、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减混合运算．数轴上点的移动规律是“左减右加”，蜗牛从数轴上表示的点出发，移动规律为：奇数次向正方向移动，移动距离为移动次数；偶数次向反方向移动，移动距离为移动次数．根据向正方向移动的加，向反方向移动的减，列式计算第次（奇数次）移动后的位置． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，下列判断正确的有（   ） ； ； ； ； ； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，有理数的大小比较，有理数的四则运算，理解数轴是解题关键． 由数轴可知：，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，，故正确； ，故错误； ，故正确； ，，故正确； ，，故正确； ，，故错误． 综上，正确的有4个． 故选：C． 3．（25-26六年级上·山东泰安·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2026的点与圆上表示________的点重合． 【答案】3 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数减法的实际应用 【分析】本题为数字规律问题，考查了有理数的运算，用数轴上的点表示有理数等知识，明白数字规律是解题关键﹒先求出表示2026的点与表示的点直接距离为2027，根据圆的周长为4个单位长度，可得圆转动506圈后再转动三个等分点，问题得解﹒ 【详解】解：∵圆的周长为4个单位长度，由图形可知， ∵， ∴数轴上表示2026的点与圆上表示3的点重合﹒ 故答案为：3﹒ 4．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）已知：如图所示，数轴上、、三点所对应的数分别为、、． (1)在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为______；由此可得数轴上点、之间的距离为______； (2)化简：； (3)若的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是，求：的值． 【答案】(1)4；6；2； (2) (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可解答； （3）根据、、在数轴上的位置，结合题目条件得出，，，再将其代入化简后的代数式即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为； 在数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为； 在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为； 由此可得，数轴上点、之间的距离为； 故答案为：4；6；2；； （2）根据题意，，且， ∴，，， ∴ ； （3）根据题意，的绝对值是3，的倒数是它本身，的相反数是， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值性质、倒数、相反数、整式的化简求值等知识，根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系和数值是解题的关键． 5．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．解决本题的关键是根据数轴上两点表示的数表示出两点之间的距离． (1)根据表示的点与表示的点重合，可知对称点表示的数为，与表示的点关于原点对称的点表示的数是； (2)①根据两个对称点表示的数分别是和，可以求出对称点表示的数是，根据关于对称点对称的两个点到对称点的距离相等，求出表示的点关于对称的点表示的数； ②因为，两点之间的距离为，所以，两点到对称点的距离都是，因为点在对称点的左侧，可知点表示的数是，因为点在对称点的右侧，可知点表示的数是； (2)根据数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，再根据两个对称的点到对称点的距离相等求出的对称点表示的数． 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 6．（25-26七年级上·广东江门·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简：． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】本题主要考查根据数轴判定式子的正负性，绝对值的化简，根据图示可得，，再根据绝对值的性质化简，然后合并即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴ ． 7．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）如图1，已知点，，在数轴上，点在点的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点表示的数为，若点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则数轴上点对应的数是_____；若点到点，的距离相等，则点对应的数是_________． (2)点表示的数为，设点表示的数为，若动点沿数轴正方向移动了个单位长度到达点，试求的值． (3)如图2，若数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点（点的对应点）落在点的右侧，且，两点之间的距离为，则点表示的数是多少? 【答案】(1)； (2)4 (3)或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题主要考查了数轴上的点与数的对应关系、数轴上的动点问题以及折叠的性质，熟练掌握数轴上两点间距离公式和折叠性质是解题的关键． （1）先根据点到原点距离及点与原点距离关系求点表示的数，再根据中点公式求点表示的数． （2）先由点移动情况求的值，再代入式子计算． （3）设点表示的数为，根据折叠性质及距离关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到原点的距离是． ∵点到原点的距离是点到原点的距离的倍， ∴点到原点的距离是， 又∵点在点左侧， ∴数轴上点对应的数是． ∵点到点，的距离相等， ∴点对应的数是． 故答案为：3， 1； （2）解：由题意可知，点沿数轴向右移动了个单位长度，则， ． （3）解：当点在点的左侧时， 因为，两点之间的距离为， 所以点表示的数是，此时点表示的数是， 当点在点的右侧时， 因为，两点之间的距离为， 所以点表示的数是，此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或． 【考点2】新定义运算与特殊数（第8-17题） · 新定义运算：把定义式当公式，逐层代入计算 · 平方和迭代：按规则重复计算，注意每一步的新数 · 数位条件题：设未知数建立方程组，验证是否满足条件 · 图形面积类：用整体与部分的关系列式求值 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，，，，，…，记，比如，，，…，下列说法正确的个数是（    ） ； ，； ；若，则的最小值为16． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数的加法计算，新定义等，正确理解新定义是解题的关键． 通过递推关系求出前几项，验证说法；利用递推关系直接判断说法；推导的表达式，计算说法；分析的取值规律，判断说法． 【详解】， ； ， ； ， ； ， ，故正确； 对于任意k，， 当时，， 由和的递推关系相减： ， ，故正确； 对于偶数， 时，， ，故错误； ： 当n为偶数时，，令，得，时，满足条件； 当n为奇数时，，不满足条件； 故n的最小值为14，不是16，错误． 综上，正确说法为，共2个． 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）对于正数，规定，例如，计算，计算 的结果是（   ） A．2017 B．2016.5 C．2018 D．2017.5 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． 按照定义式，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． 【详解】 = = = = 故选：D． 10．（25-26七年级上·重庆·期中）对于一个三位正整数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个三位数为“互异数”．将一个“互异数”的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如：，．则______；如果一个“互异数”的百位数字是，十位数字，个位数字是，其中，，、为整数，且，则数的值为______． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法的应用，设三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，可得对调后三个新三位数的和为，即得，据此解答即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则对调后三个新三位数分别为，，， ∴它们的和为， ∴， 当时，数字之和为， ∴； 对于数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且， ∴， 整理得， ∵，，且为整数， 解得，， 此时的数字为，互异且非零， ∴；   故答案为：；． 11．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，并满足千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，则称这个四位数为“贰叁数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为，为．记，若一个“贰叁数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当为整数时，则__________；且为完全平方数，则所有满足条件的正整数之和是__________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】根据千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，可得，，所以有，，且、均为整数，所以可得：，根据能被整除的数的个位是或，可知的个位数为或，又因为四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，所以可知的个位数为； 把整理可得：，根据能被整除的数的个位数是或，可知的个位数是或，又因为的值为、、、，的值为、、、、、，可知的个位数不能是，只能是，又因为为完全平方数，所以只有当、和当，时满足条件，求出此时的即可． 【详解】解：的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， 则有，，且、均为整数， ，， ， 为整数， 的个位数为或， 的个位数为或， 或， 四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同， 的个位数为， ； 解： 为完全平方数， 整理得：， 的个位数是或， 的个位数是或， 的值为、、、，的值为、、、、、， 若的个位是， 当，时，， 不是完全平方数， 不符合题意； 当，时，， 是完全平方数， 符合题意， 此时，， ； 当，时， ， 不是完全平方数， 不符合题意； 当，时， ， 是完全平方数， 此时，， ； 是偶数， 的个位不可能是， 符合条件的有和， 所有满足条件的正整数之和是． 故答案为： ；． 【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，解决本题的关键是根据千位数字是百位数字的倍，个位数字比十位数字大，得到：，，列出关于、的代数式． 12．（23-24九年级上·重庆·期中）对于一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字多5，百位数字比个位数字多3，则称为“五三数”．如：四位数6714，，，是“五三数”；四位数，，不是“五三数”，则最大的“五三数”和最小的“五三数”之差为______；一个“五三数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若能被5整除，则满足条件的的值为______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、整式的加减运算 【分析】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除，根据题中“五三数”得定义让千位数、百位数尽可能大可求得最大“五三数”，让十位数、个位数尽可能小可得最小“五三数”，问题随之得解；根据“五三数”的定义有：，，，，即有作为分母的，即有，，∴， 表示出，则，结合，，分类讨论，进而可求解． 【详解】解：根据题意，让千位数、百位数尽可能大可求得最大“五三数”，让十位数、个位数尽可能小可得最小“五三数”， 故最大“五三数”为：，最小“五三数”为， ∴， 根据题意，有：， 根据“五三数”的定义有：，，，， 即有作为分母的， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵能被5整除，，，且都为整数， ∴能被5整除， 当时，能被5整除， 即，则，符合要求，则； 当时，能被5整除，此时无符合要求的； 当时，能被5整除，此时无符合要求的； 当时，能被5整除，此时无符合要求的； 当时，能被5整除，此时无符合要求的； ∴满足条件的， 故答案为：，． 【答案】 29 乙-丙-甲-丁 【知识点】有理数加减混合运算的应用、优化问题 【详解】解：第一空计算： 冲压生产线总耗时：（分钟） 组装生产线作业时间线分析： 甲在第8分钟完成冲压，随即开始组装，至分钟完成组装 乙在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（14分钟）后启动，至分钟完成组装 丙在第分钟完成冲压，此时组装线刚好空闲，至分钟完成组装 丁在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（27分钟）后启动，至分钟完成组装， ∴全部零部件完成加工的最晚时间为29分钟． 故答案为：29，乙-丙-甲-丁． 13．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用、圆的周长和面积问题 【分析】本题考查了减法的性质，转化的数学思想﹒根据减法的性质可以得到的值为的值，计算即可求解﹒ 【详解】解：因为阴影部分为大圆和小圆的公共部分， 所以﹒ 故答案为：﹒ 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为________． 【答案】23 【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据、、、为四个不相同的正整数，且满足，可以求得、、、对应的数字，然后即可得到的最小值． 【详解】解：、、、为四个不相同的正整数，且满足， ， ， ，，，是1，，2，中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 不妨设，，，， 解得，，，， ，，，是4，2，5，1中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 当，，，时，取得最小值，此时的值为23， 故答案为：23． 15．（25-26六年级上·上海·期中）阅读下面的材料并解答问题： 在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，点在点左侧，点在点左侧，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即，若，是最小的正整数，点到原点的距离是5．则： (1)_____． (2)若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数_____表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____． (3)点、、开始在数轴上运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出这个值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的值不随着时间的变化而改变，这个值是2 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴的应用、整式加减的应用，熟练掌握数轴的定义是解题关键． （1）先根据正整数的定义求出，再根据数轴的定义即可得； （2）①先根据折叠后点与点重合可得折痕点所表示的数，再根据数轴的定义即可得； ②先根据折叠后求得的中点也是，设点表示的数为，则点表示的数为，得，即可求得点表示的数； （3）先根据时间和速度分别求出运动秒后，点、点和点所表示的数，从而可得、的值，再根据整式的加减法则进行化简，由此即可得出答案． 【详解】（1） 是最小的正整数， ， 点在点左侧，点到原点的距离是5 ， ， 故答案为：； （2）① ，，折叠后点与点重合， 折痕点所表示的数是， 设与点重合的点表示的数为， ， 则，即， 点与数表示的点重合， 故答案为：； ② 、两点经折叠后重合， 的中点也是， 数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧）， 设点表示的数为，则点表示的数为， ，即， 点表示的数为， 故答案为：； （3）点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，，，， 运动秒后，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是， ，， ， 的值不随着时间的变化而改变，这个值是2． 16．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 17．（2025七年级上·江苏·专题练习），，，，计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查探究发现数字规律及有理数的四则混合运算，关键是找到数字运算的规律． 观察已知条件发现规律，等，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值； (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？ 【答案】(1)， (2)3 (3)，或， 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、已知式子的值，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】（1）根据特定的算法代入计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为的整数倍即可求解； （3）根据检验码为8，并结合两个数字的差为8，即可求解． 【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤”中的的值为，校验码的值为， ∴，； （2）根据题意得：，， ∴， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字必须是， ∴， ∴； （3）解：设两个数字从左到右分别是， 由题意得：，， ∴， ∵检验码为， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字为， ∵， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或（舍去） ∴这两个数字从左到右分别是，或，． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意并列式是解题的关键． 【考点3】乘方与规律探究（第18-26题） · 末位数字：找周期，用指数除以周期求余数 · 图形规律：写出前几个图形的个数，归纳n与个数的关系 · 数表排列：观察行、列、对角线关系，利用和相等列式 · 多说法判断：逐项验证，举反例排除错误说法 18．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 19．（25-26七年级上·全国·周测）计算的结果为（   ） A．1013 B． C．2025 D． 【答案】A 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式两个一组结合后，相加即可得到结果． 【详解】解：原式=， , , . 故选：A. 20．（23-24七年级上·重庆大渡口·阶段检测）下列说法①观察下列等式：则的末位数字是9②三个有理数a，b，c满足，的值为或③n是一个有理数，则的最小值是9④如果，，那么，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】观察可得这一列数得到运算结果的末位数字是3，9，7，1，循环出现，且每个循环内，末位数字的和为，据此求出的末位数字之和即可判断①；根据，得到a、b、c中有三个负数和两个正数一个负数，然后讨论，a、b、c中有三个负数和两个正数一个负数，两种情况去绝对值即可判断②；根据绝对值的几何意义得到当时，有最小值，最小值为，再由当时，有最小值0，可得当时，和都有最小值，即此时最小，最小值为，即可判断③；设，则，，则，进而得到，即可判断④． 【详解】解：， ∴可知这一列数得到运算结果的末位数字是3，9，7，1，循环出现，且每个循环内，末位数字的和为 ∵， ∴的末位数字之和为， ∴的末位数字是2，故①错误； ∵， ∴a、b、c中有三个负数和两个正数一个负数， 当a、b、c都为负数时， ； 当a、b、c中两个正数一个负数时，不妨设，则； 综上所述，的值为或，故②错误； ③表示数轴上表示点n的数到表示的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和都有最小值，即此时最小，最小值为，故③正确； ④设， ，， ∴， ∵， ， ， ， ，故④正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，化简绝对值，绝对值的几何应用，有理数的乘法和乘方计算，有理数的除法计算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了二进制数转十进制数，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 由已知推出，得到三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可． 【详解】由题意得，，解得。 ∵三位二进制数的三个数位均为 ∴三位二进制数为111， ∴． 故选：B． 22．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）如图在下列表格中，每行、每列以及每条对角线上的三位数字之和都相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了九宫格与有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 根据九宫格的特征，逐个求出字母的值，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得； ， 解得； ， 解得； ∴， ∴每行、每列以及每条对角线上的三位数字之和都为， ∴， ， ， ∴， 故选：B． 23．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，数的奇偶性，先根据，，，即可判断①，再判断总的奇偶性，两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数，第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，即可判断②，根据，可得A的最大值一定为9，故结合①②可判断③，问题得解． 【详解】根据题意可知，，，，，，指代自然数1，2，3，4，5，6， ∴，，， ∴，故①正确； ∵1，2，3，4，5，6是包含三个奇数和三个偶数， 则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况： 第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数， 则最终A的答案为：偶数+奇数+偶数=奇数； 第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数， 则最终A的答案为：奇数+奇数+奇数=奇数； ∴A的值一定是奇数，故②正确， ∵， ∴A的最大值一定为9， 又∵A最小值为3，且为奇数， ∴A的值只可能是3、5、7、9， ∴A化简之后不可能有5种不同的结果， 故③错误， 正确的有2个， 故选：B． ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解． 本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果，即，，，，，，，故③正确． 故选：D． 24．（25-26七年级上·重庆·期末）我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了数制转换，算盘的算珠表示规则及数字表示的逻辑推理，根据题意理解十六进制转十进制的规则，再分析算盘的算珠表示规则，将十进制数88转化为十六进制数，逐一验证选项中算盘的算珠表示是否对应，选出正确选项即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）将1个1，2个，3个，…，个（为正整数）排成一列：1，，，，，，…，，记，，，…，记，，，…，，则______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类的规律探究，找出数字规律是解题的关键． 根据题意，可得，再根据找到的数字规律得到，最后将代入即可求得，进而可求得答案． 【详解】∵，， ∴， ∵，，…， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（23-24七年级上·陕西西安·期末）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为_________． 【答案】9 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数减法计算、加减混合运算法则等知识点，求出的值是解题的关键． 先根据题意列方程组，求得的值，然后代入式子计算即可． 【详解】解：由题意解答：，即； ∴，即：，解得：； ，即，解得：； ，解得：； ，即，解得：； 所以． 故答案为9． 【考点4】有理数运算与进制转换（第27-32题） · 进制转换：按位权展开求和（N进制转十进制） · 乘方运算：先定符号再算值，注意底数与指数的对应 · 简便运算：提取公因数、凑整、结合律等技巧 · 幻方（幻圆）填数：利用和相等列方程求解 27．（23-24七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数运算，掌握有理数运算法则，根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 根据题意，先求出所有数字之和，除以2，即可得到竖线上所有数字之和，求出b的值，再分析出横线上的所有数字，根据内圈上的4个数字之和也等于总数字之和的一半，求出内圈左边数字的值，即可得到a的取值情况，即可求解． 【详解】解：， ， 竖线上的四个数字为， 横线上的四个数字为， ， 内圈左边的数字为， 为或2， 当时，， 当时，， 故的值为或1． 故选：B． 28．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【答案】7 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减，能够正确求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为是解答本题的关键． 求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为 ， ，， 和的值为和或和， 当，时，， 当，时，， 故图中的值为 故答案为：． 29．（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【答案】（1）改写成二进制数是（2）八进制数表示的十进制数为【迁移拓展】密码为 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给十进制数转化为二进制数的方法是解题的关键． （1）根据换算法则将十进制数转换为二进制的数； （2）将八进制的数转换为十进制即，计算即可； （3）将二进制的数转换为十进制求出的值为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）， 答：改写成二进制数是； （2）八进制数表示的十进制数为： ； 答：八进制数表示的十进制数为； 【迁移拓展】二进制数转成十进制数为： ， ∵365为奇数， ∴密码为：． 30．（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算律、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【详解】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 31．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)3 (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 32．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）把分别填在图①中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是正数． （2）把分别填在图②中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是负数． 【答案】 （1）如图所示，答案不唯一： （2）如图所示，答案不唯一： 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法符号规则，掌握几个有理数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，利用此规则排列数字使每行、每列及对角线的积符合要求是解题的关键． （1）要让积为正，需保证每行、每列、每条对角线上负因数个数为偶数． （2）要让积为负，需保证负因数个数为奇数． 【详解】（1）已知有共6个负数，共3个正数。 按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为偶数(如2个)的原则排列， 此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为2个，积为正． （2）已知有共3个负数，共6个正数。按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为奇数(如1个)的原则排列， 此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为1个，积为负． 【考点5】实际应用与方案设计（第33-40题） · 分段计费：明确各段单价与用量，分段求和 · 方案比较：分别计算各方案的费用（或时间），取最小值 · 生产统计：用正负数差值累加计算实际总量 · 统筹安排：按时间顺序列出可行方案，选择最优解 33．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某校科技艺术节上有A（无人机表演）、B（机器人对抗）、C（打印文创）、D（航天模型制作）四个项目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始，一个项目彩排完毕，下一个项目彩排立即开始，无换场时间．每个项目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表： 已知每位演员只参演一个项目．一位演员的候场时间是指：从第一个彩排的项目开始，到这位演员参演的项目开始的时间间隔． 【答案】 55 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）节目D的演员的候场时间为节目A、B、C的彩排时长之和，据此求解即可； （2）先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：（1）由题意得，节目D的演员的候场时间为； （2）由题意得节目A和C的演员人数一样，彩排时长不一样，那么彩排时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样候场时间会短一些，那么B在D前面， 34．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）联欢会有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 【答案】 60 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，节目E的演员的候场时间为：； 若使这26位演员的候场时间之和最小，则人数一样，彩排时间长节目排在后面， ∴在后面， ∵节目时间一样的，人数少的在后面， ∴候场时间之和为 故答案为：60；． 35．（25-26九年级上·北京·期中）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． (2)若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为________元． 【答案】(1)① (2)1010 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； 【详解】（1）解：①总停产时间：（分）， ②总停产时间：（分）， ③总停产时间：（分）， ∴经济损失最少的是①， 故答案为：①； 经济损失：（元）， 故答案为：1010． 36．（2025·北京门头沟·二模）某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付_______元． 【答案】 ② 64 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可； 【详解】解：（1）①总赔付：（元）， ②总赔付：（元）， ③总赔付：（元）， ∴赔付最少的是②， 故答案为：②； （2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的， 配送赔付：（元）， 配送赔付：（元）， 共需要最少赔付：（元）， 故答案为：64． 【答案】 20 3 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数加减混合运算的应用 （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与17比较大小即可得出结论． 甲依次加工：零件③→ 零件②→ 零件①，累计耗时． 乙需等待甲完成对应零件后方可打磨： 零件③：乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 零件②：甲于第完成，乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 零件①：甲于第完成，乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 因此，总时长为 ； （1）若输入正整数进行二次变换后输出的数为，则满足条件的的值为__________； （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为，则正整数的值为__________． 【答案】 或 或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． (1)根据二次变换输出的数为，逆推第一次变换输出为，再逆推输入为或； (2)根据两次变换输出积为，推导第一次输出为，再逆推输入为或． 【详解】(1) 解：设第一次变换后输出的数为， 二次变换后输出的数为， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， ； 当为奇数时，， ， 不符合题意，舍去； 故答案为：或； (2) 设第一次变换输出为，第二次变换输出为，则有， 若为偶数，则， 则有， 解得：， 或， 或； 若为奇数，则， ， 整理得：， 方程无整数解； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 37．（24-25七年级上·福建泉州·期末）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向千米处有公交专线直达公园． (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶30同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)分钟 (2)①小明不能按照计划到家并支付费用；②先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里，最少时间18分钟，费用14元； 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：， 所需要的费用为： （元，， 小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：（分钟） 乘坐出租车费用：（元） 乘骑便民自行车时间：（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元． 总费用：（元） 总时间：（分钟） 38．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） (1)日实际产量最多为__________个，最少为__________个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个按15元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额； (3)若将题干中的“增产记为正，减产记为负”改为“比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题干中表格的数据依次转化为下表数据．直接写出下表中“？”处的数据． 【答案】(1)， (2)元 (3) 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用．解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，按照题意的要求计算即可． （１）根据正负数的实际意义，进行有理数的大小比较即可； （２）先计算每天的工资，再相加即可求解； （３）根据题意计算差值即可． 【详解】（1）解：， 日实际产量最多为：（个）， 日实际产量最少为：（个）． 故答案为：，． （2）解：由题意得，该厂这一周发放的工资总额为： （元）． 答：该厂这一周发放的工资总额为元． （3）解：由题意得，， “？”处的数据为：． 39．（24-25六年级下·上海虹口·期中）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表），另有一张该商店的五一促销海报（见图） (1)如果在5月1日前，在该店购置一台价值8000元的电器，如果这是一台一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，那么在“五一”期间，可以得到的优惠率是多少？（优惠率，结果在百分号前保留1位小数） (3)如果小红家本次购置电器的消费预算在7200元以内，那么他们应该如何选择才能即不超过预算，又能得到最大的优惠率呢？（优惠率）经过计算：完成以下购置计划清单：（结果在百分号前保留1位小数） 【答案】(1)6400元 (2) (3)二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， ． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意，理清各量间的关系，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据题意，国补后只需要支付元，解答即可． （2）根据题意，购买一级冰箱国补金额，购买一级洗衣机国补金额，购买一级微波炉国补金额，计算国补后的总金额，计算再优惠金额，根据题意，计算可得优惠率解答即可． （3）根据题意，分类计算，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补：元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付元． （2）解：根据题意，购买一级冰箱国补元， 购买一级洗衣机国补元， 购买一级微波炉国补元， 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元， 根据题意，优惠率． （3）解：根据题意，依据国补标准，计算如下： 一级冰箱国补元，实付4800元； 二级冰箱国补元，实付4250元； 一级洗衣机国补元，实付3200元； 二级洗衣机国补元，实付2140元； 一级微波炉国补元，实付720元； 二级微波炉国补元，实付510元； 第一种组合：购买一级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元，实际支付7720元，超出预算，不符合题意； 第二种组合：购买一级冰箱，一级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元，实际支付7510元，超出预算，不符合题意； 第三种组合：购买一级冰箱，二级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600元，实际支付7060元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第四种组合：购买一级冰箱，二级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600元，实际支付6940元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第五种组合：购买二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000，实际支付7170元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第六种组合：购买二级冰箱，一级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付7360元，超出预算，不符合题意； 第七种组合：购买二级冰箱，二级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付6560元，不超出预算，符合题意； 优惠率． 第八种组合：购买二级冰箱，二级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付6300元，不超出预算，符合题意； 优惠率． 故购买二级冰箱，购买一级洗衣机，购买一级微波炉，优惠率最高，且为， 故答案为：二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， ． 40．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【答案】(1) (2)245 (3) (4)10 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了二进制，三进制，六进制和十进制数之间的互相转化，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据表格先找到33所处的大约位置，再根据十进制转化为2进制的算法得到答案即可； （2）根据三进制转化为十进制的公式和表格算出答案即可； （3）先把二进制的数转化为十进制，再把十进制的数转化为六进制即可； （4）先把二进制和三进制的数转化为十进制，根据题意求出积，进而得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， 根据表格可知，十进制数33化为二进制数时，最高位是， ∴， 故答案为：； （2）解：由题和表格可知：， 故答案为：245； （3）解：由题和表格可知，把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ， 由题和表格可知，把十进制数25化为六进制数： ． （4）解：把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 把三进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 由题意，得 ． 可得． ． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习数轴动点、折叠、滚动的模型，掌握代数式表示位置的方法 · 理解新定义运算的规则，特殊数题先按规则列式再求解 · 掌握乘方末位数字的周期规律，规律探究先列项再归纳 · 熟练N进制与十进制的互转，注意位权从0次幂开始 · 实际应用题先建立有理数模型，分段计费与方案比较要分情况 【作业1】．（25-26七年级上·重庆南川·期中）如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【详解】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 【作业2】．（23-24八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 【作业3】．（2024八年级·全国·竞赛）乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，数字规律问题，掌握数字规律探索的方法是解答本题的关键．通过计算，，，，的结果的末两位数字，归纳得到当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，即可得到答案． 【详解】计算的末两位数字是45， 的末两位数字是95， 的末两位数字是35， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 依次类推，可知当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25， 所以乘积的末两位数字是25． 故选A． 【作业4】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 【作业5】．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的加减法，整式的加减；数形结合是解题的关键；根据数轴求出，，然后根据绝对值的性质将所求式子化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，， ， 故答案为：． 【答案】 【详解】解：设输出的数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得每6次输出的结果循环一次， 又，与的数字一致， ∴2026次输出结果为， 故答案为：． 【作业6】．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 【作业7】．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律、数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键； 根据图形找到规律，利用有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…， 以此类推， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【作业8】．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（   ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据题意列出含乘方的有理数混合运算的式子是解题的关键． 先根据题意列出式子，然后运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【作业9】．（24-25七年级下·北京顺义·期末）某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： （1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募______名志愿者； （2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少______天布置完成． 【答案】 7 5 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了逻辑推理、有理数混合运算的应用、代数式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量，由题意得所有的工作量，结合距离展览开幕还有7天，计算可得主办方应招募不少于7名志愿者，再验证招募7名志愿者时符合题意，即可得出结论； （2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天，分析可知将每个展区都布置完成的时间不少于5天，当主办方需要在5天内完成工作，计算此时需要的志愿者人数，再结合补贴预算不超过元，即可得出结论． 【详解】解：（1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量， 则将每个展区都布置完成的工作量， ∵距离展览开幕还有7天，， ∴主办方应招募不少于7名志愿者， 当主办方招募7名志愿者时，并且给志愿者编号， 编号为的志愿者需工作7天，安排4天布置A展区，3天布置B展区， 编号为的志愿者需工作7天，安排2天布置C展区，5天布置D展区， 编号为的志愿者需工作5天，安排3天布置B展区，2天布置C展区， ∴招募7名志愿者可以在开幕前将每个展区都布置完成，符合题意； ∴主办方至少应招募7名志愿者， 故答案为：7； （2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天， ∴将每个展区都布置完成的时间不少于5天， 当主办方需要在5天内完成工作， 招募3名志愿者，安排4天布置A展区； 招募5名志愿者，安排3天布置B展区，其中4名志愿者再安排2天布置C展区； 招募2名志愿者，安排5天布置D展区； 则一共招募了名志愿者， 所以需要提供志愿者补贴为元，符合题意； ∴要在最短时间内完成工作，最少5天布置完成． 故答案为：5． 【作业10】．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 ； (2)若表示一个数，且，则 ；若表示一个数，且，则 ； (3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示． ①若以为原点，写出点所对应的数 ， ，并计算的值． ②若是原点，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)；或； (3)①，；②或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】（）根据两点之间距离的定义直接求解即可； （）根据绝对值的性质化简，再计算即可求解； （）①根据两点的距离，求得点 所对应的数，代入进行计算即可求解；②分点在点的左边和右边时，分别求得点所对应的数，代入进行计算即可求解； 本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴； 当时，， ∴； 当时，， 该种情况不存在； 当时，， ∴； 综上，或； 故答案为：；或； （3）解：①∵为原点，，， ∴所对应的数为，所对应的数为， 故答案为：，； ②∵是原点，且， ∴点所对应的数为或， 当点所对应的数为，即时，，， ∴； 当点所对应的数为，即时，，， ∴； 综上，的值为或． 【作业11】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： ， ； ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． (4)请利用（3）的推导公式计算：． 【答案】(1)，2 (2)② (3) 当时，； 当时，； (4) 【知识点】有理数的除法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键． （1）根据“除方”的定义，直接计算即可； （2）根据“除方”的定义，可判定①②；分别取与，计算出结果，两者的结果不相等，则可判定③与④均错误； （3）分当与考虑，根据“除方”的定义，把除法转化为乘法运算，即可得到乘方的运算结果； （4）利用（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；2； （2）解：， 而，即， 故①错误； ， 故②正确； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误， 故③错误； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误； 故④错误； 综上，说法正确的是②； 故答案为：②； （3）略 （4）解： ． 【作业12】．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用裂项求和进行简便计算是解题的关键． 根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【作业13】．（25-26七年级上·湖南常德·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； (2)设某用户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费多少元？（用含的整式表示） (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了24元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费．（用含的整式表示） 【答案】(1)16元 (2) (3)当超过但不超过时，共缴费元；当超过但不超过时，共缴费元；当超过但不超过时，共缴费元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了有理数的运算，列代数式及整式的加减，理解题意是解题的关键； （1）按照第一档的收费标准计算即可； （2）按照第三档的收费标准计算即可； （3）先判断甲户的用水量大致范围，分三种情况：当超过但不超过时；当超过但不超过时；当超过但不超过时． 【详解】（1）解：（元）， 答：该用户这个月应缴纳的水费为16元； （2）解：元， 答：该用户应缴纳的水费为元； （3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了24元， ∴， ①当超过但不超过时， 甲用户的水费：元， 乙用户的水费：元， 共计：元， ②当超过但不超过时，， 甲用户的水费：元， 乙用户的水费：元， 共计： 元， ③当超过但不超过时，， 甲用户的水费：元， 乙用户的水费：元， 共计：元， 综上，当超过但不超过时，共缴费元；当超过但不超过时，共缴费元；当超过但不超过时，共缴费元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $